上海市高二数学复习练习附答案及过程

考点05：简单几何体的三视图和直观图综合复习（解析版）一、单选题1．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）AB ．C ．13D ．【标准答案】D【思路点拨】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.【精准解析】由题意结合原图与直观图的面积比为S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯= 故选：D.【名师指导】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题. 2．（2021·上海·高三专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【标准答案】B【思路点拨】由三视图可得该几何体为圆柱的一半,进而求解即可.【精准解析】由图,该几何体为圆柱的一半,则21122V ππ=⨯⨯=, 故选:B【名师指导】本题考查由三视图还原几何体,考查圆柱的体积.3．（2021·上海·复旦附中高二期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位:2cm ）为（ ）A ．32B ．36C ．40D ．48【标准答案】A【思路点拨】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，底面是直角三角形，其中一条侧棱垂直于底面，垂足为较大锐角的顶点，然后利用三角形面积公式求解.【精准解析】由三视图知该几何体的直观图如图所示：其中PA ⊥平面ABC ， AC BC ⊥，则,PA BC PA AC A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面APC ，所以BC PC ⊥所以四个面都是直角三角形所以该几何体的表面积Rt ABC Rt APC Rt PAB Rt PBC S S S S S =+++，111134345454322222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【名师指导】本题主要考查三视图的应用以及几何体体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43π+B ．23π+C ．43π+D ．423π+ 【标准答案】A【思路点拨】由三视图可知该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，结合三视图中的数据，即可求出组合体的体积【精准解析】几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥的体积为144133⨯⨯=， 所以该几何体的体积为：43π+ 故选：A【名师指导】本题主要考查利用三视图求原几何体的体积，属于中档题.5．（2021·上海市进才中学高二期中）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；①相等的线段在直观图中仍然相等；①一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【标准答案】A【思路点拨】直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.【精准解析】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；对于①，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故①错误；对于①，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故①错误.故选：A.6．（2021·上海交大附中高三月考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为A ．17πB ．22πC ．68πD ．88π【标准答案】A【精准解析】从题设中提供的三视图可以看出：该几何体所是底面是边长为2的正方形，高是3的正四棱柱，如图，外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点上，即球心距为13322d =⨯=，底面外接圆的半径为12r =⨯故球半径222917244R d r =+=+=，其表面积21744174S R πππ==⨯=，应选答案A ． 7．（2021·上海市金山中学高二期末）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A ．12πB ．11πC ．10πD ．9π【标准答案】A【精准解析】 试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以考点：几何体表面积8．在正方体1111ABCD A B C D 中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为A ．B ．C ．D ．【标准答案】C【精准解析】取1AA 的中点H ，连GH ，则GH 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面11A B BA 的交线． 延长GH ，交BA 的延长线与点P ，连E P ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交11D C 的延长线于Q ，连GQ ，交11B C 于点M ，则FM 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面11BCC B 的交线．所以过点E ，F ，G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示．选C ． 9．（2021·上海市七宝中学高二期中）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )A ．B ．C ．D ．【标准答案】D【思路点拨】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【精准解析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D ．【名师指导】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．10．（2021·上海市大同中学高二期末）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm【标准答案】B【思路点拨】试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC①底面ABCD ，底面ABCD 是正方形,且边长为20，那么利用体积公式可知 318000202020cm 33V =⨯⨯⨯=, 故选B.考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．二、填空题11．（2021·上海市西南位育中学高二期中）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的底面边长为_________.【标准答案】4【思路点拨】直接根据三视图判断即可.【精准解析】由左视图得三棱柱的底面正三角形边上的高为4=. 故答案为：412．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二月考）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若1O A ''=，那么原三角形ABO 面积是______.【思路点拨】 根据斜二测画法的规则，与x 轴平行的线段在直观图中与x '轴平行，长度不变；与y 轴平行的线段在直观图中与y '轴平行，长度减半，分别求出,OA OB 的长度，即可求出面积.【精准解析】根据直观图画出原图如下，则有2OB O B ''==,1O A ''= ,22OA O A ''== ,那么原三角形ABO 面积是11222OB OA ⋅=⨯= .13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二月考）如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''，若3AC ''=，2B C ''=，则边AB 的实际长度为___________【标准答案】5【思路点拨】由斜二测画法的原理作出A B C '''的原图ABC ，即可求解.【精准解析】由斜二测画法的原理可得：24BC B C ''==，3AC A C ''==，且BC AC ⊥，所以AB 5=，故答案为：5.14．（2021·上海市建平中学高二期末）空间一线段AB ，若其主视图、左视图、俯视图AB 的长度为_______________.【精准解析】试题分析：可以想象一下边长为1AB考点：三视图.15．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【标准答案】4 3【思路点拨】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【精准解析】由三视图知该几何体如图，V＝12123⨯⨯⨯＝43故答案为4 3【名师指导】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【标准答案】40.【思路点拨】本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.【精准解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,几何体的体积()3142424402V =-+⨯⨯=. 【名师指导】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 17．（2021·上海·高三专题练习）已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【标准答案】1612+π【思路点拨】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【精准解析】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4，可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积， 即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【名师指导】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题.18．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【标准答案】83【思路点拨】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积，表面积计算即可．【精准解析】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为h，四棱锥的底面是正方形，边长为2，棱锥的高为2，∴几何体的体积1822233V=⨯⨯⨯=．故答案为：83．【名师指导】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．19．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图①矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为①__________cm；【标准答案】20【思路点拨】利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可【精准解析】由斜二测画法的规则知与x 轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；与y 轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y '轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示，其中4AB A B ''==cm ，22OC O C ''==⨯=6BC ∴==cm所以原图形的周长为2(46)20⨯+=cm20．如图，已知四面体ABCD 的棱//AB 平面α，且1CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转.且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为________.【思路点拨】 在四面体中找出与AB 垂直的面，在旋转的过程中CD 在面α内的射影始终与AB 垂直求解.【精准解析】ABD ∆和ABC ∆都是等边三角形，取AB 中点M ，易证MD AB ⊥，MC AB ⊥，即AB ⊥平面CDM ，所以AB CD ⊥.设CD 在平面α内的投影为C D ''，则在四面体ABCD 绕着AB 旋转时，恒有C D AB ''⊥. 因为AB ∥平面α，所以AB 在平面α内的投影为2A B AB ''==.因此，四面体ABCD 在平面α内的投影四边形A B C D ''''的面积12S A B C D C D ''''''=⋅= 要使射影面积最小，即需C D ''最短；在DMC ∆中，MC MD ==1CD =，且DC 边上的高为MN =利用等面积法求得，边MC 上的高DH =DH MN <，所以旋转时，射影C D ''的长的最小值是C D ''=所以min S = 【名师指导】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.三、解答题21．在水平放置的平面α内有一个四边形，用斜二测画法画它的直观图，当斜二测画法满足O x ''轴与O y ''轴、O z ''轴的轴间角都为135︒且伸缩系数0.5p =时，它被画成边长为1cm 的正方形，并且有一条对角线在水平O y ''轴位置，求出这个四边形的真实形状的面积．【标准答案】2【思路点拨】根据斜二测画法的性质，求解真实形状与直观图的边长和高的关系，进而求出真实形状的面积即可.【精准解析】由条件这个四边形的真实形状为一个平行四边形，且这个平行四边形的一条边长为直观，由斜二测画法，对应的高为直观图中正方形的一条边长的2倍即长为2cm ，所以它的面积为22S ==【名师指导】本题主要考查了斜二测画法的运用，属于基础题.22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于多少？【标准答案】11+【思路点拨】作出几何体的直观图，可知该几何体为直四棱柱，将侧面积与底面积相加可得出该几何体的表面积.【精准解析】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1、2，直角腰长为1两底面积和为()121232+⨯⨯=，侧面积为(11228++⨯=+所以该几何体的表面积为3811+++.【名师指导】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，解答的关键就是作出几何体的直观图，分析几何体的结构，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.23．（2021·上海市延安中学高二期末）如图所示的几何体，是由棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去一个角后所得的几何体．（1）试画出该几何体的三视图（主视图投影面平行平面11DCC D ，主视方向如图所示）； （2）若截面MNH △是边长为2的正三角形，求该几何体的体积V ．【标准答案】（1）作图见解析；（2）83-【思路点拨】（1）根据三视图的定义可画出该几何体的三视图；（2）由MNH △是边长为2的正三角形，先求出截掉的三棱锥的棱长和体积，用正方体的体积减去小三棱锥的体积即可【精准解析】解：（1）三视图如图所示，（2）设在正方体中由顶点1B 出发的三条棱长分别为111,,B M x B N y B H z ===，则由题意得222222444x y y z z x ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得x y z ===因此，所求几何体的体积为33112832V =-⨯⨯= 24．（2021·上海·模拟预测）已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为________.【思路点拨】根据三视图可知几何体为底面是斜边为2的等腰直角三角形且一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据三棱锥性质求出外接球半径即可求出球的体积.【精准解析】由三视图知:几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2,底面为等腰直角三角形，如图:①ABC 为等腰直角三角形，D 为AC 的中点，∴D 为①ABC 外接圆的圆心，平面SAC ①平面ABC ,在平面SAC 中，过D 作DH ①AC ,则外接球的球心在DH 上，设球心为O ，则OA =OB =OC =OS ,112OD SA ∴==故外接球半径R =所以外接球的体积343V R π=,【名师指导】本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，考查了学生的空间想象能力，根据三视图判断几何体的性质是关键，属于中档题.25．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室111ABC A B C -，11A ABB 是边长为2的正方形．（1）若ABC 是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若111C D A B ⊥，D 在11A B 上，证明：1C D DB ⊥，并回答四面体11DBB C 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （3）当阳马111A C CBB -的体积最大时，求点1B 到平面1A BC 的距离．【标准答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3【思路点拨】（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.（2）证明11C D BB ⊥,结合111C D A B ⊥,即可得到1C D ⊥面11AA BB ,进而可证明1C D DB ⊥.（3）阳马111A C CBB -的体积为:1111123||||||||3||A C CBB AC BC BB AC V BC -⋅=⋅=,根据均值不等式可得:22||||||||22AC BC AC BC +⋅≤= (||||AC BC ==),即可求得||||AC BC ==以点1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积, 在以点1B 为顶点,以1Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积.利用等体积法即可求得点1B 到平面1A BC 的距离.【精准解析】（1）画出堑堵的三视图:（2）如图,连接BD 和1C B .由题意可知:1BB ⊥面111A B C ,1BB 在平面111A B C∴ 11C D BB ⊥ 又111C D A B ⊥1C D ∴⊥面11AA BB 故: 1C D DB ⊥,可得1C DB 为直角三角形.由题意可知11C B B ,1DB B ,11C DB 都是直角三角形.∴ 四面体11DBB C 四个面都是直角三角形,故四面体11DBB C 是鳖臑.（3）在Rt ACB 中,222||4AB AC BC +==根据均值不等式可得:22||||||||22AC BC AC BC +⋅≤= (||||AC BC ==) 由题意可知,AC ⊥面11CC BB∴阳马111A C CBB -的体积为:1111||||||||||124333A C CBB AC BC BB AC BC V -⋅⋅≤==(||||AC BC ==)以1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积:∴ 111-11112232323A B B C BC B AC V B ⋅⋅⋅⋅=⋅==112A CB S ∆=设1B 到面1A CB 距离为h 以1B 为顶点,以1Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积: ∴ 111-1233A BC A CB B h V S ∆⋅⋅==1233h ∴ 解得:h 【名师指导】本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马111A C CBB -的体积,通过不等式取最值时成立条件,求出底边||AC 长.。

