八年级几何专题：截长补短法

中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE．在△BAE和△BFE中，，∴△BAE≌△BFE．∴EF=AE．∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF．又∵BC=AB+CD，BF=AB，∴CD=CF，∴．∴△CED≌△CEF（SSS），∴∠FCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．分析：在BC上截取BF=BA．根据SAS证明△BAE≌△BFE．再证明△CEF≌△CED即可．点评：此题考查全等三角形的判定和性质，运用了截取法构造全等三角形进行证明，这是解决有关线段和差问题时常作的辅助线．变形1 如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．证明：延长CE，BA，相交于点F．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠F，∠D=∠FAE．又∵DE=AE，∴△CDE≌△FAE（AAS），∴FA=CD=1，CE=FE．∵AB=2，BC=3，∴BC=3=BA+AF=BF ．∴CE ⊥BE ．分析：由已知AB ∥CD 和E 是AD 中点，不难想到作延长CE ，BA ，相交于点F 的辅助线．则得△CDE ≌△FAE ，得CE=CF ，结合结论CE ⊥BE 易联想到只需证BC=BF ，这容易从题中的数值中推得．变形2、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ．求证：AB+BD=AC ．证明：在AC 取一点E 使AB=AE ，在△ABD 和△AED 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAD ，AD ＝AD∴△ABD ≌△AED ，∴∠B=∠AED ，BD=DE又∵∠B=2∠C ，∴∠AED=2∠C∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDC=∠C ，∴ED=EC ，∴BD=EC∴AB+BD=AE+EC=AC例2、已知△ABC 中，∠A=60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并说明理由．分析 在CB 上取点G 使得CG=CD ，可证△BOE ≌△BOG ，得BE ═BG ，可证△CDO ≌△CGO ，得CD=CG ，可以求得BE+CD=BC ．解：在BC 上取点G 使得CG=CD ，∵∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD 和△COG 中，∴△CODF ≌△COG （SAS ），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°-60°=60°=∠BOE ，∵在△BOE 和△BOG 中，∴△BOE ≌△BOG （ASA ），∴BE+CD=BG+CG=BC ．点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG 和BE=BG 是解题的关键．分析：延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，可得△ABE 是等边三角形，即可求得AC=AE ，可得∠ACE=∠AEC ，即可求得∠DCE=∠DEC ，可得DE=CD ，即可解题．变形1、 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ADB ＝90°﹣ ∠BDC ．试判 断线段 CD 、BD 与 AB 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论AB=BD+CD ，证明1：延长CD 到E ，使DE=BD ，连接AE ，∵∠ADB=90°-21∠BDC ， ∴∠ADE=180°-（90°-21∠BDC ）-∠BDC=90°-21∠BDC ，∴∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中AD ＝AD∠ADB ＝∠ADE BD ＝DE∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE ，∵AB=AC ，∴AE=AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD ．证明2：以AD 为轴作△ABD 的对称△AB ′D （如图），则有B ′D=BD ，AB ′=AB=AC ，∠B ′=∠ABD=60°，∠ADB ′=∠ADB=90°- 21∠BDC ，所以∠ADB ′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，所以C 、D 、B ′在一条直线上，所以△ACB ′是等边三角形，所以CA=CB ′=CD+DB ′=CD+BD ．证明3：（1）AB=BD+CD ；（2）延长BD 至E ，使BE=AB ，连接AE 、CE ，∵∠ABD=60°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB ，∠AEB=60°，∵AB=AC ，∴∠ACE=∠AEC，∵∠ACD=60°，∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，即∠DCE=∠DEC，∴DE=CD，∴BE=BD+DE=BD+CD，∴AB=BD+CD例题 3. 如图所示，在五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．分析：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD ≌△AFD，可得∠ADC=∠ADF即可解题．证明1：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，AB=AE∠ABC=∠AEFBC=EF∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，AC=AFCD=FDAD=AD∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变形1 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE、BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD平分∠CDE．证明2：如图．连结AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置．因为AB＝AE，所以AB与AE重合．因为∠ABC＋∠AED＝180°，∠AEF＝∠ABC，所以∠AEF＋∠AED＝180°．所以D、E、F三点在同一直线上，AC＝AF，BC＝EF．在△ADC与△ADF中，DF＝DE＋EF＝DE＋BC＝CD，AF＝AC，AD＝AD．所以△ADC≌△ADF(SSS)．因此∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．思路解析：要证AD平分∠CDE，则需证∠ADC＝∠ADE；而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE是在△ADE中，且已知BC＋DE＝CD，AB＝AE，∠ABC＋∠AED＝180°，这时想到，连结AC，将四边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，这时可知D、E、F在同一直线上，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得．变形2 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点， N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出证明．解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．变形3、如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．（3）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系．分析：（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而等量代换得到MN=BM+NC；（2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答；（3）按要求作出图形，BM、MN、NC之间的关系是MN=NC-BM，理由为：先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证．解：（1）MN=BM+NC，理由如下：延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，在△DMN和△DEN中，ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；（2）利用（1）中的结论得出：△AMN的周长=AM+MN+ANAB--BM+MN+AC--NC=AB--CE+NE+AC--NCAB+AC=2+2=4；（3）按要求作出图形，如图2所示，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM，理由如下：在CA上截取CE=BM，∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠ECD=90°，又∵CE=BM，BD=CD，在△BMD和△CED中，∵CE=BM ∠MBD=ECD=90° BD=CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE=DM，在△MDN和△EDN中，∵ND=ND ∠EDN=∠MDN MD=ED ，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．