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必修四第二章 平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示.2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量数量积的运算性质2、难点：平面向量数量积的运算性质知识要点．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特例：a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |[预习自测]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32归纳反思能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10. 3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或72。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；2、会用向量数量积的公式解决相关问题；3、记住数量积的几个重要性质。
【使用说明与学法指导】先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】问题1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？问题2：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点）注意：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。
思考：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？数量积的符号由cos θ的符号所决定，完成下表：θ的范围 0°≤θ<90°θ=90° 0°<θ≤180°a ·b 的符号问题3：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos a θ叫做向量a 在b 方向上的投影；cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影.说明：如图，1cos OB b θ=. 向量投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ＝９０︒时投影为0；当θ = 180︒时投影为 -|b| 作图：（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cos α 的乘积。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义问题导学一、向量数量积的概念活动与探究1已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( )①|a ·b |＝|a ||b |⇔a ∥b ；②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |；③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |；④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |．A ．1B ．2C ．3D ．4迁移与应用1．已知下列命题：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③|a |·|b |＜a ·b ；④a ·a ·a ＝|a |3；⑤若向量a ，b 满足a ·b ＞0，则a 与b的夹角为锐角，其中判断为正确的是________．2．已知a ，b ，c 是三个向量，试判断下列说法的正误：(1)若a ·b ＝a ·c 且a ≠0，则b ＝c ；(2)若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3)若a ⊥b ，则a ·b ＝0；(4)向量a 在b 的方向上的投影是模等于|a ||cos θ|(θ是a 与b 的夹角)、方向与b 相同或相反的一个向量．对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．二、平面向量数量积的运算活动与探究2(1)已知|a |＝4，|b |＝5，且向量a 与b 的夹角为60°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )；(2)在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB ·AC ＝________． 迁移与应用1．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________．2．设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a ．(1)求a ，b 的数量积需已知三个量，即|a |，|b |，θ，其中确定角θ是关键，注意θ∈[0，π]．还要注意结合向量的线性运算．(2)求向量模时可用如下方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ；②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2．由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )．三、用平面向量数量积解决垂直问题活动与探究3已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b垂直？迁移与应用已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a ⊥b ⇔a·b ＝0．这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．当堂检测1．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－42．已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a －b |的值为( )A ．1B ． 3C ．2 3D ．3 23．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45°C ．135° D．150°4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．5．已知|b |＝5，a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)非零 |a ||b | cos θ 数量积 内积 a ·b(2)a b 投影 (3)0 (4)|a | |b |cos θ2．(1)b ·a (2)a ·b λb (3)a ·c ＋b ·c预习交流1 提示：不一定成立．∵若(a ·b )c ≠0，其方向与c 相同或相反，而(b ·c )a ≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 的方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．(1)a ·b ＝0 (2)|a ||b | －|a ||b | (3)|a | (4)≤预习交流2 提示：不一定．当a ⊥b 时，也有a ·b ＝0．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要对以上四个命题一一进行判断，依据有两个：一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．C 解析：①∵a ·b ＝|a ||b | cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 均为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或θ＝π，∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，则以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a ＋b |＝|a －b |．反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，∴a ⊥b ，因此命题③也是真命题；④当|a |＝|b |但是a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |．