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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-U ，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O e 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O e的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=g g ，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =u u u r ，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++u u u r u u u r u u u r ．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++u u u r u u u r u u u r()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==，当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++u u u r u u r的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==I I ，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =I ，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量，则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u u rn n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y == 所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+L ．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=g ，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ，24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 86．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2014-2015学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A． {﹣2，﹣1，0，1} B． {﹣1，0，1} C． {﹣1，0，1，2} D． {﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：判断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”一定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查判断一个条件是另一个的什么条件，应该先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为判断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan （2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先根据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．学生在求cosα的值时应注意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A． 2B．C． 2D． 4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A． 2 B． 4 C． 2D． 8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积的应用进行转化即可．解答：解：，与的夹角为，∴•=||||cos=1×=1，则===2，故选：A点评：本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A． 2 B． 1 C．D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，其中B（1，0），则z==，故选：C点评：本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 13 5 2A． 4 B． 1 C． 3 D． 2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：可得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，于是得到x n+4=x n，进而得出答案．解答：解：∵数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：∴x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，∴x n+4=x n，∴x2014=x503×4+2=x2=1．故选：B点评：本题考查了数列的周期性，根据已知分析出函数的周期为4，是解答的关键，属于中档题．8．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A． 900 B． 920 C． 948 D． 968考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到矩形ABCD 的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．故选D．点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用基本不等式求最值．9．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．解答：解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A． 12 B． 1 6 C． 18 D． 20考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，则f（0）=0，f（1）=1．而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，由于x=10时，y=lg10=1，∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，∴在y轴右侧共有9个交点．∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在y轴左侧也有9个交点∴两函数图象共有18个交点．故选：C．点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．解答：解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．利用x=ρcosθ即可把直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程，联立解出即可．解答：解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为=1．直线l的极坐标方程为，化为x=，把x=代入椭圆方程解得y=0．∴它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．解答：解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：∵，∴则=+=+=+=+2=，故答案为．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12] ．考点：函数的单调性及单调区间．专题：创新题型．分析：点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间．解答：解：t=0时，点A的坐标是，∴点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，∵12秒旋转一周，∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，210°÷30=7，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]，故答案为：[0，1]和[7，12]．点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是（﹣1，3）．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．即可得出a n．由于对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1）=（﹣1）n（2n﹣1）．∵对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∴[（﹣1）n+1（2n+1）﹣p][（﹣1）n（2n﹣1）﹣p]＜0，①当n是奇数时，化为[p﹣（2n+1）][p+（2n﹣1）]＜0，解得1﹣2n＜p＜2n+1，∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得﹣1＜p＜3．