数学史 第三章+数与数系的发展

数系的发展史简介引言数学是一门古老而重要的学科，数系作为数学的基础，是数学研究中的核心概念之一。

数系的发展历程可以追溯到古代文明时期，经历了数千年的演变与发展。

本文将详细介绍数系的发展史，包括数系的起源、不同数系的出现以及数系的形式化建立等内容。

数系的起源人类最早的数学思想可以追溯到古代文明，如古埃及、古印度和古希腊等。

早期的人类主要通过手指、手掌、石头等物体来进行计数。

这种计数方法被称为自然计数法，属于原始的数系。

自然计数法的局限性在于只适用于小规模的计数，不方便进行大规模的计数和运算。

原始数系的限制原始的数系主要通过物体数量来进行计数，没有明确的数字符号和计算规则。

在原始数系中，数字的表示受到物体的限制，无法进行抽象和扩展。

例如，使用十指计数法，最多只能计到十个。

文字符号的出现随着人类社会的发展，人们逐渐认识到物体数量的局限性。

为了更方便地进行计数和运算，人们开始尝试使用文字符号来表示数值。

最早出现的文字符号可以追溯到古埃及时期的象形文字，其中包含了一些常见的数字符号。

这些象形文字为后来的数学符号的发展奠定了基础。

位值计数法的出现位值计数法是数系发展的一个重要里程碑，也是数学史上的一大突破。

位值计数法是指通过不同位置上的数字来表示不同的数值。

最早使用位值计数法的数系可以追溯到古印度，他们使用的是基于十进制的位值计数法。

随着位值计数法的出现，数字的表示能力大幅提升，大规模计数和运算变得更加容易和高效。

古希腊数学的贡献古希腊是数学发展史上一个重要的阶段，他们对数系的发展做出了重要贡献。

在古希腊，著名数学家毕达哥拉斯将数系视为一个独立的研究领域，并将其与几何学相结合。

他通过研究整数之间的关系，发现了许多数学规律和定理，为数系的进一步发展奠定了基础。

阿拉伯数字的引入阿拉伯数字的引入是数系发展史上的又一个重要里程碑。

阿拉伯数字是源自印度数字系统的一种数字表示方法，由于阿拉伯人将其传入欧洲，因此得名。

阿拉伯数字的特点是简单易懂、易于计数和计算。

数的发展简史引言概述：数是人类文明的重要组成部分，它伴随着人类社会的发展而不断演变。

本文将从数的起源开始，分四个部分介绍数的发展简史。

一、起源与原始数系统1.1 早期人类的数的概念：早期人类开始使用手指和物体来计数，这是最早的数的概念。

1.2 原始数系统的发展：原始社会逐渐发展出基于十进制的数系统，使用简单的符号和记数方法进行计数。

1.3 原始数系统的局限性：原始数系统存在局限性，无法进行复杂的计算和表示，对大量数据的处理能力有限。

二、古代数学的发展2.1 古代数学的兴起：古代文明如古埃及、古希腊和古印度等开始研究数学，发展出更为复杂的数系统和计算方法。

2.2 数学符号的引入：古希腊数学家引入字母符号表示数，这一创新大大简化了数学表达和计算过程。

2.3 数学的应用拓展：古代数学家开始将数学应用于几何学、天文学和物理学等领域，推动了数学的发展。

三、十进制数系统的确立3.1 十进制数系统的起源：十进制数系统起源于古印度，通过使用数字0-9的符号表示不同数值，形成了现代数学中常用的数系统。

3.2 十进制数系统的优势：十进制数系统具有简单易懂、易于计算和适应人类思维等优势，成为全球广泛应用的数系统。

3.3 十进制数系统的发展：随着数学理论的发展和计算工具的进步，十进制数系统逐渐完善，并成为现代科学和工程领域的基础。

四、数的抽象与数学的发展4.1 数的抽象概念的出现：数的抽象概念在古希腊数学中首次出现，数不再仅仅代表物体的数量，而是成为一种独立的概念。

4.2 数学的形式化：数学逐渐发展为一门独立的学科，通过形式化的符号和逻辑规则来推导和证明数学定理。

4.3 数学的应用与发展：数学在现代科学、工程、经济等领域发挥着重要作用，不断推动着数学理论的发展和创新。

结论：数的发展经历了起源与原始数系统、古代数学的发展、十进制数系统的确立以及数的抽象与数学的发展等阶段。

数的不断演变和数学的发展为人类社会的进步提供了重要的基础和工具。

整理数系的发展体系和运算一、计数与计数法“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法.中国古书《周易?系辞下传》载称：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。