反过来，由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．故选C ．迁移与应用 1．①② 解析：对于①a 2＋b 2＝0，∴|a |2＋|b |2＝0，∴|a |＝|b |＝0，∴a ＝b ＝0．故①正确；对于②a ＋b ＝0，∴a 与b 互为相反向量，设a 与c 夹角为θ，则b 与c 夹角为π－θ，则a ·c ＝|a |·|c |cos θ，b ·c ＝|b |·|c |cos(π－θ)＝－|b |·|c |cos θ，∴|a ·c |＝|b ·c |，所以②正确；对于③|a ·b |＝|a |·|b ||cosθ|≤|a |·|b |，故③错误；对于④a ·a ·a ＝|a |2·a ，其结果为向量，故④错误；对于⑤当a 与b 为同向的非零向量时，a ·b ＝|a ||b |cos 0＝|a |·|b |＞0，但夹角不是锐角．故⑤错误．2．解：(1)∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，a ·c ＝|a ||c |cos θ′(其中θ与θ′分别是a ，b 的夹角及a ，c 的夹角)，因此由a ·b ＝a ·c 可得到：|b |cos θ＝|c |cos θ′，并不能得到|b |＝|c |及b ＝c ，∴(1)是错误的．(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝0可得a ＝0或b ＝0或 cos θ＝0，因此a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，不一定是a ＝0或b ＝0．故(2)也是错误的．(3)当a ⊥b 时，a ，b 的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0，故(3)是正确的．(4)向量a 在b 方向上的投影|a |cos θ(θ是a 与b 的夹角)只是一个数量，它虽然有正负，但没有方向，故不是向量，∴(4)也是错误的．活动与探究2 思路分析：利用向量数量积的运算律和性质求解．(1)解：(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2－4a ·b ＋9a ·b －6b 2＝6×42＋5×4×5×cos 60°－6×52＝－4．(2)－16 解析：AB ＝AM ＋MB ，AC ＝AM ＋MC ＝AM －MB ，∴AB ·AC ＝AM 2－MB 2＝－16． 迁移与应用 1． 3 解析：由已知a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝1×1×cos 2π3＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，∴|a ＋2b |＝3． 2．解：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2× 2 cos 120°＋2×2×cos 120°＋2× 2 cos 120°＝－3．活动与探究3 思路分析：利用向量垂直的性质，由(k a －b )·(a ＋2b )＝0可求出． 解：∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，∴k ＝1415， 即k 为1415时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直． 迁移与应用 解：由已知条件得(3)(75)0,(4)(72)0,+⋅-=⎧⎨-⋅-=⎩a b a b a b a b 即222271615=0,7308=0,⎧+⋅-⎪⎨-⋅+⎪⎩①②a a b b a a b b ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a||b|＝12b 2|b |2＝12． ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3．【当堂检测】1．D 解析：由已知a ＝－b ，∴a ·b ＝a ·(－a )＝－a 2＝－|a |2＝－4．2．C 解析：|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12．∴|a －b |＝12＝23．3．A 解析：∵(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，∴a ·b ＝32． 设夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝32，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°． 4．54 解析：由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0．整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54． 5．125 解析：a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝125．。
高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥ ；新知梳理：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则叫与的数量积，记作，即有  = ，（０≤θ≤π）. 并规定向量与任何向量的数量积为 .思考感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若  ，且  =0，不能推出 = .因cos有可能为02．“投影”的概念：作图：定义：| |cos叫做向量在方向上的投影. 思考感悟：投影不是向量，是一个数量。
当为锐角时投影为值；当为钝角时投影为值，当为直角时投影为；当=0时投影为| |；当 =180时投影为| |3．向量的数量积的几何意义：数量积  等于与 | |cos的乘积.4. 两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，(1)   (2)当与同向时， = ，当与反向时， 特别的：  =| |2或；|  |≤| || |；平面向量数量积的运算律①交换律：  = ②数乘结合律：( ) = (  ) =( )③分配律：( + ) =  +说明：（1）一般地，( ) ≠ （）（2）＝＝对点练习1．下列叙述不正确的是（）A. 向量的数量积满足交换律B. 向量的数量积满足分配律向量的数量积满足结合律D.  是一个实数2．| |=3，| |=4，向量 + 与 - 的位置关系为（）A.平行B.垂直夹角为 D.不平行也不垂直3.已知|m→|= ，n→=(cosθ,sinθ)，m→n→=9 ，则m→, n→的夹角为（）A.150ºB.120 º0 º D.30 º4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3．“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：5．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e r 是与b 同向的单位向量.1︒ e r ⋅b =b ⋅e r =2︒ a ⊥⇔a ⋅= 设a 、为两个非零向量，e 是a 与同向的单位向量.e r ⋅ =a ⋅e r =3︒ 当a 与同向时，a ⋅= 当a 与反向时，a ⋅ = 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ρρρ⋅=||4︒ cos θ =5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、提出疑惑：课内探究学案 一、学习目标 1说出平面向量的数量积及其几何意义； 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 学习重难点：平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程 创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？ 2、提出问题2：任意两个实数可以进行乘法运算，实数与向量可以进行数乘运算，那么任意两个向量是否也可以进行类似的运算呢？本节课我们来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：平面向量数量积的背景与含义1、给出有关材料并提出问题：（1）提出问题1：如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功：W=这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W （功）是 量，②F （力）是 量，③S （位移）是 量，④α是 。
