等腰三角形的存在性

一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。

已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。

2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。

如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。

如果仍无法解决，重点听课堂讲解。

知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。

②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。

③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。

验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。

注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。

2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。

通常借助构造弦图模型进行求解。

精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。

点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。

点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。

△___的面积为。

（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。

（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。

点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。

若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。

等腰直角三角形存在性问题一、复习回顾二次函数存在性问题中等腰三角形的存在性、直角三角形存在性问题，等腰三角形的存在性问题有两种思路：①两圆一线确定点的位置，结合图形特点解决问题；②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解；直角三角形的存在性问题有两种思路：①两线一圆构图，“改斜归正”转化横平竖直线段长，②不考虑点的位置，利用两点间距离公式表示线段长构建方程求解。

二、特殊三角形之等腰直角三角形存在性问题如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，点Q在直线x=-3上，是否存在以点P为顶点的等腰直角三角形△PBQ，若存在，求出点P的横坐标，若不存在说明理由。

解法分析：通过读题，不难求得A、B、C三点坐标，点P、Q是两个动点，位置不确定，如何确定它们的位置是解决问题的一个难点。

此时不妨通过草图分析，大体分两种情况：①直角顶点在BQ下方，②直角点P在BQ上方，结合上辑课讲到的直角三角形存在性问题的处理思路，容易考虑使用“改斜归正”的处理办法结合等腰直角三角形的特点构造一线三等角全等模型，从而顺利转化线段长建立等量。

三、练习1.(本小题25分)如图，抛物线y=x2-4x+3交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y 轴于点B．点D的坐标为(-1，0)，若在直线AB上存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为()A.(-1,4) 或(1/2,5/2)B. (-1，3)或(1，2)C. (-1，4)或(1，2)D. (-1，4)，(1，2)或(5，-2)2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．P是线段AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点P作平行于x轴的直线l，交BC于点Q，若在x轴上存在点R，使得△PQR是等腰直角三角形，则点R的坐标为() A.(1,4/3)或(3/2,1) B.(-1/3,4/3)或(-1/2,1) C.(1,0)或(-1/3,0)或(1/2,0) D.(1,0)或(-1/3,0)或(4/3,0)3.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，P是x轴上的一动点（不与点A重合），连接DP，过点P作PE⊥DP交y轴于点E．当△PED是等腰直角三角形时，点P的横坐标为()A. -4B. -3C. -3或-4D. -4或44.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，D为线段AB上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线y=-x2-3x+4于点E，连接BE．若△DBE为等腰直角三角形，则点D的坐标为()A. (-2，2)B. (-2，6)C. (-3，4)或(-2，6)D. (-3，1)或(-2，2)5.如图，抛物线y=-x2+4x经过A（4，0），B（1，3）两点，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH△x轴于点H，点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，求出点M坐标，若不存在说明理由。

中考数学培优：等腰三角形存在性问题【例题讲解】例题1.如图，直线l 1、12相交于点A ,点B 是直线外一点,在直线l 1、12上找一点C ，使△ABC 为一个等腰三角形.满足条件的点C 有个.【提示】①以B 为圆心,线段BA 长为半径作圆,与l 1、12交点即为满足条件点C ；②以A 为圆心,线段BA 长为半径作圆，与l 1、12交点即为满足条件点C ；③作线段AB 的垂直平分线，与l 1、12交点即为满足条件点C.(此方法简称为“两圆一线”)【巩固训练】1、一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,在坐标轴上取一点C ,使△ABC 为等腰三角形,则这样的点C 最多有个。

2、已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6,在△ABC 所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.6条B.7条C.8条D.9条例题2.一次函数y =43x +4分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴上取一点C ,使得AC =BC ,求出C 点坐标？【代数法、几何法均可解】解：如图所示,直线AB 的解析式为y =43x +4,当y =0时,x =－3,则A (－3.0);当x =0时,y =4,则B (0,4)。

设C 点坐标为(x .0),在Rt △AOB 中,由勾股定理得5==,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =。

①当以AB 为底时,AC =BC ,则3+x 整理得6x =7,解得x =76,则(76,0);②当以BC 为底时,可得AC =AB ,则35x --=,解得x =2或－8,则C (2,0)或(－8,0);③当以AC 为底时,可得AB =BC ,整理得x 2=9,解得x =±3,则C (3,0)或(－3,0)(舍去)。