一、填空题1．在等差数列中，已知，，则__．{}n a 12a =34a =-4a =【答案】7-【分析】利用通项公式的相关的性质即可求解.【详解】设公差为，则， d 3132a a d -==-所以.437a a d =+=-故答案为：7-2．等比数列中，若，，则_____． (){*}n a n ∈N 2116a =512a =8a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列的公比为，则，解得，即，所以(){*}n a n ∈N q 35212a a q ⨯==38q =2q =， 3581842a a q =⨯⨯==故答案为：．43．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【分析】代入球的表面积公式:即可求得.2=4S R π表【详解】， 2R = 由球的表面积公式可得,∴2=4S R π表,2=42=16S ππ⨯⨯球表故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.4．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】 16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种, 2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1甲､乙两人都没有被选到的概率为. ∴165．已知正项等差数列的前项和为，，则________．{}n a n n S 25760a a a +-=11S =【答案】22【分析】根据等差数列的性质可得，再根据求和公式即可求出．62a =【详解】正项等差数列的前项和为.{}n a n n S 由得，所以，（舍）25760a a a +-=26620a a -=62a =60a = 611111*********a a a S +=⨯=⨯=故答案为：22【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查了运算能力，属于基础题． 6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)(4,0,0),(0,3,2)A C 所以.1(4,3,2)AC =-7．一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，则他的数学和物理至少有一门超过90的概率为___________.【答案】0.9## 910【分析】利用概率加法公式直接求解.【详解】一次期中考试，小金同学数学超过90分的概率是0.5，物理超过90分的概率是0.7，两门课都超过90分的概率是0.3，∴他的数学和物理至少有一门超过90的概率为：.0.50.70.30.9P =+-=故答案为：0.9.8．如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所M ABCD BC 1AB =2BC =ABCD AD 得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为1V MCD △CD 2V 12V V ________【答案】6【分析】分析几何体的结构，计算出、，由此可得出结果.1V 2V 【详解】将矩形绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，母线长为的圆柱，ABCD AD 12所以，，21122V ππ=⨯⨯=将绕直线旋转所得到的几何体是以为底面圆的半径，高为的圆锥，MCD △CD 11所以，. 2211133V ππ=⨯⨯⨯=因此，. 126V V =故答案为：.69．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于．若该三棱柱的所有顶点都在球的表面上，()318cm O 则球的体积等于__． O ()3cm 【分析】先由题目条件可得三棱柱的棱长，后可结合图形确定球O 的球心，后可得答案.【详解】如图，三棱柱是直三棱柱，且所有棱长都相等，111ABC A B C -该三棱柱的顶点都在球的表面上，且三棱柱的体积为18，O 设三棱柱的棱长为，则， a 1sin 60182a a a ⨯⨯⨯︒⨯=解得，分别设上下底面中心为、，a =1O 2O 则的中点即为三棱柱外接球的球心，12O O O ，22O A ==所以球的半径，R ===则球的体积等于．O 34π3⨯=10．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进AO )1OA = 1A y 1A 到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进112OA 2A 1OA 2A 1212A A 3A y 3A 到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标为__．2312A A 4A L A【答案】 83【分析】根据已知前进规律,再应用无穷等比数列求和公式可得横纵坐标.【详解】等比数列前项和公式当, n ()11,1n n a q S q -=-,110n q q ∞→+-<<≠，1,1n a S q→-根据已知前进规律,探究轴正方向的规律，得， y 1111181121441616314++++++=⨯=-同理也可发现x==故质点最终到达的点的坐标为．A8)3故答案为:8)3二、单选题11．设“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的（）A B A BA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对立事件及互斥事件的关系即可得出结论.【详解】由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故“事件与事件互斥”是“事件的对立事件是”的必要而不充分条件．A B A B故选：B．12．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与1111A B C D ABCD-E F1A A BC11ADD A平面平行的直线（）DEFA．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.l⊂11ADD A//l DE//l DEF【详解】设平面，且，又平面，平面，l⊂11ADD A//l DE DE⊂DEF l⊂DEF平面，显然满足要求的直线l有无数条.//l∴DEF故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.13．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，则的{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．不存在3243256【答案】A【分析】根据求出公比得到，结合均为正整7652a a a =+2q =14a =6m n +=,m n 数，得到五组值，代入求出最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，{}n a 0q >因为，所以，7652a a a =+25552a q a q a =+化为，，解得．220q q --=0q >2q =因为存在两项，,m n a a 14a =14a =化为．6m n +=则，；，；，；，；，．1m =5n =2m =4n =3m =3n =4m =2n =5m =1n =则当，时，， 1m =5n =1449155m n +=+=当，时，， 2m =4n =1413122m n +=+=当，时，， 3m =3n =14145333m n +=+=当，时，， 4m =2n =1419244m n +=+=当，时，， 5m =1n =14121455m n +=+=故最小值为. 32故选：A ．15．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则()f x R {}n a 10110a >的值（ ） ()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为D ．可正可负0【答案】A 【分析】根据函数的性质可判断函数值正负，从而结合等差数列性质推出()f x 12021()()0f a f a +>，进而将结合等差数列的性质即可判断答案.()()()()()12320202021f a f a f a f a f a ++++ 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数，()f x R 所以，且当时，； 当时，．(0)0f =0x >()0f x >0x <()0f x <因为数列是等差数列，，故．{}n a 10110a >1011()0f a >再根据，所以，则，12021101120a a a +=>12021a a ->120212021()()()f a f a f a >-=-所以．12021()()0f a f a +>同理可得，，，22020()()0f a f a +>32019()()0f a f a +>L 所以()()()()()12320202021f a f a f a f a f a +++++ ，1202122020101210101011[()()][()()][()()]()0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++> 故选：．A三、解答题16．