二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、•二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

例题精讲2例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(b b b b——=12a 21 2A. y= (x—1) +22 B.y=1 (x—1) 2+2 21 2 1 2C.y =丄(x — 1)2-3D.y =l (x +2)2- 12 23. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限A. 一B. 二C.三D.四4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =-x 上C.在x 轴上D.在y 轴上25. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是A.1个B.2 个C.3 个D.4 个6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中,-1)C.(-1,- 1) D.(1 , 1)7. 下列说法错误的是A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大2 2 2 2 . . 2 . .C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开 口最小D. 不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是219. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),(-213丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为2A. y 1 >y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 11 210. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .211. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .4 212. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .313. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;A.( - 1, 1)B.(1 B.C.D.(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁 片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .424. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的 方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记 为S,解答下列问题：(1)按照要求填表:n1234s1 3 6(2) 写出当n=10时，S= __________ .(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的点.(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式.25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间a由(D ②(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

二次函数的三种形式
二次函数是一类函数，它的定义域为实数集，形式为y=ax^2+bx+c（a≠0）。

二次函数的三种形式分别为：
原式形式：这是最常见的二次函数形式，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）。

在这种形式下，可以直接通过求解二次方程来求解函数的零点。

平移形式：这种形式通常是在原式形式的基础上进行平移得到的。

例如，二次函数y=x^2-2x+1可以通过平移得到y=(x-1)^2。

在平移形式中，函数的零点位置会发生变化。

顶点形式：这种形式的函数一般是通过将原式形式转化为y=a(x-h)^2+k的形式得到的。

在顶点形式中，函数的零点位置也会发生变化，同时会出现一个新的特征点——顶点。

顶点位置由(h,k)表示，表示函数图像的最高或最低点。

在使用二次函数时，我们通常会使用原式形式或顶点形式，因为这两种形式可以直接求出函数的零点或顶点。

但是，在某些情况下，平移形式也是有用的。

例如，在绘制函数图像时，可以使用平移形式来调整函数的位置，使得图像更美观。

总之，二次函数有三种形式，每种形式都有其特定的用途。

在使用二次函数时，我们要根据具体情况选择合适的形式，从而达到我们想要的结果。

初中二次函数知识点归纳二次函数的顶点坐标公式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)二次函数的三种表达式二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k 顶点坐标为(h,k)二次函数的交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于(x₁，0)和(x₂，0)二次函数的性质(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0, c)。

二次函数与图像的关系(一)a与图像的关系1.开口方向当a>0时，开口向上。

当a<0时，开口向下，2.开口大小|a|越大，图像开口越小。

|a|越小，图像开口越大。

(二)b与图像的关系当b=0时，对称轴为y轴。

当ab>0时，对称轴在y轴左侧。

当ab<0时，对称轴在y轴右侧。

(三)c与图像的关系当c=0时，图像过原点。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

二次函数的对称轴公式二次函数图像是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。

二次函数（注意图像辅助功能）1、二次函数的概念二次函数基本表示形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)，自变量为x,因变量为y 。

称为y 为x 的二次函数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

2、二次函数的三种表达式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0)顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 交点式：12()()y a x x x x =-- 即与x 轴有两个交点（x 1,0）(x 2,0)3、二次函数图像和性质对称轴：2b x a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点：（0，c ）a ——开口方向b ——对称轴与a 左同右异（可以用对称轴2b x a =-来判断） 4、二次函数的增减性在此类题目中通常用图形进行辅助作图（作图无需精美，只需要表达出开口方向，题目中已知的坐标需要经过，例如：对称轴、顶点、与x 轴交点、与y 轴交点或是给出的普通坐标）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小5.图像的平移当做到此类题目时，我们可以使用两种方法首先，我们在图像平移的过程中需要确认，图像的形状是没有改变的，也就是说图像的大小、开口方向及大小都未改变，所以a 是始终没有变动的（一般式中的a ）具体不太清楚可以画出出a 不同，其他相同的二次函数进行比较（例如可以观察y=4x 2与y=x 2之间的差异，实际上a 绝对值越大，开口越小，无需死记硬背，图形辅助记忆）一般图像平移有两种方法第一种：直接用一般式进行计算，因为a 未变，所以此式子有两个未知数，我们至少需要知道两个坐标进行计算，由原式找出两个比较简单的坐标，例如x=1、x=0、x=-1等整数带入得到原坐标，后将坐标也进行相应的平移操作，得到新坐标，带入新的二次函数，求得最终解。