关于结绳记事方法，郑康成（127-200）注释称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。

结之多少，随物众寡。

”法国学者白尔蒂尤在其《人类学》中曾经描述了美洲秘鲁和亚洲琉球的土著民族的结绳方法。

秘鲁土著人以条索编织成绳。

于其上结结为标，表示备忘之意。

书契或称木刻，即刻木为符，以志事。

原在没有文字的时代用于记数，后广为契约等多种用途。

世界各地很多土著民族至今仍在使用结绳与书契。

随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。

在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法，例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。

我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。

二、分数与小数的历史分数的产生与人类早期社会的分配以及交易活动有关，原始社会的分配情况与分数使用情况，因未留下文字性资料，我们只能作出一些猜测。

各民族的早期文献中均可以见到有关分数的文字记录。

如在我国的甲骨文和金文资料中，可以找到“分”、“半”等与分数有关的文字。

到了西汉时期，数学专著《算数书》与《九章算术》还给出了分数的定义：实如法而一，不满法者，以法命之。

同时还给出了分数的运算法则，如“合分术”“课分术”“齐同术”“约分术”“减分术”“乘分术”“经分术”“通分术”“通其率术”等。

巴比伦人也很早就使用分数。

如在《罕漠拉比法典》和其它文献中就出现了“二分之一”“三分之一，“三分之二“六分之一”等。

小数的历史也源远流长，但是它作为科学的表示法正式登场还是很晚的事。

它的产生与古代度量衡的使用有关。

数的发展简史引言概述：数的发展是人类文明发展的重要组成部分，从古代的计数方法到现代的数学理论，数的发展经历了漫长而复杂的历程。

本文将从数的起源、古代数学、中世纪数学、近代数学以及现代数学五个大点来阐述数的发展简史。

正文内容：1. 数的起源1.1 计数的起源1.2 数字的发展1.3 位制计数法的出现2. 古代数学2.1 古代数学的发展2.2 古代数学的应用2.3 古代数学的成就3. 中世纪数学3.1 罗马数字的使用3.2 阿拉伯数字的传入3.3 中世纪数学的发展4. 近代数学4.1 文艺复兴时期数学的兴起4.2 笛卡尔坐标系的发明4.3 牛顿和莱布尼茨的微积分理论5. 现代数学5.1 集合论的建立5.2 线性代数的发展5.3 数学分析的进展总结：数的发展简史可以归纳为从计数的起源，古代数学，中世纪数学，近代数学到现代数学的五个阶段。

