二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。

本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。

一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。

顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。

三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。

对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。

四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。

焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。

焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。

准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。

准线的方程也可通过复杂的计算得到。

五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。

其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。

根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。

六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。

以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。

2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。

3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。

七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。

二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。

2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。

⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。

基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。

5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。

7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。

初中二次函数知识点归纳二次函数的顶点坐标公式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)二次函数的三种表达式二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)二次函数的交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)二次函数的性质(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0, c)。

二次函数与图像的关系(一)a与图像的关系1.开口方向当a>0时，开口向上。

当a<0时，开口向下，2.开口大小|a|越大，图像开口越小。

|a|越小，图像开口越大。

(二)b与图像的关系当b=0时，对称轴为y轴。

当ab>0时，对称轴在y轴左侧。

当ab<0时，对称轴在y轴右侧。

(三)c与图像的关系当c=0时，图像过原点。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

二次函数的对称轴公式二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

二次函数的图像及其三种表达式学生：时光：进修目的1.熟习罕有的二次函数的图像;2.懂得二次函数的三种表达式常识点剖析1..二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）极点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的极点P（h,k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B （x2,0）的抛物线]2.一般地,自变量x和因变量y之间消失如下关系：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0,且a决议函数的启齿偏向,a>0时,启齿偏向向上,a<0时,启齿偏向向下,IaI还可以决议启齿大小,IaI越大启齿就越小,IaI越小启齿就越大.）则称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边平日为二次三项式.例题精讲例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象经由点（3,2）．（1）求这个函数的表达式;（2）画出它的图象,并指出图象的极点坐标;（3）当x＞0时,求使y≥2的x的取值规模．例题2.一次函数y=2x＋3,与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m,5）和B（3,n）两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式;（2）在统一坐标系中画出两个函数的图象;（3）从图象上不雅察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值？ 随堂演习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－ab 2＜1 B ．0＜－ab 2＜2 C ．1＜－ab 2＜2D ．－a b2=1图①图②y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的情势是A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－1y =－2x 2－x +1的极点在第_____象限m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的极点都y =xy =－x 上 xy 轴上n ,得到不合的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论：①启齿偏向都雷同;②对称轴都雷同;③外形都雷同;④都有最低点,个中断定准确的个数是y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经由下列四点中A.(－1,1)B.(1,－1)C.(－1,－1)D.(1,1)图37.下列说法错误的是y =－2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0 y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大y =2x 2,yx 2,y =－x 2中,y =2x 2的图象启齿最大,y =－x 2的图象启齿最小a 是正数照样负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的极点必定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0,则k 的值是A.43 B.－43C.45D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上,依横坐标找到三点(－1,y 1),(21,y 2), (－321,y 3),则你以为y 1,y 2,y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的极点坐标是______.11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后,所得抛物线的极点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象极点为(－2,3),且过(－1,5),则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点,则此抛物线的极点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示,答复：（1）这个二次函数的表达式是; （2）当x=时,y=3;16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示,答复：（1）这个二次函数的表达式是; （2）当x=时,y=3;（3）依据图象答复：当x 时,y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0,5）上方,则k 的取值规模是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子,要想使铁丝框的面积最大,边长分离为．19．若两个数的差为3,若个中较大的数为x,则它们的积y 与x 的函数表达式为,它有最值,即当x=时,y=．20．边长为12cm 的正方形铁片,中央剪去一个边长为x 的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 经由过程一个定点,这个定点的坐标为．23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经由点（a,－41）和（－a,y 1）,则y 1的值是．24．如图,图①是棱长为a 的小正方体,②.③是由如许的小正方体摆放而成,按照如许的办法持续摆放,由上而下分离叫第一层.第二层……第n 层,第n 层的小正方体的个数记为S,解答下列问题：（1）按照请求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时,S=．（3）依据上表中的数据,把S作为纵坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出响应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？假如在某一函数的图象上,求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,岁首?年月上市后,公司阅历了从吃亏到盈利的进程．图中二次函数图象（部分）描绘了该公司岁首?年月以来累积利润S（万元）与发卖时光t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．依据图象供给的信息,解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标,求累积利润S（万元）与时光t（月）之间的函数表达式;（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;（3）求第8个月公司所获利润是若干万元？。

二次函数的图像及性质知识点1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx+。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k= 。

当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？▲（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。

二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它是数学中的重要内容，在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。

一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式，即y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c是常数，而x是自变量。

二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。

二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

b、c的值会影响函数图像的位置和形状，b 决定了抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点。

2. 零点二次函数的解析式中，y=0对应的x的值即为二次函数的零点。

我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。

当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时，二次方程有两个不同的实根；当Δ = 0时，二次方程有两个相同的实根；当Δ < 0时，二次方程没有实根。

3. 极值点当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

这个点也被称为函数的顶点。

通过求解二次函数的极值点，我们可以进一步确定函数图像的形状。

4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a。

这意味着函数图像关于对称轴对称。

这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。

三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中，抛体运动的轨迹是一个抛物线。

通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数，可以建立物体运动的二次函数模型，从而求出对象的运动轨迹。

2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用来描述企业的生产成本。

二次函数可以用来建立成本函数模型，分析生产成本与产量之间的关系，从而帮助企业进行经济决策。