综上所述,满足条件的点C 的坐标是(76,0)或(2,0)或(3,0)或(－8,0)例题3.如图,直线x =－4与x 轴交于点E ,一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点A ,交直线x =－4于点B ,过B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C ,直线OC 交直线AB 于D ,且AD :BD =1：3.(1)求点A 的坐标；(2)若△OBC 是等腰三角形,求此抛物线的函数关系式.解:(1)如图过点D 作DF ⊥x 轴于点F .由题意可知OF =AF 则2AF +AE =4①∵DF ∥BE ,∴△ADF ∽△ABE ,∴12AF AD AE AB ==,即AE =2AF ②①与②联立解得AE =2,AF =1.∴点A 的坐标为(－2,0);(2)∵抛物线过原点(0,0),∴可设此抛物线的解析式为y =ax 2+bx∵抛物线过原点(0,0)和A 点(－2,0),∴对称轴为直线x ＝202-+＝－1∵B 、C 两点关于直线x =－1对称B 点横坐标为－4,∴C 点横坐标为2,∴BC ＝2－(－2)＝6∵抛物线开口向上,∴∠OAB >90°,OB >AB =OC .∴当△OBC 是等腰三角形时分两种情况讨论:①当OB =BC 时设B (－4,y 1),则16+y 12=36解得y 1=±(负值舍去).将A (－2,0),B (－4,)代入y =ax 2+bx得420164a b a b -=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得5452a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为yx 2x ②当OC =BC 时设C (2,y 2),则4+y 22=36解得y 2=±负值舍去)将A (－2,0),C(2,代入y =ax 2+bx ,得42042a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得2a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴此抛物线的解析式为y =22x 2x 例题4.如图甲,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =4cm,BC =3cm.如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为1cm /s .连接PQ ,设运动时间为t (s )(0<t <4),解答下列问题：(1)设△APQ 的面积为S ,请写出S 关于t 的函数表达式？(2)如图乙,连接PC ,将△POC 沿QC 翻折,得到四边形PQP 'C ,当四边形PQP 'C 为菱形时,求t 的值；(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形？解:(1)如图1,过点P 作PH ⊥AC 于H ,∵∠C =90°,∴AC ⊥BC ,∴PH ∥BC ,∴△APH ∽△ABC ,∴PH AP BC AB =,∵AC =4cm ,BC =3cm ,∴AB =5cm ∴535PH t -=,∴PH ＝3－35t ，∴△AQP 的面积为:S =12×AQ ×PH =12×t ×(3－35t )=23518()1025t --+∴当t 为52秒时,S 最大值为185cm 2.(2)如图2,连接PP ',PP '交QC 于E ,当四边形PQP 'C 为菱开时,PE 垂直平分QC ,即PE ⊥AC ,QE =EC ,∴△APE ∽△ABC ,∴AE AP AC AB =,∴AE =(5)44455AP AC t t AB ⋅-⨯==-+∴QE =AE －AQ =45t -+4－t =95t -+4，QE =12QC =12(4－t )=12-t +2∴95t -+4＝12-t +2，∴解得:t ＝2013，∵0＜2013＜4.∴当四边形PQP 'C 为菱形时,t 值是2013秒;(3)由(1)知,PD =335t -+,与(2)同理得:QD =AD －AQ =945t -+∴PQ ==在△APQ 中,①当AQ =AP ,即=5－t 时,解得:t 1=52，②当PQ =AQ ,t 时,解得:t 2=2513,t 3=5.③当PQ =AP－t 时,解得:t 4=0,t 5=4013∵0<t<4,∴t 3=5,t 4=0不合题意,舍去,∴当t 为52s 或2513s 或4013s 时,△APQ 是等腰三角形.例题5.已知,如图,在Rt △ABC 中,AC =6,AB =8,D 为边AB 上一点,连接CD ,过点D 作DE ⊥DC 交BC 与E ,把△BDE 沿DE 翻折得△DE B 1,连接B 1C(1)证明:∠ADC =∠B 1DC ；(2)当B 1E /∥AC 时,求折痕DE 的长；(3)当△B 1CD 为等腰三角形时,求AD 的长.解:(1)证明由折叠的性质得:∠BDE =∠B 1DE ,∵DE ⊥DC ,∴∠ADC =180°－90°－∠BDE =90°－∠BDE ,∠B 1DC =90°－∠B 1DE ，∴∠ADC =∠B 1DC(2)解延长B 1E 交AB 于F .∵B 1E ∥AC ,∠A =90°,∴B 1F ⊥AB ,∴∠EB 1D +∠BDB 1=90°.∵∠B =∠EB 1D ,∴∠B +∠BDB 1=90°,∴∠BGD =90°,在△BDC 和△B 1FD 中,111B EB D BGD B FD BD DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDG ≌△B 1FD .∴DF =DG ,在△ADC 和△GDC 中,90ADC CDG A DGC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ,∴△ADC ≌△GDC ,∴DG =AD .∴DF =AD =DG ,设DF =AD =DG =x ,∴BF ＝8－2x ,∵EF ∥AC ,∴△BFE ∽△BAC ,∴EF BF AC AB =,∴EF ＝1232x -，∵△EFD ∽△ACD ,∴DF EF AC AD=,∴12326x x x -=，解得:x =3,∴BF =3,EF ＝32，∴DE.(3)解设AD =x ,则CD,BD =8－x ，∵△B 1CD 是等腰三角形,①当B 1D =B 1C 时则∠B 1DC =∠B 1CD ,∴DB 1=BD =8－x ,如图2过B 1作B 1F ⊥CD ,则DF =CF =12CD=2,∵∠ADC =∠B 1DC ,∠B 1FD =∠A =90°,∴△CDA ∽△B 1DC ,∴1B D DF CD AD =,2x =，∴3x 2－16x +36=0,此方程无实数根.∴B 1D ≠BC .②B 1D =CD 时，∴B 1D =CD =BD =8－x .∴(8－x )2=x 2+6，∴x ＝74,∴AD ＝74.③当CD =BC 时如图2过C 作CH ⊥DB ,则DH =B 1H =12DB 1=12BD =12(8－x )在△ACD 和△CHD 中，90ADC CDH A CHD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ∴△ACD ≌△CHD ,∴AD =DH =x∴x ＝12(8－x ),∴x =83,∴AD =83,综上所述:当△B 1CD 是等腰三角形时AD 的长为74或83.【巩固训练】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.72.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP、PC,使得△BPC是一个等腰三角形.(1)用尺规作图画出符合要求的点P.(保留作图痕迹,不要求写做法)(2)求出PA的长.3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)4.如图,一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动,以A为直角顶点,AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,连接BO.(1)求OB的最大值；(2)在AC滑动过程中,△OBC能否恰好为等腰三角形？若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由.5、如图,抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1，0),B(5,0)两点，直线y=－2x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x.轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若△PCE为等腰三角形,求m的值.6.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12,－8),点B、C在x轴上，tan∠ABC=43，AB=AC，AH⊥BC 于H,D为AC的中点,BD交AH于点M.(1)求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；(2)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将(2)中的抛物线沿直线1平移，平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E'(点E'在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△EFG为等腰三角形？若存在,请求出此时顶点E'的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中点B坐标为(6,0),点A在第一象限,△AOB为等边三角形,OH⊥AB于点H,动点P、Q分别从B、O两点同时出发,分别沿BO、OA方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点O时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),PQ交OH于点M,设四边形AQPB的面积为y.(1)求y与t之间的函数关系式；(2)设PQ的长为x(cm)试确定y与x之间的函数关系式；(3)当t为何值时,△OPM为等腰三角形；(4)线段OM有最大值吗？如果有,请求出来;如果没有,请说明理由.8.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=20.E为矩形外一点,且△EBA∽△ABD.3(1)求AE和BE的长；(2)将△ABE绕点B顺时针旋转一个角a(0°<α<180°),记旋转中的△ABE为△A'BE',在旋转过程中,设A'E'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形？若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.9.如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处。