数的起源可以追溯到原始社会的计数方法，随着社会的发展，数字的概念逐渐形成并演化为位制计数法。

古代数学在古希腊、古印度和古中国等文明中得到了独立的发展，为几何学和代数学的兴起奠定了基础。

中世纪数学主要以罗马数字为计数方式，直到阿拉伯数字的传入才有了重大突破。

近代数学在文艺复兴时期兴起，并在笛卡尔、牛顿和莱布尼茨等数学家的努力下，微积分等理论得到了重大发展。

现代数学则以集合论、线性代数和数学分析等为主要研究领域，为现代科学和技术的发展提供了坚实的基础。

总的来说，数的发展简史见证了人类智慧的积累和科学知识的进步。

无论是古代的数学家还是现代的数学家，他们的贡献都为数学的发展做出了重要贡献，为我们今天的生活奠定了坚实的数学基础。

数的发展简史1. 引言数是人类文明发展的基石，数的概念和使用方式随着时间的推移不断演变和发展。

本文将从古代数的起源开始，逐步介绍数的发展简史。

2. 古代数的起源数的概念最早可以追溯到古代文明，如古埃及、巴比伦和中国的古代文化。

这些文明中的人们开始意识到需要一种工具来计量和记录数量。

最早的数是通过物体的计数来表示的，如用石头或木棍来表示数量。

3. 数的符号系统的发展随着人类对数的认识的深入，人们开始寻找一种更有效的方式来表示和计算数。

古埃及人首先引入了一种基于符号的数系统，他们使用简单的图形符号来表示不同的数。

巴比伦人也发展了一种基于六十进制的数系统，这对于计算时间和角度非常有用。

4. 希腊数学的发展古希腊是数学发展的重要时期，许多数学家和哲学家在这个时期做出了重要的贡献。

毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，开创了几何学的发展。

欧几里德则创作了《几何原本》，系统总结了当时的几何学知识。

5. 阿拉伯数学的传播阿拉伯数学家在中世纪对数学的发展做出了重要的贡献，并将他们的知识传播到欧洲。

阿拉伯人引入了十进制数系统，这是我们今天使用的数系统。

此外，他们还引入了代数学和三角学的概念，为后来的数学发展奠定了基础。

6. 文艺复兴时期的数学革新文艺复兴时期是数学发展的重要时期，许多数学家在这个时期做出了重要的贡献。

伽利略·伽利雷通过实验和观察，为物理学和天文学的发展做出了重要贡献。

同时，笛卡尔提出了坐标系的概念，为代数学和几何学的融合奠定了基础。

7. 近代数学的发展近代数学的发展涉及到许多重要的数学家和数学理论。

牛顿和莱布尼茨的微积分理论为物理学和工程学的发展提供了重要的工具。

高斯和欧拉则为数论和代数学的发展做出了重要贡献。

同时，数学的应用领域也不断扩展，如统计学、概率论和运筹学等。

8. 现代数学的发展现代数学是一个广泛而复杂的领域，涵盖了许多不同的分支和领域。

从20世纪初到现在，数学家们在代数学、几何学、拓扑学、数论等领域做出了许多重要的发现和贡献。

数的发展与演变了解数学的发展历程和演变过程数的发展与演变数学是一门古老而神奇的学科，它的发展与演变伴随着人类文明的进步。

从古代的计数工具到现代的数学理论，数的概念经历了漫长的历程和不断的变革。

本文将带您回顾数的发展与演变的历史，让我们一同探索数学的奥秘。

1. 古代的计数工具在数学发展的早期，人们使用一些简单的计数工具来辅助计数。

最早的计数工具可以追溯到公元前3千年的古代文明，包括骨骼、石块、木棍和绳结等。

这些原始的计数工具虽然简单，但为人们进行基本的计数提供了帮助，初步形成了数的概念。

2. 阿拉伯数字的引入随着时间的推移，人们渐渐发现原始的计数工具有一些局限性，无法满足更复杂的计算需求。

然而，阿拉伯人的贡献改变了这一现状。

在公元9世纪，阿拉伯数学家将现代使用的阿拉伯数字系统引入到世界。

这些数字以0到9的符号表示，并具有地位价值的概念，使得数字可以组成无限多的数。

阿拉伯数字的引入极大地推动了数学的发展。

3. 数的表达形式的变化在数的发展过程中，人们对数的表达形式进行了不断的探索和变化。

古希腊的数学家们发现了无理数的存在，证明了它们不能用分数表示。

勾股定理的发现也为数学家带来了新的挑战，人们开始思考如何表示它的平方根。

这些挑战促使数学家们发展了更多的数学概念和符号来表达不同类型的数，使数学的发展更加多样化。

4. 高等数学的出现随着数学的发展，人们开始研究更高级的数学概念和理论。

微积分的发展标志着数学从计算和应用到更深层次的思考与探索。

牛顿和莱布尼兹的微积分理论使人们能够更好地理解和描述运动、变化和曲线等现象。

同时，线性代数、概率论、数论等不同分支的出现进一步丰富了数学的内容。

5. 数学在科学与技术中的应用随着数学的不断发展，它渗透到了科学和技术的各个方面。

数学与物理学、工程学、计算机科学等学科紧密结合，为这些学科提供了强大的工具和理论基础。

通过数学，人们能够理解和预测自然界的规律，研发新的科技产品和创新解决方案。

数的起源与发展一、数的起源数的起源可以追溯到人类文明的初期。

在原始社会中，人们通过观察自然界中的事物，发现了数量的概念。

最早的数是用手指来表示的，人们通过手指的个数来计数。

随着社会的发展，人们开始使用更加复杂的计数系统，比如使用竹签、石块等来表示数量。

二、数的发展1. 古代数学的发展古代数学的发展可以追溯到古埃及、古巴比伦、古印度等文明。

这些文明中的数学家们开始研究数的性质和运算规律，例如古埃及人发展了一套简单的分数系统，古巴比伦人发明了著名的巴比伦数字系统。

2. 希腊数学的发展希腊是数学发展的重要阶段，希腊数学家们开始研究几何学和数论。

毕达哥拉斯学派提出了著名的毕达哥拉斯定理，欧几里得则创立了几何学的基本原理，被称为《几何原本》。

3. 中世纪数学的发展中世纪数学的发展主要集中在阿拉伯世界。

阿拉伯数学家们翻译了古希腊和印度的数学著作，并进行了深入研究。

其中，阿拉伯数学家阿尔-花拉子米在代数学和三角学方面做出了重要贡献。

4. 近代数学的发展近代数学的发展可以追溯到17世纪的欧洲。

牛顿和莱布尼茨发明了微积分学，为物理学和工程学的发展提供了重要的数学工具。

同时，代数学、数论、概率论等学科也得到了迅速发展。

5. 现代数学的发展现代数学是指20世纪以后的数学发展。

在这个阶段，数学的研究范围变得更加广泛，涉及到了抽象代数、拓扑学、数理逻辑等领域。

同时，计算机的发明和普及也为数学研究提供了强大的工具和方法。

三、数的应用数学作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。

