等腰三角形存在性问题(带答案)

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第11节等腰直角三角形的存在性方法点拨第一步：易证ΔBAD∽ΔECB，如果再加一个条件BD=BE，此时ΔBAD≌ΔECB （AAS）所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。

例题演练1．如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当a＝﹣时，①求点A、B、C的坐标；②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a 的值．【解答】解：对于y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0），令y＝a（x+1）（x﹣5）＝0，解得x ＝5或﹣1，令x＝0，则y＝﹣5a，故点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，﹣5a），当x＝2时，y＝a（x+1）（x﹣5）＝﹣9a，顶点的坐标为（2，﹣9a）．（1）①当a＝﹣时，函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），则点A、B、C的坐标分别为（5，1）、（﹣1，0）、（0，2）；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，﹣（x+1）（x﹣5）），∵∠MPO＝90°，∴∠MPF+∠OPE＝90°，∵∠OPE+∠POE＝90°，∴∠POE＝∠MPF，∵∠PFM＝∠OEP＝90°，PM＝PO，∴△PFM≌△OEP（AAS），∴PE＝MF，则﹣（x+1）（x﹣5）＝x﹣2，解得x＝﹣或4，故点P的坐标为（﹣，﹣）或（4，2）；（2）点B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣5a），顶点D的坐标为（2，﹣9a）．当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，﹣a），则OQ＝DQ，即（）2+（﹣）2＝（2﹣）2+（﹣9a+a）2，解得a＝±．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，当△ABC的面积最大时，求点C的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A、B两点代入到解析式中，得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；（2）设直线AB为：y＝k1x+1，代入点B，得，3k1+1＝4，解得k1＝1，∴直线AB为：y＝x+1，设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图1，则M（m，m+1），∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m，∴S△ABC＝S△ACM+S△BCM＝＝，∵C为直线AB上方抛物线上一点，∴0＜m＜3，∴时，△ABC的面积最大值为，此时C（）；（3）∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，∴将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5，联立，解得，∴D（1，4），①如图2，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90°∴∠DAN＝∠EDF，又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE，∴△DNA≌△EFD（AAS），∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3，∴E（4，3），②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧，同理可得，E（﹣2，5），③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时，同理可得，E（﹣3，2），④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时，同理可得，E（3，0），综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）．3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似时，求点P的坐标；（3）若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使△MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点E的坐标为（4，﹣5），∴AE＝＝5，在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得：﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），∵C（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，BC＝3，∵直线AE的函数表达式为y＝﹣x﹣1，∴∠BAE＝45°＝∠CBO．设点P的坐标为（m，0），则PB＝3﹣m，∵以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：m＝或m＝﹣，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）∵∠CBO＝45°，∴存在两种情况（如图2）．①取点M1与点A重合，过点M1作M1F1∥y轴，交直线BC于点F1，∵∠CBM1＝45°，∠BM1F1＝90°，∴此时△BM1F1为等腰直角三角形，∴点M1的坐标为（﹣1，0）；②取点C′（0，﹣3），连接BC′，延长BC′交抛物线于点M2，过点M2作M2F2∥y 轴，交直线BC于点F2，∵点C、C′关于x轴对称，∠OBC＝45°，∴∠CBC′＝90°，BC＝BC′，∴△CBC′为等腰直角三角形，∵M2F2∥y轴，∴△M2BF2为等腰直角三角形．∵点B（3，0），点C′（0，﹣3），∴直线BC′的函数关系式为y＝x﹣3，联立直线BC′和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，，∴点M2的坐标为（﹣2，﹣5），综上所述：点M的坐标为（﹣1，0）或（﹣2，﹣5）．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB＝3，抛物线经过点（2，5）．