②当n是正偶数时，化为[p﹣（2n﹣1）][p+（1+2n）]＜0，解得﹣1﹣2n＜p＜2n﹣1，∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得﹣5＜p＜3．联立，解得﹣1＜p＜3．∴实数P的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．点评：本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式a n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简，再用二倍角公式化简，得到，化为求出周期．（Ⅱ）当时，求出的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值．解答：解：===．（6分）（Ⅰ），故f（x）的最小正周期为π．（7分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以．（9分）所以当，即时，f（x）有最大值0，（11分）当，即x=0时，f（x）有最小值．（13分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S1+2=2a1可知a1=2．通过S n+2=2a n与S n+1+2=2a n+1作差、整理可知数列{a n}是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过写出T n、T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：（1）解：当n=1时，S1+2=2a1，所以a1=2．因为S n+2=2a n，则S n+1+2=2a n+1．两式相减，得S n+1﹣S n=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2a n．所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，故．（2）证明：∵，∴．①．②①﹣②，得=．∴．∵，∴T n＜3．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S；（2）求得cosα，以及cos∠AEB=cos（﹣α），再由解直角三角形，即可得到所求．解答：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．（1）在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2﹣2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．在△CDE中，由正弦定理，得，于是，sinα===，即sin∠CED=．于是，；（2）由题设知，0＜α＜，于是由（1）知，cosα===．而∠AEB=﹣α，所以cos∠AEB=cos（﹣α）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣×+×=．在Rt△EAB中，cos∠AEB==，故=BE===4．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=﹣1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，对a讨论，当a=0时，当a≠0时，①a=，②若0＜a＜，③当a＜0时，函数的单调性，写出单调区间即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=lnx+x+﹣1（x＞0），f′（x）=+1﹣，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，则切线方程为：y=x+ln2；（2）因为f（x）=lnx﹣ax+﹣1，所以f′（x）=﹣a=﹣（x＞0），令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，（i）当a=0时，g（x）=﹣x+1（x＞0），所以当0＜x＜1时g（x）＞0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0此时函数f，（x）单调递增．（ii）当a≠0时，由f（x）=0，解得：x1=1，x2=1﹣，①a=，函数f（x）在x＞0上单调递减，②若0＜a＜，在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．③当a＜0时，由于﹣1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过对比“和谐”数列的三个条件，因此验证是否满足即可；（2）通过构造数列{c n}（c n=a n﹣a n+1），通过②可知c n≥c n+1，通过放缩可知a1+a2+…+a n≥，利用③化简即得结论．解答：（1）结论：数列{a n}为“和谐”数列．理由如下：对于数列{a n}数列{a n}，显然符合①．∵，∴符合②∵，∴符合③综上所述，数列{a n}为“和谐”数列．（2）证明：构造数列{c n}，令c n=a n﹣a n+1，由②可知a n﹣a n+1≥a n+1﹣a n+2，∴c n≥c n+1，a1+a2+…+a n=a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]≥a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]﹣na n+1=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+…+n（a n﹣a n+1）=c1+2c2+…+nc n≥（1+2+…+n）c n=，由③知，∴，即：，∴．点评：本题考查在新概念“和谐”数列下数列的作差与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kx，从而g″（x）=﹣2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②﹣1＜x＜0时，从而证出结论．解答：解：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kxg″（x）=﹣2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+∞）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②﹣1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（﹣1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（﹣1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于﹣1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞﹣1且x≠0时，有f（x）＜．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。
雅礼中学2014届高三月考试卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}32,log ,,,M a N a b ==若{}1=⋂N M ,则=⋃N MA ．{}0,1,2B ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,31.【答案】D 因为{}1MN =,所以3log 1a =,即3a =,所以1b =,即{}{}2,1,3,1M N ==,所以{}2,1,3MN =,选D ．2.命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是A ．2,20x R x x ∀∈-= B ．2,20x R x x ∃∈-≠C ．2,20x R x x ∀∈-≠D ．2,20x R x x ∃∈->2.【答案】C 特称命题的否定式全称命题,所以命题“2,20x R x x ∃∈-=”的否定是2,20x R x x ∀∈-≠,选 C ．3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是（）A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π3.【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去41半球的球.其中两个半圆的面积为224ππ⨯=.34个球的表面积为2342124ππ⨯⨯=,所以这个几何体的表面积是12416πππ+=,选A ．4.非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A ．//a bB ．20a b +=C ．||||a ba b =D ．a b =正视图 俯视图左视图4.【答案】B 要使||||||a b a b +=-,则a b ，共线,且方向相反,且a b >,所以选B ．5.在各项均为正数的等比数列{}n a中,31,1,s a a ==+则2326372a a a a a ++=A ．4B ．6C ．8D．8-5.【答案】C 在等比数列中,23752635,a a a a a a a ==,所以22232637335522a a a a a a a a a ++=++22235()11)8a a =+===,选C ．6.市内某公共汽车站6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 A ．48 B ．54 C ．72 D ．846.