21.4二次函数的应用(2)

21.4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用 教学目标1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。

教学重难点【教学重点】利用二次函数求实际问题的最值。

【教学难点】对实际问题中数量关系的分析。

课前准备课件等。

教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝ －x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B 场地宽为(30－x )m ，∴y ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30；(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，当x ＝15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m 2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16， 所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ； (3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )， 所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m . 根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15. 所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。

二次函数的应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二次函数的应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为二次函数的应用的全部内容。

第三节二次函数的应用一、课标导航二、核心纲要1.建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤：(1)设变量:找出问题中的常量和变量，并用x，y分别表示自变量和因变量.(2)列函数关系式:找出符合题意的等量关系,并用含x,y的式子表示等量关系,得出二次函数关系式。

(3)求值:根据二次函数解析式，求出特定条件下x或y的值。

(4）检验：检验由函数关系式所得的结果是否与实际情况相符,判断后作出取舍.(5)作答。

2.实际问题与二次函数(1)利用二次函数求实际问题中的最值的方法:①将实际问题中两个变量用二次函数表示；②将二次函数写成()ky+-=2形式,求出顶点坐标;ahx③求实际问题中的最值（注意自变量的取值范围，有时最值可能不在顶点处取得,有可能在端点处取得）.（2）有些物体具有抛物线形状，用二次函数解决此类问题的方法：①合理建立平面直角坐标系；②合理设对应的二次函数关系式，利用待定系数法求出二次函数的关系式； ③利用函数的知识解决实际问题.本节重点讲解：一个应用（二次函数的应用）三、全能突破基 础 演 练1.2011年5月22~29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛。

在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线c bx x y ++-=241的一部分（如图22-3—1所示)，其中出球点B 离地面O 点的距离是1 m .球落地点A 到0点的距离是4m ,那么这条抛物线的解析式是( ) .A ．143412++-=x x yB ．1-43412x x y +-=C ．143-412+-=x x yD ．1-43-412x x y -=2。

第2课时 利用二次函数解决桥梁等建筑问题◇教学目标◇【知识与技能】通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关桥梁建筑等的实际问题.【过程与方法】掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.【情感、态度与价值观】培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.◇教学重难点◇【教学重点】根据具体情境建立适当的平面直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点.【教学难点】建立适当的平面直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数的表达式.◇教学过程◇一、情境导入某大学的校门是抛物线形的水泥建筑物(如图所示),大门的宽度为8米,两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,请你确定校门的高度是多少?二、合作探究探究点 拱桥、涵洞问题典例 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽为4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时,水面的宽度为 米.[解析] 如图,建立平面直角坐标系,设这条抛物线为y=ax 2,把点(2,-2)代入,得-2=a×22,解得a=-12,∴y=-12x 2.当y=-3时,-12x 2=-3,x=±√6.[答案] 2√6它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m 处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长?[解析] 由题意知抛物线的顶点坐标为(20,16),∴可设抛物线的表达式为y=a (x-20)2+16.∵点B (40,0)在抛物线上,∴a (40-20)2+16=0,∴a=-125,∴y=-125(x-20)2+16.∵竖立铁柱脚的点为(15,0)或(25,0),∴当x=15时,y=-125(15-20)2+16=15;当x=25时,y=-125(25-20)2+16=15.∴铁柱应取15 m.三、板书设计利用二次函数解决桥梁等建筑问题二次函数的应用{ 受实际问题中的条件所限,要注意变量的取值范围一般情况下,利用顶点坐标可以求函数的最值步骤{ 理解题意写出函数表达式结合图象或性质求解检验结果的合理性◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,掌握利用二次函数知识解决最值问题;其次,会综合运用二次函数和其他数学知识解决有关距离、建立函数模型等问题;最后,发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.。