（1）求该抛物线解析式；（2）如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PG⊥BD于点G，求2PG+EF 的最大值，及此时点P的坐标；（3）如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN 为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵OB＝3，∴B（﹣3，0）把C（﹣3，0）和点（2，5），代入抛物线y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）延长PE与x轴交于点M，FM⊥x轴，PG⊥BD，如图所示，∠FMB＝90°，∠PGF＝90°，∵∠BFM＝∠PFG，∴∠MBF＝∠GPF，∴B（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD＝＝2，∴cos∠MBF＝cos∠GPF＝，∴2PG+EF＝EF+2FP，∴C（0，﹣3），设直线BC解析式为l BC：y＝kx+b（b≠0），把B（﹣3，0）和C（0，﹣3）代入得，，解得，∴l BC：y＝﹣x﹣3，同理，直线BD得解析式为：y＝﹣2x﹣6，设E（m，﹣m﹣3），P（m，m2+2m﹣3），F（m，﹣2m﹣6），∴EF+2FP＝[﹣m﹣3﹣（﹣2m﹣6）]+2[（﹣2m﹣6）﹣（m2+2m﹣3）]＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，EF+2FP有最大值，∵2PG+EF＝EF+2FP，∴此时，P点坐标为P（﹣，﹣）；（3）存在，设N（0，y1），M（x2，+2x2﹣3），当y＝0时，代入抛物线y＝x2+2x+3中，解得两根为﹣3和1，A在y轴右侧，∴A（1，0），∴AN2＝OA2+ON2＝1+y12，AM2＝（x2﹣1）2+（+2x2﹣3）2，MN2＝+（+2x2﹣3﹣y1）2，①当AN⊥MN时，此时由AN＝MN，等腰直角三角形各边比为1：1：，∴M点横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，将M的横坐标为﹣﹣1或﹣3﹣1，代入y＝x2+2x﹣3中得，∴M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），②由AN⊥MA得：M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2，将M点横坐标为﹣2﹣2或﹣2﹣2代入y＝x2+2x+3中，得M点坐标为（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），综上所述，M点坐标为（﹣﹣1，﹣2）或（﹣3﹣1，14），（﹣2﹣2，17+8﹣4﹣4）或（﹣2﹣2，33+8﹣4﹣4），5．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标；（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）．（2）如图，∵抛物线C1的向右平衡m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y＝（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠CDH+∠ADE＝90°，∴△HCD＝△ADE，∵∠DEA＝90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，由OC＝EH得m2+2m＝m+2，解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1，∴D点坐标（2，2）．6．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）如图，连接P A、PB．设△P AB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），∴可设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6），∴﹣12a＝6，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴A（0，6）∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+2m+6），过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D（m，﹣m+6），∴S＝×OB×PD＝×6×（﹣m2+2m+6+m﹣6）＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S的值取最大，此时P（3，）；（2）存在，理由如下：由题意可知，PD⊥PE，若△PDE是等腰直角三角形，则PE＝PD，由（1）可得，PD＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，∵PE∥x轴，∴E（4﹣m，﹣m2+2m+6），∴PE＝|2m﹣4|，∴|2m﹣4|＝﹣m2+3m，解得m1＝﹣2（舍），m2＝4，m3＝5+（舍），m4＝5﹣，∴当△PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，6），（5﹣，3﹣5）．7．如图1．二次函数y＝﹣x2+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出点A，B，C的坐标；（2）连接AC，求直线AC的表达式；（3）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；（4）若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点E的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6．∴C点坐标为（0，6）．当y＝0时，．解得x1＝﹣4，x2＝4．∵A点在B点左侧，∴点A坐标为（﹣4，0），点B坐标为（4，0）．（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b．∵点A坐标为（﹣4，0），点C坐标为（6，0）．∴．解得．∴直线AC的表达式为．（3）如答图1，过点D分别作DF⊥x轴于点F，DG⊥y轴于G. ∴四边形DGOF为矩形，∠FDG＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠GDB＝∠FDG﹣∠GDB．即∠EDG＝∠BDF．在△BDF和△EDG中，．∴△BDF≌△EDG（AAS）．∴DF＝DG．设点D的坐标为（m，）．∴．解得m＝，∴点D的坐标为（）．（4）由（2）可得直线AC的表达式为．∵点D在直线AC上，∴设点D坐标为（）．设直线BC的解析式为：y＝kx+b．将B（4，0），C（0，6）代入得．解得．∴直线BC的解析式为．①当C位于斜边BE上时，∵点E在直线BC上，∴设点E坐标为（b，）．如答图2所示.作EM⊥x轴于点M，DQ⊥x轴于点Q，DN⊥EM于点N．易知四边形DQMN为矩形．∴∠QDN＝90°．∵△BDE为等腰直角三角形，BD为直角边．∴BD＝ED，∠EDB＝90°．∴∠EDB﹣∠NDB＝∠QDN﹣∠NDB．即∠EDN＝∠BDQ．在△BDQ和△EDN中，．∴△BDQ≌△EDN（AAS）．∴DN＝DQ，EN＝BQ．∵E坐标为（b，），D坐标为（）．∴DN＝b﹣a，EN＝．DQ＝，BQ＝4﹣a．∴．解得．∴＝．∴点E的坐标是（）．②当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示．∵∠CDF＝∠BOF＝90°，∠CFD＝∠BFO．∴∠DCF＝∠OBF．∴tan∠DCF＝tan∠OBF．即．亦即．∴OF＝．∴点F坐标为（0，）．设直线BF解析式为y＝kx+b．将B（4，0），F（0，）代入得．解得．∴直线BF解析式为y＝．∵B、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y＝．