第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。

具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。

例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。

等腰三角形的存在性问题专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．针对训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．三年真题4．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC 的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图26．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？两年模拟7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．（1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．自编原创9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．备用图 备用图。

专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法1 几何法】“两圆一线”（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C1 为例，具体求点坐标：过点A作AH⊥x轴交x轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C类似可求点 C 2 、C 3、C 4 ．关于点 C 5 考虑另一种方法．【方法2 代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C总结：【典例分析】【考点1 等腰角形的存在性】【典例1】（2020•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A （﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式11】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2022•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c （a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y＝ax2+x+c沿射线BC平移，B，C的对应点分别为M，N，当以点A，M，N为顶点的三角形是以MN为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【典例2】（2020•贵港）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC 交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【变式2-1】（2021•大渡口区自主招生）如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．专题06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

中考数学压轴题一、等腰三角形存在性1 解题思想：分类讨论2 解题技巧：坐标系内线段长度表示（1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴在x轴或平行于x轴：x右-x左在y轴或平行于y轴：y上-y下（2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C）由勾股定理得：AB2=AC2=BC2=3 解题方法（1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）分三种情况列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根）（2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点（2）画图，作圆法，垂直平分线法（3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。

例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．代数法：几何法：例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC 的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况2 根据已知表示三边长度（相似）3 列方程计算同步练习：1．如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．3.（2016•临沂第26题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

