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【数学】函数的最大小值与导数 ppt课件

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函数的极值与导数函数的最大小值与导数PPT课件

函数的极值与导数函数的最大小值与导数PPT课件
第26页/共51页
• [例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， • (1)试求常数a、b、c的值； • (2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． • [解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0. • 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
• [点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求 解．
第21页/共51页
• 函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 • A．极大值为5，极小值为－27 • B．极大值为5，极小值为－11 • C．极大值为5，无极小值 • D．极大值为－27，无极小值 • [答案] C
，该函数在[a，b]上一定能够取得
连续不断的与曲线
，该函数在(a，b)内是
，该函数的最
值必在
最大值
最小值
取得．
可导的
• 3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
极值点或区间端点
• (1)如果在x0附近的左侧
，右侧
，那
么f(x0)是极
值；
f′(x)<0
f′(x)>0 大
第32页/共51页
• 而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. • 代入①式，得a(x2－1)＝0. • ∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2. • ∴a＝2，b＝0.
第33页/共51页x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、 b、c为常数．
• 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； • 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． • 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； • 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数， • 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.

函数的最值与导数公开课课件

函数的最值与导数公开课课件
为最小值点。
数学模型
假设成本函数为 (C(x)) ，其一阶导数为
(C'(x))。令 (C'(x) = 0) ，解得可能的极值点
(x_0)。
应用实例
例如，在物流运输中， 随着运输距离的增加， 运输成本逐渐上升。为 了最小化总成本，需要 找到使总成本最小的运 输距离点，即求解一阶
导数为零的点。
物体运动速度问题
分析物理现象
导数可以用来分析物理现象，例如分析振动、波动、 电磁场等。
在经济中的应用
01
成本分析
导数可以用来分析企业的成本函 数，从而确定企业的最优生产策 略。
需求预测
02
03
决策优化
导数可以用来预测市场需求，例 如通过分析需求函数的一阶导数 来预测需求的变化趋势。
导数可以用来优化企业的决策， 例如通过求利润函数的导数来确 定最优的产量和价格策略。
在工程中的应用
优化设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺 寸。
控制系统的设计
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
应用实例
例如，在分析汽车行驶过程中，随着时间的推移 ，汽车的速度逐渐减小。为了研究速度减小的规 律以及何时速度达到最小值，需要求取速度函数 的一阶导数并进行分析。
05
导数在科研领域的应用
在物理中的应用
描述物体运动轨迹
导数可以用来描述物体的速度和加速度，从而研究物 体的运动轨迹。
求解物理问题

导数法求最大最小值PPT课件

导数法求最大最小值PPT课件

.
4
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
.
7
延伸1:大设值32 为a1,最1 ,函小数值为f(x )6 x,3求常2 3a数2x a,b b(.1x1)的最
2
解:令 f(x)3x23a x0得x=0或a.
当x变化时, f (x),f(x)的变化情况如下表:
x -1
(-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1
f’(x)
+0-
0
+
f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ -a3/2+b ↗ 1-3a/2+b
令 f(x)0,得 x 1 1 2 ,x 2 1 2 ,且 x 1 ,x 2 [ 1 ,3 ].
相应的函数值为: f(12)752,f(12)752.
2
2
又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0
比较得,
f(x)在点x1 1
2处取得最大值
7
5 2
2;
75 2 在点 x2 1 2处取得最小值 2 .
答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值.
解: f(x ) p 2 x (1 x )p 1 [2 (2 p )x ].

《函数的最大(小)值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.3课时)

《函数的最大(小)值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.3课时)

新知探究
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. y
a x1 o X
X3
bx
2
发现图中__f_(x_1_)_、__f(_x_3_) _是极小值，____f(_x_2)___是极大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，
最小值是__f_(_x3_)__.
新知探究
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际 问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？
y’
-0
+0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-0 +
y 13
↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例题讲解
极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ （1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 .
例题讲解
（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.
y
y fx
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x
b
图1.3 13
新知探究
探究 你能找出函数y=f(x) 在区间[a，b]上的最大值﹑最小值吗？
从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是 f x3 .
新知探究
y
y fx
y
y fx
ao bx
2
（2，5）
5
y'
-
0

函数的最大值和最小值PPT优秀课件

函数的最大值和最小值PPT优秀课件
-1函 (-1,0) 数 0 (0最 ,2) 2小 1(2,a 46) 值 b 4 3 为 29
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?

(-人教A版)函数的最大(小)值与导数课件-(共38张PPT)

(-人教A版)函数的最大(小)值与导数课件-(共38张PPT)

[双基自测]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：y′＝4x3－4，令 y′＝0，得 4x3－4＝0，x＝1，当 x＜1 时，y′＜0；当 x＞1 时，y′＞0，所以 y 极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值 y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72， 得 ymin＝0.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，23π
2π 3
23π，43π
4π 3
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝ e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当 x∈[0，a]时，f′(x)<0 恒成立， 即 f(x)在[0，a]上是减函数． 故当 x＝a 时，f(x)有最小值 f(a)＝e－a－ea； 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－ax22＋1－b2x2＝b2x2x－21a－21x－2 x2. 令 f′(x)＝0，即 b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得 x＝a＋a b或 x＝a－a b(舍去)．
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.