联立直线AC解析式得解得．故点D坐标为（）．∵BD⊥AC，BD＝DE，∴BD2＝DE2．∴．解得b＝．∴＝．∴点E的坐标为（）．③当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时．如答图4所示.作EG⊥y轴于点G．∵∠BCE＝90°．∴∠ECG+∠BCO＝90°．又∵∠ECG+∠GEC＝90°∴∠BCO＝∠GEC．在△GEC和△OCB中，．∴△GEC≌△OCB（AAS）．∴GE＝OC＝6，GC＝OB＝4．∴点E的坐标为（6，10）．由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意．则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×0﹣6＝﹣6，纵坐标为2×6﹣10＝2．故点E'坐标为（﹣6，2）．综上所述，点E的坐标为（）或（）或（6，10）或（﹣6，2）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴上一点，当P A+PC达到最小值时，求点P的坐标；（3）M、N为线段BC上两点（N在M的右侧，且M、N不与B、C重合），MN＝2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使△MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5交x轴于A（﹣1，0），B（5，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当x＝0时，y＝5，∴C（0，5），∵A与B关于抛物线的对称轴对称，∴直线BC与对称轴的交点就是点P，此时P A+PC达到最小值，∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为直线x＝2，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵点B坐标为（5，0），则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，与对称轴的交点为（2，3），∴点P的坐标（2，3）；（3）分三种情况：①以点M为直角顶点，如图1，∵MN＝2，∴RN＝MN＝4，∵C（0，5），B（5，0），∴OC＝OB＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠RNM＝45°＝∠BCO，∴RN∥OC，由（2）知：直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设R（m，﹣m2+4m+5），则N（m，﹣m+5），则RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝4，解得m1＝4，m2＝1，∵点N在点M右侧，∴m＝4，∴R（4，5）；②以点R为直角顶点，如图2，∵MN＝2，∴RN＝MN＝2，设R（m，﹣m2+4m+5），则Q（m，﹣m+5），∴RN＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝2，解得m1＝，m2＝，∵点N在点M右侧，∴m＝，∴R（，）；③以点N为直角顶点，如图3，∵MN＝2，∴RM＝MN＝4，∵∠RMN＝∠OBC＝45°，∴MR∥OB，设R（m，﹣m2+4m+5），则M（m﹣4，﹣m2+4m+5），把M（m﹣4，﹣m2+4m+5）代入y＝﹣x+5，得﹣（m﹣4）+5＝﹣m2+4m+5，解得m1＝4，m2＝1，此时点M（0，5），因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当R（4，5）或（，）时，△MNR为等腰直角三角形．9．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．（1）如图（1），求抛物线的解析式；（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC 的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；（3）如图（3），在（2）的条件下，连接P A交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），由题意：，解得，∴A（﹣2，0），B（8，0），把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），∵B（8，0），C（0，4），∴OB＝8，OC＝4，∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．（3）存在．理由：如图3中，设P（t，﹣t2+t+4），∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），∴直线P A的解析式为y＝﹣（t﹣8）x﹣t+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵PE⊥x轴，∴F（t，﹣t+4），∵D（0，﹣t+4），∴FD∥AB，∴∠CFD＝∠CBA，∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠P AE＝90°，∴∠P AB＝∠CFD＝∠CBO，∴tan∠CBO＝tan∠P AB＝＝，∴＝，∵OA＝2，∴OD＝1，∴﹣t+4＝1，∴t＝6，∴P（6，4），E（6，0），∵PN＝NE，∴N（6，2），∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q（s，k），易证△QGC≌△NHQ（AAS），则GC＝QH，GQ＝HN，即s＝k﹣2，k﹣4＝6﹣s，解得，∴点Q的坐标为（4，6），∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．10．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标和△ABC的面积．（3）点P是抛物线对称轴上一点，且使得P A﹣PC最大，求点P的坐标．（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）如图1中，∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴x＝2，∵B，C关于对称轴对称，B（1，3），∴C（3，3），∴S△ABC＝×2×3＝3．（3）如图1中，∵A（4，0），C（3，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+12，∵P A﹣PC≤AC，∴当点P在直线AC上时，P A﹣PC的值最大，此时P（2，6）．（4）如图4﹣1中，如图，当∠CNM＝90°，NC＝NM时，可知N（4，0），M（1，﹣1），CN＝NM＝，∴S△MNC＝×CN×MN＝5．如图4﹣2中，当∠CMN＝90°，MN＝MC时，M（1，﹣2），N（﹣4，0），可知MN ＝MC＝＝，∴S△MNC＝．如图4﹣3中，当∠CMN＝90°，MC＝MN时，可知M（1，2），N（2，0），MN＝CM ＝＝，∴S△MNC＝××＝，如图4﹣4中，当∠CNM＝90°，CN＝MN时，N（﹣2，0），M（1，﹣5），可得S△MNC ＝17．综上所述，满足条件的△MNC的面积为5或或或17．。