【答案】C 根据题意,先把3名乘客进行全排列,有336A =种排法,排好后,有4个空位,再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中,有2412A =种排法,则共有61272⨯=种候车方式,选C ．7.已知1122log (4)log (32)x y x y ++<+-,若x y λ-<恒成立, 则λ的取值范围是A ．(],10-∞B ．(),10-∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞7.【答案】C 要使不等式成立,则有40320432x y x y x y x y ++>⎧⎪+->⎨⎪++>+-⎩,即403203x y x y x ++>⎧⎪+->⎨⎪<⎩,设z x y =-,则y x z =-.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线y x z =-,由图象可知当直线y x z =-经过点B 时,直线的截距最小,此时z 最大,由403x y x ++=⎧⎨=⎩,解得73y x =-⎧⎨=⎩,代入z x y =-得3710z x y =-=+=,所以要使x y λ-<恒成立,则λ的取值范围是10λ≥,即[)10,+∞,选 C ．8.已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M∈,存在22(x ,y )M∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+}; ③M={2(x,y )|y log x =};④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④8. 【答案】D①1y x=是以,x y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x 1,y 1)∈M,不存在(x 2,y 2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x 1,y 1)∈M,在另一支上也不存在(x 2,y 2)∈M,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.②{(,)sin 1}M x y y y x ===+,如图在曲线上,两点构成的直角始存在,所以{(,)sin 1}M x y y y x ===+是“垂直对点集”.对于③2{(,)log }M x y y x ==,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M (0,1)-,N 2(log 2,0),满足“垂直对点集”的定义,所以正确.对于④{(,)2}x M x y y e ==-,如图取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选 D ．二、填空题：本大题7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=__________.410．曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 .31y x =+11.执行右边的程序框图6，若8.0=p ，则输出的n ＝ . 11：412．在（281)x x-的展开式中，x 的系数是 .（用数字作答） 12.解析：由展开式的第1r +项为：2(8)163188(1)(1)r r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-所以x 的系数为：558(1)56C -=-图613．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过其左焦点1F 作x 轴的垂线交双曲线于B A ,两点，若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为 . 13. （1，2）解析：由题知：22|AB|=b a2AA B ∠为钝角若使双曲线右顶点在以AB 为直径 的圆内则应有：2142AA F ππ∴<∠<12112||tan 1||AF AA F F A ∴∠=>112||1||AF F A ∴>22b a ac ∴>+ 220e e ∴-->21e e ∴><-或又1e >, 2e ∴> . 故选A14.研究问题:“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为(1,2),解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”,有如下解法:由0)1()1(022>+-⇒>+-x c x b a c bx ax ,令xy 1=,则)1,21(∈y ,所以不等式02>+-a bx cx 的解集为），（121.类比上述解法,已知关于x 的不等 式0k x bx a x c++<++的解集为(2,1)(2,3)--,则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解 集为__________.14.【答案】），（），（1213121⋃-- 【 解析】关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--,用1x-替换x ,不等式可化为,1()101111()()bk kx bx x ax cx a c x x-+-+=+<---+-+,因为1(2,1)(2,3)x -∈--,所以112x <<或1123x -<<-,即不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为），（），（1213121⋃--. 15. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．15.2，2(1. 三、解答题：本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知a B c C b A =---=)4sin()4sin(,4πππ.(Ⅰ)求B 和C ；(Ⅱ)若22=a ,求ABC ∆的面积.16.【答案】解:(Ⅰ)由sin()sin(),44ππ---=C b c B a 用正弦定理得sin sin()sin sin()sin .44ππ---=C C B B A∴sin )sin )--=C C C B B B 即sin cos cos sin 1,-=C C B B ∴sin() 1.-=C B ∵30,4＜＜π，C B ∴33,44π＜＜π--C B ∴2π-=C B . 又4A =π,∴34π+=C B , 解得5,.88ππ==C B ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)5,88ππ==C B ,由正弦定理,得sin 54sin .sin 8a B b A ===π ∴ABC ∆的面积115sin 4sin sin 2288ππ==⨯C S ab5sin sin 8888==ππππ2.4==π……………………12分17. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 与BDEF均为菱形，︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅱ）求二面角B FC A --的余弦值．17. （Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ．………………3分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………5分 （Ⅱ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………6分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -． 所以(3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………8分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………10分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,5⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………12分 18. （本小题满分12分）现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各3根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号),从中随机抽取n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的,19n ≤≤),再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.(Ⅰ)当3n =时,记事件A ={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等},求()P A ; (Ⅱ)当2n =时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求ξ的分布列; ②令21ηλξλ=-++,()1E η>,求实数λ的取值范围.18.【答案】解:(Ⅰ)事件A 为随机事件,121336399()14C C C P A C == ……………………4分 (Ⅱ)①ξ可能的取值为2,3,4,5,623291(2)12C P C ξ=== 1133291(3)4C C P C ξ===211333291(4)3C C C P C ξ+=== 1133291(5)4C C P C ξ===23291(6)12C P C ξ===∴ξ的分布列为:………………8分②11111()2345641243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………9分 21ηλξλ=-++,2()()1E E ηλξλ∴=-++241λλ=-++()1E η>,2141104λλλ∴-++>⇒<<……………………12分 19. （本小题满分13分）某幼儿园准备建一个转盘,转盘的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连。
