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数理方程1

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数理方程（ＰＤＦ）

数理方程（ＰＤＦ）

un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=

数理方程第一章答案

数理方程第一章答案

u = f( − 3 ) + g(x + y) (−3 ) + ( ) = 3 代入边界条件得： (−3 ) + ( ) = 0 (2)式积分得： (−3 ) + ( ) = 3 −
(−3 ) + ( ) = 0 (3)
求得： 所以：
( )= ( )= u= ( + ) + ( −3 )
14.解下列定解问题. = , > 0, − ∞ < x < +∞ (2). (0, ) = 特征方程： 特征线 f(x + at) f(x) = u=( + )
∫ ( )
[∫ ( ) +
∫ ( )
+ ]
( ) ( )
( )]
+ ( )+
(2).
+ ( , ) = ( , ) ,u = u(x, y)
直接套用公式 6. 推导杆的微小纵振动方程 解： 设细杆截面积 S，密度 ，杨氏模量 E 取一小段 dx, 用牛顿第二定律得：
E S u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2u ES Sdx 2 x x t
数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学
代入原方程得：
u 1, u f ( )
u xy f ( x 2 y 2 ) 15.一端固定的半无界弦的定解问题. = , > 0, >0 ( , 0) = 0 (0, ) = sin , (0, ) =
若为cos ,则 =? 解： 为满足边界条件作以下延拓： φ(x) = sin , 由达朗贝尔公式得： u(t, x) = [sin( +
d 2 R 2 dR )0 dr 2 r dr

数理方程 - 01 - 数理方程绪论

数理方程 - 01 - 数理方程绪论
201653041总结泛定方程初始条件边界条件dirichletneumannrobin201653042kuhuback第四节定解问题的叠加原理我们考虑一般二阶线性偏微分方程其中abc为常数f为已知函数且则上述方程可以简写为201653043ijijbucu的解则对任意的常数c在求解区域上是一致收敛的并对自变皆可逐项微分两次则u也是该齐次方程的解即lu0其中c是非齐次方程lu根据叠加原理我们可以将复杂的问题分解为一些简单的定解问题进行求解
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
2015/10/13
12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1

M2 d

O
x
x+x
x
2015/10/13
15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3

《数理方程》第一讲

《数理方程》第一讲
1 2
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6


F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x

数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件

数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).

数理方程第1讲-69页PPT资料

数理方程第1讲-69页PPT资料
F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6

数理方程第一章定解问题liu婧-1

utt (r ,t) T u utt (r ,t) a2u
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).

一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ


一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS

数理方程课件一


数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。

数理方程课件

详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。

数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档

数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
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14/16
高斯公式
p( x, y, z )dydz q( x, y, z )dzdx r ( x, y, z )dxdy ( p q r )dxdydz
S x y z V
应用:
Ne
1 V 的体积= S xdydz ydzdx zdxdy 3
1 V x kj 6 k 1 x km
2/16
代数方程
微分方程： 含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式 Ex.1 通解: Ex.2 通解:
x1 1 x2– 3x + 2 = 0 (x– 1)(x– 2) = 0 x2 2
y 3 y 2 y 0
y( x) C1e C2e
x
2x
d 2u 2 u 0 2 dt
1 3 1 2 2x 1 2 1 1 2 2x 2x ( x x )e ( x x ) xe ( x ) x e 3 2 2 6 2
非齐次方程通解
y C1e
2x
1 1 2 2x C 2 xe ( x ) x e 6 2
2x
9/16
T ( t ) 2T ( t ) f ( t ) 例 求解初值问题 T (0) 0, T (0) 0 对应的齐次方程通解为:
y py qy 0
辅助方程 两相异实根
两相等实根
m pm q 0 m1 x m2 x m1 m2 y C1e C2e
2
m1 m2 m
y (C1 C2 x)e mx

