第2章数制与码制

第2章 计算机中的数制和编码
第2章 计算机中的数制和编码
2.1 无符号数的表示及运算 2.2 带符号数的表示及运算 2.3 信息的编码
第2章 计算机中的数制和编码
计算机的基本功能是进行数据和信息的处理。数据、信息在计算机中都是以二进 制编码来表示。
本章就是要学习数据在计算机中是如何表 示的？信息在计算机中是如何表示（编码） 示的？信息在计算机中是如何表示（编码） 的？
第2章 计算机中的数制和编码 原码的表示范围 原码表示数的范围为-127∼+127 +127； 8位二进制原码 原码 16位二进制原码 原码表示数的范围为-32767∼+32767 +32767； 原码
第2章 计算机中的数制和编码 原码表示法简单直观，且与真值的转换很方便，但不便于 在计算机中进行加减运算。因此，计算机中通常使用补码进行 因此，
第2章 计算机中的数制和编码 2.1.2 各种数制的相互转换 1．任意进制数转换为十进制数 二进制、十六进制以至任意进制数转换为十进制数的方法 很简单，只要各位按权展开（即该位的数值乘于该位的权）求 和即可。
第2章 计算机中的数制和编码 2. 十进制数转换成二进制数 1)．整数部分的转换 1)．整数部分的转换
第2章 计算机中的数制和编码 3. 十六进制数的表示法 十六进制计数法的特点是： ① 逢十六进一； ② 使用16个数字符号(0,1,2,3……,9,A,B,C,D,E,F)的不同组合 来表示一个十六进制数，其中A∼F 依次表示10∼15； ③ 以后缀H或h表示十六进制数（Hexadecimal）。 例2.3 0E5AD.BFH =
第2章 计算机中的数制和编码
例2.4 将13.75转换为二进制数。 分别将整数和小数部分进行转换： 整数部分：13=1101B 小数部分：0.75=0.11B 因此，13.75=1101.11B

? 数字编码是用一串数字代表一个汉字。最常用的是区位码。它是把国标码的每一个字节减去 00100000得到的，高字节称为区码，低字节称为位码。
? 区位码——GB 2312的所有字符分布在一个94行×94列的二维平面内，行号称为区号，列号称 为位号。区号和位号的组合就可以作为汉字字符的编码，称为汉字的区位码。
加法
减法
十六进制
? 由于二进制数在使用时位数太长，不容易记忆，所以又推出了十六进制数。 ? 十六进制数有两个基本特点：
? 它由十六个字符 0～9以及A，B，C，D，E，F组成（它们分别表示十进制数 10～15）；
? 十六进制数运算规律是逢十六进一，即基 R=16=2 4，通常在表示时用尾部标志 H或下标 16以示区别。 例如：十六进制数 4AC8可写成（ 4AC8 ）16，或写成 4AC8H 。
B表示。 例如：二进制数 10110011 可以写成（ 10110011 ）2，或写成 10110011B ? 对于十进制数可以不加注基数；
十进制
(D) 0 1 2 3 4
56
7
8
9 10
二进制 (B) 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
计算机采用二进制数
(101.11)B＝ 1×22 ＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2 ＝(5.75)D
各数位的权是２的幂
十进制数 →二进制数 将整数部分和小数部分分别进行转换。
整数部分 ---除2取余，逆序排列 ; 合并
小数部分 ---乘2取整，顺序排列。
? 十进制数 44.375 转换成二进制等于多少？
(44.375)D＝(？)B
十六进制数 →二进制数
? 十六进制数转换为二进制数时正好与上面所述相反，只要将每位的十六进制数对应的 4 位二进制写出来就行了。