一次函数之等腰直角三角形的存在性(讲义及答案).1. 在正方形网格中，网格线交点称为格点。

已知A、B是两个格点，若点C也是格点且使△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C只有一个。

2. 做讲义第一题时，先看知识点，再用铅笔计算并将演算保留在讲义上。

如果思路受阻（例如某个点做了2-3分钟），重复上述动作。

如果仍无法解决，重点听课堂讲解。

知识点：1. 解决存在性问题的处理思路①分析不变特征：分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征。

②分类、画图：结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形。

通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形。

③求解、验证：围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解。

验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意。

注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、角；函数背景研究点坐标、表达式等。

2. 等腰直角三角形存在性的特征分析及操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰。

通常借助构造弦图模型进行求解。

精讲精练：1. 如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A、B。

点P是第一象限内的一个动点，若以A、B、P为顶点的三角形为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

2. 如图，直线y=-x+b与x轴、y轴分别交于点A、B。

点C在直线y=-x+b上，且其纵坐标为1。

△___的面积为。

（1）求直线y=-x+b的表达式及点C的坐标。

（2）点P是第二象限内的一个动点，若△ACP是等腰直角三角形，则点P的坐标为。

3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)。

点P是y轴正半轴上的一个动点，Q是直线x=3上的一个动点。

若△APQ为等腰直角三角形，则点P的坐标为。

4. 如图，直线y=3x+4与y轴交于点A，点P是直线x=6上的一个动点，点Q是直线y=3x+4上的一个动点，且点Q在第一象限。

中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

专题3 等腰三角形的存在性问题（一）考点分析“两圆一线”模型已知线段AB ，在平面内找一点C ，使△ABC 为等腰三角形.（1） AB =AC 时，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （2） BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上所有的点均满足条件； （3） CA =CB 时，作AB 的垂直平分线，此直线上所有的点均满足条件.“两圆一中垂”上所有的点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的点C 有无数个.因此，题目会对点C 再加上另外一个限定条件——例如还限定点C 在坐标轴上或抛物线上，这样，点C 的个数就只有几个.（二）典型例题例：已知点A (2,1),B (6,4)，若在x 轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点C 的坐标. 解法1：“两圆一线”模型 由题可知：AB =5（1）如图，AB =AC 时，由勾股定理可得：DC 1=DC 2=2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2）如图， BA =BC 时，由勾股定理可得：EC 3=EC 4=3，则C 3(3,0)，C 4(9,0)（3）如图，CA =CB 时，设FC 5=x ，则HC 5=4−x ，由AC 5=BC 5得：x 2+1=(4−x)2+42图(3)图(2)图(1)图(3)图(2)图(1)解得：x =318，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)如果学生掌握了中点公式和两条垂直直线k 的关系，第（3）种情况CA =CB 也可以通过代数方法解决，具体过程如下：由A (2,1),B (6,4)可知：M (4,52),k AB =34，则k MC 5=−43 ∴直线MC 5的解析式为y =−43x +476，则C 5(478,0)解法2：两点间距离公式——暴力解法设点C (x ,0)，则AB 2=(2−6)2+(1−4)2=25，AC 2=(2−x)2+(1−0)2=x 2−4x +5，BC 2=(6−x)2+(4−0)2=x 2−12x +52（1） AB =AC 时，25=x 2−4x +5解得：x 1=2−2√6,x 2=2+2√6，则C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0) （2） BA =BC 时，25=x 2−12x +52 解得：x 1=3,x 2=9，则C 3(3,0)，C 4(9,0) （3） CA =CB 时，x 2−4x +5=x 2−12x +52 解得：x =478，则C 5(478,0) 综上所述：C 1(2−2√6,0)，C 2(2+2√6,0)，C 3(3,0)，C 4(9,0)，C 5(478,0)小结：利用两点间距离公式解题的基本思路是：列点、列线、列式.① 列点：列出构建所求等腰三角形的三个点，定点找到后，动点用参数表示其坐标； ② 列线：列出构建所求等腰三角形的三条边，并用两点间距离公式表示其长度； ③ 列式：采用分类讨论思想，列出三组方程并求解.（三）巩固强化1. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,−3)，顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)求此抛物线顶点D 的坐标和对称轴；(3)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P 、D 、A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(−1,0)，B(4,m)两点，且抛物线经过点C(5,0)． (1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴，交直线AB 于点E ．是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

等腰三角形直角三角形存在性问题典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A 点坐标为,与y轴交于点.(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B的坐标为(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?假设存在,求出满足条件的P 点坐标;假设不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?假设存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)的图象经过,,,,所求解析式为:,答:这个二次函数的解析式是.(2)解:,故答案为:.(3)解:在中,,,,,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),在中,设,那么解得:,;答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,即:Q点坐标为,连接OQ,,,,,Q点坐标为,答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.解析:(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;(2)把代入求出x的值,即可得到答案;(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x 轴的正半轴),,即可得出答案;(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可.此题主要考察对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进展计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.练习：如图,抛物线与x轴交于点和点,与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.答案详解解:(1)由题知:解得:所求抛物线解析式为:;(2)抛物线解析式为:,其对称轴为,设P点坐标为,当时,,,①当时,,解得,点坐标为:;②当时,,解得,点坐标为:或;③当时,由勾股定理得:,解得,点坐标为:综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;解析:(1)抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y 轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进展讨论:①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P点的横坐标与M的横坐标一样,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标;此题主要考察了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进展求解,不要漏解.典例2，练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线〔〕与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线〔〕经过，两点，，，且。

学生做题前请先回答以下问题问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）一、单选题(共6道，每道14分)1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C，那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰，也可以当这个等腰三角形的底．①当AB为腰时，此时作两圆，如图，②当AB为底时，此时作一线，如图，综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．A.3B.4C.7D.8答案：D解题思路：如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆；当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线；综上，满足条件的点C共有8个．故选D试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．如图所示，图中，，，即为所求．故选C试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性4.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．A.8B.9C.10D.11答案：B解题思路：如图，若点A为等腰三角形顶点，则以点A为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点；若点B为等腰三角形顶点，则以点B为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点（其中与A，B共线，故舍去）．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是以BQ为腰的等腰三角形，则满足题意的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：如图，当BQ为等腰三角形的腰时，分别以点B，Q为圆心，以BQ长为半径作圆，与线段AD有三个交点．此时等腰△BPQ的腰长都为5，符合题意．综上，满足题意的点P有3个．故选B试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形6.如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )A.1个B.3个C.5个D.无数多个答案：C解题思路：点P在对称轴上，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形；∵对称轴垂直平分BC，点P在对称轴上，∴△PBC是等腰三角形；如图，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，与交于点P；如图，当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线，与交于点P；综上，满足条件的点P共有5个．故选C试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形二、填空题(共1道，每道16分)7.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．答案：5解题思路：如图所示，当BP为等腰三角形的腰时，分别以B，P为圆心，BP长为半径作圆，与正方形交于点；当BP为等腰三角形的底时，作BP的垂直平分线，交正方形于点；特别说明：：点是以点B为圆心，BP为半径作圆得到的，此时，因为∠PBC=60°，所以是等边三角形，且；：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F；在Rt△BEP中，∠EBP=90°-60°=30°，BP=4得PE=2∵EF=AD=6∴PF=4∴点F即为点；综上，满足条件的点P共有5个．试题难度：知识点：两圆一线构造等腰三角形。

等腰直角三角形（正方形）存在性问题x+m与x、y轴的正半例1、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:y=−12轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD=10．（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）例2、如图，直线AB 经过点B(0, -2) ，并与反比例函数y=k交于点A(3, -1) ．x（1）求直线AB 和反比例函数的表达式；（2）点C 是点B 关于原点的对称点，Q 为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q 作QP∥y 轴交反比例函数于点P，点D 为线段QP 的中点，点E 为x 轴上一点，点F 为平面内一点，当D，C，E，F 四点构成的四边形为正方形时，求点Q 的坐标．例3、如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x−ℎ)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P 的坐标．（不写过程）x2+4与x轴交于点A，B两例4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=−12点，顶点为D（0，4），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′。

如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PM P′N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。