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。

二次函数的图像及其三种表达式学生：时光：进修目的1.熟习罕有的二次函数的图像;2.懂得二次函数的三种表达式常识点剖析1..二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）极点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的极点P（h,k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B （x2,0）的抛物线]2.一般地,自变量x和因变量y之间消失如下关系：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0,且a决议函数的启齿偏向,a>0时,启齿偏向向上,a<0时,启齿偏向向下,IaI还可以决议启齿大小,IaI越大启齿就越小,IaI越小启齿就越大.）则称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边平日为二次三项式.例题精讲例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象经由点（3,2）．（1）求这个函数的表达式;（2）画出它的图象,并指出图象的极点坐标;（3）当x＞0时,求使y≥2的x的取值规模．例题2.一次函数y=2x＋3,与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m,5）和B（3,n）两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式;（2）在统一坐标系中画出两个函数的图象;（3）从图象上不雅察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值？ 随堂演习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－ab 2＜1 B ．0＜－ab 2＜2 C ．1＜－ab 2＜2D ．－a b2=1图①图②y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的情势是A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－1y =－2x 2－x +1的极点在第_____象限m 取任何实数,抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的极点都y =xy =－x 上 xy 轴上n ,得到不合的抛物线y =2x 2+n ,如当n =0,±2时,关于这些抛物线有以下结论：①启齿偏向都雷同;②对称轴都雷同;③外形都雷同;④都有最低点,个中断定准确的个数是y =x 2+p x +q 中,若p+q=0,则它的图象必经由下列四点中A.(－1,1)B.(1,－1)C.(－1,－1)D.(1,1)图37.下列说法错误的是y =－2x 2中,当x =0时,y 有最大值是0 y =4x 2中,当x >0时,y 随x 的增大而增大y =2x 2,yx 2,y =－x 2中,y =2x 2的图象启齿最大,y =－x 2的图象启齿最小a 是正数照样负数,抛物线y =ax 2(a ≠0)的极点必定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0,则k 的值是A.43 B.－43C.45D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上,依横坐标找到三点(－1,y 1),(21,y 2), (－321,y 3),则你以为y 1,y 2,y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的极点坐标是______.11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后,所得抛物线的极点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象极点为(－2,3),且过(－1,5),则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点,则此抛物线的极点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示,答复：（1）这个二次函数的表达式是; （2）当x=时,y=3;16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示,答复：（1）这个二次函数的表达式是; （2）当x=时,y=3;（3）依据图象答复：当x 时,y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0,5）上方,则k 的取值规模是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子,要想使铁丝框的面积最大,边长分离为．19．若两个数的差为3,若个中较大的数为x,则它们的积y 与x 的函数表达式为,它有最值,即当x=时,y=．20．边长为12cm 的正方形铁片,中央剪去一个边长为x 的小正方形铁片,剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 经由过程一个定点,这个定点的坐标为．23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经由点（a,－41）和（－a,y 1）,则y 1的值是．24．如图,图①是棱长为a 的小正方体,②.③是由如许的小正方体摆放而成,按照如许的办法持续摆放,由上而下分离叫第一层.第二层……第n 层,第n 层的小正方体的个数记为S,解答下列问题：（1）按照请求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时,S=．（3）依据上表中的数据,把S作为纵坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出响应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？假如在某一函数的图象上,求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,岁首?年月上市后,公司阅历了从吃亏到盈利的进程．图中二次函数图象（部分）描绘了该公司岁首?年月以来累积利润S（万元）与发卖时光t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．依据图象供给的信息,解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标,求累积利润S（万元）与时光t（月）之间的函数表达式;（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;（3）求第8个月公司所获利润是若干万元？。

初中二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。

顶点式：y=a(x-h)^2；+k[抛物线的顶点P（h，k）]。

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线]。

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a。

三、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。

当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。

当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。

其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。

在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。

二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。

其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。

通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。

同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。

三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。

通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。

四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。

通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。

同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。

五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。

通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。

六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。

通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。

同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。

二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。

二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。