变形4、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．解：（1）BM+CN=MN证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．又∵∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°．∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．（2）附加题：CN-BM=MN证明：如图，在CN上截取CM1，使CM1=BM，连接MN，DM1∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，∴∠DBM=∠DCM1=90°．∵BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDM1+∠BDN=60°．∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．∴∠M1DN=∠MDN．∵ND=ND，∴△MDN≌△M1DN．∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．分析：根据已知先证明Rt△BDM≌Rt△CDM1从而得到BM=CM1，然后再证明△MDN≌△M1DN，从而推出MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．在证明时，需添加辅助线，采用“截长补短”法，借助三角形全等进行证明．点评：此题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质及三角形全等的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．该题是一个纯图形探索证明题，注意培养自己的探索精神和钻研精神．例题 4. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点．（1）如图（1），若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若 ACE＝135°，求线段 AE 长度的最大值．分析（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=12BD，进而得出结论；（3）在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．可以求得CF=CG，△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理求出FG的值就可以得出结论．解：（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．如图1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，∵AB=AF∠BAC=∠FACAC=AC，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，∵CF=CD∠ECF=∠ECDCE=CE，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案为：AE=AB+DE；（2）如图（2），AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB、BD、DE、AE 的长 度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（2）猜想：AE=AB+DE+21BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG=FC=21BD ．∵AE=AF+EG+FG ．∴AE=AB+DE+21BD ．（3）如图（3），BD ＝8，AB ＝2，DE ＝8，若 ACE ＝135°，求线段 AE 长度的最大值．（3）如图（3），在AE 上取点F ，使AF=AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG=ED ，连结CG ． ∵C 是BD 边的中点，∴CB=CD=21BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，∵AB=AF ∠BAC=∠FACAC=AC ，∴△ACB ≌△ACF （SAS ），∴CF=CB ，∴∠BCA=∠FCA ．同理可证：CD=CG ，∴∠DCE=∠GCE ．∵CB=CD ，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC 是等腰直角三角形．∴FC=21BD ．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=42．∵AE=AF+FG+GE ，∴AE=AB+42+DE ．∵AB=2，DE=8，∴AE=AF+FG+EG=10+42．点评 本题考查了和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．例题 5.在△ABC 中，∠BAC ＝90°．（1）如图 1，直线 l 是 BC 的垂直平分线，请在图 1 中画出点 A 关于直线 l 的对称点 A ′，连接 A ′C ， A ′B ，A ′C 与 AB 交于点 E ；（2）将图 1 中的直线 A ′B 沿着 EC 方向平移，与直线 EC 交于点 D ，与直线 BC 交于点 F ，过点 F 作 直线 AB 的垂线，垂足为点 H ．①如图 2，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系，并证明； ②若点 D 在线段 EC 的延长线上，直接写出线段 FH ，DF ，AC 之间的数量关系．分析 （1）根据轴对称的性质画出即可；（2）过点F 作FG ⊥CA 于点G ，求出四边形HFGA 为矩形．推出FH=AG ，FG ∥AB 求出∠GFC=∠EBC ，根据线段垂直平分线的性质得出BE=EC ，求出∠ECB=∠EBC=∠GFC ，∠FDC=∠A=90°，∠FDC=∠FGC=90°，根据AAS 推出△FGC ≌△CDF ，推出CG=FD 即可；（3）过F 作FH ⊥BA 于H ，过点C 作CG ⊥FH 于G ，求出四边形ACGH 为矩形．推出AC=GH ，CG ∥AB ，证△FGC ≌△CDF ，根据全等三角形的性质得出FG=FD ，即可得出答案． 解：（1）如图：；（2）①DF+FH=CA ，①证明：过点F 作FG ⊥CA 于点G ，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH-DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．在△FGC和△CDF中∵∠GFC=∠DCF ∠FGC=∠CDF CF=CF∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH-FG=GH，∴FH-DF=AC．点评本题考查了平移的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，此题是一道综合性比较强的题目，难度偏大．变形1 （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断)(2BCAC与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．分析：（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．证明：（1）连接BD，∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∵AB+AD＞BD，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=，∴AB+AC＞；（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：如图，作EB⊥AB，EB=2CD，∵AB+AC＞（1）的结论；两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．点评：此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．例题 6. 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为AO 上一动点，过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC、于点 N、E、M．（1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2），求证：BN＝CD；（2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系．解：（1 ）证明：连接ND ，∵AO 平分∠BAC ，∴∠1= ∠2 ，∵直线l ⊥AO 于H ，∴∠4= ∠5=90 °，∴∠6= ∠7 ，∴AN=AC ，∴NH=CH ，∴AH 是线段NC 的中垂线，∴DN=DC ，∴∠8= ∠9 ．∴∠AND= ∠ACB ，∵∠AND= ∠B+ ∠3 ，∠ACB=2 ∠B ，∠B+ ∠3= ∠7+∠9=2 ∠B ∴∠B= ∠3 ，∴BN=DN ，∴BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。