2014年雅礼中学高中理科实验班初升高招生数学真卷（一）（满分：100分，时间90分钟）第I 卷 （选择题 共25分）一、选择题（本题共5个小题，每小题5分，满分25分。
）1、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且060COA ∠=。
设扇形AOC 、COB 、弓形BmC 的面积分别为123,,,S S S 则他们之间的大小关系是（ ） （第1题）A. 123S S S <<B. 213S S S <<C. 132S S S <<D. 321S S S <<2、如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）A 、253490x y x y y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩B 、253490x y x y y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩C 、253490x y x y x +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩D 、253490x y x y x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（第2题图）3、正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=，设p =+ ）A. 5p >B. 5p =C. 5p <D. p 与5的大小关系不确定4、函数2y ax bx c =++图像的大致位置如图所示，则,,2,ab bc a b +22(),a c b +-2222(),a b c b a +--等代数式的值中，正数有（ ）A. 2个B. 3个C.4个D.5个5、图示某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段， （第4题图）单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车俩数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的机动车辆数相等），则123,,x x x 的大小关系为（ ）A. 123x x x >>B. 132x x x >> （第5题图）C. 231x x x >>D. 321x x x >>第II 卷 （非选择题 共75分）二、填空题（本题共10个小题，每小题6分，满分60分）6、已知不等式30ax +≥的所有正整数解为1,2,3, 则a 的取值范围是 。
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。
湖南省雅礼中学2014届高三第六次月考试题（物理）分值：110分 时量：90分钟一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每个小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不选的得0分）1．如图所示，四根相同的轻质弹簧连着相同的物体，在外力作用下做不同的运动：（1）在光滑水平面上做加速度大小为g 的匀加速直线运动；（2）在光滑斜面上作向上的匀速直线运动；（3）做竖直向下的匀速直线运动；（4）做竖直向上的加速度大小为g 的匀加速直线运动，设四根弹簧伸长量分别为△l 1、△l 2、△l 3、△l 4，不计空气阻力，g 为重力加速度，则（ ）A ．△l 1=△l 4B ．△l 3＜△l 4C ．△l 1＞△l 4D ．△l 2＞△l 32．如图，对斜面上的物块施以一个沿斜面向上的拉力F 作用时，物块恰能沿斜面匀速上滑．在此过程中斜面相对水平地面静止不动，物块和斜面的质量分别为m 、M ，则（ ）A ．地面对斜面的支持力等于( M + m)gB ．地面对斜面的支持力小于( M + m)gC ．斜面受到地面向左的摩擦力为mgsinθ–FD ．斜面受到地面的摩擦力为零3．同步卫星离地球球心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度大小为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R 。
则() ① a 1:a 2=r :R② a 1:a 2=R 2:r 2③ v 1：v 2=R 2:r 2④r R v v 21::A 、①③B 、②③C 、①④D 、②④4．如图所示，弹簧被质量为m 的小球压缩，小球与弹簧不粘连且离地面的高度为h ，静止时细线与竖直墙的夹角为，不计空气阻力。
现将拉住小球的细线烧断，则关于小球以后的说法正确的是（ ）A ．直线运动B ．曲线运动C ．绳子烧断瞬间的加速度为D ．落地时的动能等于mgh5．如图所示，四个相同的表头分别改装成两个安培表和两个伏特表。
2014年湖南省长沙市雅礼中学高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.设集合P={x|-1＜x≤2}，Q={x|x-1＞0}，则P∩Q=（）A.{x|-1＜x＜1}B.{x|1＜x≤2}C.{x|-1＜x≤2}D.{x|x＞-1}【答案】B【解析】解：根据集合Q中的不等式x-1＞0，解得x＞1，然后把两个解集画在数轴上如图所示：则P∩Q={x|1＜x≤2}故选B求出集合Q中的不等式的解集，然后利用数轴求出两集合的交集即可．本题是以数轴为工具，考查了两集合交集的求法，是一道基础题．2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A．将代入可得y=≠±1，排除A；B.≠π，排除B．C．将代入，y=≠±1，排除C．故选D．根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的对称性．属基础题．3.抛物线y=-4x2的准线方程是（）A. B.x=1 C.y=1 D.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得x2=-y，∴p=∵抛物线方程开口向下，∴准线方程是y=故选D先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．4.已知复数z=（a2-1）+（a-2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】解：当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数．当复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i是一个纯虚数时，a2-1=0且a-2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．当a=1时，复数z=（a2-1）+（a-2）i=-i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．5.已知向量=（2，3），=（-1，2），若m+n与-2共线，则等于（）A.-B.C.-2D.2【答案】A【解析】解：∵m+n=（2m-n，3m+2n），-2=（4，-1），m+n与-2共线，∴（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，∴-14m=7n，则=-，故选A．求出m+n与-2的坐标，根据m+n与-2共线可得（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，化简求得的值．本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（2m-n）（-1）-4（3m+2n）=0，是解题的关键．6.阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/112第一圈是123第二圈是235第三圈是358第四圈是5813第五圈是81321第六圈否此时=故答案为：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x，y的值，最后输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率和频数分别为（）A.0.4，12B.0.6，16C.0.4，16D.0.6，12【答案】A【解析】解：∵小长方形的高的比等于面积之比∴从左到右各组的频率之比为2：4：3：1，∵各组频率之和为1∴第二组的频率为1×=∵样本容量为30∴第二组的频数为30×=12故选A因为直方图中各个小长方形的面积即为各组的频率，且频率之和为1，故由已知比例关系即可求得第二组的频率，乘以样本容量即为频数本题考查了用样本估计总体的分布的方法，频率分布直方图的意义和运用，频率、频数的概念和计算8.如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（-x2）dx=故选：C联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．9.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A.12B.16C.24D.32【答案】C【解析】解：将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A33=6根据分步计数可得共有4×6=24故选C．