第2课时二次函数的应用(2)1.图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②).(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.2.跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6m,到地面的距离AO和BD均为0.9m,身高为1.4m的小丽站在距点O的水平距离为1m的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3m,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;(3)如果身高为1.4m的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t m,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,求t的取值范围.3.在一场篮球比赛中,一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如右上图所示的平面直角坐标系,求抛物线对应的函数表达式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问球出手时,他距离地面的高度是多少?4.(2013河北中考)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩:Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.(1)用含x和n的式子表示Q;(2)当x=70,Q=450时,求n的值;(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是-b2a ,4ac-b24a.5.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:(1)设△POQ的面积为y cm2,求y关于t的函数表达式;(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ,试判断点C 是否落在直线AB上,并说明理由.6.(创新应用)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y=-38x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.(1)试确定b,c的值;(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数表达式;(3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?课后演练·能力提升答案：1.解:(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1).设抛物线对应的函数表达式是y=a(x-5)2+5(a≠0),把点(0,1)代入y=a(x-5)2+5,得a=-425.∴y=-425(x-5)2+5(0≤x≤10).(2)由已知,得两景观灯的纵坐标都是4,∴4=-425(x-5)2+5.∴425(x-5)2=1.∴x1=152,x2=52.∴两盏景观灯之间的水平距离为|x1-x2|=152-52=5(m).2.解:(1)小丽头顶处E点的坐标为E(1,1.4),B点的坐标为(6,0.9),代入表达式,得a+b+0.9=1.4,36a+6b+0.9=0.9,解得a=-0.1, b=0.6,∴函数表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9(0≤x≤6).(2)由y=-0.1x2+0.6x+0.9,配方,得y=-0.1(x-3)2+1.8,当x=3时,y=1.8,∴小华的身高为1.8m.(3)当y=1.4时,得-0.1x2+0.6x+0.9=1.4,解得x1=1,x2=5,∴当y>1.4时,1<t<5.3.解:(1)由题图知,顶点为(0,3.5),篮圈坐标为(1.5,3.05),设函数表达式为y=ax2+3.5(a≠0),将(1.5,3.05)代入,得a=-0.2,故篮球运行轨迹所在的抛物线对应的函数表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25,故跳投时,距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2(m).4.解:(1)设W=k1x2+k2nx,则Q=k1x2+k2nx+100.由表中数据,得420=402k1+2×40k2+100,100=602k1+1×60k2+100,解得k1=-110, k2=6.因此Q=-110x2+6nx+100.(2)由题意,得450=-110×702+6×70n+100.解得n=2.(3)当n=3时,则Q=-110x2+18x+100.由a=-110<0可知,要使Q最大,则x=-182×-110=90.(4)由题意,得420=-110[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,解得m%=12,或m%=0(舍去).故m=50.5.解:(1)∵OA=12cm,OB=6cm,由题意得BQ=1×t=t(cm),OP=1×t=t(cm),∴OQ=6-t(cm),∴y=12×OP×OQ=12×t(6-t)=-12t2+3t(0≤t≤6).(2)∵y=-12t2+3t,∴当y有最大值时,t=3.∴OQ=3cm,OP=3cm,即△POQ是等腰直角三角形.把△POQ沿PQ翻折后,可得到四边形OPCQ是正方形.∴点C的坐标是(3,3).∵A(12,0),B(0,6),∴直线AB的表达式为y=-12x+6,当x=3时,y=92≠3,∴点C不落在直线AB上.6.解:(1)由题意,得25=18×32+3b+c,24=1×42+4b+c,解得b=-158,c=592.(2)y=y1-y2=-38x+36-18x2-158x+592=-18x2+32x+132.(3)y=-18x2+32x+132=-18(x2-12x+36)+92+132=-18(x-6)2+11.∵a=-18<0,∴抛物线开口向下.在对称轴x=6左侧y随x值的增大而增大.由题意x<5,∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润为-18(4-6)2+11=212(元).。

沪科版数学九年级上册21.4《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析《二次函数的应用》是沪科版数学九年级上册第21.4节的内容。

本节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

教材通过实例引导学生理解二次函数的图像和性质，以及如何将实际问题转化为二次函数模型，进一步解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对二次函数有一定的认识。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数模型，对二次函数在实际生活中的应用还不够了解。

因此，在教学本节内容时，需要引导学生将所学知识与实际生活相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.帮助学生理解二次函数的图像和性质，加深对二次函数知识的理解。

四. 教学重难点1.重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会用二次函数解决实际问题。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及对二次函数图像和性质的理解。

五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法。

通过实例引导学生了解二次函数在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。

通过问题驱动，引导学生思考和探索，提高学生解决问题的能力。

利用小组合作，让学生在讨论中加深对知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。

2.设计问题，用于引导学生思考和探索。

3.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际案例，如抛物线形的跳板，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。

引导学生思考：如何用数学模型来描述这个实际问题？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的图像和性质，让学生观察和分析，引导学生发现二次函数的规律。

同时，给出二次函数的一般式，让学生了解二次函数的构成。

21.4 二次函数的应用┃教学整体设计┃第1课时二次函数的应用（1）┃教学过程设计┃例2(教材第37页例2)如图1,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图2,求这条抛物线对应的函数表达式；(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长.教师引导学生(1)这个抛物线的顶点坐标是什么？对称轴是什么？你还能写出这个抛物线上哪几个点的坐标？(2)这个抛物线对应的函数表达式可设什么形式？(3)第(2)题中离两端主塔分别为100 m,50m的点的横坐标各是多少？(4)第(2)题转化为数学语言是什么？思考：如果本题不给出坐标系,你还有没有其他方法建立坐标系,从而解决问题？初步了解建立平面直角坐标系解决实际问题.三、运用新知,解决问题 1.教材第38页练习第1题.2.某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图1所示.根据设计图纸已知：如图2所示的平面直角坐标系中,水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式是y ＝－x 2＋2x ＋45.(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ (2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内？ 教师板演,纠错,巡视指导,讲评. 及时巩固所学知识.四、课堂小结,提炼观点1.通过学习本节,你有哪些收获？2.对本节课你还有什么疑惑？ 总结回顾学习的重点、难点内容,巩固所学知识.五、布置作业,巩固提升 1.教材第42页习题21.4第1、2题. 2.(选做题)教材第42页习题21.4第5题. 体现分层,加深认识,深化提高.┃教学小结┃【板书设计】二次函数的应用(1)例1 S ＝x (20－x ),配方,得S ＝－(x －10)2＋100.因为a ＝－1＜0,所以当x ＝10时,S 取得最大值,最大值为100.21.4二次函数的应用┃教学整体设计┃第2课时二次函数的应用（2）┃教学过程设计┃┃教学小结┃。