初二基本型之等边三角形截长补短法几何基本型是学习几何的重要基础，而让学生能够根据题目做出几何辅助线是我们培养学生数学思维的重要手段。

基本的图形比如八字型，等边三角形的“V”型全等，角平分线对角互补角平分线型，角平分线与垂直平分线结合，手拉手问题，三垂直（k字形、一线三等角），等腰直角三角形躺立全等问题等等。

常用的辅助线做法比如倍长中线法（就是做平行线的方法，根据中点是否已知来进行构造求解），等腰直角三线合一，旋转法，SSA到直角三角形转化，截长补短法等等。

今天我们重点说下截长补短法的一个特例。

截长补短法在题目中有角度相等关系（如角平分线，等腰三角形）和线段和差关系时（一个线段等于另外两个线段之和，一条长线段，两条短线段），特别常用。

截长法就是把长线段截成两个部分，用全等或者等腰证明线段关系。

补短法就是把短线段补长了，通过全等或者等腰计算。

等边三角形有着天然边等角等的条件，可以很好的应用在截长补短的思想中。

其图形的基本特点是：先画出等边△ABC，P是等边△ABC外任意方向上的一点，连接P与三角形的三个顶点，PA、PB、PC，如果短线段之和等于长线段，则PA、PB、PC间线段夹角就会出现60°，反之依然。

基本方法就是截长补短。

下面用截长法进行介绍。

如图所示，点P是等边△ABC外一点，∠APC=60°，PA、BC交于点D，求证：PA=PB+PC．题目给了等边三角形外一点P，出现了60°，而且求的是线段的和差关系，PA（长）是PB、PC（短）的和。

所以要用截长补短法。

为了用已知条件∠APC=60°，选取在∠APC侧进行截取，即在AP（长）截取PM=PC（短）。

这样会出现等边△PMC，然后再证一次全等就可以了。

具体证明如下证明：在AP上截取PE，使得PE=PC，连接CE，∵∠APC=60°，∴△PEC是等边三角形∴PC=CE，∠ECP=60°，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ECP=∠ACB，∴∠ACE=∠PCB，在△ACE 和△BCP中AC＝BC，∠ACE＝∠PCB，CE＝PC，∴△ACE≌△BCP（SAS），∴AE=BP，∵AP=AE+PE，∴AP=PB+PC．下面我们看下最基本的变形如图，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD本题汤和药都没换，只需要注意到连接AC，△ABC等边，D是三角形外一点，发了三条线段DA、DB、DC还有夹角60°以后就没有压力了。