以下是数学在不同领域的应用举例：1. 物理学：数学为物理学提供了描述自然界的基本工具，例如微积分和线性代数在物理学中的应用。

2. 工程学：数学在工程学中的应用非常广泛，例如在结构力学、电路分析、信号处理等方面都需要数学的支持。

3. 经济学：经济学中的数学模型和统计分析方法可以帮助分析经济现象和预测经济趋势。

4. 计算机科学：计算机科学是一门基于数学原理的学科，数学为计算机算法和数据结构的设计提供了基础。

数的起源与发展一、数的起源数的起源可以追溯到人类文明的早期阶段。

在古代，人们开始使用手指和物体来表示数量。

随着时间的推移，人们逐渐意识到需要一种更有效的方式来表示和计算数量。

这导致了数字的发展和数学的浮现。

最早的数字系统可以追溯到公元前3000年摆布的古代文明。

古巴比伦人使用楔形文字来表示数字，并开辟了一套复杂的计算系统。

古埃及人也有自己的数字系统，他们使用简单的符号来表示数量。

古印度人发展了一种基于十进制的数字系统，这对后来的数学发展产生了深远的影响。

二、数的发展1. 古希腊数学古希腊数学是数学发展的重要里程碑之一。

古希腊哲学家和数学家如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等人对数学的发展做出了巨大贡献。

他们研究了几何学、代数学和数论等领域，并建立了一些基本的数学原理和定理。

2. 阿拉伯数学阿拉伯数学在中世纪起到了重要的推动作用。

阿拉伯数学家通过翻译古希腊和古印度的数学著作，将这些知识传播到欧洲。

他们引入了阿拉伯数字系统，这是我们现在使用的十进制数字系统。

阿拉伯数学家还发展了代数学和三角学等领域的知识，并对数学的应用做出了重要贡献。

3. 近代数学近代数学的发展与科学革命和工业革命密切相关。

在17世纪，数学家如牛顿和莱布尼茨发明了微积分，这是数学中的一项重大突破。

微积分的发展推动了物理学和工程学等领域的进步。

随后，数学家们继续研究代数学、几何学和概率论等领域，为现代数学的发展奠定了基础。

4. 现代数学现代数学涵盖了广泛的领域，包括数论、代数学、几何学、拓扑学、概率论和统计学等。

数学家们在这些领域做出了许多重要的发现和贡献。

例如，费马大定理、哥德巴赫猜想和庞加莱猜想等问题一度困扰了数学界，但在近年来得到了解决。

总结：数的起源可以追溯到人类文明的早期，随着时间的推移，数学不断发展和演变。

古希腊数学、阿拉伯数学以及近代数学的浮现和发展，为现代数学的繁荣打下了坚实的基础。

现代数学涵盖了广泛的领域，数学家们在各个领域做出了许多重要的发现和贡献，推动了人类社会的进步和发展。

数的发展简史1. 数的起源和发展数的概念可以追溯到人类文明的早期阶段。

最早的数是用来计算和记录物品的数量的。

随着时间的推移，人们开始意识到数可以用来描述和量化更复杂的事物，例如时间、距离和速度。

在古代文明中，如古埃及、古希腊和古印度，数的概念得到了进一步的发展和应用。

2. 阿拉伯数字的引入阿拉伯数字是我们今天使用的数字系统。

它最早是由印度人发明的，并在9世纪通过阿拉伯商人传入欧洲。

阿拉伯数字的特点是使用10个基本数字（0-9）和位置表示法，使得数字的组合和计算变得更加简单和高效。

3. 数的符号和表示法的发展随着数的发展，人们开始使用符号和表示法来表示数字。

在古代，不同文明使用不同的符号和表示法。

例如，古埃及使用象形文字来表示数字，而古希腊使用字母来代表数字。

然而，阿拉伯数字的引入使得数字的表示更加统一和易于理解。

4. 数的应用领域的扩展随着数的发展，人们开始将数应用于各个领域。

数学成为一门独立的学科，并在科学、工程、经济学等领域中发挥着重要作用。

数的应用范围包括代数、几何、概率论、统计学等。

数的发展也推动了科学和技术的进步，例如计算机科学和人工智能。

5. 数的发展对社会的影响数的发展对社会产生了深远的影响。

数的应用使得人们能够更好地理解和解释世界。

数的发展也推动了经济的发展和社会的进步。

例如，数的应用在金融领域中起着重要作用，使得金融交易更加高效和准确。

数的发展也促进了科学和技术的创新，推动了社会的发展和改变。

6. 数的未来发展趋势数的发展仍在不断进行中。

随着科学和技术的不断进步，数的应用领域将进一步扩展。

例如，人工智能和大数据技术的发展将使得数在数据分析和预测方面发挥更大的作用。

数的发展也将推动科学和技术的创新，推动社会的发展和变革。

总结：数的发展经历了漫长的历史，从最早的计数工具到阿拉伯数字的引入，再到数的应用领域的扩展，数在人类社会中发挥着重要的作用。

数的发展对科学、经济和社会产生了深远的影响，推动了社会的进步和变革。

数的发展史引言数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。

数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。

一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。

今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。

在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢, 有理数位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。

人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。

但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。

首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。

同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。

这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。

有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。

巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数，阿拉伯的分数更加复杂:单分数、主分数和复合分数。

这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。

与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。

原始的分数概念来源于对量的分割。

如《说文?八部》对“分”的解释:“分，别也。

从八从刀，刀以分别物也。

”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。

其“合分术”有云:“实如法而一。

不满法者，以法命之。

”这句话的今译是:被除数除以除数。

如果不能除尽，便定义了一个分数。

中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓:通分。

刘徽在《九章算术注》中所言:众分错杂，非细不会。

乘而散之，所以通之。

通之则可并也。

数的起源与发展1. 数的起源数的起源可以追溯到人类文明的早期阶段。

最早的数是通过使用手指进行计数而产生的。

人们发现，通过用手指进行计数，可以更方便地记录和交流数量信息。

随着时间的推移，人们开始使用其他物体，如石头、棍子等进行计数，逐渐形成为了更为复杂的计数系统。

2. 数的发展2.1 古代数的发展在古代，各个文明都发展出了自己的数学系统。

古埃及人使用一种称为“埃及分数”的计数系统，其中使用分数的形式来表示整数。

古希腊人则发展出了几何学和形式逻辑，并开始研究无理数。

古印度人发展出了阿拉伯数字系统，并进行了广泛的代数研究。

2.2 中世纪数的发展中世纪时期，数学的发展受到了宗教和哲学的影响。

欧洲的数学家们开始研究天体运行规律，推动了天文学和几何学的发展。

同时，阿拉伯数学的知识也传入欧洲，推动了代数学的发展。

2.3 现代数的发展在近代，数学的发展进入了一个全新的阶段。

17世纪的科学革命为数学的发展提供了强大的动力。

伽利略和牛顿的力学研究奠定了现代数学分析的基础。

同时，数学的应用领域也得到了广泛的扩展，包括概率论、统计学、计算机科学等。

3. 数的分类数可以根据其性质和特点进行分类。

以下是一些常见的数的分类：3.1 自然数自然数是最基本的数，包括0和正整数。

自然数用于计数和排序。

3.2 整数整数包括正整数、负整数和0。

整数用于表示具有相反方向的量。

3.3 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

有理数用于表示可以准确表示的量。

3.4 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，如π和√2。

无理数是无限不循环小数。

3.5 实数实数包括有理数和无理数，可以用于表示实际存在的量。

3.6 复数复数是由实数和虚数部份组成的数，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

复数用于表示平面上的向量和波动等现象。

4. 数的运算数的运算是数学的基础内容之一。

常见的数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

以下是数的运算的一些基本规则：4.1 加法和减法加法是将两个数相加得到一个和，减法是从一个数中减去另一个数得到一个差。

数系的历史发展进程和逻辑依据及对教学的启示一、数系的发展数系通常是指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。

这些数之间的关系如下表：数的观念具有悠久的历史，特别是自然数观念，其产生当在史前时期，详情已难于追索。

但对数系建立严谨的理论基础，却在19世纪下半叶才完成。

1．自然数建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。

古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。

事实上，英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。

中国古藉《易系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。

”这些都是匹配计数法的反映。

但直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。

2．整数在整数系中，自然数为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，… 为负整数。

正整数，零与负整数构成整数系。

零不仅表示“无”，更是表示空位的符号。

中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。

印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是“空”或“空白”。

中国最早引进了负数。

《九章算术方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。

减法的需要也促进了负整数的引入。

减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。

为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

3．有理数古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。

中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。

分数的使用导源于除法运算的需要。

除法运算可看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则所给方程未必有整数解。

为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。

值得注意的是, 可以证明, 以下关于有理数系的三种描述是互相等价的:定义1：正负整数、分数和零的总体称为有理数。

定义2：有理数由各式各样的分数组成。