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Q( y)
x2 (w, y)
E
x1(w, y)
34
3.3 成本分析
条件要素需求函数 x(w, y)
x(w,
y)
arg
min
xR
n +
w
x
s.t. f (x) y
35
3.3 成本分析
成本函数
c(w,y)
min
xR
n +
wx
s.t. f (x) y
c(w,y) w x(w,y)
36
3.3 成本分析
例
min
xR
2 +
w1 x1 w2 x2
s.t. (x1 x2 )1/ y
w1 ( x1 )1/ w2 x2
x1(w, y)
yw11/( 1) (w1 /( 1)
w ) 1/( 1) 1/ 1
x2 (w,
定理3.3
条件要素需求函数的性质
x(w,y)是w的0次齐次函数
替代矩阵是对称、半负定矩阵
x1
(w
,
y)
(w,
y)
w1
xn
(w
,
y)
w1
x1
(
w,
y)
wn
xnh
(w
,
y)
wn
40
定理 3.4.1
如果生产函数是位似生产函数
f (tx1 (1 t)x2 ) f (tx1) f ((1 t)x2 )
f (tx1 (1 t)x2 ) tf (x1) (1 t) f (x2 )
26
生产函数性质
规模报酬（总体性质）
规模报酬不变 f (tx) tf (x)
规模报酬递增 f (tx) tf (x) 规模报酬递减 f (tx) tf (x)
xR
n +
s.t. f (x) y
f (x) 严格递增 s.t. f (x)=y
32
3.3 成本分析
成本最小化问题
拉格朗日定理
if x* 0
wi
*
f (x*) xi
i 1, 2,..., n
wi wj
f (x*) / xi f (x*) / x j
33
3.3 成本分析
假设4：没有免费的午餐
f (0) 0
14
生产函数性质
等产量线
等产量集 Q( y) {x 0 f (x) y}
x2
MRTS12
f f
(x) / xi (x) / x j
f1(x) f2 (x)
Q( y)
x1
15
生产函数性质
生产要素的可分性
如果生产要素i、j之间的MRTSij与xk独立，那 么在生产函数中要素k可以与要素i和j分离。
短期成本函数
sc(w,w,y; x)
min
xR
n +
w x+w x
s.t. f (x,x) y
x ：固定投入要素 x ：可变投入要素
x* x(w,w,y,x)
——短期要素需求函数
47
3.3 成本分析
y2 y1
y3 F
x2
AC
E
B
48
3.3 成本分析
最优固定要素规模 x(y)
s.t. f (g(tx)) 1 s.t. f (g(z)) 1 s.t. f (g(z)) 1
44
定理 3.4.2 如果生产函数是 次齐次函数，那么有：
c(w, y) y1/ c(w,1) x(w, y) y1/ x(w,1)
45
定理 3.4.2-证明
c(w,y)
Ch 3 生产者理论
李辉文 上海对外经贸大学国际经贸学院
1
3.1 企业
预测企业行为
企业目标 约束条件
2
3.1 企业
利润最大化目标
预测力 理论的一致性与简化 长期 市场力量
3
3.1 企业
约束条件
技术 市场：
要素市场 产品市场
其他
4
3.2 生产技术
y 0, f 1( y) 0
42
定理 3.4.1：证明
令 t f 1(1) / f 1( y) 0
f (g(x)) y g(x) f 1( y)
g(tx) tf 1( y) f 1(1)
y 0, f 1( y) 0
f (g(tx)) 1
(xi / x j ) (MRTSij )
d ln(xi / x j ) d ln( fi (x) / f j (x))
19
生产函数性质
d ln y d ln x d ln y d ln x dx dx d ln y 1 1 dy
d ln x x y dx d ln y x dy
d ln x y dx
d ln y 1 dy y
d ln x 1 dx x
d ln y x dy d ln x y dx
20
常见的生产函数
f (x1, x2 ) x1 x2
x2
MRTS12
12
d ln(x1
d ln(
/ /
x2 )
)
x1
21
常见的生产函数
min
xR
n +
wx
min
xR
n +
y1/
min
xR
n +
wx
w
x y1/
y1/
min
zR
n +
wz
s.t. f (x) y
s.t. 1 f (x) 1
y
s.t.
1 f ( y1/
x)) 1
s.t. f (z) 1
y1/ c(w,1)
46
3.3 成本分析
( fi (x) / f j (x)) 0 xk
16
生产函数性质
弱可分生产函数
设 N {1, 2,..., n} 为所有要素的标号集
假设N被分划为S>1个互不相交的子集
N1,N2,…,Ns,而且满足
N S
s1 s
N
称生产函数f(x)弱可分，如果有
( fi (x) / f j (x)) 0 xk
成本函数与条件需求函数对价格与产量具有乘 积可分性：
c(w, y) h( y)c(w,1) x(w, y) h( y)x(w,1)
h()严格递增函数
c(w,1)单位产出成本
41
定理 3.4.1：证明
F (x) 是位似函数 存在严格递增函数 f () 和一次齐次函数 g() 使得：
27
生产函数性质
要素产出弹性
其他要素投入量保持不变，要素i增加1%，产 出增加的百分比。
i
(x)
d
ln[ f (x)] dln(xi )
fi (x)xi f (x)
MP(x)i / APi (x)
28
生产函数性质
点 x 上的规模弹性
(x) lim d ln[ f (tx)]
x
R
n +
0 都 0 使得
f (B (x)
R
n
)
B
(
f
(x))
P428
10
生产函数性质
假设2：严格递增性 f (x) f (x) if x x
and f (x) f (x) if x x
11
生产函数性质
假设3：严格拟凹
x1 ,x 2
n i 1
fi
(x)xi
t1 dln(t)
f (x)
(x)
n i 1
i
(x)
29
生产函数性质
点 x 上的规模报酬（局部性质）
规模报酬不变 (x) 1
规模报酬递增 (x) 1 规模报酬递减 (x) 1
30
生产函数性质
例 y k (1 x1 x2 )1
多种投入品：x=(x1,..., xn ) 0
投入要求集：
V (y)
{x
R
n +
(y, x)Y}
7
3.2 生产技术
y
V ( y1)
Y
y1
x
8
3.2 生产技术
生产函数 f (x) max{y R ( y, x) Y}
y
f (x1)
Y
x1
x
9
生产函数性质
假设1：连续性
43
定理 3.4.1-证明
c(w,y)
min
xR
n +
wx
min
xR
n +
1 t
min
xR
n +
wx w tx
1
t
min
zR
n +
f 1( y)
f
1 (1)
min
zR
n +
wz wz
f f
1( y) 1 (1)