截长补短法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

用法例题例1：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。

解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

罕见的辅助线作法（截长补短）之勘阻及广创作
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

初中数学常见模型之截长补短模型初中数学是一个承前启后的阶段，它既是对小学数学知识的扩展，又是高中数学的基础。

在这个阶段，学生们需要掌握许多数学模型，其中包括截长补短模型。

本文将介绍截长补短模型的基本概念、应用场景以及相关思想方法。

截长补短模型是一种常见的几何解题方法，适用于证明线段相等、构建辅助线等问题。

它的基本思想是通过将一条线段分成若干段，或者将不同线段进行拼接，实现证明或求解的目的。

在实际应用中，截长补短模型可以应用于以下几种场景：1、证明两条线段相等。

通过将其中一条线段分成若干段，然后将这些段与另一条线段进行比较，判断它们是否相等。

2、构建辅助线。

在解题过程中，如果发现需要添加一条辅助线才能解决问题，可以通过截长补短的方法将已有线段进行拼接，得到新的线段。

3、解决角度问题。

通过将一个角分成若干个更小的角，然后利用这些小角之间的关系，求解角度问题。

下面我们通过一个具体例子来说明如何使用截长补短模型。

例如，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点。

求证：AD垂直平分BC。

证明：在AB上取一点E，使得AE=AC。

连接ED并延长至F，使得ED=DF。

连接AF、CF。

因为AE=AC，所以三角形AEC是等腰三角形。

又因为ED=DF，所以AF=AC。

在三角形ABC中，AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

因为D是BC的中点，所以AD垂直平分BC（三线合一）。

通过这个例子，我们可以看到截长补短模型的应用。

通过将线段AB 分成AE和EB两段，并将AC与AE拼接成AF，实现了证明AD垂直平分BC的目的。

总之，截长补短模型是初中数学中一种重要的几何解题方法，它能够将复杂的几何问题转化为简单的线段比较和拼接问题。

通过掌握截长补短模型，我们可以更好地理解几何学中的基本概念和思想方法，提高解决几何问题的能力。

截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。

即延长a ，得到b ，证：c b a =+。

②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。

即延长a ，得到c ，证：a c b -=。

【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。

我可以为你提供一些使用截长补短法解决几何压轴题的思路，但由于具体的题目内容会有所不同，我无法直接提供具体的题目。

如果你有具体的几何压轴题需要帮助，请提供相关的题目信息，我会尽力为你提供详细的解答。

使用截长补短法的一般思路如下：
1.
观察图形：仔细观察几何图形，确定需要使用截长补短法的线段
或边。

2.
确定目标：确定需要证明或求解的目标，例如证明两条线段相等、求某个角度的大小等。

3.
截长或补短：根据具体情况，选择合适的方法进行截长或补短。

截长是指在较长的线段上截取一段与较短线段相等的部分，补短
则是指在较短的线段上延长一段与较长线段相等的部分。

4.
构造全等三角形：通过截长或补短，构造出与原始图形中的某些
三角形全等的新三角形。

5.
利用全等性质：利用全等三角形的性质，证明或求解目标。

6.
整理结论：根据证明或求解的结果，整理出最终的结论。

需要注意的是，截长补短法是一种几何证明和求解的方法，需要灵活运用三角形全等的性质和定理。

在具体应用时，需要根据题目条件和图形特点进行适当的调整和变化。

如果你有具体的几何压轴题需要帮助，请提供相关的题目信息，我会尽力为你提供详细的解答。

中考数学几何模型截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB 的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF＝CD+CF．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF＝AF．6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD＝AC．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE＝2，求EF的长；（2）求证：PF＝EP+EB．答案例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解答】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式练习>>>1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由．【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式练习>>>2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解答】解：AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．变式练习>>>3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解答】解：（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB 的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1：；（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H 作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN=NM．4. 如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DFA=2∠BAE（已知），∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．∴∠FAE=∠BAE；∴2∠FAE=40°，∴∠FAE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在Rt△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．。

截长补短模型专题解读【专题说明】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a＋b ＝c”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

【方法技巧】常见类型及常规解题思路：① a b c ±= 可采取直接截长或补短，绕后进行证明。

或者化为类型②证明。

② a b kc ±= 可以将a b ±与c 构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30o 的直角三角形等。