（2）提出问题2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F 与s “数量积”.一般地，对于非零向量a 与b 的数量积是指什么？（3）提出问题3：对于两个非零向量a 与b 的数量积的运算结果是向量还是数量？（4）提出问题4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？（5）提出问题5：对于两个非零向量a 与b ，其数量积a ·b 何时为正数？何时为负数？何时为零？学生讨论，并完成下表：α的范围0°≤α<90° α=90° 0°<α≤180° a ·b 的符号2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为α，我们把数量 ︱a ︱·︱b ︱cos α叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a ·b ，即：a ·b = ︱a ︱·︱b ︱cos αSF α（2）定义说明： ①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
物理背景及含义 学习目标 2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式. 学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中θ是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
__________叫做向量a b 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非零向量：①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _，a 特别地，a ⋅a =______或a =___________。
③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。
①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。
问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=- 对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2b a ； ⑵()()=-⋅+b a b a .※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且与的夹角 120=θ，求a b ⋅.变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式2：若6a =，8b =，且a b ⊥，则a b ⋅是多少？变式3：若6a =，8b =，且a 与b 的夹角 60=θ，求()()32-⋅+。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）. 思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b = a 2+2a ·b +b 2. 解：（1）a ·b =|a ||b |cos120° =5×4×(-21)=-10. （2）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=25-2×10+16=21.(3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9.（4）（2a -b ）·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16 =-48. 温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2,（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .【例2】已知a 与b 的夹角为30°，且|a |=3,|b |=1,求向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦.思路分析：利用cos θ=||||q p qp ∙确定p ,q 的夹角，必先求pq 及|p ||q |，而求|p|及|q|利用模长公式|p |2=p 2,|q |2=q 2.解：∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+∙+b b a a ,|q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+∙-b b a a∴cos θ=77272||||==∙q p q p . 温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a |2=a 2及cos θ=||||b a ba ∙.（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】 已知|a |=4，|b |=3，a 与b 的夹角为120°，且c =a +2b ，d =2a +k b ，问当k 取何实数时，（1）c ⊥d;(2)c ∥d思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件. 解：设c 与d 的夹角为θ，则由已知,得 c ·d=（a +2b ）·（2a +k b ）=2a 2+（4+k ）a ·b +2k b 2=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k. |c |=|a +2b |=2244b b a a +∙+ =2834120cos 344422=⨯+︒⨯⨯+.|d |=|2a +k b |=22244b k b ka a +∙+ =2223120cos 34444⨯+︒⨯⨯∙+⨯k k =.642492+-k k ∴cos θ=.)64249(746||||2+-+=∙k k k d c d c(1)要使c ⊥d ，只要cos θ=0,即6k+4=0,∴k=-32. (2)要使c ∥d ,只需cos θ=±1,即)64249(72+-k =±(6k+4),解得k=4.综上，当k=-32时，c ⊥d ;当k=4时，c ∥d . 温馨提示两向量平行，夹角为0°或180°,故有a ·b =|a ||b |或a ·b =-|a ||b |.而两向量垂直，夹角为90°,所以a ·b =0,反之也成立. 3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 Rt△ABC 中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=23，求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.思路分析：只需求出向量与，与，与的夹角，利用数量积定义求解.解：∵∠A=∠C=45°,∴BC 与CA 夹角为135°,CA 与AB 夹角为135°,AB 与BC 夹角为90°. ∴·+·+·=BC ·CA +CA ·AB=3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.温馨提示正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。
数学与信息科学学院教案课题平面向量数量积的物理背景及其含义专业指导教师班级姓名学号2011年5月22日课 题：§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义教学目标(一)知识目标1、理解平面向量的数量积、投影的定义．2、掌握平面向量数量积的性质．3、了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题．(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.(三)情感目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态．教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.教学难点：平面向量数量积性质的探究.教学方法：导学讲评法,探究式,讲练结合法.教学准备：多媒体、彩色粉笔、直尺.课型：新授课.教学过程(一)复习引入通过回忆物理中物体做功，已知一个物体放在水平面上（如下图）(图1) (图2 )用两个不同方向的力拉着物体移动，根据物理知识知道(图1)中力所做的功W=S F ，(图2)中力所做的功θcos S F W =，在物理中功是一个标量，是由F 和S 这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F 和S 这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”.