在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为0.4，学生乙的命中率为0.3，甲乙两人的击互不影响，求：(1)甲乙同时射中目标的概率；(2)甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1)0.12(2)0.58【分析】（1）设出相应的事件，找出对应事件的概率，利用相互独立事件的概率求解即可，（2）利用对立事件性质求解即可.【详解】（1）设“甲击中目标”为事件，“乙击中目标”为事件，A B 则，且事件，相互独立，()()0.4,0.3P A P B ==A B 所以甲乙同时射中目标的概率为.()()()0.40.30.12P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=（2）设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件，C 则它的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：，A B ⋅则. ()()()()()()11110.410.30.58P C P A B P A P B =-⋅=-⋅=---=17．如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且AB ⊥BCD BC BD ⊥AD BCD 30︒.2AB BC ==(1)求三棱锥的体积；A BCD -(2)设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）M BD AD CM【答案】(2)【分析】（1）由题目条件可得BD ，后可由三棱锥体积公式得答案； （2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可AB N ，CN MN //MN AD CMN ∠AD CM 由余弦定理得答案.【详解】（1）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， AB ⊥BCD ADB ∠AD BCD所以，所以 o 30ADB ∠=o tan 30AB BD ==所以三棱锥的体积 A BCD -1111223632A BCD BCD V S AB BC BD AB -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯A （2）取中点，连接，则，AB N ，CN MN //MN AD 所以即为异面直线与所成角，CMN ∠AD CM 又平面，平面，则，AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB BD ⊥得. 1422，AD MN AD ====CN CM ====则在中，，CMN A 2，MN CN CM ===所以， 222cos 2CM MN CN CMN CM MN +-∠=⋅所以异面直线与所成角的大小为AD CM18．已知数列满足，且.{}n a 11a =123n n a a +=+(1)令，求证：是等比数列；3n n b a =+{}n b (2)求数列的通项公式及数列的前项和.{}n a n a {}n a n 【答案】(1)证明见解析(2)，数列的前项和为 123n n a +=-{}n a n 2234n n +--【分析】（1）根据题意结合等比数列定义运算分析；（2）根据题意结合等比数列的通项公式求得，再利用分组求和以及等比数列的求和公123n n a +=-式运算求解.【详解】（1）因为，所以， 123n n a a +=+()1323n n a a ++=+又∵，则，且，3n n b a =+12n n b b +=14b =所以是以首项，公比的等比数列.{}n b 14b =2q =（2）由（1）得，所以，11422n n n b -+=⋅=123n n a +=-所以 ()()()()23123412323...23222...23n n n S n ++=-+-++-=++++-. ()2412312324n n n n +-=-=---19．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异1OO AB BC O A D 于、的点．B C(1)求证：平面；CD ⊥ABD (2)若，，，求圆柱的侧面积．2BD =4CD =6AC =1OO 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定AB ⊥BCD AB CD ⊥得出结论；（2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案.【详解】（1）证明：底面，且底面，AB ⊥Q BCD CD ⊂BCD ，AB CD ∴⊥又，且，平面，CD BD ⊥ AB BD B = AB 、BD ⊂ABD 平面；CD \^ABD （2）在中，，，Rt BCD ∆2BD =4CD =BC ∴==又在中，，Rt ABC ∆6AC =．4AB ∴==4，∴圆柱的侧面积为．∴1OO 24π=20．若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列{}n a i j i j ≠k k i j a a a =⋅具有“性质”.{}n a P （1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；a P （2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；2{}n a P 1a （3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.12a ={}n a P d【答案】（1）答案见解析；（2），且；（3）或.12ma =1m ≥-m Z ∈1d =2d =【分析】（1）根据性质计算，由解得或，可得结论； P 2i j k a a a a a ===0a =1a =（2）通项公式，然后由求出，由的范围可得的值的形式；112n n a a -=⋅k i j a a a =⋅1a 1m k i j =+--1a （3）由得，由对于任意的正整数，存在整数和，使得，1k n a a a =221d k n =-+n 1k 2k 11k n a a a =⋅，两式相减得.首先确定，得是整数，因此也是整数，22k n a a a =⋅21()n da k k d =-0d ≠21n a k k =-d 然后说明不合题意（取较大的，使得即可得），时只有或2，并说明符0d <m 11m m a a a +>0d >1d =合题意．【详解】解：（1）若数列具有“性质”，由已知对于任意正整数，，，都存在正整数{}n a P i j i j ≠，使得，所以，解得或.k k i j a a a =⋅2a a =0a =1a =所以当或时，常数数列满足“性质”的所有条件，数列具有“性质”；当且0a =1a =P P 0a ≠1a ≠时，数列不具有“性质”.{}n a P （2）对于任意正整数，，，存在正整数，使得，即，i j i j ≠k k i j a a a =⋅111111222k i j a a a ---⋅=⋅⋅⋅，令，则.112k i j a +--=1k i j m Z +--=∈12m a =当且时，则，对任意正整数，，，由得1m ≥-m Z ∈11122n m n n a a -+-=⋅=i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，所以存在正整数使111222m k m i m j +-+-+-=⋅1k i j m =++-1i j m ++-1k i j m =++-得成立，数列具有“性质”.k i j a a a =⋅P 若，取，，，不是中的项，不合题意．2m ≤-1,2i j ==12112222m m m a a ++=⨯=21m m +<212m +{}n a 综上所述，且.12m a =1m ≥-m Z ∈（3）.对于任意的正整数，存在整数，使得得. 2(1)n a n d =+- n k 1k n a a a =⋅221d k n =-+对于任意的正整数，存在整数和，使得，，两式相减得. n 1k 2k 11k n a a a =⋅22k n a a a =⋅21()n da k k d =-当时，显然不合题意.0d =当时，得，是整数，从而得到公差也是整数.0d ≠21n a k k =-d 若时，此数列是递减的等差数列，取满足正整数，解得，0d <()2102m m a a a <⎧⎪⎨->=⎪⎩m 211m d m ⎧>-+⎪⎪⎨⎪>⎪⎩由，所以不存在正整数使得成立.从而时，不具有“性质”.211m m m a a a a +⋅>>k 1m m k a a a +⋅=0d <P 是正整数，都是正整数，因此或2． 221d k n =-+,k n 1d =当时，数列2，3，4，……，，……，对任意正整数，，，由得1d =1n +i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.1(1)(1)k i j +=+⋅+k i j i j =++⋅i j i j ++⋅P 当时，数列2，4，6，……，，……，对任意正整数，，，由得2d =2n i j i j ≠k i j a a a =⋅，得，而是正整数，从而数列具有“性质”.222k i j =⋅2k i j =⋅2i j ⋅P 综上所述或.1d =2d =【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查学生的创新意识，推理能力．解题关键是理解新定义并能运用新定义解题．性质，即对任意的，存在，使得，只要根据P ,*m n N ∈*k N ∈k m n a a a =这个恒成立式求得数列即可．。