截长法常规辅助线：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法常规辅助线：（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起【典例分析】【典例1】模型分析当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠B ＝2∠C ，求证：AB +BD ＝AC ． 截长法：在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，证明CE ＝BD 即可．补短法：延长AB 至点F ，使AF ＝AC ，连接DF ，证明BF ＝BD 即可．请结合右边的证明结论．求证：AB +BD ＝AC ．请结合右边的【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】【解答】证明：【截长法】在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC．证明：【补短法】延长AB到F，使BF＝BD，连接DF，∵BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABC＝∠F+∠BDF＝2∠F，且∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠F，且∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，∴△ADF≌△ADC（AAS）∴AC＝AF，∴AC＝AF＝AB+BF＝AB+BD．【变式1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于F点，交AB于点E．求证：AD＝2DF+CE．【解答】证明：在AF上截取FG＝DF，连接CG，则DG＝2DF，∵∠ACB＝90°，∴∠DCF+∠ACF＝90°，又∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠DCF＝∠CAF，∵AD平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF，∵DF＝FG，CF⊥DG，∴CD＝CG，∴∠CDG＝∠CGD，∵∠DGC＝∠GAC+∠ACG，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠ACG，又∵AC＝BC，∴△ACG≌△CBE（ASA），∴AG＝CE，∴AD＝AG+DG＝CE+2DF．【变式2】如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠ADB ＝∠ADC＝60°，求证：AD＝BD+CD．【解答】证明：在DA上截取DE＝DB，连接BE，如下图所示，∵∠ADB＝60°，DE＝DB，∴△ABD为等边三角形，∴∠EBD＝60°，BE＝BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∴∠EBD﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD，∴AD＝AE+ED＝CD+BD．【变式3】如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的一条弦，且＝，过点A 作AP⊥CD，分别交CD，⊙O于点E，P，连接BP，若CD＝6，△ABP的周长为13，求AE的长．【解答】解：在AE上截取AF＝BP，连接CF，PC，∵AC＝BC，∠CAF＝∠CBP，∴△CAF≌△CBP，CF＝CP，∵CD⊥P A，∴EF＝PE，∴AE＝AF+FE＝PB+PE，∵AC＝BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB＝CD＝6，∵△ABP的周长是13，∴AP+PB＝7，∵AE＝PE+PB，∴2AE＝AP+PB，∴AE＝．【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB左侧作∠BDC＝∠BAC＝α，过点A作AE ⊥DC于点E．（1）当α＝90°时，①求证：AE＝DE；②若BD＝AE＝2，请求出△ABC的面积；（2）当α≠90°时，求证：BD+DE＝EC．【解答】（1）①证明：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，∵AE⊥CD，∴∠DEF＝90°，又∵∠BDE＝90°，∴四边形BDEF为矩形，∴DE＝BF，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠EAC＝90°，又∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠BF A＝90°，AB＝AC，∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE，∴DE＝AE；②解：∵四边形BDEF为矩形，BD＝AE＝2，∴BD＝EF＝2，DE＝BF＝AE＝，∴AF＝AE+EF＝+2，∴BA2＝BF2+AF2＝＝8+4，∴S△ABC＝＝；（2）证明：过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，连接AD，设CD与AB交于点O，∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO＝∠DOB，即∠ABF＝∠ACE，又∵∠AEC＝∠AFB＝90°，AC＝AB，∴△ACE≌△ABF（AAS），∴AE＝AF，BF＝CE，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴DE＝DF，∴CE＝BF＝BD+DF＝BD+DE．【变式5】【问题背景】如图①，在边长为1的正方形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点（与点B，C不重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与正方形ABCD的外角∠DCG的平分线交于点F．李老师指出，当点E为线段BC的中点时，AE＝EF．【初步探索】（1）如图②，当点E在线段BC的延长线上时，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立；【问题解决】（2）当点E在线段BC上时，设BE＝x，△ECF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；【拓展延伸】（3）如图③，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，点C在x轴正半轴上，当点E运动到某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，求此时点E 的坐标．【解答】解：【问题背景】如图1，取AB的中点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°＝∠BCD，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∵E是BC的中点，∴BH＝BE＝AH＝CE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【初步探索】（1）仍然成立，理由如下：如图2，在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．∵AB＝BC，AN＝CE，∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠NAE＝∠CEF，在△ANE和△ECF中，，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；【问题解决】（2）如图3，在BA上截取BH＝BE，连接HE，同理得：△AHE≌△ECF，∴y＝S△AHE＝AH•BE＝x（1﹣x）＝﹣x2+x（0≤x≤1）；【拓展延伸】（3）如图4，在BA上截取BH＝BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于M，设点E（a，0），∴BE＝a＝BH，∴HE＝a，由（1）可得△AHE≌△ECF，∴CF＝HE＝a，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝∠FCM＝45°，∵FM⊥CM，∴∠CFM＝∠FCM＝45°，∴CM＝FM＝a，∴BM＝1+a，∴点F（1+a，a），∵点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，∴a＝﹣2（1+a）+3，∴a＝，∴点E（，0）．【典例2】如图1，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，∠A＝45°．