B第三讲等腰（直角）三角形存在性处理策略知识必备一、平面直角坐标系与两点间距离公式如图3-1-1，已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.证明：如图3-1-2，作系列“水平/竖直辅助线”，易知P 1G =MN =︱x 2− x 1︱，P 2G =P 1N −GN =︱y 2− y 1︱，故P 1P 2=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.注1：为考虑全面，这里实施绝对值策略，即便两点位置发生变化，上述过程均成立. 注2：此结论用文字语言叙述为“平面直角坐标系中，任意两点之间的距离等于其横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根” . 二、“三线合一”定理与勾股定理1．如图3-1-3，在等腰三角形ABC 中，若AB =AC ，则有AD 平分∠BAC ⇔AD ⊥BC ⇔ BD =CD ，即等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线以及底边上的中线重合，简称“三线合一”定理，其逆命题依旧成立.2．在RtΔABD 中，若∠ADB =90°，则有BD 2+AD 2=AB 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，称为勾股定理，其逆命题依旧成立.3．值得一提的是，常利用“三线合一”定理，将等腰三角形转化为直角三角形解决问题，如图3-1-3，有cos ∠B =BD AB=BC 2AB，此结论常用于解决与等腰三角形相关的存在性问题.三、全等判定方法与确定性分析1．三边分别相等的两个三角形全等，简称“边边边”，记为“SSS ” .2．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简称“边角边”，记为“SAS ” .图3-1-1 图3-1-2图3-1-33．全等是两个三角形之间的关系，若一个三角形具备“SSS ” 或“SAS ”等全等特征，则这个三角形是确定的，必可解.方法提炼一、“两圆一线法”与“两线一圆法”问题1：如图3-2-1，请借助尺规作图，在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰三 角形.问题2：如图3-2-2，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为直角三角形.问题3：如图3-2-3，请在平面内找出所有的点C ，使△ABC 为等腰直角三角形. 二、代数解法（“SSS ”法）1．等腰三角形存在性问题前提：该三角形三边的平方为常数或者是关于某个参数的二次式. 步骤：①写出或设出三角形三个顶点的坐标； ②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；③由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解； ④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形.注：这里指平面直角坐标系中的存在性问题，若无坐标系，可利用勾股定理直接表述出三边（的平方），下同. 2．直角三角形存在性问题只有第③步分类标准不同，即以斜边为标准分三类，列方程求解，其他步骤同上.二、几何解法（“SAS ”法）1． 等腰三角形存在性问题前提：该三角形有一个不变的内角θ.图3-2-1图3-2-2图3-2-3步骤：①用同一个参数表示出该不变角相邻的两条边，如图3-2-5； ②以腰为标准分三类，列方程求解，具体如下：情形一：当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a =b ； 情形二：当定角θ为底角且b 为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a 2b ； 情形三：当定角θ为底角且a 为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b 2a. 2．直角三角形存在性问题法1：若直角三角形有一个不变的锐角θ，可狠抓不变角θ，利用其三角函数列式计算.法2：依托直角三角形，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似求解. 3．等腰直角三角形存在性问题方法：一般构造“一线三直角”全等，即“K 字型”全等.值得一提的是，以上问题，有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解.实战分析例1 （2016年陕西中考）如图3-3-1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AB =2，点P 是这个菱形内部或边上一点，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 、D （P 、D 两点不重合）两点间的最短距离为____________.B图3-2-5图3-2-6图3-2-7图3-2-8图3-3-1反思：“两圆一线法”可精准定位“两定一动”型等腰三角形存在性问题中动点的路径，若是直角三角形存在性问题，可借助“两线一圆法”精准作图，请看下面的变式.变式：如图3-3-3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2，点P是这个菱形外部的一点，若以点P、B、D为顶点的三角形是直角三角形，则P、C两点间的最短距离为__________.图3-3-4例2 如图3-3-5，已知点A（3，0），B（0，4），在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标.图3-3-5反思：代数解法的最大优势是实现盲解盲算，若精准作图，利用“两圆一线法”找到C点所有位置，如图3-3-6，可直接口算出“两圆”与坐标轴的六个交点，而“一线”与坐标轴的两个交点可利用勾股定理求解.代数解法盲解盲算，“两圆一线”精准定位，两者各具优势，结合使用亦可，以数解形，以形助数，数形结合，百般为好.例3 （2014年苏州中考）如图3-3-8，二次函数y =a (x 2−2mx −3m 2)（其中a ，m 是常数，且a >0，m >0）的图像与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，-3），点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，连接AD .