第2章圆锥曲线（新文化与压轴30题专练）一、单选题1．（2021·上海·高二专题练习）开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A ．A 点处B ．B 点处C ．C 点处D ．D 点处【答案】A 【解析】根据开普勒第二定律即可得 【详解】因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P 点到F 的距离较远，经过4T时间，14BPFS S椭圆，所以4T 时间后未到B 点，可能在A 处故选：A.本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.2．（2020·上海市进才中学高二期末）若直线y=x+b 与曲线3y =b 的取值范围是A ．1,1⎡-+⎣B ．1⎡-+⎣C ．1⎡⎤-⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】C 【详解】试题分析：如图所示：曲线3y = （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3）， 表示以A （2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b 的距离等于半径2，当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得1- 故答案为C3．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高二期末）设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．以上都不对【答案】B根据向量的运算，化简得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得|NO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥a ， 所以|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥2a =4， 即|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．（2020·上海市实验学校高二期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.5．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22195x y +=过右焦点F 作不垂直于x 轴的弦交椭圆于A ，B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则|NF |：|AB |等于（ ）A ．12 B ．13C ．23D ．14【答案】B 【分析】设出直线AB 的参数方程，代入椭圆方程，化简后写出韦达定理.利用直线参数的几何意义表示出,NF AB ，由此求得两者的比值. 【详解】依题意可知，椭圆的右焦点为()2,0.设直线AB 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，π2α≠）.代入椭圆22195x y +=，化简得()2254sin 20cos 250tt αα++⋅-=，所以12122220cos 25,54sin 54sin t t t t ααα+=-=-++.设AB 的中点为C ，则中点C 对应的参数1232t t t +=，所以312cos 2cos t t t NF αα+==.而12AB t t =-所以NFAB===13===.故选：B.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.6．（2021·上海·高二专题练习）设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=，02θπ≤≤，对于下列四个命题：（1）M 中所有直线均经过一个定点； （2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上；（3）对于任意整数n ，3n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上； （4）M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是（ ） A ．（2）（3） B ．（1）（4） C ．（2）（3） （4） D ．（1）（2）【答案】A 【解析】首先发现直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再根据切线的性质判断（1）（3）（4），以及观察得到点()0,2不在任何一条直线上，判断选项. 【详解】因为点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合.（1）由于直线系表示圆()2221x y +-=的所有切线，其中存在两条切线平行，所有M 中所有直线均经过一个定点不可能，故（1）不正确；（2）存在定点P 不在M 中的任意一条直线上，观察知点()0,2M 符合条件，故（2）正确；（3）由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数()3n n ≥，存在正n 变形，其所有边均在M 的直线上，故（3）正确；（4）如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，一类如ABE △，一类是BCD △,显然这两类三角形的面积不相等，故（4）不正确.故选：A 【点睛】本题考查含参直线方程，距离公式，轨迹问题的综合应用，重点考查转化与变形，分析问题的能力，属于偏难习题，本题的关键是观察点()0,2到直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤中每条直线的距离1d ==，直线系()():cos 2sin 102M x y θθθπ+-=≤≤表示圆()2221x y +-=的切线集合，再判断选项就比较容易.7．（2021·上海·高二专题练习）已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论：①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形； ③当1m =-时，若点(,)P x y 在曲线C 上，则||1x ≥或||1y ≥； 其中，正确结论是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D 【分析】在曲线C 上任取一点(),P x y ，得到44221x y mx y ++=；将点()1,P x y --代入曲线方程，可验证点()1,P x y --在曲线上，同理可得点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，得到①②正确；当1m =-时，得到222213124x y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，根据题意，推出矛盾，即可得出③正确. 【详解】在曲线C 上任取一点(),P x y ，则44221x y mx y ++=，将点()1,P x y --代入曲线C 的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上， 则曲线C 关于原点和坐标轴对称，①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾.∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确. 故正确命题的序号为：①②③. 故选：D. 【点睛】方法点睛：判定曲线对称性的方法，一般任取曲线上的点(),x y ，结合曲线方程，列出式子；再验证(),x y -，(),x y -，(),x y --是否满足曲线方程，即可得出其对称性.8．（2021·上海宝山·高二期末）如果一个多边形的所有顶点均在某个函数的图象上，那么称此多边形为该函数的内接多边形.设函数()32141f x x x x =---，()2222x f x x =-+，若四边形ABCD 为函数()()12y f x f x =+的内接正方形，则此正方形的面积为（ ） A ．15或7 B ．10或7C ．10或17D ．15或17【答案】C 【分析】分析可得39()12f x x x =-+关于(0,1)M 对称，即可得正方形的对称中心，设出直线AC 的方程，即可得直线BD 方程，将直线与()f x 联立，可得2192x k =+，同理22912x k =-，由AM BM =，化简整理，可得1k k-的值，再利用,AM BM 表示出面积S ，化简计算，即可得答案. 【详解】函数()()312912y f x f x x x =+=-+，设39()12f x x x =-+，则()()2f x f x -+=，所以函数()f x 关于点(0,1)M 对称，这显然也是正方形的对称中心， 由正方形性质可得，AC BD ⊥于M ，且AM BM CM DM ===，不妨设直线AC 的方程为1(0)y kx k =+>，则直线BD 方程为11y x k=-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1122(,2),(,2)C x y D x y ----，联立直线AC 与函数()y f x =方程：31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可得3902x k x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以2192x k =+，同理22912x k =-，又120,0AM BM =-=-， 所以229191(1)122k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2219102k k k k⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，整理得2112940k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14k k -=-或112k k -=-，所以1k k +=，所以12122ABCD S AM BM x x k k ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭1210k k ⎛=+ ⎝或17故选：C 【点睛】解题的关键是读懂题意，根据函数对称性，得到正方形对称中心，再根据正方形性质，利用弦长公式，化简计算，即可得答案，属难题9．（2021·上海·高二专题练习）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ）①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO . A ．①② B ．①②④ C ．②③④ D ．①③【答案】B 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可. 对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222)][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确； 对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅,即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确；对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上. 故此时00x =,22222)][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POF POF ∠+∠=,即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅=故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号. 故()()222122||||||2OP PF PF a=-≤, 即22||2OP a ≤,解得||OP ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.二、填空题10．（2021·上海市大同中学高二开学考试）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x yr r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 【答案】（2，4） 【详解】设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，整理可得：2440y ty m --= 则�=16t 2+16m >0，124y y t +=，124y y m =-则()()2121242x x ty m ty m t m +=+++=+∴线段AB 的中点()222M t m t +，由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且()50C ，当0t ≠时，有1MC AB K K =- 即2201125t t m t-⨯=-+-，整理得232m t =- 把232m t =-代入到�=16t 2+16m >0 可得230t ->，即203t <<由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径即2d r ==24r ∴<<，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条当0t =时，这样的直线l 恰有2条，即5x r =±， 05r ∴<<综上所述，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()24，点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题．设直线l 的方程为x ty m =+，()11A x y ，，()22B x y ，，把直线l 的方程代入抛物线方程24y x =，根据判别式求得线段AB 的中点M 的坐标，分别讨论0t ≠时，0t =时r 的取值范围，即可得到答案11．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期末）双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图象，关于此函数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图象过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为________.【答案】①② 【分析】根据双曲线关于坐标原点对称,则旋转后得到的函数的()f x 图象也关于原点对称,即有()f x 为奇函数；根据双曲线的顶点、渐近线方程可得旋转后的()f x 的图象的渐近线,再由对称性可得()f x 的图象过3)2或3)2-；根据()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点,不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞,也不是33(,][,)22-∞-+∞；分()f x 的图象所在的象限讨论,得出()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数yf xx 没有零点.【详解】解：双曲线2213x y -=关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数的()f x 图象关于原点对称,即有()f x 为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为30,,渐近线方程为y x =,可得()f x 的图象的渐近线为0x =和y =,图象关于直线y =对称,可得()f x 的图象过32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭. 由对称性可得()f x 的图象按逆时针60旋转位于—三象限； 按顺时针旋转60位于二四象限；故②对；()f x 的图象按逆时针旋转60位于一三象限由图象可得顶点为点32⎫⎪⎪⎝⎭或32⎫-⎪⎪⎝⎭..不是极值点,则()f x 的值域不是33(,][,)22-∞-+∞；()f x 的图象按顺时针旋转60位于二四象限,由对称性可得()f x 的值域也不是33(,][,)22-∞-+∞,故③不对；当()f x 的图象位于一三象限时,()f x 的图象与直线y x =有两个交点,函数y f xx 有两个零点；当()f x 的图象位于二四象限时,()f x 的图象与直线y x =没有交点,函数y f xx 没有零点故④错.故真命题为：①② 故答案为：①② 【点睛】本题考查双曲线的性质和函数图象的对称性、极值、零点,属于中档题.12．（2020·上海市洋泾中学高二期末）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的坐标为___________ 【答案】()1,0【分析】设△PMN 的外接圆的圆心为(),a b ，根据题设中给出的结论可构建关于,a b 的方程组，解方程组后可得P 的坐标. 【详解】延长NM 交x 轴于K ，则NKO ∠为锐角，由题设，当P 在射线KO 上时，若MPN ∠取最大值，则有PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P ， 设Q 为x 轴上的动点且在K 的左侧，则NQM NQK PKN ∠<∠<， 由MPN ∠为最大值角可得MPN PKN ∠>∠， 故当P 为x 轴上的动点且MPN ∠取最大值时，P 在射线KO 上且PMN 的外接圆与x 轴相切且切点为P .设该圆的圆心为(),a b ，则0b >且圆的半径为b ，故()()()()2222221214a b ba b b ⎧++-=⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得到22245028170a a b a a b ⎧+-+=⎨--+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩， 又直线MN 的方程为3y x，故()3,0K -，故710a b =-⎧⎨=⎩舍去，故PMN 的外接圆的圆心为()1,2，故()1,0P . 故答案为：()1,0. 【点睛】方法点睛：本题为即时应用类问题，注意根据给出的背景或结论来构建所设变量的方程组，另外对不适合题设给出的背景的另一类问题的讨论.13．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于A 、B 、C 、D 四点，则9AB CD +的最小值为_____．【答案】11 【分析】利用抛物线的定义表示出1||2A AB x =+，1||2D CD x =+，对直线l 的斜率是否存在进行讨论：当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，用设而不求法表示出1A D x x =，利用基本不等式求最值. 【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，所以1A AF x =+，因为1||||2AF AB =+，由圆()22114x y -+=的半径为12，所以1||2A AB x =+.