十进制数制具有“逢十进一”的规则 ，即每数到十位时，就向高位进位。
二进制数制
定义
二进制数制，也称为二进位数制 或简称为二进制，是一种基数为2 的数制。它采用0和1这两个数字
符号进行计数。
特点
二进制数制具有“逢二进一”的规 则，即每数到二位时，就向高位进 位。
应用
二进制数制广泛应用于计算机科学、 电子工程和通信等领域，是计算机 内部信息处理的基础。
状态机是数字控制系统中的一种描述系统行为的方式，通过有限个 状态和状态之间的转换来描述系统的动态特性。
05 数字电路的发展趋势与展 望
集成电路技术
01
集成电路技术是数字电路发展的越高 ，功能越来越强大。
02
集成电路的发展趋势是向着更小 尺寸、更高性能、更低功耗的方 向发展，这为数字电路的发展提 供了更广阔的空间和可能性。
寄存器
移位寄存器
可以存储二进制数据，并可以将数据向左或向右移动。
计数寄存器
可以存储计数值，并可以递增或递减。
计数器
二进制计数器
可以计数从0到最大值（2^n-1）的二进制数。
十进制计数器
可以计数从0到最大值（10^n-1）的十进制数。
04 数字电路的应用
时钟与定时器
时钟信号
在数字电路中，时钟信号 是一种周期性信号，用于 同步电路中的各个操作。
02
03
ASCII码
ASCII码是用于表示英文 字符的一套码制，通过7 位二进制数表示128个字 符。
Unicode码
Unicode码是用于表示世 界各地文字字符的一套码 制，通过16位二进制数表 示65536个字符。
GB2312码
GB2312码是中国国家强 制标准，包含了常用汉字 及符号，主要用于简体中 文的处理。

3. BCD码(二-十进制编码) BCD码的英文是Binary Code Decimal的缩写，即二-十 进制编码，是用二进制码表示十进制码的意思。用二进制 码表示十进制码，如果用三位二进制码只有八个状态，是 不够表示十个数码的。至少需要四位，因为四位二进制码 有 十六 个 状态， 但 要 舍去 其中 的六 个 ， 即可 构 成 许多 种 BCD码。只有有特色的几种得到了应用，具体见表3-4。
二进制
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
8421 5421 2421 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0010 0010 0010 0011 0011 0011 0100 0100 0100 0101 BCD8421码0101 0110 0110 0111 0111码 BCD5421 1000 1000 1001 1001 1010 1011 1100 1110 1111
3.BCD码必须以十为周期，以BCD8421码为例
1001 + 0001 = 0001
十位
0000
个位
九加一得十，正好是一个周期，个位的BCD码是0000， 同时给出一个进位信号，使十位的BCD码为0001。 4. BCD是有权码，可以通过各位的权，计算出对应 的十进制数。 5. BCD码中，5421码、2421码等，不具有惟一的形 式，上面就给出了二种BCD2421码。这些码虽然有多 种形式，但采用的一般都有一定特点，例如BCD5421 码的最高位是5个“0”和5个“1”。BCD8421码只具 有惟一的形式。
有一种光电变换的装置，称为码盘，它是一个圆盘，上 面有一个个同心圆，按照相邻的原则印成黑白相间，如下 图所示。光码盘与一个丝杠连接，丝杠转动带动工件行走 ，工件行走的距离可以由光码盘的转数来反映。通过在光 码盘半径上设置的光敏元件将光信号转换为电信号，这种 转换符合循环码的规律，可以保证转换的准确性。 旋转 码盘

– 为什么会不同呢？ – 因为这两个5分别在不同的位置上，所以大小就会不同 – 处在不同位置上的数字符号，它所代表的数值大小也不同 – 为了形象地表示这种位置差异，我们引入一个术语“权”
r进制数 an ... a1 a0 . a-1 a-2 ... a-m
权 rn
r1 r0
r-1 r-2
r-m
2.1.1 数制的本质特征
权 rn
r1 r0
r-1 r-2
r-m
2.1.2 数制的表示
▪ 为了区分不同的数制，并便于书写，通常有两种
表示方法：下标法和后缀法
▪ 下标法：基数以下标的形式写在数的右下方：
① 十进制数101.1可记为：(101.1)10。 ② 二进制数101.1可记为：(101.1)2。 ③ 八进制数101.1可记为：(101.1)8。 ④ 十六进制数101.1可记为：(101.1)16。
十进制
非十进制
▪除基取余（整数部分） ▪乘基取整（小数部分）
▪共同点：
最先出来的总是距离小数点最近的位
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（2）十进制 非十进制
[例] 把十进制数 25.625 转换成二进制数
除2取余 结果： 25 D = 11001 B 乘2取整 结果： 0.625 D = 0.101 B 最终结果： 25.625D = 11001.101 B
▪ 除基取余法（整数部分）
① 除基取余
② 重复①,直至商为0
③ 将余数按出现顺序倒序书写（倒着排列)
[例] (75)10 = ( 113
)8
余数
8
75
3
89
1
81
1
0
注意书 写顺序
（2）十进制