过点A 射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE .（1） 用含m 的代数式表示a ； （2） 求证：ADAE为定值；（3） 设该二次函数图像的顶点为F ，探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，连接GF ，以线段GF ，AD ，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.反思：此类含参型二次函数问题属中考的热点压轴题型，需要学生具备一定的代数运算技能，以算代证，应引起重视.中考压轴题的问题设计，往往采用层层递进式的命题方式，解题需要不时“回头看” “没有代数解法是万万不能的，但代数解法也并不是万能的”，这也是部分学生经常做的傻事，遇到等腰（直角）三角形存在性问题，管他三七二十一，上来就是硬算、狂算，到头来一场空，算不下去也有可能，请谨记：“世界上没有绝对的通法.”图3-3-8下面请欣赏所谓的“几何解法” （一）显性的“不变角”例4 如图3-3-11，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8），抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.（1）求出抛物线的解析式；（2）动点P 从点A 出发沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ，连接EQ . ①求EG 的最大值；②在点P 、Q 运动过程中，判断有几个时刻使△CEQ 是等腰三角形？请求出相应的t 值.反思：所谓“几何解法”，就是“抓不变角”，再结合“三线合一”定理等，导比导边，需“眼中有角，心中有比”，即不变的角就是不变的比.图3-3-11例5 如图3-3-15，在△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为直角三角形时，求BP 的长.反思：看似两种情形，实则算理一致，只需狠抓不变角，易于掌握，便于实施. 情形二，若不能着急计算，导角得出∠APC =90°，由“三线合一”定理可立秒.变式：如图3-3-18，△ABC 中，AB =AC ，点P ，D 分别为BC ，AC 边上的点（点P 不与B 、C 重合），且∠APD =∠B .若AB =10，BC =16，当△APD 为等腰三角形时，求BP 的长.反思：“眼中有角，心中有比”，利用三角比结合相似比，转化比例，列式计算.情形三，若能不着急计算，导角可得：∠APD =∠ADP >∠C ，引出矛盾，可直接舍去.（二）隐性的“不变角”例6 （2015年湖南怀化中考压轴题）如图3-3-22，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒. （1） 在运动过程中，求P ，Q 两点间距离的最大值；BB图3-3-15图3-3-18（2） 经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式； （3） P 、Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由.反思：本题若采取“代数解法”也并非不可，但计算量颇大，很可能面临无功而返之窘境，并非方法不通，而是运算能力不到位.然“几何解法”需具备敏锐的洞察力，以算代证，发现不变角∠CPQ ，但比较隐藏，难以察觉，事实上，在第二大类中，依然有tan ∠CPQ =CQ CP=2不变.两种解法，各有裨益，孰轻孰重，不好权衡，建议皆会，合理使用，方可自如.例7（自编题）如图3-3-28，在平面直角坐标系中，已知点A （1，0）与直线l ：y =43x ，点B 在x 轴正半轴上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C ，再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D ，在BC 上取点E ，使BE =BA ，连接OE 并延长，交CD 于点F .当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标.A图3-3-22图3-3-28反思：本题表面看上去是一个等腰三角形存在性问题，但通过导角转移，情形一变为“角处理”问题，情形二变为角平分线的处理问题，情形三转化为等腰三角形OCE的存在性问题，真可谓“问山不是山，转化妙无穷” .解题启示：先定性分析，后定量计算.即解题时，莫要着急求边长，可以先考虑导角分析，看看能不能转化成其他常规问题.这里等腰三角形存在性问题的特殊解法，可以与下一讲相似三角形存在性问题中所谓“AA”解法，类比巩固，将更加有趣.总结等腰（直角）三角形存在性问题常见的处理策略有：1.代数法→实现盲解盲算2.几何法→狠抓不变角，“眼中有角，心中有比”3.垂直处理→构造“一线三直角”，即“K字型”4.混和解法→综合以上各种解法，灵活使用.类题巩固1.如图3-4-1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.图3-4-12.如图3-4-2，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，将△DEF绕点D旋转，点D与AB的中点重合，DE、DF分别交AC于点M、N.若△DMN为等腰三角形，求此时重叠部分（△DMN）的面积.图3-4-23.（2017年新疆乌鲁木齐市压轴题）如图3-4-3，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P事抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.①PE=2ED时，求P点的坐标；②是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.图3-4-34.（2016年镇江中考）如图3-4-4，在菱形ABCD中，AB=6√5，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF.（1）求证：BE=DF；（2）当t=________秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；（3）如图3-4-5，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ 是直角三角形？图3-4-4图3-4-5。