同理1||2D CD x =+，当直线l 的斜率不存在时，1D A x x ==，915AB CD +=， 当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=，所以1A D x x =，所以||9||59511A D AB CD x x +=++≥+，（取等号的条件为=9A D x x ，即=3=31A D x x ，）综上，9AB CD +的最小值为11．故答案为：11【点睛】解析几何中的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.14．（2021·上海·华师大二附中高二期末）在xOy平面上，将双曲线的一支221 916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线0y=、4y=围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，过(0,)y(04)y≤≤作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω体积为________【答案】36π.【详解】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支221916x y-=(0)x>及其渐近线43y x=和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线43y x=交于一点A（34a，a）点，与双曲线的一支221916x y-=(0)x>交于B a）点，记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω． 过（0，y ）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=22394ππ⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积， ∴Ω的体积V=9π×4=36π， 故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.15．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________ 【答案】()2,0或()0,2- 【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+= 与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||(1)(1)10MC MA x y ==++-=① 由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故答案为：()2,0或()0,2-. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.16．（2021·上海市金山中学高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点,A B ，动点P 满足PA PBλ=，（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点()1,0M -和()2,1N ，P 是圆22:3O x y +=PN +的最小值为________【分析】在x 轴上取()3,0S -，由MOP POS 可得PS PN SN +≥，利用两点间距离公式可求得结果. 【详解】如图，在x 轴上取点()3,0S -，OM OP OPOS=MOP POS ∠=∠，∴△MOP ∼△POS ，PS ∴=，PN PS PN SN +=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号）， )minPNSN ∴+==.【点睛】PN +的最值求解转化为PS PN +的最值求解问题，从而由三点共线确定最小值.17．（2021·上海·高二专题练习）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，则12PF F △的面积为___________.【答案】【解析】根据图形以及线段PA ，PC ，PB ，PD 的长求出()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=，可得228020a b ⎧=⎨=⎩，然后利用三角形面积公式可得答案.【详解】因为椭圆Γ的弦AB 与CD 分别垂直于x 轴与y 轴，且相交于点P ， 线段PA ，PC ，PB ，PD 的长分别为2，4，6，12，由图可知，,,A P C 是第一象限的点，根据椭圆的对称性可得， 12444,44822A P c P PD PC x x PC x x PC ++==-=-==+=+=， 2622,22422C P A P PA PB y y PA y y PA ++==-=-==+=+=， 即()()()4,4,8,2,4,2A C P ，将()()4,4,8,2A C 代入22221x y a b +=， 可得2222161616441a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得228020a b ⎧=⎨=⎩，c =则12PF F △的面积为12112222p F F y ⨯⨯=⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的方程与几何性质，解题的关键是利用对称性求出()()4,4,8,2A C ，然后代入椭圆方程确定,a b 的值.18．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R )，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为_______ 【答案】10 【解析】由已知可得O ，A ，P 三点共线，先设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影，从而有线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||||cos ||OB x OP x y OA θ==+，结合椭圆方程及基本不等式可求． 【详解】((1)AP OA OP OA λ=-=-，∴OP OA λ=，则O ，A ，P 三点共线，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =48，设OP 与x 轴的夹角为θ，B 为(,)A x y 在x 轴上的投影， 则线段OP 在x 轴上的投影长度为22248||48||11||cos 48481016||924||25||5OB x OP x x y OA x θ===⨯⨯=++， 当且仅当16||925||x x =即15||4x =时取得最大值10．故答案为：10． 【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题19．（2021·上海金山·高二期末）已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于,A B 两点.（1）求双曲线C 的顶点到其渐近线的距离；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（12）证明见解析；（3）存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，表示出22220PA PB y y k k x x -⋅=-，将,P A 代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出0MA MB ⋅=，由此可构造方程组求得1m =-，得到()1,0M -；当直线l 斜率不存在时，可知()1,0M -满足0MA MB ⋅=；综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±，渐近线方程为y =； 由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，取y =，顶点()1,0，∴所求距离d =， 即双曲线C（2）由双曲线对称性知：,A B 关于原点对称， 设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-； ,P A 均为双曲线上的点，2222001313y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：2222003y y x x --=，220223y y x x -∴=-，即PA PB k k ⋅为定值3； （3）由双曲线方程知：()12,0F ； 当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222223034430k k x k x k -≠--++=，，则()23610k ∆=+>； 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()()()()22222222222243142453140333kk k k m m m k m k mk k k +++----=-++==---；2245010m m m ⎧--=∴⎨-=⎩，解得：1m =-，()1,0M ∴-； 当直线l 斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，此时()1,0M -使得0MA MB ⋅=； 综上所述：存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.20．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有共同的焦点1F ，2F且双曲线的实轴长为（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若曲线1C 与2C 在第一象限的交点为P ，求证：1290F PF ∠=︒.（3）过右焦点2F 的直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点.记AOB ，COD △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（1）2212x y -=；（2）证明见解析；（3【解析】（1）解方程组2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩求得,a b 的值，即可求双曲线2C 的标准方程；（2）联立曲线1C 与2C 的方程，求得在第一象限的交点为P 的坐标，可得12,F P F P 的坐标，利用120F P F P ⋅=可得结论.（3）斜率不存在时，直接求出面积比，斜率存在时，设出直线方程，分别与椭圆、双曲线方程联立，利用韦达定理、结合弦长公式与三角形面积公式可得)())21222143221421k AB S S CD k k +⎫===+∈+∞⎪--⎭，进而可得答案.【详解】（1）因为椭圆221:14x C y +=与双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>有共同的焦点1F ，2F ，且双曲线的实轴长为2232a b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解之得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩双曲线2C 的标准方程为2212xy -=（2）联立方程组22221412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解之得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点P ⎝⎭()1F，)2F12F P ⎛= ⎝⎭，22F P ⎛= ⎝⎭1224271093F P F P -⋅=+=，∴1290F PF ∠=︒（3）当直线l 的斜率不存在时，AB =1CD =，此时12AB S S CD=当直线l的斜率存在时，设方程为(y k x =代入椭圆方程得()2222141240k x x k +---=，21212212414k x x x x k ++=-+ 由弦长公式得()224114k k CD +=+把直线方程(y k x =代入双曲线方程得()222212620k xx k -+--=2121226212k x x x x k ++==--由弦长公式得)22121k k AB +=-因为直线l 与双曲线2C 的右支相交于的A ，B 两点，所以2222120010262012k k k k ⎧-≠⎪∆>>⇒>⎪--⎪>-⎩ 设原点到直线l 的距离为d ，∴)())212221432214212121d AB k AB S S CD k d k CD +⎫===+∈+∞⎪--⎭综上可知，12S S 【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单21．（2021·上海·高二专题练习）已知椭圆22:142x y C +=，点()4,1P 为椭圆外一点．（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）11,1612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【解析】（1）设点()00,M x y ，可得()00,N x y --，椭圆的有界性可得出[]200,2y ∈，利用斜率公式结合椭圆方程可得出20172212PM PN k k y ⋅=-++，利用不等式的基本性质可求得PM PN k k ⋅的取值范围；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,Q x y ，分析得出直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()14y k x -=-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由AP QB AQ PB ⋅=⋅可得出()33214x x k -=-，再由3314y k x -=-可得出33220x y +-=，即可得出结论. 【详解】（1）设()00,M x y ，()00,N x y --， 则()22200000222000001111144162121642PM PNy y y y y k k x x x y y -+---⋅=⋅===-+-+--， 所以()202200121271722122212PMPN y kk y y -++⋅==-+++， 因为[]200,2y ∈，所以[]2021212,16y +∈，所以20777,2121612y ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，所以11,1612PM PN k k ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦；（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为4x =，此时直线l 与椭圆C 无公共点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设4:1l y k x，即()14y kx k =+-，联立()2214214x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩，得()()()2221241421440k x k k x k ++-+--=，由0∆>得212810k k --<，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()12241412k k x x k -+=-+，()2122214412k x x k--=+， 设()33,Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，得()()()()23121344x x x x x x --=--（考虑线段在x 轴的射影），所以()()121233842x x x x x x =++-，于是()()()2332241421448421212k k k x x k k----=+⨯-⨯++，整理得()33214x x k -=-， 又3314y k x -=-，代入上式，得33220x y +-=，所以点Q 总在定直线220x y +-=上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.22．（2021·上海·高二专题练习）已知直线1:3l y x t =+与椭圆22:1364x y C +=交于A 、B两点（如图所示），且(P在直线l 的上方.（1）求常数t 的取值范围；（2）若直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k +的值； （3）若APB △的面积最大，求APB ∠的大小.【答案】（1）0t -<<；（2）120k k +=；（3）12arctan 3APB π∠=-. 【分析】（1）根据点P 与直线l 的位置关系可得出关于t 的不等式，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合0∆>可解得实数t 的取值范围；（2）列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得12k k +的值；（3）列出韦达定理，求出AB ，点P 到直线l 的距离d ，利用三角形的面积公式可得出APB △面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得APB △面积的最大值，利用等号成立的条件求出t 的值，进一步可求得APB ∠的大小. 【详解】（1103t t >⨯⇒<.将直线13y x t =+代入221364x y +=，化简整理得22269360x tx t ++-=，由()()222236893636808t t t t ∆=--=->⇒<，故0t -<<； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则123x x t +=-，2129362t x x -=，又1k =2k =所以，122112y x y xk k-+-+=+=上式分子((12211133x t x x t x⎛⎛=+-++- ⎝⎝(()121223x x t x x t =+-+-(()22936332t t t t -=⋅+--- 223123120t t =--+-+=，从而，120k k +=；（3）因为12AB x -==且点P 到直线AB的距离d =所以，22133862222PABt t SAB d t -+=⋅=⋅=.当且仅当2t =-时等号成立，此时点()0,2A -，所以，1k ==，又120k k +=，所以，APB π∠=-【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．23．（2021·上海市建平中学高二期末）已知椭圆221222:1(0),,x y a b F F a bΓ+=>>分别为其左、右焦点．（1）若T 为椭圆上一点，12TFF △面积最大值为12TF F △为等边三角形，求椭圆的方程；（2倍，点P 的坐标为(2)a b -，Q 为椭圆上一点，当1||PQ QF +最大时，求点Q 的坐标；（3）若A 为椭圆Γ上除顶点外的任意一点，直线AO 交椭圆于B ，直线1AF 交椭圆于C ，直线1BF 交椭圆于D ，若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λμ+．（用a 、b 代数式表示）。

