深圳大学量子力学复习

一、选择题（每小题3分，共15分〉1.黑体辐射中的紫外灾难表明：CA.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B.黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数屮的含义，正确的是：BA.屮代表微观粒子的几率密度；B.屮归一化后，屮⑴代表微观粒子出现的几率密度；C.屮一定是实数；D.屮一定不连续。

3.对于一维的薛定谭方程，如果屮是该方程的一个解，贝山AA.0 —定也是该方程的一个解；B.『一定不是该方程的解；C.屮与『一定等价；D.无任何结论。

4.与空间平移对称性相对应的是：BA.能量守恒；B.动量守恒；C.角动量守恒；D.宇称守恒。

人人A5.如果算符A、B对易，且A0 =A0,贝归BAA.屮一定不是B的本征态；B.鸭一定是&的本征态；伞AC.屮一定是B的本征态；人D.|屮丨一定是B的本征态。

1、量子力学只适应于C A.宏观物体 C.宏观物体和微观物体 B.微观物体 D.高速物体2、算符F 的表象是指CA.算符F 是厄密算符B.算符F 的本征态构成正交归一的完备集C.算符F 是幺正算符D.算符F 的本征值是实数3、中心力场中体系守恒量有BA.只有能量B.能量和角动量C.只有角动量D.动量和角动量4、Pauli 算符的x 分量的平方的本征值为（B ）A 0B 1C iD 2i5、证明电子具有自旋的实验是AA.史特恩一盖拉赫实验B.电子的双缝实验C.黑体辐射实验D.光电效应实验1、量子力学只适应于CA.宏观物体B.微观物体C.宏观物体和微观物体D.高速物体2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即和n应满足的条件是（B ）B 乩与时间无关,恥与时间 D 乩与时间有关，孙'与时间无B 3/4 D 1/2电子的双缝实验 光电效应实验商⑴=身0 +勁 打 \,其中A 朮与时间无关，怜'与时间无关有关C 乩与时间有关，力与时间有关 关3、自旋量子数S 的值为（D ）A 1/4 C /25、证明电子具有自旋的实验是A A ・史特恩一盖拉赫实验 B. C.黑体辐射实验D.二、简答(每小题5分，共15分〉1.什么叫光电效应？光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸岀金属表面的现象。

121量子物理基础基本内容一．量子假说和光的量子性1． 普朗克量子假说频率为ν的带电谐振子只能处于能量为一最小能量ε的整数倍的状态，ε=h ν，h 称为普朗克常数。

在辐射或吸收能量时振子从这些状态之一跃迁到其它状态。

2． 光电效应、光子假说(1)光电效应：光照射到金属表面，立刻有电子称为光子逸出金属的现象。

(2)爱因斯坦光子假说光是粒子流，这种粒子称为光子，光子运动速度为c ，对频率为ν的单色光的光子能量h εν=，光的能流密度S 决定于单位时间通过单位面积的光子数N ，即S Nh ν=。

(3)光电子的产生和爱因斯坦光电效应方程光照射到金属表面，一个光子被金属中的电子吸收，电子获得光子全部能量，一部分用以克服金属逸出功而离开金属表面形成光电子，因此爱因斯坦光电效应方程： 212h mv W ν=+ 式中212mv 是光电子的最大初动能，W 是金属逸出功，W eU =，U 是该金属的逸出电位。

单位时间产生的光电子数应随能流密度S 的增加而增加，光电子最大初动122 能与入射单色光的频率成线性关系，即212mv h W ν=-，当入射频率00e U hνν<=（红限频率）时不发生光电效应。

(4)光电效应实验——鉴定爱因斯坦理论的正确性测定饱和光电流强度I α随入射光强度的变化。

结论：入射光频率不变时I α与入射光强成正比。

测定遏止电势差U α与入射单色光强度、频率的关系。

结论：U α与入射光强度无关，与入射光频率呈线性关系。

爱因斯坦光电效应方程是正确的。

3． 康普顿效应(1)伦琴射线经物质散射,散射伦琴射线中既有与入射伦琴射线波长0λ相同的成分也有比入射伦琴射线波长0λ大的成分，这种现象称为康普顿效应。

其中散射波长λ比入射波长0λ大的散射称康普顿散射。

(2)康普顿散射的规律波长增长量（∆λ=λ-0λ）随散射角的增大而增大，与散射物质种类无关；康普顿散射的强度随散射物质原子量的增加而减少。

(3)康普顿散射产生的原因康普顿散射是X 射线光子与物质中的原子、“自由”电子碰撞而改变动量合能量的结果。

8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。

3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。

2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。

-" cm称为电子的 Compton 波长。

m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。

9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

量子力学复习提纲1. 粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22t r r V mt r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：)()](2[)(22→→→+∇-=r r V mr E ψψ3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。

4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。

答：5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。

222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)n n n n nx x a U x x others H x E x n xx n a an E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨∞∈⎩=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭==+=6. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 答：动量算符的本征函数是：)ex p()2(1)(23r p ir p ⋅=πψ，其本征值为p 。

其只能归以为函数δ函数，即)()()('*'p p d r r pp -=⎰∞δτϕϕ。

7. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxz y yx z zy x L yp zp i y z z y Lzp xp i z x xz L xp yp i x y yx ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ 动量算符的本征函数和本征值如上。

8. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答：()22222222222222222222ˆˆˆˆ,11sinsin sinˆ11ˆsinsin sinx y zL L L Lctg ctgDDθϕθθθϕϕθθθθθθϕθθθθθϕ=++⎛⎫∂∂∂∂=-+++⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦22ˆ(,)(1)(,)ˆ(,)(,)lm lmz lm lmL Y l l YL Y m Yθϕθϕθϕθϕ=+=l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l9.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上10.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。