整数部分：除R取余，直至商为0结束，先 取的余数在低位，最后得到的余数为最高 位。
小数部分：乘R取整，直至积为0结束，先 得到的整数为最高位，后得到的整数为最 低位 。
将所求得的R进制数的整数部分和小数部分 合在一起，得到相应的R进制数。
第2章 计算机中的数制与编码
2.1 计算机中的数制及其转换
扰能力。 ❖算术运算规则简单，二进制数只有两个
数码。 ❖便于逻辑运算。 ▲比特(bit)、字节(Byte)、字(word)。
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2.1 计算机中的数制及其转换
2.1.1 进位计数制
❖逢r进一
r表示数制中需要的数码（数字字符）的总数， 也称为基数。基数为r的数制称为r进制数。
从键盘上输入一个汉字，到在显示器上显示出来大致经历以下过程
汉字输 入码
汉字国 标码
汉字机 内码
汉字地 址码
汉字字 型码
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2.3 计算机中数的表示
2.3.1 符号表示法
❖机器数
用“0”表示正号“＋”，用1表示负号 “－”。
❖真值
❖存储长度
约定机器数的存储采用一个字节(8个二进 制位)来表示
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2.1 计算机中的数制及其转换
2.1.2 进位计数制之间的转换
❖二进制数与八进制、十六进制数的 相互转换
八进制、十六进制转换成二进制数 »八进制数转换成二进制数:把每一位八进 制数写成对应的三位二进制数，然后按 顺序连接。 »十六进制数转换成二进制数:把每一位十 六进制数写成对应的四位二进制数，然 后按顺序连接。
第2章 计算机中的数制与编码
2.1 计算机中的数制及其转换

§2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题
1 0 0 0 0 0 1 1
-3的表示
[-3]
原=10000011B
[+0] 原 =0 0 0 0 0 0 0 0B
[-0] 原 =1 0 0 0 0 0 0 0B
数0的两种表示方法 对8位有符号二进制数用原码表示的范围： 正数从00000000 01111111，+0 负数从10000000 11111111，-0
§2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题
如：x=-1010111B [X] 原=1 1 0 1 0 1 1 1 B
由原码求补码：
其后各位取反
第一个1不变
符号位不变
[X] 补 = 10101001B
8位二进制补码所能表示的数的范围：-128 16位二进制补码所能表示的数的范围：-32768
+127 +32767
§2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题
（2）一个数的补码的求法 根据定义求补码
[X] 补 =
2n + x = 2 n x
，X<0
n 即负数x的补码等于模 2 加上其真值（或减去其真 值的绝对值）。
如：x=-1010111B，n=8，则
[X] 补= =
28 + (1010111B)
10000000B-1010111B n (mod 2 ) = 10101001B 这种方法因要做一次减法，很不方便。
§2.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题
二、 有符号数运算的溢出问题 如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为 符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表 示的数X的范围为：