等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点 A坐标为（ 1,1），点 B坐标为（ 4,3），在 x轴上取点 C使得△ ABC是等腰三角形．几何法】“两圆一线”得坐标1）以点 A 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有AB=AC；2）以点 B 为圆心， AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有BA=BC；3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB ．y【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC1=AB= (4-1)2+(3-1)2= 13 作AH x轴于 H点， AH=1 C1H=C2H= 13-1=2 3C1(1-2 3,0) C2(1+2 3,0)C3、C4 同理可求，下求 C5．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均往下移一个单位，当点为（ 1,0），点 B坐标为（ 4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3， BH=2设AC5= x，则 BC5=x，C5H=3-x13解得： x=619故 C5坐标为（ ,0）而对于本题的 C5 ，或许代数法更好用一些．A 坐标222(3-代数法】表示线段构相等1）表示点：设点 C 5坐标为（ m ， 0），又 A 点坐标（ 1,1 ）、 B 点坐标（ 4,3），2)表示线段： AC 5 (m 1) (0 1) ， BC 5 (m 4) (0 3) 3）分类讨论：根据 AC 5 BC 5 ，可得： （m 1）2 12（m 4）2 32 ，【小结】 几何法：（ 1）“两圆一线 ”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、 B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段： AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取① AB=AC 、②AB=BC 、③ AC=BC ； （4）列出方程求解．问题总结：1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； 3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2018 泰安 中考】4）求解得答案：解得： 23 6故 C 5 坐标为23,0如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c交x轴于点 A( 4,0) 、 B(2,0) ，交y轴于点 C(0,6) ，在y轴上有一点 E(0, 2) ，连接AE ．1)求二次函数的表达式；2)若点D为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．分析】 1) y3x 2 3x 6； 422) 可用铅垂法，当点 D 坐标为 ( 2,6 )时，△ ADE 面积最大，最大值为 14； 3) 这个问题只涉及到 A 、 E 两点及直线 x=-1(对称轴)① 当 AE=AP 时，以 A 为圆心， AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE=2 5 ，∴ AP 1=2 5，又 AH=3，∴ P 1H故P 1( 1, 11)、 P 2 ( 1, 11)．② 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心， EA 为半径画圆，故 P 5 ( 1,1) ． P 5 ( 1,1)．补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．P 1HP 4Bx11，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， 1, 2 19)故P 3( 1, 2 19)、 P 4( 作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 ③当 PA=PE 时，P 点．设 P 5 ( 1,m )，P 5A 2 2 2 2 ( 1 4)2 (m 0)2， P 5E 2=( 1 0)2(m 2)2 ∴ m 2 9 (m2)2 1，解得： m=1 ．综上所述， P 点坐标为 P 1( 1, 11)、P 2( 1, 11 )、P 3( 1,19 )、P 4 ( 1, 2 19)、19 ，P 3M P4 M【 2019 白银中考（删减）】如图，抛物线 y ax2 bx 4交x轴于 A（ 3,0）， B（4,0）两点，与y轴交于点 C ，连接AC ，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作 PM x轴，垂足为点M ，PM 交 BC 于点 Q ．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以A， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；yCP分析】1) y1x2 1x 4 ；332)①当 CA=CQ 时，∵ CA=5，∴ CQ=5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则 CH QH 5 2，故 Q 点坐标为5 2,4 5 2．2 2 2②当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为( m， -m+4)，AQ (m 3)2( m 4 0)2，即(m 3) ( m 4 0) 5 ，解得： m=1 或 0(舍)，故 Q 点坐标为( 1， 3)．③当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述， Q点坐标为5 2 ,4 5 2或( 1， 3)．22记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， ∵ OH =2，∴ BH=1，故 B 点坐标为（ 2，1）或（ 2，-1），k=-1 或 -3． ②当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（ 2，0），k=-2． 综上所述， k 的值为 -1或-2 或-3． 【 2018 贵港中考(删减) 】2019 盐城中考删减 】如图所示， 二次函数 y k （x 1）2 2 的图像与一次函数 y kx k 2 的图像交于 A 、B 两点， 点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于 C 、 D 两点，其中 k 0 ． 1）求 A 、 B 两点的横坐标；2）若 OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，求 k 的值．分析】1）A 、B 两点横坐标分别为 1、 2；B 点横坐标始终为 2 ，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足△ OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（ 1， 2），故 OA 5 ① 当 OA=OB 时，即 OB 5 ，如图，已知二次函数 y ax2 bx c 的图像与x 轴相交于 A( 1,0) ， B(3,0) 两点，与y 轴相交于点 C(0, 3) ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，P H x轴于点H ，与线段 BC 交于点M ，连接 PC ．当 PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．y② 当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为 （m,m 22m 3），则 M 点坐标为 （m, m 3）， 故线段 PM （m 3） （m 2 2m 3） m 2 3m 故点M 作y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△ MCN 是等腰直角三角形，故 MC 2m ，m 2 3m 2m ，解得 m 32 或 0（舍），故 P 点坐标为 (3 2,2 综上所述， P点坐标为（ 2， -3）或 （3 2,2 分析】1） y x 2 2 x 3 ；2）①当 PM=PC 时，（特殊角分析） 考虑∠ PMC =45°，∴∠ PCM=45°， 即△ PCM 是等腰直角三角形， P 点坐标为（ 2，-3）；4 2 )．【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 4 x2 bx c经过点 A（ 5,0）和点 B（1,0）．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A 、B重合），作 DMN DBA，MN 交线段AD 于点 N ，是否存在这样点M ，使得 DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由．x分析】1) y 4 x2 16 x 20，顶点 D 坐标为( 2,4 )；9 9 92)考虑到∠ DAB=∠DBA=∠DMN，即有△ BMD ∽△ ANM(一线三等角)①当 MD=MN 时，有△ BMD≌△ ANM，可得 AM=BD =5，故 AN=BM=1；②当 NM=ND 时，则∠ NDM =∠ NMD =∠DAB，③当 DM=DN时，∠ DNM =∠DMN =∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．△ MAD ∽△ DAB ，可得AM=25，6BM116ANBMAM，即BDAN116256，5解得： AN5536AN 的值为 1 或55．综上，36【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y x 4与x轴交于点B，与y轴交于点 C，抛物线 y x2 bx c经过B，C 两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒 2个单位长度的速度在线段 BC上由点B向点 C 运动（点P 不与点B 和点 C 重合），设运动时间为 t 秒，过点P 作x 轴垂线交x轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交 BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出 t 的值．y分析】1） y x2 3x 4 ；2）①考虑到∠ DPM =45°，当 DP=DM 时，即∠ DMP =45°，直线 AM ：y=x+1，联立方程：x 3 x 4 x 1，解得： x1 3 ， x2 1 （舍）．此时 t=1 ．②当 PD=PM 时，∠ PMD =∠ PDM =67.5°，∠ MAB=22.5°，考虑 tan∠ 22.5 °= 2 1 ，直线 AM ：综上所述， t 的值为附： tan22.5 =° 2 1 ．总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，联立方程：x2 3 x 4 ( 2 1)x 21解得：x1 5 2 ， x2 1 （舍）．此时 t= 2 1．222.5 °tan 22.5 1 2 121可减轻计算量．。