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。

2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。

3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。

4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。

（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。

6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。

7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。

8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。

9.已知方程表示圆，则___________。

10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。

11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。

若的面积为9，则_________。

12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。

二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。

其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。

高二数学第一学期期末复习卷2本卷说明:1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考,具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容:数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线一、填空题（每题３分,满分３6分)１、若数列｛ａn }的前n 项和S n =23a n +错误!未定义书签。

,则｛a n ｝的通项公式是a n =________. 解析：由S ｎ=错误!未定义书签。

ａn ＋13得：当n ≥2时，S ｎ－1＝错误!未定义书签。

a n -1+错误!未定义书签。

，∴当ｎ≥2时,a n =-2a ｎ－1，又n =1时,S 1=ａ1=错误!a 1＋错误!未定义书签。

，a 1=1,∴a n ＝(－2)n -1.2、已知数列{a ｎ}满足a １=1，ａn +1=３a n +２，则ａn =_＿_＿_＿＿_．[解析］ ∵a n ＋1＝３ａn ＋2，∴a ｎ+1+1＝3(a ｎ+１),∴错误!=３，∴数列{ａｎ+1}为等比数列,公比q =３，又ａ1+1=2,∴a n +1=2·3n -1，∴a n ＝2·3n －1－1.３、已知数列｛ａｎ}满足a 1＝１，a 2＝2，且a n =错误!未定义书签。

(n ≥３）,则a 2 0１3＝___＿____.解析:将ａ1=1，a 2=2代入a n =错误!得a ３＝错误!＝2,同理可得a 4=1，a 5＝错误!，ａ6=错误!，a ７=１,ａ8＝2,故数列｛ａn ｝是周期数列，周期为６，故a 2 0１3＝a 335×6＋3＝a 3＝2.4、设Ｓn ,T n 分别是等差数列｛a n }，{b n }的前n 项和,已知错误!=错误!,n ∈Ｎ*,则错误!未定义书签。

＋ａ１1b 6＋b 15＝___＿____． 解析：由等差数列性质，错误!＋错误!=错误!=错误!未定义书签。

高 二 数 学 4一、填空题〔每题4分，总分值40分，请将正确答案直接填写在相应空格上〕． A2 14，B131，那么AB 。

17530 85． l iman 2b n100，那么ab。

23n1n3．矩阵212 0，那么a 。

4a4．平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为 (2,1)、( 3,2)、(1,3)，如果四边形ABCD是平行四边形，那么D 的坐标是。

5．某个线性方程组的增广矩阵是645，那么该增广矩阵对应的线性832方程组可 以是。

r6．a (2,3),b(3,1)，且ba 与b 垂直，那么实数的值是。

7．假设关于x 、y 的二元一次方程组m x 4ym2无解，那么实数m 。

my m8．无穷等比数列{a n }的各项的和是4，那么首项a 1的取值范围是。

9．某算法的程序框如以下图所示，那么输出量y与输入量x满足的关系式是。

开始输入x是输出y结束10．设点A0为坐标原点，A n(n,)(n N*)，记向量u ur uuuuruuuuruuuuuur否1a n A0A1A1A2An1A n，uur(1,0)〕，设S n tan1tan2tann，n是a与i的夹角〔其中in那么limS n。

n二、选择题〔每题3分，总分值15分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内〕来源：网络转载a b c11．行列式d e f 中元素f的代数余子式g h i是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔〕〔A〕a b；〔B〕a b；〔C〕a c；〔D〕ab。

g h g h g i dex 2a2b 212．关于x的方程x a0的解是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111〔〕〔A〕x a 〔B〕x b〔C〕x a和x b；〔D〕x a和x b 13．以下条件中，A、B、P三点不共的是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔〕uuur1uuur3uuuruuuruuuruuur〔A〕MPMAMB；〔B〕MP2MAMB；44uuuruuur uuuruuur3uuur1uuur〔C〕MP3MA3MB；〔D〕MPMAMB；4414．在ABC中，AB2，AC1uuuruuur ，DBC的中点，ADBC⋯⋯⋯⋯〔〕〔A〕3；〔B〕1；〔C〕3；〔D〕1。

北虹高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()UA B =_______。

【答案】{}4 【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ⋃=，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[]3,2- 【解析】 【分析】直接去掉绝对值即可得解.【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[]3,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.3.最新x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围．【详解】最新x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为()-6,6.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题．4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。

【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，∴每个个体被抽到的概率是61 244=，丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.有n个元素的集合的3元子集共有20个，则n= _______.【答案】6【解析】【分析】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20即可得解.【详解】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20得6n=，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题.6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数.【答案】96【解析】【分析】利用乘法原理，即可求出结果．【详解】用0、1、2、3、4组成一个无重复数字的五位数共有4×4×3×2×1=96种不同情况,故选：A ．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，属于基础题．7.在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求．【详解】由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得666316621(2)2rr r r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭由6-3r=0，得r=2．∴常数项等于4262240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．8.())25332m i m R i-=∈+其中，则实数m =_______.【答案】2或2- 【解析】 【分析】()252m i i-+()25332m i i-=+.()252m i i-+22533|2+|3i i ==2592m m +=∴=±故答案为2或2.-【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.9.在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 【答案】【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是.考点：等可能事件的概率.10.集合{}24,A x x x R ==∈，集合{}4,B x kx x R ==∈，若B A ⊆，则实数k = ____. 【答案】0，2，2- 【解析】 【分析】解出集合A ，由B A ⊆可得集合B 的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】{}24,A x x x R ==∈={}-2,2,若B A ⊆，则{}{}{}B=2-2-2,2φ，，，，当B φ= 时，0k =；当 {}2B =时，242k k =∴=； 当{}-2B =时，-24-2k k =∴=；当{}-22B =，时，无k 值存在； 故答案为0，2，2-.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉.11.若0m >，0n >，1m n +=，且41m n+的最小值是___. 【答案】9 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可． 【详解】∵0m >，0n >，1m n +=，44()54145219n m n mm n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭,当且仅当12,33n m ==时“=”成立，故答案为9.【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．12.定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个。