4. 给定一个BCD数，能够把它转换成相应的十进制数、二进制数。 5. 能够将字母或数字转换成ASCII（American Standard Code for
Information Interchange）码，反之亦然。
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冯.诺伊曼结构：
（1）由运算器、控制器、存储器、输入设备 和输出设备五大部分组成。
=200+70+8+0.9+0.04
=278.94
也就是说每位数字乘以它所在的权，相加则得所求的数值。
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二、二进制数制
按位计数法中最简单的是二进制。它只包括两个元素
或状态，即1和0 。
1. 按位计数法
和十进制数一样，二进制数的每一位所在的位置均带有
一个确定数值大小的特定权。
12 / 2 = 6
0
6/2=3
0
3/2=1
1
1/2=0
1 MSB（most significant bit ）
收集余数，得到110012 = 2510
要将一个十进制小数转换成不同底数或基数的数 时，则应把所需的底数或基数连续不断地乘以该十进
制小数，并且记录所得的溢出数（即整数部分），直
到小数得 0 为止。
1000 0110BCD
1.2 非压缩型BCD码：
非压缩型BCD码用一个字节表示一位十进制数。高 4位总是0000，低4位用0000~1001中的一种组合来表
示0~9中的某一个十进制数。
例如：9 0000 1001BCD
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1.3 BCD码运算的修正：
a. 如果两个对应位BCD数相加的结果向高位无进位，且结果小于或

692 6102 9101+2100
对于任意一个n位十进制的正整数，都可用下式表示：
N 10 an1 10n1 an2 10n2 … a1 101 a0 100
即
n1
N 10
ai 10i
i0
式中： ai 为第i位的系数，为0～9十个数码中的一个；10i 为第i位的权；N 10 中
N R an1 Rn1 an2 Rn2 … a1 R1 a0 R0
n1
即
N R
ai Ri
i0
式中： 表示各个数字符号为0～(R-1)数码中的任意一个；R为进位制的基数（第i位
的权），计数规则是从低位到高位“逢R进一”；N R 中的下标表示N是R进制数。
下表为几种常见的数制对照表。 几种常见的数制对照表
除了前述二进制数与十进制数转换方法外，可用四位二进制数码对一位十进制 数进行编码。此方法称为二进制编码的十进制数，简称二－十进制代码，或BCD码 （Binary Coded Decimal）。
四位二进制码有16种组合，而每位十进制数只需用10种组合，另6种组合未用。 用四位二进制码来表示十进制数时，可以编制出多种BCD码。
(11110100101)2=(0111 1010 0101)2=(7A5)16 反之，十六进制数6ED转换成二进制数时，只要把每位十六进制数字写成对 应的四位二进制数即可，例如：
(6ED)16=(0110 1110 1101)2=(11011101101)2
二进制数在数字系统中得到广泛应用。但人们习惯使用十进制数，且为了便于 操作人员使用，常用十进制输入和输出。这就需要将二进制数与十进制数进行转换。
对于任意一个n位十六进制的正整数，都可用下式表示：

特 点
三、机器数转换真值
① 原码转换为真值 符号位决定正负，其余各位按权展开求和 ② 反码转换为真值 先求出反码对应的原码，再按照原码转换原则转换为真值 的方法求出真值。正数的原码就是反码本身；负数的原码 是在反码的基础上，符号位不变，数值按位取反 ③补码转换为真值 先求出补码对应的原码。正数的原码与补码相同 负数的原码是在补码的基础上再次求补。 例：[Y]反=11100101B [Y]原=10011010B Y=-26 例：[X]补 =11100101B [X]原=[[X]补]补 =10011011B X=-27
③2→16 以小数点为界向左向右四位一段，不够补0，四 位二进制数用一位十六进制数表示。 ④16→2 一位十六进制数用四位二进制数表示。
1×102+2×101+3×100 1×22+0×21+1×20 +4×10-1+5×10-2 +0×2-1+1×2-2
1101011(B)=6B(H) 11 0110 1110.1101 01 (B) 3 6 E D 4 =36E.D4(H)
其中：d 称为尾数，是二进制补码纯小数，指明数的全部 有效数字；p称为阶码，是二进制补码定点整数，指明小数点 的位置，它的符号称作阶符，表明小数点的移动方向。小数 点随着p的符号和大小而浮动，故这种数称为浮点数。尾数位 数（有效数字）表示数的精度，阶码尾数表示机器数能表示 数的范围。
此处是标题
2
YHC
此处是标题
1
YHC
2. 反码 编 码 方 法 ---正数的反码表示与原码相同;负数的反码是将 其原码除符位外各位取反得到。 [X]反= 0X1X2…Xn-1=X (X≥0) (X≤0) 1X1X2…Xn-1=(2n-1)-│X│