两共轭复根
m1, 2 i
y e x (C1 cosx C2 sinx)
6/16
求解得
u
y2 f ( x ) ( y1 , y2 )
v
y1 f ( x ) ( y1 , y2 )
其中
u
x
y1 y1
0
y2 y1 y y2 y1 ——朗斯基行列式 2 y 2
v
x 0
y2 f ( ) d C1 ( y1 , y2 )
y (uy1 vy2 ) (uy1 vy ) 2 uy1 vy2 0 y uy1 vy 2 y (uy1 vy2 ) uy1 vy2 (uy1 vy2)
故 u, v 满足方程组
uy1 v y 2 0 2 uy1 v y f ( x )
简谐振动 (常微分方程) 2 d u 2u 0 u = u( t ) dt 2
O
2u 2u a2 2 2 t x
弦振动 (偏微分方程)
u
u=u(x, t )
11/16
简谐振动(自由无阻尼运动)数学模型
牛顿第二定律: F = m a a—加速度;F—合外力;m—物体质量
O
cos( x)dx
和
cos( x , y )dx
16/16
的结果有何区别？
虎克定律: F= –k u(t) F—弹力;k—弹性系数; u(t)—弹簧伸长
m a = –k u(t)
2

d u m 2 ku( t ) dt
2
u

d u 2 u( t ) 0 2 dt
2
由辅助方程 m2 + m = 0, 得
u(t ) C1 cost C2 sint
cost
t
sintf ( )
0

d sint
t
costf ( )
0

d

1
t
0
f ( ) sin ( t )d
10/16
如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 相应 的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),方程中出现的导数是偏导数,相应的 方程称为偏微分方程。
《数理方程》1
常微分方程回顾
常微分方程常数变易法
简谐振动的数学模型
格林公式和高斯公式
思考题与练习题
1/16
物理量的数学描述——一元(多元)函数、矢量函数
物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律, 常使用基于物理原理的微分方程来描述
物理现象 物理定律 微分方程 求解
y1 y1
t
C1 y1 C2 y2 C1 cost C2 sint
y2 cost sint y sint cost 2
t y f ( ) y2 f ( ) y(t ) y1 d y2 1 d C1 y1 C 2 y2 0 ( y , y ) 0 ( y , y ) 1 2 1 2
12/16
u(t ) C1 cost C2 sint
令
2 A C12 C 2
2 C 12 C 2
C1
sin C1 / A

C2
cos C 2 / A
u(t ) A(sin cost cos sint ) u(t ) A sin( t )
( 为已知常数 )
u(t ) C1 cost C2 sint
3/16
定解条件: 初始位移 u(t0) = ? 初始速度 u’(t0) = ?
表示导数——撇记号 u u u · · ·· ·· dy du d2y 莱布尼兹记号 ·· ·· ·· 2 dx dt dx 二阶常系数齐次线性常微分方程

u( x ) e px q( x )dx C

y e px e px q( x )dx Ce px
5/16
二阶非齐次方程常数变易法
y py qy f ( x )
设对应的齐次方程通解为: C1 y1(x) + C2 y2(x)
常数变易，设 令 y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) 则有
y1 f ( ) d C 2 ( y1 , y2 )
非齐次方程通解为
y( x ) y1
x 0 x y f ( ) y2 f ( ) 1 d y2 d C1 y1 C 2 y2 0 ( y , y ) ( y1 , y2 ) 1 2
7/16
例1 用常数变易法求 y 4 y 4 y ( x 1)e 2 x 通解.
13/16
格林公式

L
p( x , y )dx q( x , y )dy [q x p y ]dxdy
D
应用:
面积公式
1 D的面积= L xdy ydx 2
1 n xj S 2 j 1 x j 1 yj y j 1
顶点按逆时针排列,且
(xn+1，yn+1)=(x1，y1)
4x
x( x 1)e 4 x u1 x( x 1) 4x e
1 3 1 2 u1 ( x x ) 3 2
8/16
2
e2x 2e
2x
0 ( x 1)e
2x
( x 1)e 4 x
1 2 u2 x x 2
( x 1)e 4 x u x 1 2 4x e 非齐次方程特解
x ki
yki ykj ykm
z ki z kj z km
i
k
ek
j
15/16
思考题与练习题
1.微分方程和代数方程的最大区别是什么 2. 二阶常微分方程 y py qy 0 的系数 满足什么条件时,通解中含有正弦函数？
3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？
4. 谐振动中的参数 有何意义？ 5. 不定积分
4/16
一阶非齐次方程的常数变易法
第一步, 求对应齐次方程通解
dy py 0 dx
dy py q( x ) dx

y Ce px
第二步, 常数变易 令
y u( x)e px
代入非齐次方程, 得
u( x)e px q( x)

u( x ) e px q( x )
解: 由辅助方程 m2 – 4 m + 4 = 0, 得齐次方程通解 C1 e2x + C2 xe2x 则 y1 = e2x , y2 = x e2x
1 e2x 2xxe 02x 2x
2e
( 2 x 1)e
2x
e
2x
4x
xe
( x 1)e
( 2 x 1)e
2x
x( x 1)e