等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

知识点：2.（尺规作图）已知线段 AB，以AB为边的等腰△ABC有无数个，C点的分布位置可分为三类：（1）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（2）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（3）线段AB的垂直平分线上。

以下简称“两弧一中垂线”。

有关直角三角形的存在性问题解题策略: 第一步分类讨论：一般按直角顶点分三类。

第二步画状态图：利用尺规作图，画一圆两垂线。

第四步列方程：过直角顶点作两坐标轴的平行线, 构造K 型相似或射影型相似。

若是等腰直角三角形, 则构造 K型全等。

有关等腰三角形的存在性问题解题策略：分类讨论：按哪两边相等分三类。

画状态图：利用尺规作图，画两弧一中垂线。

列方程：一是运用勾股定理表示两腰，利用两腰相等列出方程；二是利用等腰三角形的性质，过顶点作底边的垂线，把底边平分来列方程；三是构造相似三角形来列方程。

其实这类问题的解决关键就是:点。

一、在所求的等腰三角形中，有两个顶点的坐标是确定的（即一边长度确定），确定第三个顶点的存在。

解题策略1：已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P )所在直线或曲线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状)。

而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：①该边(AB )是等腰三角形的底边,则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB 的垂直平分线与直线或曲线l的交点处；②该边 AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：当点 A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以A为圆心，AB为半径的圆上；当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以B 为圆心，AB为半径的圆上。

进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线或曲线l的交点。

不妨把这种尺规作图的方法称为“两圆（弧）一中垂线”法。

例1 （内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线2=++与x轴交于点A(1，0)、y ax bx cB(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7。

x等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（坐标系）模型一例1：在平面直角坐标系中，已知A （3，4），设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；分析：（1） 定方向：构造类。

无现成的三角形（2） 定分类：可以分为如下三类：x（OA=OP ） （OA=AP ） （OP=AP ） （3）定解法：（1）几何法：无角相似；（2）代数法：勾股定理表示三角形的三边长，建立等腰三角形三边相等建立方程求解；（4）定结果：将OP 的长度转为为坐标。

解法1：∵)4,3(A ，∴5 OA 情形一：OA=OP ；则点P （5，0） 情形二：OA=AP ； 过Ａ点作AB ⊥OP 。

∴OP=2OB=6(三线合一)等腰三角形存在性问题分析思xxx点P （6，0） 情形三：OP=AP作PC ⊥OA ，AB ⊥OP 易得△AB O ∽△PCOOBOCAO OP = 3255=OP OP=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 解法2：△AOP 三边分别表示如下： OA=5；OP=x ；在Rt △ABP 中，AB=4,PB= x-3， 则222)3(4-+=x AP （罗列三边） 情形一：OA=OP ；则x=5，∴点P （5，0） 情形二：22AP OA =；则222)3(45-+=x ； 解得：x=6 ∴点P （6，0） 情形三：22AP OP =222)3(4)3(-+=-x x解得：x=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 点睛：（1）解法1：几何法的关键就是利用直角三角形构造相似或者解直角三角形。