等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB=．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=10，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，若△BPQ 是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P 有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4）2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个．A.8B.9C.10D.113、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画4个（在图中作出点P）（2）若△DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画2个，（只写出结果）（3）若改变（2）中△DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后△DOB= 90°．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个．8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P ，使△ABP 为等腰三角形．9、如图AOB ∠,当ο30为AOB ∠，ο60，ο120时，请在射线OA 上找点P ，使POB ∆为等腰三角形，并分析出当AOB ∠发生变化时，点P 个数的情况；【结论】当AOB ∠为锐角，AOB ∠ο60≠，有三个点，当AOB ∠=ο60，只有一个点；当AOB ∠为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2个B.3个C.4个D.5个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )A.1个B.3个C.5个D.无数多个12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，△PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

( 带答等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（两圆一线）类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C 点有（）个．3、如图，A、B 是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ ABC为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于．4、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB 上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P）2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有个直线l 上恰好只有个 1 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 2 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 3 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 4 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 5 点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个 6 点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( ) 个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案类型一、格点中的等腰三角形1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ 4 ）2、. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的 C 点3、如图， A 、B 是网格中的两个格点，点 C 也是网格中的一个格点，连接 AB 、BC 、AC ，当△ ABC 为等腰三角形时，格点 C 的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长 为 1，则所有满足题意的等腰三角形 ABC 的面积之和等于 15 ．∵网格中的每个小正方形的边长为 1， ∴ S △ABC= ×4×3=6，S△ABC ′=20﹣2×3﹣ =6.5 ，故答案分别为： 3；15．格点 C 的不同位置分别是： C 、C ′、C ″，S△A BC ″=2.54、如图，在图中能画出与△ ABC全等的格点三角形有几个？类型二、定边几何法讨论：两圆一线5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P 也在AB 上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）（2）若∠ DOB=6°0 ，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）（3）若改变（2）中∠ DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠ DOB= 907、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△ PAB是等腰三角形，则这样的点P 最多能确定（）个．8、线段AB和直线l 在同一平面上．则下列判断可能成立的有5 个直线l 上恰好只有个1点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个2点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个3点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个4点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个5点P，使△ ABP为等腰三角形直线l 上恰好只有个6点P，使△ ABP为等腰三角形．9、如图AOB, 当AOB为30 ，60 ，120 时，请在射线OA上找点P，使POB为等腰三角形，并分析出当AOB发生变化时，点P 个数的情况；结论】当AOB为锐角，AOB 60 ，有三个点，当AOB= 60 ，只有一个点；当AOB 为钝角或直角，只有一个点；类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△ BPQ是腰长为 5 的等腰三角形，则满足题意的点P有( B )A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P 有( C ) A.1 个 B.3 个 C.5 个 D. 无数多个12、如图，边长为 6 的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△ PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有个．13、在等边△ ABC所在的平面内求一点P，使△ PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；。