由题意知将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2，空位无差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，最后进行三个人排列．此题类似于“5位女生与3位男生站成一排，要求女生左右两边都有男生”这道题，故用插空法．但又不完全相同，因为5个空位没有什么不同，无须把5个空位全排列．10.一只蚂蚁从长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（）A.24B.6C.12D.9【答案】C【解析】解：由题意，设a＞b，c时最短距离为=6，∴36-a2≥4bc，∴V=abc≤，设f（a）=（a＞0），则f′（a）=9-a2，∴f（a）在x=2处取最大值，∴体积的最大值为12．故选：C．利用沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，建立函数关系，即可长方体体积的最大值．本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了数学转化思想方法，解答的关键是得出V=abc≤，是中档题．二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)11.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE= ______ ．【答案】【解析】解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．12.已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为______ ．【答案】（1，）【解析】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．13.已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B=，，，则集合A∩B= ______ ．【答案】{x|-2≤x≤5}【解析】解：集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，所以A={x|-4≤x≤5}；集合，，，，，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥-2}，所以A∩B={x|-4≤x≤5}∩{x|x≥-2}={x|-2≤x≤5}，故答案为：{x|-2≤x≤5}．求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14.已知平面区域，，，，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为______ ．【答案】【解析】解：构成试验的全部区域为Ω为图中的三角形ABC，A（-1，0）B（1，0）C（1，2），面积为基本事件点P落在区域M为图中的△ABM，面积为代入几何概率的计算公式可得P=故答案为：先利用线性规划的知识作出平面区域Ω，M，根据图象分别计算面积，然后代入几何概率的计算公式可求本题考查了与面积有关的几何概率的求解，还考查了不等式表示平面区域及平面区域的面积求解，属于综合试题．15.设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个，若函数f（x）=min{3-log2x，log2x}，则满足f（x）＜1的x的集合为______ ．【答案】（0，2）∪（16，+ ）【解析】解：①当3-log2x＜log2x时即x＞4时f（x）=3-log2x②当3-log2x＞log2x时即x＜4时f（x）=log2x∴f（x）＜1当x＞4时f（x）=3-log2x＜1此时：x＞16当x＜4时f（x）=log2x＜1此时：0＜x＜2，综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+ ）．故答案为：（0，2）∪（16，+ ）．先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．本题是一道新定义题，首先要根据定义求得函数，再应用函数解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．16.设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）曲线y=sinx的“上夹线”方程为______（2）曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为______ ．【答案】y=1；y=mx+n【解析】解：（1）∵y=sinx≤1，要使直线l与曲线S相切且至少有两个切点且对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则需要g（x）=1，故曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1．（2）推测y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，①先检验直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点．设F（x）=mx-nsinx，则F′（x）=m-ncosx，令F′（x）=m，得x=2kπ±，（k∈Z），当x=2kπ-时，F（2kπ-）=m（2kπ-）+n，故过曲线F（x）上的点（2kπ-，m（2kπ-）+n）的切线方程为y-[m（2kπ-）+n]=m[x-（2kπ-）]，化简得：y=mx+n，即直线y=mx+n与曲线y=mx-nsinx相切且有无数个切点．不妨设g（x）=mx+n，∵g（x）-F（x）=n（1+sinx）≥0（n＞0），∴g（x）≥F（x）∴直线y=mx+n是曲线y=mx-nsinx的“上夹线”．故答案为：y=1，y=mx+n（1）根据y=sinx≤1即夹线的定义推断曲线y=sinx的“上夹线”方程为y=1并加以检验．（2）先推测出y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y=mx+n，利用导函数和错差法分别对直线y=mx+n与y=mx-nsinx相切，且至少有两个切点和g（x）≥F（x）进行检验．本题主要考查了函数与方程的综合运用．考查了学生推理和分析的能力．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2-c2）=3ab；（1）求；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）∵a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵A+B=π-C，∴===；（2）∵a2+b2-c2=ab，且c=2，∴a2+b2-4=ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab-4，∴ab≤8，∵cos C=，∴sin C===，∴S△ABC=absin C≤，当且仅当a=b=2时，△ABC面积取最大值，最大值为．【解析】（1）利用余弦定理表示出cos C，将已知的等式两边除以2变形后代入表示出的cos C 中，化简即可求出cos C的值，然后由三角形的内角和定理得到A+B=π-C，把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简得到关于cos C的式子，把cos C的值代入即可求出值；（2）把c=4代入已知的等式，得到一个关于a与b的关系式，由基本不等式a2+b2≥2ab，求出ab的最大值，然后由cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sin C的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式及三角形的面积公式．要求学生熟练掌握三角函数的恒等变换公式，同时注意灵活变换已知的等式，利用整体代入的数学思想解决问题．18.某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10人．（Ⅰ）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；（Ⅱ）该地区9月份（共30天）该病毒新感染者共有多少人？【答案】解：（Ⅰ）由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，所以9月10日的新感染者人数为a10=40+（10-1）×40=400（人），所以9月11日的新感染者人数为a11=400-10=390（人）．（Ⅱ）9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：（人），9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，所以后20天新感染者人数和为=5900（人），所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200+5900人．【解析】（Ⅰ）该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项a1=40，公差d=40的等差数列，由此能求出求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数．（Ⅱ）9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差d1=-10的等差数列，由此能求出该地区9月份流感病毒的新感染者人数．