例 2.1.13100110B÷110B
000110
110 100110
100 10
∴100110B÷110B=110B余10B 有的微型计算机有专门的除法指令来完成除法运算。
对于没有除法指令的微型计算机，常用“相减-左移”法编 制除法运算程序实现除法。
2.1.4二进制数的逻辑运算
二进制数的逻辑运算常用的有“与”、 “或”、 “异
例 2.1.1 将二进制数 1101.101 转换为十进制数。
1101.101B =1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3 =8+4+1+0.5+0.125 =13.625
∴ 1101.101B=13.625
例 2.1.2 将十六进制数2AE.4 2AE.4H =2×162+10×161+14×160+4×16-1
微型计算机原理与应用第2章计算机 中的数制和码制
第 2 章计算机中的数制和码制
计算机的最基本功能是进行数据的计算和处理加工。 数 在计算机中是以器件的物理状态来表示的。为了方便和可靠， 在计算机中采用了二进制数字系统，即计算机中要处理的所 有数据，都要用二进制数字系统来表示，所有的字母、符号 也都要用二进制编码来表示。在本章中，我们将介绍计算机 中数制和码制的有关预备知识，其中有些内容已在“计算机 应用基础”和“脉冲与数字电路”课程中讲过。 由于它是学 习微型计算机原理必不可少的基础知识，所以有必要进行复
K-1+K -2 X-1+K-3 X-2 +…+K-mX-m+1 其中K-1为整数部分，它正好是所要求的X进制小数的最 高位；而新的小数部分为

（3）字符编码。字符编码就是以二进制数来对应字符集的文字和符号，目前用得最普遍的字 符集二进制编码是ANSI码，DOS和Windows系统都使用了ANSI码。
（4）ASCⅡ码。用7位二进制表示字符的一种编码，使用一个字节表示一个特殊的字符，字节 高位为0或用于在数据传输时的检验。
（5）汉字编码。西文是拼音文字，基本符号比较少，编码较容易，因此，在一个计算机系统 中，输入、内部处理、存储和输出都可以使用同一代码。汉字种类繁多，编码比拼音文字困难 ，因此在不同的场合要使用不同的编码。通常有4种类型的汉字编码，即输入码、国标码、机 内码、字形码。
进行小数部分转换时，先将十进制小数乘以8，积的整数作为相应的八进制小 数，再对积的小数部分乘以8。如此类推，直至小数部分为0，或按精度要求确 定小数位数。第一次积的整数为八进制小数的最高有效位，最后一次积的整数 为八进制小数的最低有效位。
（2）二进制与八进制、十六进制间的转换：
分组法：以小数点为界，对整数位采取“将二进制数自右 向左每三位分成一组”；对小数位采取“自左向右每三位 分成一组”，最后不是三位的用“0”补足（整数位前面 补“0”；小数位后面补“0”），再把每三位二进制数对 应的八进制写出即可。将二进制数转换为十六进制数的方 法(每四位一组)同理可得。
低到高逆序排列”；对小数采取“乘2取整，从高到低顺序排列”。
小数部分转换过程：进行小数部分转换时，先将十进制小 数乘以2，积的整数作为相应的二进制小数，再对积的小 数部分乘以2。如此类推，直至小数部分为0，或按精度要 求确定小数位数。第一次积的整数为二进制小数的最高有 效位(MSB)，最后一次积的整数为二进制小数的最低有效 位(LSB)。
在时间上或数值上都是连续的物理量称为模拟量。表示模拟量 的信号称为模拟信号。工作在模拟信号上的电子电路称为模拟 电路。例如：热电偶在工作时输出的电压信号就属于模拟信号 ，因为所测得的电压信号无论在时间上还是数量上都是连续的 。这个电压信号在连续变化过程中的任何一个取值表示一个相 应的温度。