（1）试猜想CF与BE之间的数量关系，并证明；（2）自主探究：如图2，若将已知条件中含45°的直角三角形换成含30°的直角三角形，其余条件不变，试探究BE和CF的关系．【解答】解：（1）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠A＝45°，∴∠C＝45°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝45°，∴△FHC为等腰直角三角形，∴FC＝FH，∴FC＝BE；（2）CF与BE之间的数量关系为：CF＝BE．理由：过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠C＝60°，∠B＝90°．∵∠DEF＝∠B，∴∠DEF＝90°，∴∠DEB+∠FEH＝90°．∵∠BDE+∠DEB＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△BDE和△HEF中，，∴△BDE≌△HEF（AAS），∴BE＝FH．∵FH⊥BC，∠C＝60°，∴sin60°＝，∴FC＝FH，∴FC＝BE．【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，点F是AC上一点，连接BF交AD于点E，且DE＝CD，连接DF，若AF＝4，DF＝2，则BF的长为．【解答】解：如图，在BF上截取HF＝AF，连接AH，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠BDE＝90°，∴∠AHF＝∠HAF＝45°，∴AH＝AF，∴∠BAH＝∠DAF，∠AHB＝135°，∠AEF＝∠BED，∠AFE＝∠BDE＝90°，∴△AFE∽△BDE，∴＝，∵∠AEB＝∠FED，∴△AEB∽△FED，∴∠EAB＝∠EFD＝45°，∴∠AFD＝∠AFH+∠EFD＝90°+45°＝135°，∴∠AHB＝∠AFD，∴△AHB∽△AFD，∴＝＝，∴BH＝DF，∴BF＝BH+HF＝DF+AF＝2+4．故答案为：2+4．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＞AC，点E在BC上，点D在AB上，CE＝CA，连接DE，∠ACB+∠ADE＝180°，CH⊥AB，垂足为点H．求证：DE+AD＝2CH．【解答】证明：如图，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB，∴∠FCA＝∠DCB，∵∠ACB＝120°，∠ACB+∠ADE＝180°，∴∠EDB＝120°，∠EDA＝60°，∵∠F AC＝120°+∠B，∠CED＝120°+∠B，∴∠F AC＝∠CED，在△AFC和△EDC中，，∴△AFC≌△EDC（ASA），∴AF＝DE，FC＝CD，∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°，∴DH＝CH，∵AD+DE＝AD+AF＝FD＝2DH＝2CH，∴AD+DE＝2CH．【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，BD，若AB＝AC，请探究AD，BD，DC之间的数量关系．【解答】解：作AE⊥AD交BD于E，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABD＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∵△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∵BD＝DE+BE，∴BD＝AD+CD．【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝AD，点E为CD延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，CF交AD于点H，过点D作DN⊥AE于点N，连接DF．（1）在不添加辅助线的情况下，找出一个与△CDH相似的三角形，并证明；（2）求证：FD＝2DN；（3）求证：CF＝AF+2FD．【解答】（1）解：选择△AFH，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°，∴∠AFH＝∠CDH，∵∠AHF＝∠CHD，∴△AFH∽△CDH；（2）证明：连接AC，∵△AFH∽△CDH，∴，∴，∵∠FHD＝∠AHC，∴△FHD∽△AHC，∴∠DFC＝∠DAC，∵AB＝CD＝AD，∴∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠DAC＝60°，∴∠DFN＝30°，∵DN⊥AE，∴∠DNF＝90°，∴FD＝2DN；（3）证明：在线段FC上截取FO，使FO＝AF，连接AO，∵∠AFO＝90°，∴F AO＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠F AD＝∠OAC，∵，∴△F AD∽△OAC，∴，∴OC＝2FD，∴CF＝FO+OC＝AF+2FD，∴CF＝AF+2FD．【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是平面内一点，且AD⊥CD．点O是BC的中点，连接OA，OD．（1）如图①，若点D是BC下方一点，过点O作OE⊥OD分别交AC，AD于点E，F．①求证：∠OAF＝∠OCD；②若CD＝1，DF＝2，求BC的长；（2）如图②，若点D是AC右侧一点，试判断AD，CD，OD之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∴OA＝OB＝OC，OA⊥OC，∵OE⊥OD，∴∠AOC＝∠EOD＝90°，∴∠AOF＝∠COD，∵∠AOM＝∠MDC＝90°，∠AMO＝∠CMD，∴∠OAM＝∠MCD，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴∠OAF＝∠OCD；②解：∵△OAF≌△OCD，∴AF＝CD＝1，∵DF＝2，∴AD＝AF+DF＝1+2＝3，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，∵AC＝AB，∴BC＝AC＝＝2；（2）解：AD+CD＝OD．理由：过点O作OE⊥OD，交DA的延长线于点E，∵∠DOE＝∠AOC＝90°，∴∠AOE＝∠COD，∵∠ODC+∠+ODA＝90°，∠ODA+∠OEA＝90°，∴∠ODC＝∠OEA，又∵OA＝OC，∴△OCD≌△OAE（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∴DE＝OD，∴AD+AE＝AD+CD＝OD．【变式6】【问题探究】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，CD，且∠CAB＝∠CDB．（1）如图①，当∠CAB＝60°时，试探究BD，CD，AD之间的数量关系；（2）如图②，当∠CAB＝120°时，探究是否为定值，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，在四边形ADBC中，AB＝AC，∠CAB＝∠CDB＝120°，若AD＝2，BD ＝3，求CD的长．【解答】解：（1）BD，CD，AD之间的数量关系为：BD＝CD+AD，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，如图①所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD；（2）是定值，理由如下：在BD上取一点E，使BE＝CD，连接AE，设AC交BD于H，过点A作AF⊥BD于F，如图②所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHB＝∠CHD，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，∴∠DAC+∠CAE＝∠EAB+∠CAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∵DE＝BD﹣BE＝BD﹣CD，∴BD﹣CD＝AD，∴＝，∴是定值；（3）在CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，设AB交CD于H，过点A作AF⊥CD 于F，如图③所示：∵∠CAB＝∠CDB，∠AHC＝∠BHD，∴∠ACE＝∠ABD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAB＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，∵AF⊥DE，∴DF＝EF，AF＝AD，在Rt△AFD中，由勾股定理得：DF＝＝＝AD，∴DE＝2DF＝AD，∴CD＝CE+DE＝BD+AD＝3+×2＝3+2．。