(二)合作探究结合物理学中功大小的定义θcos S F W =和前面我们说的把功看成是F 和S 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F 和S 这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义．1、数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作ba ⋅（注意：两个向量的运算符号是用“∙”表示的，且不能省略），用数学符号表示即θcos b a b a =⋅,（）︒≤≤︒1800θ .2、分析数量积的定义，得出一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅.3、θcos b a b a =⋅是由θcos S F W =的引出来的，而θcos S F W =是1F 所做的功，θcos 1F F =是F 在S 方向上的分力，那么在数量积中θcos a 叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影” ：a cosθ（b cosθ）叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上）的投影.4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义： 数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积．5、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在[]︒︒1800，，根据余弦函数的知识我们可以知道:当[)︒︒∈90,0θ时，0cos >θ，0>⋅b a ；当(]︒︒∈180,90θ时，0cos <θ，0<⋅b a .6、 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:ba b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ; b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ.我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos ．由此我们就可以得出θ的值.当0=⋅b a时,︒=⇒=900cos θθ．总结0=⋅⇔⊥b a b a . 特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅. 7、请判断的大小关系与b a b a ⋅． 解：因为1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，所以b a b a b a ≤=⋅θcos ．（三）例题讲解，巩固知识例1已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．解：根据数量积的定义:θcos b a b a =⋅=︒⨯⨯120cos 45 =5⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯214 =-10.（四）课堂练习练习 在边长为2的菱形ABCD 中，已知︒=∠60ABC ，求DC DB ⋅（注意它们的夹角）．解：根据数量积的定义有：θDC DB =⋅，由题意可知：︒=∠︒=∠=301202BDC BCD ，，；所以= =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⨯2122244 =32.所以︒=⋅30DC DB=23322⨯⨯=6．（五）课堂小结1 向量数量积的定义及投影的定义．2 向量数量积的几何意义．3 数量积的性质．（六）布置作业，反复练习(1)复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；(2)必做题：教科书P108，习题2.4 A组 2、6题；(3)选做题:教科书P108，习题2.4 B组 5题.（七）板书设计§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、复习引入 1、数量积的定义1、判断数量积的 1、例题2、规定的正负 2、练习题3、投影的定义 2、三个性质的探究4、数量积的几何 3、布置作业意义。
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高一数学第二章2。
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甘肃省永昌县第一中学高一数学：第二章2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2。
学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重点平面向量的数量积及其几何意义学习难点平面向量的数量积及其几何意义教学设计一、目标展示二、自主学习(一）复习:⑴向量加法和减法运算的两个法则是和 .⑵向量数乘运算的定义是。
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a 的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc a ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )．其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．向量数量积的性质(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；(3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )． 【做一做3－1】 在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________.【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________.【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12. 【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1.2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 π2 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0.【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】 0 cos θ＝a·b |a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a ，b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ；在向量的数乘中，若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；在实数的乘法中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.在向量的数量积中，a ·b ＝b ·c b ＝0或a ＝c 或b ⊥(a －c )；在向量的数乘中，λa ＝λb (λ∈R ) a ＝b 或λ＝0；在实数的乘法中，ab ＝bc a ＝c 或b ＝0.在向量的数量积中，(a ·b )c ≠a (b ·c )；在向量的数乘中，(λm )a ＝λ(m a )(λ∈R ，m ∈R )；在实数的乘法中，有(ab )c ＝a (bc )．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab 的几何意义就是数轴上ab 到原点的距离等于a ，b 到原点的距离的积．题型一 求向量的数量积【例1】 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(3a ＋b )的值为__________．反思：已知向量a 与b 的夹角为θ，且|a |＝m ，|b |＝n ，求(x a ＋y b )·(s a ＋t b )，其中x ，y ，s ，t ，m ，n ∈R ，且m ＞0，n ＞0，其步骤是：①先求a ·b ；②化简(x a ＋y b )·(s a＋t b )＝xs |a |2＋(xt ＋ys )a ·b ＋yt |b |2；③将a ·b ，|a |，|b |代入即可．