深圳大学量子力学复习

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

量⼦⼒学复习题《量⼦⼒学》考试⼤纲第⼀章绪论1．了解光的波粒⼆象性的主要实验事实；2．掌握德布罗意关于微观粒⼦的波粒⼆象性的假设。

第⼆章波函数和薛定谔⽅程1.理解量⼦⼒学与经典⼒学在关于描写微观粒⼦运动状态及其运动规律时的不同观念。

2.掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性．3.掌握态叠加原理以及任何波函数Ψ(x ，t)按不同动量的平⾯波展开的⽅法及其物理意义．4.了解薛定谔⽅程的建⽴过程以及它在量⼦⼒学中的地位；薛定谔⽅程和定态薛定谔⽅程的关系；波函数和定态波函数的关系；束缚定态的主要性质.5.对于求解⼀维薛定谔⽅程，应掌握边界条件的确定和处理⽅法．6.关于⼀维定态问题要求如下：（1）掌握⼀维⽆限深势阱的求解⽅法及其物理讨论；（2）掌握⼀维谐振⼦的能谱及其定态波函数的⼀般特点；（3）了解势垒贯穿的讨论⽅法及其对隧道效应的解释．第三章⼒学量⽤算符表达1.掌握算符的本征值和本征⽅程的基本概念；厄⽶算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量⼦⼒学中⼀切可观察的⼒学量所对应的算符均为厄⽶算符．2.掌握有关动量算符和⾓动量算符的本征值和本征函数，它们的归⼀性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．3.电⼦在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中⼼⼒场下薛定谔⽅程求解的范例，学⽣应由此了解⼀般三维中⼼⼒场下求解薛定谔⽅程的基本步骤和⽅法，特别是分离变量法．4.掌握⼒学量平均值的计算⽅法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F的本征函数展开是这些⽅法中常⽤的⽅法之⼀，应掌握这⼀⽅法计算⼒学量的可能值、概率和平均值．理解在什么状态下⼒学量F具有确定值以及在什么条件下，两个⼒学量G F和同时具有确定值． 5.掌握不确定关系并应⽤这⼀关系来估算⼀些体系的基态能量．6.掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、⾓动量、宇称等．四．态和⼒学量的表象1.理解⼒学量所对应的算符在具体的表象下可以⽤矩阵来表⽰；厄⽶算符与厄⽶矩阵相对应；⼒学量算符在⾃⾝表象下为⼀对⾓矩阵；2.掌握量⼦⼒学公式的矩阵形式及求解本征值、本征⽮的矩阵⽅法．3.掌握狄拉克符号并了解占有数表象五．微扰理论1.了解定态微扰论的适⽤范围和条件：4.掌握变分法的基本应⽤；5.关于与时间有关的微扰论要求如下：（1）了解由初态i ? 跃迁到末态f ?的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；（2）理解由微扰矩阵元H fi ≠0可以确定选择定则；（3）理解能量与时间之间的不确定关系：ΔE Δt ∽（4）理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原⼦内电⼦由i ?态跃迁到f态的辐射强度均与矩阵元fi r 的模平⽅∣fi r∣2 成正⽐，由此可以确定偶极跃迁中⾓量⼦数和磁量⼦数的选择定则．6.了解氢原⼦⼀级斯塔克效应及其解释．七．⾃旋和全同粒⼦1.了解斯特恩—格拉赫实验．电⼦⾃旋回转磁⽐率与轨道回转磁⽐率．2.掌握⾃旋算符的对易关系和⾃旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)．与⾃旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值⽅程和本征函数的求解⽅法．3.了解简单塞曼效应的物理机制．4.了解L-S 藕合的概念及碱⾦属原⼦光谱双线结构和物理解释．5.掌握量⼦⼒学的全同性原理，多体全同粒⼦波函数有对称和反对称之分．掌握玻⾊⼦体系多体波函数取交换对称形式，费⽶⼦体系取交换反对称形式，以及费⽶⼦服从泡利不相容原理．6.理解在⾃旋与轨道相互作⽤可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和⾃旋部分乘积形式．对于两电⼦体系则有⾃旋单重态和三重态之分．前者⾃旋波函数反对称，空间波函数对称；后者⾃旋波函数对称，空间波函数反对称．7.作为⼀个具体的实例:了解氦原⼦能谱有正氦和仲氦之分的物理机制．教材：《量⼦⼒学教程》（周世勋）考试安排：时间：17周周⼆34节地点：F5062、证明在定态中，⼏率流密度与时间⽆关。