本题考查数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的灵活运用．19.如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°；（1）在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．【答案】解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=CD，且MN∥CD，∴MN=AB，MN∥AB∴ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又PA=AD，∠PAD=90°∴AN⊥PD，又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，∴BM⊥面PCD，（2）延长CB交DA于E，∵AB=CD．AB∥CD∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；在△PCD中，PD=AD，CD=2AD；∴tan∠CPD=．【解析】（1）令M为PC的中点，设PD中点为N，通过证明BM∥AN，AN⊥面PCD，即可在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．（2）延长CB交DA于E，说明∠CPD为二面角C-PE-D的平面角，在△PCD中，求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．本题考查空间直线与平面垂直，二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力．20.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．由题意，得．即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，∴，，，．∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望．【解析】（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．（2）用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．21.已知椭圆＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得（6分）∵x1=-，∴，∴，∴，（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分），，，（12分）则由得，从而得m=0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）【解析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．（2）设M（2，y0），P（x1，y1），则，，，，直线CM：，即，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，，，，再由得，由此可知存在Q（0，0）满足条件．本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．22.已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞-1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．【答案】解：（1）令h（x）=ln（1+x）-，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kxg″（x）=-2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+ ）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+ ）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②-1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（-1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（-1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于-1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞-1且x≠0时，有f（x）＜．【解析】（1）令h（x）=ln（1+x）-，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+ ）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx2，则g′（x）=ln（1+x）-2kx，从而g″（x）=-2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②-1＜x＜0时，从而证出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.满足ii z z +=(i 为虚数单位)的复数z =( ) A.11i 22+ B.121i 2- C.11i 22-+ D.11i 22-- 【测量目标】复数的四则运算【考查方式】给出一个复数分式，求复数z 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知i z +=z i ，所以z =(z +1)i,令z =a +b i,经化简可知1a b a b =-⎧⎨=+⎩，所以a =12,b =12-,即z =121i 2-,故选B. 2.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则( )A.123p p p =<B.231p p p =<C.123p p p =<D.123p p p ==【测量目标】随机抽样的概率【考查方式】根据三种不同的方法，计算每种概率比较概率的大小 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.3.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )- g (x )=321x x ++,则f(1)+g (1)=( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 【测量目标】对数奇偶性【考查方式】根据函数的奇偶性，先求出f (x ),g (x )的表达式，再求值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (x )= f (-x ),g (-x )= -g (x )，即()()()f x f xg x g x =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩（），联立()()()323211f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩（）,得出f (x )=21x +，g (x )=-3x ，所以f(1)+g (1)=2-1=1，故选C. 4.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20 【测量目标】二项式定理【考查方式】根据二项式展开式求其某项的系数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】根据()()5551C 22rrrr r x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为()23351C 22⎛⎫- ⎪⎝⎭= -20，故选A. 5.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则22x y >在命题:①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 【测量目标】非、或、且，真假命题【考查方式】给出命题的关系，判断真假命题 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知p 是真命题，q 是假命题，再根据逻辑关系得出②③是真命题，故选C. 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于()第6题图 LLJ64A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-【测量目标】循环结构流程图【考查方式】给出循环结构图，分析每一次是否满足条件，得出最终答案 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】当[)2,0t ∈-时，运行程序如下，(]2211,9t t =+∈，S =t -3(]2,6∈-,当t ∈[]0,2时，S =t -3[]3,1∈--，则S ∈(]2,6- []3,1--=[]3,6-，故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()第7题图 LLJ65A.1B.2C.3D.4 【测量目标】几何体的体积【考查方式】给出三视图，还原成实物体，求出体积，再求能得到的最大球的半径 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则8-r +6-r =2286r +⇒=2,故选B.8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.