考点03：空间直线、平面的垂直综合复习（解析版）一、单选题1．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A．若m、n平行于同一平面，则m与n平行B．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行C．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面D．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线【标准答案】C【思路点拨】由线面平行，面面垂直、线面垂直、面面平行的性质定理，依次分析判断即可【精准解析】选项A，若m、n平行于同一平面，则m、n可能平行、相交、异面，故A错误；选项B，若α、β垂直于同一平面，则α、β可能平行，也可能相交，故B错误；选项C，若m与n垂直于同一平面，由线面垂直的性质可得m与n平行，故若m、n 不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，C正确；选项D，若α、β相交，则在α内平行于交线的直线与β平行，故D错误故选：C△的直角边AB在平面α内，顶2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二月考）Rt ABC点C在平面α外，则直角边BC、斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是（）A．线段或锐角三角形B．线段或直角三角形C．线段或钝角三角形D．线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形【标准答案】B【思路点拨】分两种情况，平面ABC与面α垂直，平面ABC与面α不垂直时，由三垂线定理即可求解.【精准解析】若平面ABC 与面α垂直，则直角边BC 、斜边AC 在平面α上的射影即为线段AB ， 若平面ABC 与面α不垂直，设点C 在平面α内射影为C '， 则直角边BC 、斜边AC 在平面α上的射影分别为BC '，AC '， 因为CC '⊥面α，AB面α，所以 CC AB '⊥，因为AB BC ⊥，BC CC C '⋂=，所以AB ⊥面BCC '，因为BC '⊂面BCC '，所以BC AB '⊥，可得ABC '△为直角三角形，故直角边BC 、斜边AC 在平面α上的射影与直角边AB 组成的图形是直角三角形， 综上所述:直角边BC 、斜边AC 在平面α上的射影与直角边AB 组成的图形是线段或直角三角形，故选：B.3．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二月考）在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（ ）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面【标准答案】A【思路点拨】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一判断即可. 【精准解析】对于A ，在正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥， 所以在四面体S EFG -中，SG GE ，SGGF ，又,GE GF平面GEF ，GE GF G =，所以SG ⊥平面GEF ，故选项A 正确；对于B ，若SD ⊥平面EFG ，结合选项A ，则//SD SG ，显然矛盾，故选项B 错误； 对于C ，因为SG ⊥面EFG ，GF ⊂面EFG ，所以SGGF ，又GF GE ⊥，,GE GS平面GES ，GE GS G =，所以GF ⊥平面GES ，假设GF ⊥平面SEF ，则平面//GES 平面SEF ，显然矛盾，故选项C 错误；对于D ，因为SG ⊥面EFG ，GD ⊂面EFG ，所以SG GD ⊥，若GD ⊥平面SEF ，SD ⊂平面SEF ，则GD SD ⊥，,,SG GD SD ⊂平面SDG ，故//SD SG ，显然矛盾，故D 错误； 故选：A.4．（2021·上海·闵行中学高二月考）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=，设α、β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒ 【标准答案】A 【思路点拨】根据题意分析可得12,Q Q 重合于同一点，且,αβ所成的角为直角，即可得出. 【精准解析】设1()P f P α=，则根据题意得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足， []()11()Q f f P P f βαβ==，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足， 同理，若2()P f P β=，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足，()22()Q f f P P f αβα∴⎡⎤==⎣⎦得点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足，对任意的点P ，恒有12PQ PQ =，12,Q Q ∴重合于同一点， 由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且112PQ P ∠是,αβ所成的角，112PQ P ∠是直角，所以平面α与平面β垂直. 故选：A.5．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．平面α与β外的直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，则（ ）A ．//αβ，且//l αB ．αβ⊥且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【标准答案】D 【思路点拨】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【精准解析】A.,αβ不可能平行，若平行，直线//m n ，与两直线是异面直线矛盾，故A 错误；B. ,αβ可能垂直，但//l β或l β⊂，故B 错误；C. ,αβ不可能平行，所以一定相交，//m m '，m n A '=，所以,l m l n '⊥⊥，即l 垂直于m '与n 确定的平面，设a αβ⋂=，由条件可知m a ⊥，n a ⊥，即m a '⊥，所以a 垂直于m '与n 确定的平面，那么//l a ，故D 正确. 故选：D6．（2021·上海交大附中高二期末）平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（ ）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【标准答案】C 【思路点拨】将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心. 【精准解析】三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ，所以11111AA A D A B == 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,A O BC A O A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C. 【名师指导】关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题. 二、填空题7．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二月考）如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶（1）BM //ED ；（2）CN 和BE 是异面直线；（3）CN 和BM 成60°角；（4）DM ∶BN ；以上四个命中正确的序号是____________；【标准答案】（3）（4） 【思路点拨】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 【精准解析】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误； CN 与BE 平行，故①错误；连接BE ，则//BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM △为正三角形，则60EBM ∠=︒，故①正确；BN 在平面NDCM 上的投影为CN ，根据三垂线定理得DM 与BN 垂直，故①正确．∴正确命题的个数是2个．故答案为：（3）（4）．8．（2021·上海市进才中学高二期中）在Rt ABC 中，已知12BC =，5AC =，D 是斜边AB 上任意一点，如图沿直线CD 将ABC 折成直二面角B CD A --.若折叠后A ，B 两点间的距离为d ，则d 的最小值为___________.【思路点拨】由题意可知，变量为ACD ∠的大小，所以设ACD θ∠=，折成直二面角后，根据面面垂直的性质，作垂直于交线CD 的线，则垂直于平面BCD ，从而将线段AB 放在直角三角形中，根据勾股定理，写出AB 关于θ的表达式，即可求出最小值 【精准解析】如图1所示，设ACD θ∠=，02πθ<<，则2BCD πθ∠=-，过A 作AG CD ⊥于G ，过B 作BH CD ⊥交CD 的延长线于H ， 所以5sin AG θ=，12cos BH θ=，5cos CG θ=，12sin CH θ=， 所以12sin 5cos HG CH CG θθ=-=-，所以如图2所示，因为二面角B CD A --为直二面角，交线为CD ，,AG CD AG ⊥⊂平面ACD ，所以AG ⊥平面BCD ，因为BG ⊂平面BCD ，所以AG BG ⊥,三角形ABG 为直角三角形， 根据勾股定理，d AB ==可知当4πθ=，即当CD 为Rt ABC △的角平分线时，d9．（2021·上海市七宝中学高二月考）已知A ，B ，C ，D ，E 为空间不共面的五个点，顺次用线段连接这五个点构成空间五边形，则在此五边形中互相垂直的边最多有多少______对 【标准答案】7 【思路点拨】说明不可能有4条边同时垂直于同一条边，再说明同一条边垂直的边最多3条，结合图形说明即可，如图所示，平面α⊥平面β，,,l AB AE BC l αβ⋂=⊥⊥，,DE l CD l ⊥∕∕，即可得解. 【精准解析】解：首先五边形中，不可能有4条边同时垂直于同一条边，否则，,,,AB AE CD DE 同时垂直于BC ，则BC ⊥平面ABE ，BC ⊥平面CDE ，于是若平面ABE ∕∕平面CDE ，则与两平面有公共点E 相矛盾，则平面ABE 与平面CDE 重合，这又与A ，B ，C ，D ，E 为空间不共面的五个点相矛盾，因此与同一条边垂直的边最多3条，所以互相垂直的直线至多有1153522⨯⨯=对，即最多7对，下面说明7对可以达到的，如图所示，平面α⊥平面β，,,l AB AE BC l αβ⋂=⊥⊥，,DE l CD l ⊥∕∕，则这个五边形有7对互相垂直的边：,,BC BA BC AE DE EA ⊥⊥⊥，,,,DE BA BA AE CD BC CD DE ⊥⊥⊥⊥.故答案为：7.10．（2021·上海·位育中学高二月考）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B C 到平面11A D C 的距离为___________.. 【思路点拨】根据11//B C 平面11A D C ，将直线B 1C 1到平面11A D C 的距离转化为C 1到平面11A D C 的距离，进而解出答案. 【精准解析】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，取1CD 的中点E ，连接1C E ，则11C E CD ⊥，且1C E =，又11A D ⊥平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，所以11A D ⊥1C E ，而1111A D CD D ⋂=， 所以1C E ⊥平面11A D C ，易知11//B C 平面11A D C ，则C 1到平面11A D C 的距离即为直线B 1C 1到平面11A D C 的距离，所以直线B 1C 1到平面11A D C .11．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二月考）a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：∶若a ∶M ，b ∶M ，则a ∶b ；∶若b ⊂M ，a ∶b ，则a ∶M ； ∶若a ∶c ，b ∶c ，则a ∶b ；∶若a ∶M ，b ∶M ，则a ∶b 其中正确命题有_________（填序号） 【标准答案】① 【思路点拨】对于①①①：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取特殊的平面和直线否定结论 对于①：利用线面垂直的性质定理即可证明. 【精准解析】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对于①：取平面M 为平面ABCD ,取直线11A B 为直线a ，直线11B C 为直线b ，满足a ①M ，b ①M ，但是a 、b 不平行.故①不正确；对于①：取平面M 为平面ABCD ,取直线AD 为直线a ，直线BC 为直线b ， 满足b ⊂M ，a ①b ，但是a ⊂M .故①不正确；对于①：取直线11A B 为直线a ，直线1CC 为直线c ，直线11B C 为直线b ,满足 a ①c ，b ①c ，但是a 、b 不平行.故①不正确；对于①：因为a ①M ，b ①M ，由线面垂直的性质定理可得：a ①b . 故①正确. 故答案为：①.12．（2021·上海市洋泾中学高二期中）如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ∶平面ABCD ．给出下列命题：∶PB ∶AC ；∶平面PAB 与平面PCD 的交线与AB 平行；∶平面PBD ∶平面PAC ；∶∶PCD 为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．