专题06图形折叠中的等腰三角形存在性问题【题型演练】一、解答题1．对于面积为S 的三角形和直线l ，将该三角形沿直线l 折叠，重合部分的图形面积记为0S ，定义00S S S -为该三角形关于直线l 的对称度．如图，将面积为S 的ABC 沿直线l 折叠，重合部分的图形为C DE '，将C DE '的面积记为0S ，则称00S S S -为ABC 关于直线l的对称度．在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）过点M(m ，0)作垂直于x 轴的直线1l ，①当1m =时，ABC 关于直线1l 的对称度的值是：②若ABC 关于直线1l 的对称度为1，则m 的值是．（2）过点N(0，n)作垂直于y 轴的直线2l ，求△ABC 关于直线2l 的对称度的最大值．（3）点P(－4，0)满足5AP =，点Q 的坐标为(t ，0)，若存在直线，使得APQ 关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t 的值．2．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，40A ∠=︒，D 为AC 的中点，E 为边AB 上一动点，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，点A 落在AC 上方点F 处，连接EF ，CF ．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若DEF 与以点C ，D ，F 为顶点的三角形全等，求出ADE ∠的度数：(3)翻折后，当DEF 和ABC 的重叠部分为等腰三角形时，直接写出ADE ∠的度数．3．数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AB上的点N重合，求BM的长(2)如图2，若∠ACB＝2∠A，将△ABC沿CM折叠，使点B与边AC上的点N重合，①求AC的长；②若O是AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，A M与AC相交于点F，则PFFM的取值范围为．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．5．如图1，已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．(1)求点A、C的坐标；(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图2）；△是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点P的(3)在y轴上是否存在一点P（不与C重合），使得CDP坐标；若不存在，请说明理由．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起源于公元1世纪或者2世纪时的中国，6世纪时传入日本，再经由日本传到全世界，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．今天折纸被应用于世界各地，其中比较著名的是日本筑波大学的芳贺和夫发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学的基本定理．芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合．再将正方形ABCD 展开，得到折痕EF ；第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C 与点E 重合，边BC 翻折至B E '的位置，得到折痕MN ，B E '与AB 交于点P ．则点P 为AB 的三等分点，即:2:1AP PB =．问题解决如图1，若正方形ABCD 的边长是2．(1)CM 的长为______；(2)请通过计算AP 的长度，说明点P 是AB 的三等分点．类比探究(3)将长方形纸片()ABCD AB BC >按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点P 也为AB 的三等分点，请直接写出AB AC 的值．在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．问题情境：如图，在ABC 中，6AB AC ==，90A ∠=︒，点D 在边AB 上运动，点E 在边BC 上运动．探究发现：(1)如图2，当沿DE 折叠，点B 落在边AC 的点B '处，且DB BC '∥时，发现四边形BEB D '是菱形．请证明；探究拓广：(2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE 折叠，点B 落在点B '处，延长DB '交AC 于点F ，DF BC ∥，点G 在边BC 上运动，沿FG 折叠使点C 落在线段DB '的中点C '处，求线段DF 的长；探究应用：(3)沿DE 折叠，点B 的对应点B '恰好落在边AC 的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD 的长．8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，在四边形OABC 中，顶点A （0，2），)C ，)B n ，且点B 在第一象限，△OAB 是等边三角形．(1)如图①，求点B 的坐标；(2)如图②，将四边形OABC 沿直线EF 折叠，使点A 与点C 重合，求点E ，F 的坐标；(3)如图③，若将四边形OABC 沿直线EF 折叠，使EF OB ∥，设点A 对折后所对应的点为A '，△AEF 与四边形EOBF 的重叠面积为S ，设点E 的坐标为（0，m ）（0＜m ＜1），请直接写出S 与m 的函数关系式．9．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP 折叠，点O的对应点记为O′．（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．10．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”，则该三角形的面积为；（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP PDC的面积．11．如图1，在ABC 中，5cm AB AC ==，6cm BC =，AE 为BC 边上的中线．（1）求AE 的长；（2）动点P 的速度为2cm /s ，运动时间为t 秒．①如图2，当点P 从点B 开始沿BC 边向点C 移动时，若ABP 是以BP 为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t 的值．②如图3，当点P 从点C 开始沿AC 边向点A 移动时，将CPE △沿直线PE 对折，点C 的对称点为C '，当C PE '△与AEP △重叠部分为直角三角形时，请直接写出t 的值为_________12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），以原点O为圆心、3为半径作⊙O，⊙O与x轴交于点B、C．点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP 翻折，得到△APQ．（1）当△OAQ为等边三角形时，请直接写出P点坐标；（2）若△ABQ为直角三角形时，请求出t的值；（3）求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时，请直接写出t的值．13．（1）操作发现：如图①，在Rt ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系？并说明理由．（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝BC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝3，求出DE的长．14．我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．【发现与证明】ABCD Y 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C 'V ，连结B D '．结论1：AB C 'V 与ABCD Y 重叠部分的图形是等腰三角形．结论2：//B D AC '；……(1)请利用图1证明结论1或结论2；【应用与探究】在ABCD Y 中，已知30B ∠=︒，将ABC 沿AC 翻折至AB C 'V ，连结B D '．(2)如图，若AB =75AB D '∠=︒，则ACB =∠_____︒，BC =_____；(3)已知AB =BC 长为多少时，AB D 'V 是直角三角形？请直接写出答案15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．（1）求AB的长度；（2）重叠部分的面积为；（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．16．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）在三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，则A ∠的取值范围为_______；（2）如图1，折叠平行四边形DEBF ，使得顶点,E F 分别落在边,BE BF 上的点,A C 处，折痕为DG DH 、．求证：四边形ABCD 为三等角四边形；（3）如图2，在三等角四边形ABCD 中，A B C ∠=∠=∠，若5AB =，AD =7DC =，则BC 的长度为_______．17．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在ABCD Y 中，BE AD ⊥，垂足为E ，F 为CD 的中点，连接EF ，BF ，试猜想EF 与BF 的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将ABCD Y 沿着BF （F 为CD 的中点）所在直线折叠，如图②，点C 的对应点为'C ，连接'DC 并延长交AB 于点G ，请判断AG 与BG 的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将ABCD Y 沿过点B 的直线折叠，如图③，点A 的对应点为'A ，使'A B CD ⊥于点H ，折痕交AD 于点M ，连接'A M ，交CD 于点N ．该小组提出一个问题：若此ABCD Y 的面积为20，边长5AB =，BC =，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．18．综合与实践在一次综合实践活动课上，数学王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，要求同学们仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下的操作：第一步：如图1，将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，得到AD的中点E，然后展开铺平；第二步：如图2，将CD边沿CE翻折到CF的位置；第三步：如图3，再将BC沿过点C的直线翻折，使点B和点F重合，折痕与AB边交于点G．他们认为：该点G就是AB边的一个三等分点．(1)试证明上面的结论：(2)“奋进”小组的同学是这样操作的：第一步：先将正方形纸片ABCD的一条边AD对折，使点A和点D重合，找到AD的中点E；第二步：再折出正方形纸片ABCD的对角线AC，以及点B和点E的连线BE，这两条折痕相交于点F；第三步：最后，过点F折出AB的平行线GN，分别与AD，BC交于点G和点N．①请根据上面的描述，在图4中画出所有的折痕，确定点G和点N的位置；②请结合①中所画的图形，判断点G是否为AD边的三等分点，并说明理由．。