()()1112p q ++- C.pq D.()()111p q ++-【测量目标】增长率【考查方式】给出第一年和第二年的增长率，计算平均增长率 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由()()11p q ++=(1+x )2,1+x =()()11p q ++所以x =()()111p q ++-,故选D.9.已知函数f (x )=sin(x -ϕ),且2π30⎰f (x )dx =0,则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A.5π6x =B.7π12x =C.π3x =D.π6x =【测量目标】积分，对称轴，三角函数【考查方式】给出积分的值.求函数，在求出其对称轴 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由2π30⎰f (x )dx =0,可以得出cos ()2πcos 3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ϕ=π3，所以f (x )=sin(x -π3),因此一条对称轴为πππ32x k -=+(k ∈Z )所以5π6x =，故选A.10.已知函数f (x )=()2102x x e x +-<与g (x )=2x 21()2x f x x e =+-(x ＜0)与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.1(,)e -∞ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【测量目标】对称性【考查方式】根据函数的对称性，求参数的取值范围 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】由题可得函数f (x )的图象上存在点P (0x ，0x 2+0x e12-)(00x <)关于y 轴对称的点Q (-0x ，0x 2+0x e 12-)在函数2()ln()g x x x a =++的图象上，从而0212x x e +-=()()200ln x x a -+-+,即0x e -()0ln x a -+-12=0，问题等价于函数h (x )= 0xe -()0ln x a -+-12在x ∈(),0-∞存在零点.即a (),e ∈-∞二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线:2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)交于A ,B 两点，则||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 .【测量目标】直线与参数方程的位置关系，极坐标【考查方式】先求出交点坐标，在把交点转化为极坐标标 【参考答案】(cos sin )1p θθ-= 【难易程度】容易【试题解析】设直线方程y =x +b ,联立()()22211x y y x b⎧-+-=⎪⎨=+⎪⎩得出22x -2x (3-b )+4+2b -2b =0,由韦达定理12x x =2422b b +-，123x x b +=-，又有||2AB ==21k +21212()4x x x x +-，所以最后得出b =-1, 故直线方程x -y =1，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=.12.如图，已知AB,BC 是O 的两条弦，AO ⊥BC ,AB =3,BC =22,则O 的半径等于第12题图 LLJ66 【测量目标】勾股定理，双割线定理 【考查方式】在三角形中利用勾股定理 【参考答案】32【难易程度】容易【试题解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD =DC =2,由ABD △的勾股定理可得AD =1，由双隔线定理可得BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=2，则直线AE =3⇒32r =，故填32. 13.若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为{x |-53-<x <13}，则a = . 【测量目标】绝对值不等式【考查方式】给出不等式的解集，求参数 【参考答案】-3 【难易程度】容易【试题解析】由题可得5|2|3231|2|33aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：-3. (二)必做题(14－16题)14.若变量y x ，满足约束条件4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为-6，则k=_________.第14题图 LLJ67a【测量目标】线性规划【考查方式】给出不等式找出最优解，再求最大值 【参考答案】-2 【难易程度】容易【试题解析】作出不等式组4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………表示的区域，可以得出三条直线的交点(k ,k ),(4-k ,k ),(2,2),且,4y x x y +剟的可行域，所以k ≤2，则当(k ,k )为最优解时，3k =-6⇒k =-2,当(4-k ，k )为最优解时，2(4-k )+k =-6⇒k =14,因为k ≤2，所以k =-2，故填-2.15.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG ,的边长分别为a ,b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p =>经过C ,F 两点，则ba=.第15题图LLJ67【测量目标】抛物线【考查方式】根据抛物线的几何性质，得出两正方形的边长比 【参考答案】21+ 【难易程度】中等【试题解析】由C (2a ，-a )，F (2a +b ,b )，则22222a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩+1，故填21+. 16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()0,3B ,()3,0C ，动点D 满足||CD=1,则||OA OB OD ++的取值范围是 .【测量目标】平面向量的基本运算【考查方式】先求出圆的轨迹方程在设点，再利用平面向量的基本运算求出取值范围. 【参考答案】71,71⎡⎤-+⎣⎦【难易程度】较难【试题解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3+cos θ,sin θ) (θ∈[)0,2π),则||OA OB OD ++ =()()223cos 1sin 3θθ+-++=()822cos 3sin θθ++，因为2cos θ+3sin θ的取值范围为()()222223,23⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=7,7⎡⎤-⎣⎦, ()282717+=+=1+7，827-=()217-=71-，所以||OA OB OD ++的取值范围为71,71⎡⎤-+⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望 【难易程度】容易【测量目标】分布列和数学期望，概率【考查方式】由甲、乙成功概率，计算满足条件的概率，在画出分布列并计算数学期望 【试题解析】(I)记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知21(),()33P E P E ==，32(),()55P F P F ==,故所求的概率为P =()P F ()P E +()P E ()P F +()P E ()P F =1315.(Ⅱ)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=, 224(120)()3515P X P EF ===⨯=, 236(220)()3515P X P EF ===⨯=,故所求的分布列为:X0 100 120220P 215 315415615数学期望为2()015E X =⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==. 18. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD ,中，AD =1，CD =2，AC =7 (1)求cos CAD ∠的值；(2)若cos BAD ∠=714-,sin CBA ∠=216求BC 的长.第18题图LLJ68【难易程度】容易【测量目标】解三角形，余弦定理、正弦定理 【考查方式】给出边长利用余弦定理求边长【试题解析】(1)在ADC △中，由余弦定理，得222cos .2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅故由题设知，71427cos .727CAD +-∠==2sin 1BAD COS BAD ∠=-∠=273211().1414--=于是sin x =sin()BAD CAD ∠-∠ =sin cos BAD CAD ∠∠- cos sin BAD CAD ∠∠= 32127721()147147⋅--⋅=3.2在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC AC a CBA =∠, 故BC =37sin 23sin 216AC a CBA ⋅⋅==∠. 