数制和码制数字电路是数字IC设计的基础，而数制和码制往往又是数字电路的基础，因此数制和码制是数字IC设计基础的基础。

在这里，我将记录关于数制与码制的一些主要知识点，有些知识点我是学了数电半年或者一年之后才发现，原来数电还有这样子的东西，于是整理在这里，仅供参考，有误请评论指出。

一、数制这里不进行记录什么二进制、十进制之类的基本概念，只介绍一些主要的知识点。

1、数制之间的转换（1）关于二进制的一些概念这里主要记录一下位、比特对于二进制的描述，是比较基础的东西。

位宽/比特：一个二进制数，有它的位宽，有多少个0/1，它位宽就是多少；比如二进制数10110，它的位宽就是5，从第0位到第4位；也说这是一个5位宽的二进制数，或者说这个二进制数宽度大小是5比特，数值大小为22（默认数值大小一般说的是十进制的数值大小）。

最高位和最低位：对于上面的10110，最高位是1，最低位是0；最高位是第4位，最低位是0（2）二进制转换成十进制：①二进制转换成十进制方法为：把二进制数按权展开、相加即得十进制数。

②举例：二进制数10011.01,位数为1的有第4位，第1位，第0位，第-2位，那么就有：10011的十进制数值（注意说到数值，默认是转换为十进制时数的大小）为：2^4 + 2^1 + 2^0 + 2^(-2) = 19.25十进制转换成二进制：①转换方法就是：整数部分，除二取余；小数部分，乘二取整(小数部分一般会说明要精确到小数点多少位)。

②举例说明:将35.63转换成二进制数，小数部分精确到小数点后3位那么对于整数部分，除二取余：整数部分的二进制数就是100011。

对于小数部分：乘二取整0.63*2 = 1.26,取1;0.26*2 = 0.52，取0；0.52*2 = 1.04，取1；已经达到三位了。

因此小数部分就是101因此35.63的二进制表示为100011.101。

（3）二进制转换成八进制：①方法：从小数点向两边展开，每三位二进制划分为一组，每一组的的十进制就是对应的八进制，（注意，最高位或者最低位不够3位要补0）。

十六进制先转成二进制，再从二进制转成八进制
(6EA)16=(110 1110 1010)2 (11 011 101 010)2 =(3352)8
十六进制先转成十进制，再从十进制转成八进制
(6EA)16=(1770)10 (1770)10=(3352)8
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
2.3 计算机中数据的表示
2.3.1 数值型数据
（4）原码、补码和反码 例如，［X］补 =（11100001）２，但
X ≠（-1100001）２， 而是 X =（-00111111）２＝（-31）10。 采用补码可以把减法转换为加法，且可证明两数和的补码等 于两数补码的和，即：［X＋Y］补 ＝［X］补 ＋［Y］补
例：在字长为８位的二进制数字系统中，当 X=(64)10， Y=(10)10，求 X-Y=？
2.3 计算机中数据的表示
2.3.2 字符型数据
字符编码实际上就是为每个字符确定一个对应的整型二进制 数值编码。
由于字符与整型数值之间没有必然的联系，某个字符究竟对 应哪个整数完全可以人为规定，一旦规定好，就固定下来， 以便应用。
任一数制的数都由一串数码表示，其中每一位数码所 表示的实际值大小，除与数码本身的数值有关外，还 与它所处的位置有关，由位置决定的值就叫位权。
2.1 数制
2.1.1 常用数制 （1）十进制
十进制数制系统有十个计数符号：0，1，2，3，4，5 ，6，7，8，9。
十进制数具有以下特点：
① 基数为10； ② 位权值为10i； ③ 逢十进一，借一当十。
2.1 数制
2.1.3 计算机中的二进制运算 （2）逻辑运算
逻辑非运算
2.1 数制