等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

x等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题（坐标系）模型一例1：在平面直角坐标系中，已知A （3，4），设点P 在x 轴的正半轴上，若POD △是等腰三角形，求点P 的坐标；分析：（1） 定方向：构造类。

无现成的三角形（2） 定分类：可以分为如下三类：x（OA=OP ） （OA=AP ） （OP=AP ） （3）定解法：（1）几何法：无角相似；（2）代数法：勾股定理表示三角形的三边长，建立等腰三角形三边相等建立方程求解；（4）定结果：将OP 的长度转为为坐标。

解法1：∵)4,3(A ，∴5 OA 情形一：OA=OP ；则点P （5，0） 情形二：OA=AP ； 过Ａ点作AB ⊥OP 。

∴OP=2OB=6(三线合一)等腰三角形存在性问题分析思xxx点P （6，0） 情形三：OP=AP作PC ⊥OA ，AB ⊥OP 易得△AB O ∽△PCOOBOCAO OP = 3255=OP OP=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 解法2：△AOP 三边分别表示如下： OA=5；OP=x ；在Rt △ABP 中，AB=4,PB= x-3， 则222)3(4-+=x AP （罗列三边） 情形一：OA=OP ；则x=5，∴点P （5，0） 情形二：22AP OA =；则222)3(45-+=x ； 解得：x=6 ∴点P （6，0） 情形三：22AP OP =222)3(4)3(-+=-x x解得：x=625P 25(0)6，综上所述，所求点P 的坐标是(60)，、(50)，或25(0)6，． 点睛：（1）解法1：几何法的关键就是利用直角三角形构造相似或者解直角三角形。

而坐标可以构造直角，三线合一也可以构造直角。

（2）解法2：解析法的关键是利用x 表示出三条边，然后利用边长相等建立方程。

（3）两种方法各有利弊，几何法计算简单，但寻找相似有难度。

而解析法分析问题简单，但计算复杂。

学生做题前请先回答以下问题问题1：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD的度数为( )问题2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠BOE的度数为( )问题3：如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )问题4：如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )问题5：如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，点D在BC上，DE交AB于点F，若∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数为( )问题6：如图，EG∥AD，EG交AB于点F，交CA的延长线于点G，若∠B=20°，∠GFA=30°，则∠ADC的度数为( )问题7：已知：如图，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，则∠D的度数为( )问题8：如图，已知∠B=∠ADB，∠3=55°，∠2=20°，则∠1的度数为( )一次函数之等腰三角形存在性（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.在平面直角坐标系中，已知两个点A(3，0)，B(0，2)，在y轴上是否存在点p，使△ABP 为等腰三角形，若存在，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性2.在平面直角坐标系内，已知一次函数y=-x+6的图象与x、y轴分别交于A、B两点，点P 是直线AB上的一个动点，当△OAP为等腰三角形时，点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点，若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性4.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是线段OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性5.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，若使△OAP为等腰三角形，则点P的坐标是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形存在性学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题是对等腰三角形存在性问题的训练，应用的存在性问题的处理框架，我们一起来小结一下吧！一次函数背景下的存在性问题，首先第一步是：研究背景图形，即把函数信息中的_____________转化到几何图形中.问题2：第二步是：分析不变特征，确定分类标准；具体分析过程是什么？。

专题：二次函数中等腰三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题以(,)A A A x y 、(,)B B B x y 为三角形的边，在x 轴上找一点P 使得△PAB 为等腰三角形（二定一动）一.找法：画圆和作垂直平分线①以A 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为1P 、2P 点；（AB=AP ）②以B 为圆心，线段AB 为半径画圆，与x 轴交点即为3P 、4P 点；（AB=BP ）③作线段AB 的垂直平分线，与x 轴交点即为5P 点；（AP=BP ）二、算法：利用两点距离公式进行计算 公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- ，设(,)p p P x y ，分三种情况：①AB=AP 时 2222()()()()A B A B A P A P x x y y x x y y -+-=-+-可得1P 、2P ，（特殊情况可能是一个点，例如2P 与B 重合）②AB=BP 时2222()()()()A B A B B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得3P 、4P ，（特殊情况可能是一个点，例如3P 与A 重合）③AP=BP 时2222()()()()A P A P B P B P x x y y x x y y -+-=-+-可得5P 、例题1、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于点A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0），与y 轴交于点C ，点D （-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上是否存在动点Q ，使得△BCQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.1、（2021·云南九年级一模）如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3）（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。

最新一次问题--等腰三角形存在性问题
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

本文将讨论等腰三
角形的存在性问题。

在几何学中，我们知道要构成一个等腰三角形，至少需要两条
边相等。

因此，我们需要分两种情况来讨论等腰三角形的存在性。

- 第一种情况是已知两条边的长度是否相等。

如果两条边的长
度相等，那么根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：存在一
个等腰三角形。

- 第二种情况是已知两个角是否相等。

如果两个角的大小相等，那么根据等腰三角形的性质，我们可以推出结论：存在一个等腰三
角形。

上述两种情况都能保证等腰三角形的存在性。

然而，若只给出
了其中一种条件（即两条边的长度相等或两个角的大小相等），我
们不能确定是否存在一个等腰三角形。

因此，同时满足两个条件才
能推断等腰三角形的存在。

综上所述，等腰三角形的存在性取决于两个条件的同时满足。

当两条边的长度相等且两个角的大小相等时，我们可以确定存在一个等腰三角形。

若只满足其中一个条件，我们不能确保等腰三角形的存在。

请注意，以上讨论基于几何学的基本定义和性质，准确性得到确认。