量⼦⼒学复习题量⼦⼒学复习题(2013)⼀、填空题1. 在空间发现粒⼦的概率密度为_________；概率流密度为_______________。

2. 波尔的量⼦化条件为。

3. 坐标和动量的测不准关系是___________________________。

4. 德布罗意关系为。

5. 对氢原⼦，不考虑电⼦的⾃旋，能级的简并度为________________，考虑⾃旋但不考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑⾃旋与轨道⾓动量的耦合，能级的简并度为__________________。

6. ⽤来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

7.σ为泡利算符，2σ= ，2,z σσ??=?? ，,x y σσ?= 。

8. 波函数的统计解释为。

9. 隧道效应是指__________________________________。

10. 波函数的标准化条件为。

11. ()(,)nlm nl lm R r Y ψθ?=为氢原⼦波函数，,,n l m 的取值范围为。

12. 表⽰⼒学量的算符应满⾜的两个性质是。

13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于⾃旋的两个基本假设是 _____________________。

14. 厄⽶算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对应的本征函数。

15.[],x x p = ，,y x L L ??=?? ，[],x L y = 。

16. 在z σ表象中，x σ的矩阵表⽰为，x σ的本征值为，对应的本征⽮为。

17. 若两⼒学量,A B 有共同本征函数完全集，则[],A B = 。

18. ⾃旋⾓动量与⾃旋磁矩的关系为。

19. 在定态的条件下，守恒的⼒学量是。

20. 原⼦电偶极跃迁的选择定则为。

21. 设体系处在|ψ?态，在该态下测量F 有确定值λ，则表⽰该⼒学量的算符?F与态⽮量|ψ?的关系为。

22. 轨道磁矩与轨道⾓动量的关系为，⾃旋磁矩与⾃旋⾓动量的关系为。

量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。

这是量子力学的基本原理之一。

波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。

6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。

8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。

即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。

9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。

10.i ；ˆxi L ；0。

11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。

自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

量子力学考研模拟题(1) 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？（2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2(,)r t ψ的物理意义是什么？（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？（5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。

（6）厄米算符ˆF 的本值nf 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 二（20分）设氢原子处于211031102111111(,,)()(,)()(,)()(,)222r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-=--的状态上，求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。

三、（25分）设厄米算符ˆH的本征矢为n,{}n 构成正交归一完备函数系，定义一个算符n m n m U=),(ˆ（1）计算对易ˆˆ,(,)H U m n ⎡⎤⎣⎦（2）证明ˆˆˆ(,)(,)(,)nqU m n U p q U m p δ+= （3）计算阵迹ˆˆr kT F k Fk =<>∑ （4）若算符ˆA 的矩阵元为ˆ,mnA m An =<>证明 ,ˆˆ(,)mn m nA A Um n =∑{}),(ˆˆq p U AT A r pq +=四、（25分）自旋为2，固有磁矩为=u s γ（其中γ为实常数）的粒子，处于均匀外磁场0ˆˆ=BB k 中，设t=0时粒子处于2x s =的状态。

（1）求出t>0时的波函数；（2）求出t>0时ˆx s与ˆz s 的可测值及相应的取值概率。

五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为)(212ˆˆ22220y x M Mp H ++=ω，对其施加微扰xy Wλ-=ˆ后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。