19. (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，AC BD =O ,1111AC B D =1O ,四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形. (1)证明：1O O ⊥底面ABCD(2)若°60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值.第19题图 LLJ69【难易程度】中等【测量目标】线线关系、线面关系，二面角【考查方式】由线线关系来证线面关系，再利用求二面角 【试题解析】(1)如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥.因为1CC ∥1DD ，所以1CC BD ⊥.而AC BD O = ，因此1CC ⊥底面ABCD.由题设知，1O O ∥1C C .故1O O ⊥底面ABCD .(2)如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，1O O ⊥底面ABCD ，所以1O O ⊥底面1111A B C D ，于是1O O ⊥11AC .又因为四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，所以111AC OB ⊥， 于是111OB O HC ⊥平面，进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设AB =2.因为60OCBA ∠=，所以3OB =，117OC OB ==，.在11Rt OO B △中， 易知11111327OO O B O H OB ⋅==.而111O C =，于是1C H =22111O C O H +=1219177+=. 故1111322577cos 19197O HC HO C H∠===.即二面角11C OBD --的余弦值为25719.第19题图 LLJ70 20. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足1a =1,|1n n a a +-|=np ,*n ∈N(1)若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a ,成等差数列，求p 的值；(2)若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【难易程度】中等【测量目标】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式【考查方式】由数列的单调性，求出数列的通项公式,由等差数列性质求参数p【试题解析】解(1)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p ==,当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.(2)由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①,但2211122n n -<，所以212221a a a a n n n n -<-+-②,由①②知，2210n n a a -->，因此222121211(1)()22n nn n n a a -----==③，因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n nna a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n n a a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1 (222)nn --=+-++111()1211212n ---=+⋅+141(1)332n n --=+⋅.故数列{}n a 的通项公式为141(1)332n n n a --=+⋅. 21. (本小题满分13分)如图，O 为坐标原点，椭圆221:221x y C a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222:221x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e .已知1232e e =且|24F F |=31-(1)求1C ,2C 的方程；(2)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.第21题图LLJ71【难易程度】较难【测量目标】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值 【考查方式】先求出曲线标准方程，在利用直线与曲线的关系解决第二问【试题解析】(1)因为1232e e =，所以222232a b a b a a -+⋅=，即44434a b a -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ，于是24331b b F F -==-，所以1b =，22a =.故12,C C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -,故可设直线AB 的方程为1x my =-.由221,12x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(2)210m y my +--=,易知此方程的判别式大于0. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+,因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222(,)22mM m m -++，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22,212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22(2)4m x -=，所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m =-，从而22224222m PQ x y m+=+=-.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+.因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而2122(2)24m y y d m +-=+,又因为2121212()4y y y y y y -=+-=222212m m ⋅++，所以2222124m d m ⋅+=+.故四边形APBQ 的面积 222122132221222m S PQ d mm ⋅+=⋅==⋅-+--.而2022m <-…，故当0m =时，S 取得最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.第21题图LLJ7222. (本小题满分13分)已知常数0a >，函数f (x )=ln(1+ax )22xx -+. (1)讨论f (x )在区间()0,+∞上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点12,x x 且()()120f x f x +>求a 的取值范围. 【难易程度】较难【测量目标】函数单调性，极值，导数的性质与应用【考查方式】利用求导证明单调性，由不等式求出参数【试题解析】(1)f '()1a x ax =+22(2)2(2)x x x +--+=224(1)(1)(2)ax a ax x +-++,当a …1时，此时()f x 在区间()0,+∞上单调递增.当0＜a ＜1时，由'()f x ＜0得112a x a -=(212a x a-=-舍去).当x ∈(0，1x )时'()f x ＜0；当x ∈11(,)x x ∈+∞时，'()f x ＞0,故()f x 在区间(0，1x )上单调递增，在区间(1x ，+∞)上单调递增.综上所述:当a …1时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，()f x 在区间(0，12a a -)上单调递减，在区间(12a a-，+∞)上单调递增.(2)由(1)式知.当a …1，'()f x …0，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有0＜a ＜1.又()f x 的极值点只可能是1x =12a a -和2x = -12a a-，且由()f x 的定义可知，x ＞1a -且x ≠—2，所以12a a -＞1a -.12a a-≠—2，解得a ≠12.此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1()f x +2()f x =ln(1ax +)-122x x ++ln(1+2ax )-222x x + =()21212ln 1a x x a x x ⎡⎤+++⎣⎦-()()121212124424x x x x x x x x +++++=ln ()221a -—()4121a a --= ln ()221a -+2221a --,令2a -1=x ,由0＜a ＜1且a ≠12知:当0＜a ＜12时,-1＜x ＜0; 当12＜a ＜1时.0＜x ＜1.记g (x )=ln 2x +2x -2.(i)当-1＜x ＜0时，g (x )=2in(-x )+ 2x -2，所以g '(x )=2x -22x =222x x -＜0.因此，g (x )在区间(-1,0)上单调递减，从而g (x )＜g (-1)=-4＜0，故当0＜a ＜12时，1()f x +2()f x ＜0.(ii)当0＜x ＜1时，g (x )=2ln x +2x -2,所以()222g x x x'=-<0,因此.g (x )在区间(0,1)上单调递减，从而g (x )＞g (1)=0. 故当12＜a ＜1时，1()f x +2()f x ＞0,综上所述.满足条件的a 的取值范围为(12，1).。