而坐标可以构造直角，三线合一也可以构造直角。

（2）解法2：解析法的关键是利用x 表示出三条边，然后利用边长相等建立方程。

（3）两种方法各有利弊，几何法计算简单，但寻找相似有难度。

而解析法分析问题简单，但计算复杂。

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

等腰三角形存在性问题技巧讲义等腰三角形是一种有两条边相等的三角形，其中也包括一种特殊情况，即等边三角形，即三条边均相等的三角形。

存在性问题指的是给定一些条件，判断是否存在符合条件的等腰三角形。

下面将介绍一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。

1.通过边长关系判断：等腰三角形的存在性与边长的关系密切相关。

设三角形的三个边长分别为a、b和c，如果a=b，则存在等腰三角形；如果a=c，则存在等腰三角形；如果b=c，则存在等腰三角形。

因此，可以通过比较三个边长的大小关系，来判断是否存在等腰三角形。

2.使用三角形内角和定理：三角形的内角和为180度。

对于等腰三角形而言，设其两个等边的边长为a，非等边的边长为b，那么根据三角形的内角和定理可得2a+b=180。

通过这个方程，可以求得非等边的边长b的值，如果b大于0，则存在等腰三角形。

3.使用三角形的高和底边关系：等腰三角形的高是从等腰边的顶点到底边的垂直距离。

如果一条边是等腰边，那么从该边对应的顶点到底边的垂直距离一定是这条边的高。

因此，可以通过计算等腰边顶点到底边的垂直距离，与底边的关系来判断是否存在等腰三角形。

4.利用等腰三角形的旋转对称性：等腰三角形具有旋转对称性，即一个等腰三角形可以绕其顶点旋转一定角度后得到另一个等腰三角形。

因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过旋转该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。

5.利用等腰三角形的镜像对称性：等腰三角形也具有镜像对称性，即通过等腰边作为对称轴，可以得到两个镜像对称的等腰三角形。

因此，当给定一个等腰三角形的一些条件时，可以通过对称该等腰三角形来判断是否存在满足条件的等腰三角形。

以上是一些解决等腰三角形存在性问题的技巧。

通过比较边长关系、使用三角形内角和定理、考虑高和底边关系、利用等腰三角形的旋转对称性和镜像对称性等方法，我们可以有效地判断等腰三角形是否存在。

实际应用中，可以结合以上方法，根据具体条件进行判断。

最新一次问题--等腰三角形存在性问题
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

本文将讨论等腰三
角形的存在性问题。

在几何学中，我们知道要构成一个等腰三角形，至少需要两条
边相等。

因此，我们需要分两种情况来讨论等腰三角形的存在性。

- 第一种情况是已知两条边的长度是否相等。

如果两条边的长
度相等，那么根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：存在一
个等腰三角形。

- 第二种情况是已知两个角是否相等。

如果两个角的大小相等，那么根据等腰三角形的性质，我们可以推出结论：存在一个等腰三
角形。

上述两种情况都能保证等腰三角形的存在性。

然而，若只给出
了其中一种条件（即两条边的长度相等或两个角的大小相等），我
们不能确定是否存在一个等腰三角形。

因此，同时满足两个条件才
能推断等腰三角形的存在。

综上所述，等腰三角形的存在性取决于两个条件的同时满足。

当两条边的长度相等且两个角的大小相等时，我们可以确定存在一个等腰三角形。

若只满足其中一个条件，我们不能确保等腰三角形的存在。

请注意，以上讨论基于几何学的基本定义和性质，准确性得到确认。

一次函数与等腰三角形存在性问题重点内容梳理一、等腰三角形存在核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可）1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点）2.B为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点）3.P为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点）求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标3.最终结论注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。