题型二 求向量的长度【例2】 若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则|a ＋b |等于( )A ．3B ．2 2C ．10 D.10反思：已知不共线的向量a 与b ，求|x a ＋y b |(x ，y ∈R )时，其步骤是：①求a ·b ；②求|x a ＋y b |2＝x 2|a |2＋2xy a ·b ＋y 2|b |2；③求|x a ＋y b |.题型三 求两向量的夹角【例3】 已知|a |＝1，|b |＝4，(a －b )·(a ＋2b )＝－29，求a 与b 的夹角θ.分析：求出a ，b 的数量积a ·b ，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值． 反思：求向量a 与b 的夹角θ的步骤：(1)计算a ·b ，|a |，|b |；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |计算cos θ； (3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零．反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29， ∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12. 又0≤θ≤π，∴θ＝π3. 【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b 2＝－c 2，a ＋c 2＝－b2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2.因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12 D ．2 3．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0，∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0，所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |.3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-， 又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.(2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理知识点二 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？答案 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同. 梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ. (2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积.解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方. 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值. 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20. 类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， ① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3.若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513，又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 5.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |.5.两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.课时作业一、选择题1.已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( ) A.7 B.13 C.15 D.17答案 A解析 因为|a ＋b |2＝19，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝19， 所以2a ·b ＝19－4－9＝6，于是|a －b |＝|a －b |2＝4－6＋9＝7.2.已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C3.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4.若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A.－3B.－2C.2D.－1 答案 D解析 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a |＝a ·a B.|a·b |＝|a ||b | C.λ(a·b )＝λa·b D.|a·b |≤|a ||b | 答案 B解析 因为|a·b |＝||a ||b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a ||b ||cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a ||b |，故B 错.6.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π6]B.[π3，π]C.[π3，2π3]D.[π6，π]答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又∵0≤θ≤π， ∴π3≤θ≤π. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B 二、填空题9.设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 答案 －9210.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________. 答案 120°11.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 答案223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.12.已知向量a 在向量b 方向上的投影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________.答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉 ＝3×23＝2.13.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0. ∵cos C ＝45，cos A ＝35，∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C ) ＝4×5×(－45)＝－16.CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A ) ＝5×3×(－35)＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 三、解答题14.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算： (1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |. 解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a －2b |＝16. 四、探究与拓展15.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16.(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC ，→·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC ，→·AB →|BC →|＝－BA ，→·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.11。