常见的辅助线作法（截长补短）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。

求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

初二几何辅助线专题练习每日一题——截长补短法（欢迎加入群963700627）1.如图，AD∥BC，点E在线段A B 上，∠ADE=∠CDE，∠DC E=∠ECB.求证：CD=AD+BC.2.已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.3.如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交B C 于D.求证：AB=AC+CD.4. 已知∆ABC 中，∠A=60，BD 、 CE分别平分 ∠A BС和.∠AСB B D C E交于点O求证：BE + CD = BC ．5.如图，ΔABC 是正三角形，∠ADC=120°,求证：BD=AD+CD.6.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，连接 CE，CF，且∠BCD=2∠ECF。

（1）求证：BC=BD；（2）求证：EF=BE+DF7.五边形A BCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE8.如图所示，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD于M,求证：AB+AC=2AM.9.如图，已知△ABC 为等边三角形，D 为B C 延长线上一点，连接A D，E 为A D 上一点，且满足AB=AE，连接B E，交A C 于点F.求证：AD=AF+CD10.已知，如图，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.其中B、E、D 共线且DE 交AC 于F. 在AB 上取一点G，使EG∥AD，连接EG.若E 为BF 的中点，求证：BG+AB=BC.11.在R t△ABC 中，∠ABC=90°，点D是C B 上延长线上一点，点E是线段A B 上一点，连接D E，BF 平分∠ABC 交A C 于点F. AC=DE，BC=BE，点G是线段F B 延长线上一点，连接D G，点H是线段D G 上一点，连接A H 交B D 于点K，连接K G，当K B 平分∠AKG 时，求证：AK=DG+KG.12. 在R t∆ABC 中，∠BCA = 90︒，G 为A B 的中点，过点G 作D G ⊥AB 交A C 于点D.过点D作D E ⊥B D ，连接A E ，以点E为直角顶点，A E 为直角边向外作等腰直角三角形A EF ，使得点F刚好落在B D的延长线上，求证：B C =DE +DF .13.如图,在等边三角形ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O,点E、F 分别在线段AB、BC 上,连接E O、FO ,满足∠EOF = 60︒,连接E F .(1)①求证: OB =OC ；②求∠BOC 的度数；14.如图，在∆ABC 中，∠ABC = 90 , D为BC 上一点，在∆ADE 中，∠E =∠C ，∠1 = 90 （1）∠1 =∠2（2）E D =BC +BD15.如图，△ABC 中，∠ABC=45°，过点C作C D⊥AB 于点D，过点B作B M⊥AC 于点M，BM 交C D 于点E，且点E为C D 的中点，连接M D，过点D作N D⊥MD 于点D，DN 交B M 于点N．求证：NE－ME=CM16．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C 作C D∥AB 交∠ABC 的平分线于点D，∠ACB的平分线交B D 于点E。