引例：已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式（2）若坐标轴上存在一点，使△ABC①A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆，②B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆③C为圆心，AB中垂线例题例题1.——x轴上的点1.（2019秋•金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6.（1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6，∴A（8，0）、B（0，6），把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，∴b＝6，k＝﹣，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6；（2）设点Q（s，0），则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36，①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2；②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）；③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝，综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）．易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏2.求取点的坐标，注意舍根（2019秋•昌江区校级期末）如图，长方形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（10，0），点E是BC边上一点，把长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上点F处．（1）求点E、F的坐标；（2）求AF所在直线的函数关系式；（3）在x轴上求一点P，使△P AF成为以AF为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（2019秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）求△COB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．例题2.——y轴上的点（2019秋•普宁市期末）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否存在点P使△P AB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y＝x相交于点B，则点B（3，5），将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝﹣，b＝9；（2）设点P（0，m），而点A、B的坐标分别为：（0，9）、（3，5），则AB2＝25，AP2＝（m﹣9）2，BP2＝9+（m﹣5）2，当AB＝AP时，25＝（m﹣9）2，解得：m＝14或4；当AB＝BP时，同理可得：m＝9（舍去）或﹣1；当AP＝BP时，同理可得：m＝；综上点P的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，）练习2.1如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD 对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．连接BC．（1）求点A和点B的坐标；（2）求S△BOC；（3）在y轴上有一点P，且△P AB是等腰三角形，求出点P的坐标．练习2.2（2017秋•金华期末）如图，已知直线l：y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△P AB是等腰三角形时P的坐标；（3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标．例题3——平行于坐标轴的点23．（2018秋•景德镇期末）如图，已知直线y＝2x+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B，直线y＝2交AB于点C，交y轴于点D，P是直线y＝2上一动点，设P（m，2）．（1）求直线AB的解析式和点B，点C的坐标；（2）直接写出m为何值时，△ABP是等腰三角形；【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝2x+b得：0＝2×（﹣2）+b，解得：b＝4，故直线AB的表达式为：y＝2x+4，则点B（0，4），当y＝2时，x＝﹣1，即点C（﹣1，2）；（2）点A（﹣2，0）、点B（0，4），点P（m，2），则AB2＝20，AP2＝（m+2）2+4，PB2＝m2+4，①当AB＝AP时，即20＝（m+2）2+4，解得：m＝2或﹣6，②当AB＝BP时，同理可得：m＝4或﹣4，③当AP＝BP时，同理可得：m＝﹣1，综上，m＝﹣4或﹣6或2或4或﹣1；（2019秋•太仓市期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P 从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．（1）求直线AB的表达式；（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；（2015秋•上城区期末）A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，P是x轴上一动点，从原点O 出发，沿正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）当t＝3时，平面直角坐标系内有一点M（3，a），请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标．例题4——动点相关（2014秋•屏南县校级期末）直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3（1）求点B的坐标为；（2）求直线BC的解析式；（3）动点M从C出发沿CA方向运动，运动的速度为每秒1个单位长度．设M运动t 秒时，当t为何值时△BCM为等腰三角形．【解答】解：（1）y＝﹣x+b分别与x轴交于A（8、0），得﹣8+b＝0．解得b＝8，即函数解析式为y＝﹣x+8，当x＝0时，y＝8，B点坐标是（0，8）；（2）由OB：OC＝4：3，BC＝8，得8：BC＝4：3，解得BC＝6，即C（﹣6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，图象经过点B，C，得，解得，直线BC的解析式为y＝x+8；（3）设M点坐标（a，0），由勾股定理，得BC＝＝10，①当MC＝BC＝10时，由路程处以速度等于时间，得10÷1＝10（秒），即M运动10秒，△BCM为等腰三角形；②当MC＝MB时，MC2＝MB2，即（a+6）2＝a2+82，化简，得12a＝28，解得a＝即M（，0）．MC＝﹣（﹣6）＝+6＝，由路程除以速度等于时间，得÷1＝（秒），即M运动秒时，△BCM为等腰三角形；③当BC＝BM时，得OC＝OM＝6，即MC＝6﹣（﹣6）＝6+6＝12，由路程除以速度等于时间，得12÷1＝12（秒），即M运动12秒时，△BCM为等腰三角形，综上所述：t＝10（秒），t＝（秒），t＝12（秒）时，△BCM为等腰三角形．（2017秋•平阴县期末）如图，直线L1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P （m，3）为直线L1上一点，另一直线L2：y2＝x+b经过点P．（1）求点P坐标和b的值：（2）若点C是直线L2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为何值时，△APQ的面积等于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（2018春•新田县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣分别交x，y轴于A，B两点，C为线段AB的中点，D（t，0）是线段OA上一动点（不与A点重合），射线BF∥x轴，延长DC交BF于点E．（1）求证：AD＝BE；（2）连接BD，记△BDE的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）是否存在t的值，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（2019秋•顺德区期末）如图，在平面直角坐标系中，点D是边长为4cm的正方形ABCO 的边AB的中点，直线y＝x交BC于点E，连接DE并延长交x轴于点F．（1）求出点E的坐标；（2）求证：△ODE是直角三角形；（3）过D作DH⊥x轴于点H，动点P以2cm/s的速度从点D出发，沿着D→H→F方向运动，设运动时间为t，当t为何值时，△PEH是等腰三角形？提升1.如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y＝2x交于C点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．（1）求C点的坐标；（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．提升2.如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于点B，C，且OC＝2OB，A为直线BC上一动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）当△AOB的面积是4时，求A点在第一象限的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．提升练习提升3.（2012•沙坪坝区校级模拟）如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，直线b的解析式为y＝x，直线c的解析式为y＝﹣x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E （E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是．提升4.（2018秋•吴江区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（﹣2，0），△ABO的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P 同时以相同的速度运动，过P作PM⊥X轴交直线AB于M．（1）求直线AB的解析式．（2）当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S 与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．（3）过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使△MNQ是等腰三角形？若存在，求出时间t值．。