函数的最值与导数公开课ppt课件

解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍） 当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12； 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8
Page 5
性质探究 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
1.规律总结； 2.函数存在最值的的条件; 3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
y=f(x) y
y
y=f(x)
a o
结论
bx
o a x1 x2 x3
x4 bx
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
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牛刀小试 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。

函数的最大(小)值与导数 课件


【导学号：31062059】
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.
若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝± a.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝ a的情况．
(1)若 0＜ a＜1，即 0＜a＜1，
则当 x＝ a时，f(x)有最大值 f( a)＝2a a.(如下表所示)
x 0 (0， a)
a
( a，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x) 0
2a a
3a－1
(2)若 a≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调 递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0； 当0＜a＜1，x＝ a时，f(x)有最大值2a a； 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
[跟踪训练] 1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． [解] f′(x)＝3x2－2ax. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a. ①当23a≤0，即 a≤0 时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.
x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2)
2
f′(x) /
＋
0
－
0
＋
/
f(x) －1
11
－1
Hale Waihona Puke 11从表中可以看出，当 x＝－2 时或 x＝1 时，函数 f(x)取得最小值－1. 当 x＝－1 或 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 11.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令 f′(x)＝0，得 cos 2x＝12， 又∵x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]． ∴2x＝±π3.∴x＝±π6. ∴函数 f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为

函数的最大小值与导数PPT课件


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4
• 求解函数极值的一般步骤： • （1）确定函数的定义域 • （2）求函数的导数f’(x) • （3）求方程f’(x)=0的根 • （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定
义域分成若干个开区间，并列成表格
• （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号， 来判断f(x)在这个根处取极值的情况
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
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10
新授课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
a x1 x2
o x3 x4 x5
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x6 b x
8
如何求出函数在[a,b]上的最值？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
一般的如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)
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2
二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
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取值范围． •
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13
课堂讲义
• 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转 化是一种常见的题型，
• 一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x) 恒 成 立 ⇔λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x) 恒 成 立 ⇔λ≤[f(x)]min.
• 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含 参函数的最值即可．
• (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”
和“不等式中是否含等号”的情况，以此来
确定参数的范围能否p取pt课件得“＝”．
14
课堂讲义
• 跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
• (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
• (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
在闭区间上
x的连［续a函,b数］ 必
有最大值与最 小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
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x6 b x
6
1、课本p98 练习 2、求函数y=xlnx的最小值
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16
当堂检测
• 1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最 大值和最小值分别是( )
• A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) • C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) • 答案 B
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17
当堂检测
• 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， • ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， • 故f(x)在[3,5]上单调递减， • 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
• （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，
来判断f(x)在这个根处取pp极t课件值的情况
3
观察下列图形,你能找出函数的极值吗？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
观察图象，我们发现，f(x1),f(x3),f(x5) 是
函数y=f(x)的极小值， f(x2),f(x4),f(x6) 是函数 y=f(x)的 极大值。
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4
新 课 导学 学习课本P96-P98，回答下面问题：
1、你能找出函数在区间[a,b]上 的最大值，最小值吗？
y
2、如果区间变成（a,b）,函数f(x) 的最值怎么样？
y=f(x)
3.函数在什么条件下一定有最大、 最小值？他们与函数极值关系如何？ 最大值一定比最小值大吗？
o ax1x2 x3 x4 x5
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18
当堂检测
• 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
• A．有最大值，但无最小值 B ． 有最 大 值，也有最小值
• C．无最大值，但有最小值 D．既无最 大值，也无最小值
• 答案பைடு நூலகம்D
• 解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当
x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上
x6 b x
4、学习例5归纳求函数最值的步骤.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值.
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5
在x开区(间a,内b的)
连续函数不一 定有最大值与 最小值.
那么这个极值点必定是最值点。
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8
有两个极值点时，函数有无最值情况不定。
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9
小结：
求函数最值的一般方法 一.是利用函数性质 二.是利用不等式 三.是利用导数
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10
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11
第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数 （二）
ppt课件
12
课堂讲义
函数最值的应用 • 例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)． • (1)求f(x)的最小值h(t)； • (2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的
• 解 (1)∵f′(x) ＝ 6x2 － 18x ＋ 12 ＝ 6(x － 1)(x － 2)．
• ∴ 当 x∈(0,1) 时 ， f′(x)>0 ； 当 x∈(1,2) 时 ， f′(x)<0；
• 当x∈(2,3)时，f′(x)>0p.pt课件
15
课堂讲义
• ∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立， • ∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9. • ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． • (2)由(1)知f(x)< f(3)＝9＋8c， • ∴9＋8c≤c2. • 即c≤－1或c≥9， • ∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
ppt课件
1
复习:一、函数单调性与导数关系
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数
f(x)为减函数
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f (x)为常数.
是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
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19
当堂检测
3．函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是(
)
A．π－1 B.π2－1 C．π D．π＋1
• 答案 C
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈π2，π时，y′>0，则函数在
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7
拓展提高
1、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x） 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值 和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b） 是否一定有最值呢？ 如下图：
不一定
2、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。
3、 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，
ppt课件
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二、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
• 求解函数极值的一般步骤：
• （1）确定函数的定义域
• （2）求函数的导数f’(x) 左正右负极大值， • （3）求方程f’(x)=0的根 左负右正极小值
• （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域
分成若干个开区间，并列成表格