初中几何截长补短辅助线的技巧几何截长补短辅助线是初中几何学习中的一个重要内容，它在解决各种几何问题中发挥着重要作用。

通过合理的引入辅助线，能够简化问题，加快解题速度，提高解题效率。

本文将从几何截长补短的基本原理、技巧和应用实例等几个方面来探讨这一问题。

一、几何截长补短的基本原理在解决几何问题中，有时候我们会遇到一些棘手的问题，例如如何确定某条线段的中点，如何证明两个线段相等，如何证明一个角是直角等等。

这时，引入辅助线就能够起到很好的辅助作用。

通过巧妙地引入辅助线，我们可以改变问题的结构，使得原来复杂的问题变得简单易解。

具体来说，几何截长补短的基本原理可以总结为以下几点：1.切分线段：通过引入一条辅助线，将原来的线段分割，使得问题简化。

2.补充关系：通过引入辅助线，构造出一些平行线、相似三角形等特殊的几何形状，从而得到一些新的等量关系。

3.利用对称性：通过引入辅助线，利用对称性质，进而得到所求的结论。

二、几何截长补短的技巧在实际解题中，我们要学会灵活运用截长补短的技巧，下面是一些常用的技巧：1.求线段的中点：如果要求一条线段的中点，可以通过连接线段的两个端点，然后取连接线的中垂线，这样就能够找到线段的中点。

2.证明三角形全等：如果要证明两个三角形全等，可以通过截长补短的方法，构造出两个共有的辅助线段，利用辅助线段推出其他线段的等长，从而证明三角形全等。

3.证明角的相等：要证明两个角相等，可以通过引入辅助线，构造出一些相似三角形，从而得到两个角相等的结论。

4.求证平行四边形：如果要证明一个四边形是平行四边形，可以通过截长补短的方法，构造出一些平行线或者等腰三角形等特殊形状，从而得到平行四边形的结论。

5.求证直角三角形：如果要证明一个三角形是直角三角形，可以通过引入辅助线，构造出一些直角三角形或者等腰三角形等特殊形状，从而得到直角三角形的结论。

三、“截长补短”技巧的应用实例下面我们通过一些实际例子来说明截长补短的技巧在几何问题中的应用。

模型介绍有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系.这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系.所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段.如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破.如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）.例题精讲考点一：截长型【例1】．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，则∠C等于_______.变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，若AC+CD＝AB，求∠C的度数．【变式1-2】．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE＝3，CE＝4，S△ACE＝14，则S△ACD＝________．【变式1-3】．已知在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD．考点二：补短型【例2】．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．变式训练【变式2-1】．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E为AD上一点，连接BE，CE，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：BC＝AB+DC．【变式2-2】．【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ∠，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．实战演练1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．302．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．3．已知：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝100°，AD平分∠CAB．求证：AD+CD＝AB．4．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在AB、AC上，∠BCD＝∠CBE＝30°，BE、CD相交于点O，OG⊥BC于点G，求证：OE+OD＝2OG．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：（1）BQ＝CQ；（2）BQ+AQ＝AB+BP．6．如图，△ABC两条角平分线BD，CE相交于点O，∠A＝60°，求证：CD+BE＝BC．7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：（1）点E是AD的中点；（2）BC＝AB+CD．8．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．10．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G．（1）如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF；（2）如图②，连接CG．求证：BG+DG＝CG．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE 交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．13．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第三象限和第二象限上，且OC⊥OD，OC＝OD，点C的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n+2|＝0．（1）求点C坐标；（2）求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）求∠BEO度数；（4）如图2，点P在OA上，点Q在OB上且OP＝OQ，直线ON⊥BP，交AB于点N，MN⊥AQ交BP延长线于点M，请猜想ON，MN，BM的数量关系并证明．14．如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B 在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．。

罕有的帮助线作法（截长补短）
截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,使之与特定线段相等,再应用三角形全等的有关性质加以解释.这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题.
思虑：碰到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般办法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证实剩下部分等于另一条;
补短：将一条短线段延伸,延伸部分等于另一条短线段,然后证实新线段等于长线段.
例1.已知：如图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分离用截长补短两种办法证实）
例2.已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠ABE=∠CBE,CE⊥BD的延伸线于E.求证：BD=2CE.
例3.如图,△ABC中,AM是BC边上的中线,求证：
例4.如图①所示,OP是∠MON的等分线,请你应用该图形画一对以OP地点直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD.CE分离是∠BAC.∠BCA的等分线,AD.CE订交于点F．请你断定并写出FE 与FD之间的数目关系;
(2)如图③,在△ABC中,假如∠ACB不是直角,而(1)中的其他前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证实;
若不成立,请解释来由．。

1 / 3几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.B CDAEA ED A FE DABCFE CA BD 第 1 题图A BF2 / 3ADBCE图2-1 求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。