【标准答案】①① 【思路点拨】设AC∩BD=O ，由题意证明AC ①PO ，由已知可得AC ①P A ，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明①正确；由线面垂直的判定和性质说明①正确；由勾股定理即可判断，说明①错误． 【精准解析】 设AC∩BD=O,如图，①若PB ①AC ，①AC ①BD ，则AC ①平面PBD ，①AC ①PO ，又P A ①平面ABCD ，则AC ①P A ，在平面P AC 内过P 有两条直线与AC 垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；①①CD ①AB ，则CD ①平面P AB ，①平面P AB 与平面PCD 的交线与AB 平行，①正确； ①①P A ①平面ABCD ，①平面P AC ①平面ABCD ，又BD ①AC ，①BD ①平面P AC ，则平面PBD ①平面P AC ，①正确； ①①PD 2=P A 2+AD 2，PC 2=P A 2+AC 2，AC 2=AD 2+CD 2，AD =CD ， ①PD 2+CD 2=PC 2，①①①PCD 为直角三角形，①错误， 故答案为：①①13．（2021·上海市七宝中学高二期中）已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，且P 到,,B C D 三P 到矩形对角线BD 的距离等于__________ 【标准答案】2 【思路点拨】分别设,,PA x AB y AD z ===，利用勾股定理建立等式分别求出，再由等积法即可得到答案. 【精准解析】如图所示，设,,PA x AB y AD z ===，因为PA ⊥矩形ABCD 所在平面，易得,,PA AB PA AD PA BC ⊥⊥⊥，由,BC AB AB PA A ⊥⋂=可证BC ⊥平面PAB ，从而BC PB ⊥，在Rt PAB ∆中，PB同理PD =PC =解得1,2,x y z ===1,2,4PA AB AD BD ====，过点A 作AF 垂直于BD 于F ，由等面积法易得：AF =所以2PF . 故答案为：2.14．（2021·上海交大附中高二期末）已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________．【标准答案】3【思路点拨】取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，计算可得结果.【精准解析】取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为AC BC AD BD ====AB CD ==CO DO ===所以112CDOS==，又因为11133A BCD CDOV AB S-=⨯⨯==【名师指导】关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.15．（2021·上海市行知中学高二月考）(2016·桂林高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD∶CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A′-BCD ，使平面A′BD∶平面BCD ，则下列结论正确的是________.(1)A′C∶BD．(2)∶BA′C=90°.(3)CA′与平面A′BD所成的角为30°.(4)四面体A′-BCD的体积为1 6 .【标准答案】(2)(4)【精准解析】若A′C①BD，又BD①CD，则BD①平面A′CD，则BD①A′D，显然不可能，故(1)错误.因为BA′①A′D，BA′①CD，故BA′①平面A′CD，所以BA′①A′C，所以①BA′C=90°，故(2)正确.因为平面A′BD①平面BCD，BD①CD，所以CD①平面A′BD，CA′与平面A′BD所成的角为①CA′D，因为A′D=CD，所以①CA′D=π4，故(3)错误.四面体A′-BCD的体积为V=13S①BDA′·h=13×12×1=16，因为AB=AD=1，所以A′C①BD，综上(2)(4)成立.点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.16．（2021·上海市大同中学高二月考）已知∶ABC所在平面外一点P到∶ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是∶ABC的________．【标准答案】外心【精准解析】P到①ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到①ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．考点：线面垂直的应用.三、解答题17．（2021·上海市金山中学高二期末）圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB是圆O的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1OB =，OP =（1）若D 为线段AC 中点，求证：AC ⊥平面PDO ； （2）求圆锥的侧面积，并求三棱锥P ABC -体积的最大值；（3）当三棱锥P ABC -体积最大时，点C 沿圆锥表面运动到母线PB 中点1C ，求该点经过的路线的最小值. 【标准答案】 （1）证明见解析（2）2S π=侧，三棱锥P ABC -（3【思路点拨】（1）证明出AC DO ⊥，AC PO ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出圆锥的母线长，可求得圆锥的侧面积，求出ABC 面积的最大值，可求得三棱锥P ABC -体积的最大值；（3）将圆锥沿母线PB 展开成扇形1BPB ，求出BPC ∠的大小，利用余弦定理求出1CC 的长，即可得解. （1）证明：在AOC △中，OA OC =，D 为线段AC 中点，所以AC DO ⊥，PO ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC PO ⊥， OD PO O =，所以AC ⊥平面PDO ；（2）解：1OB =，OP =2PB ， 故圆锥的侧面积为2S OB PB ππ=⨯⨯=侧，因为点C 是圆O 上异于A 、B 的点，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且距离最大值为1，ABCS的最大值为12112⨯⨯=，又三棱锥P ABC -的高PO =P ABC -体积的最大值为113=（3）解：将圆锥沿母线PB 展开成扇形1BPB ，则A 为弧1BB 的中点，且2PB =，当三棱锥P ABC -体积最大时，CO AB ⊥，此时C 为弧AB 中点， 扇形BPC 中，弧BC 长为1242OB ππ⨯⨯=，所以224BPC ππ∠==， 1CPC △中，2PC PB ==，1112PC PB ==，4BPC π∠=，所以222121221cos54CC π=+-⨯⨯⨯=-1CC =所以经过的路程的最小值1CC .18．（2021·上海市金山中学高二期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，E 为PD 的中点.（1）求证：PB AD ⊥（2）求异面直线PA 与CE 所成角的大小. 【标准答案】 （1）证明见解析；（2）arctan 【思路点拨】（1）利用线面垂直和矩形性质可得PA AD ⊥，AB AD ⊥，由线面垂直的判定可证得AD ⊥平面PAB ，由线面垂直性质可得结论；（2）过E 作EF AD ⊥，由平行关系可知CEF ∠即为所求角，由长度关系可求得tan CEF ∠，由此可得结果.（1）PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，又,PA AB ⊂平面PAB ，PA AB A =，AD ∴⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，PB AD ∴⊥； （2）过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连接CF ，则//EF PA ，∴CEF ∠为异面直线PA 与CE 的夹角，在直角三角形CEF 中，1122EF PA ==，CF =tan CEF ∴∠=arctan CEF ∴∠=∴异面直线PA 与CE 所成角的大小为arctan19．（2021·上海市洋泾中学高二期中）如左图所示，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，AD CD ⊥，2BC =，3AD =，CD =AD 上一点E 满足1DE =.现将ABE △沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如右图所示.（1）求证：1A C BE ⊥；（2）求异面直线1A C 与BE 的距离；（3）求平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值.【标准答案】 （1）证明见解析 （2（3【思路点拨】（1）在图1中，连接CE ，证明1A O BE ⊥，OC BE ⊥，可证BE ⊥平面1A OC ，即可得证；（2）过O 作1A C 的垂线OM ，交1A C 于M ，则OM 即异面直线1A C 与BE 的距离，求出OM 即可的解；（3）在图2中延长BE ，CD ，设BE CD G =，连接AG ，则1A G 是平面1A BE 与平面1A CD 的交线，由面面垂直得性质可得OC ⊥平面1A BE ，即可得1OC A G ⊥，作1OH A G ⊥，垂足为H ，连接CH ，证得1A G CH ⊥，则OHC ∠即为平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角，从而可得出答案. （1）证明：在图1中，连接CE ，易求2CE BC BE AE AB =====. ①四边形ABCE 为菱形.连接AC 交BE 于点O ，则AC BE ⊥. ①在图2中，1A O BE ⊥，OC BE ⊥.又1A O OC ⊥于O ， ①BE ⊥平面1A OC .又1AC ⊂平面1A OC ，①1A C BE ⊥； （2）解：由勾股定理可得AC =①1AO OC = 过O 作1A C 的垂线OM ，交1A C 于M ， 则OM 即异面直线1A C 与BE 的距离，11AO OC OM AC ⨯==；（3）解：在图2中延长BE ，CD ，设BE CD G =，连接AG .①G ∈平面1A BE ，G ∈平面1A CD . 又1A ∈平面1A BE ，1A ∈平面1A CD . ①1A G 是平面1A BE 与平面1A CD 的交线，①平面1A BE ⊥平面BCDE ，OC BE ⊥，平面1A BE ⊥平面BCDE BE ，①OC ⊥平面1A BE ，又1AG ⊂平面1A BE ，①1OC A G ⊥， 作1OH A G ⊥，垂足为H ，连接CH ，又OH OC O ⋂=，①1A G ⊥平面OCH ，又CH ⊂平面OCH ，①1A G CH ⊥. ①OHC ∠即为平面1A BE 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角. 由（1）知，1A BE ，BCE 为等边三角形，①OC ①1OHG BA G △∽△，①134OH OG BA BG ==，解得32OH =.在Rt COH中，CH ==①3cos 7OH OHC CH ∠===. ①平面1A BE 与平面1A CD.20．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二月考）如图，边长为4的正方形11ABB A 为圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上一点（1）求证AC ⊥平面1BB C ． （2）求圆柱的表面积和体积．【标准答案】（1）证明见解析；（2）2416ππ，. 【思路点拨】（1）根据AB 是底面圆直径，得到AC BC ⊥，再根据1BB ⊥底面圆，得到1AC BB ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）分别利用圆柱的表面积和体积公式求解. 【精准解析】（1）因为AB 是底面圆直径，C 是底面圆周上一点， 所以AC BC ⊥．又因为1BB ⊥底面圆，AC ⊂底面圆， 所以1AC BB ⊥． 又因为1BCBB B =，所以AC ⊥平面1BB C ．（2）圆柱的表面积22222222424S r rh πππππ=+=⨯+⨯⨯=． 圆柱的体积222416V r h πππ==⨯⨯=．21．（2021·上海·闵行中学高二月考）已知四边形ABCD 为直角梯形，90,//,ADC AD BC ABD ∠=︒为等腰直角三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，233AD BC PA PD ====．（1）求证：//BE 平面PDC ； （2）求证：AB ⊥平面PBD ； （3）求三棱锥B DEP -的体积．【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13.【思路点拨】（1）取PD 中点F ，连接EF ，CF ，通过证明四边形BCFE 是平行四边形得出//BE CF 即可；（2）通过证明PD AB ⊥结合BD AB ⊥可说明；（3）求出点E 到平面PBD 的距离，即可通过体积公式求解.【精准解析】（1）取PD 中点F ，连接EF ，CF ，则//EF AD 且12EF AD =， 由题可得//BC AD 且12BC AD =，所以//BC EF 且BC EF =， 所以四边形BCFE 是平行四边形，//BE CF ∴，BE ⊄平面PDC ，CF ⊂平面PDC ，∴//BE 平面PDC ；（2）由题意2AD BC ==33PA PD ==，满足222AD PD AP +=，PD AD ∴⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD ，PD AB ∴⊥， 又BD AB ⊥，PD BD D ⋂=，∴AB ⊥平面PBD ； （3）由（2）得AB ⊥平面PBD ，又E 为PA 的中点， 所以点E 到平面PBD 的距离为AB 的一半，设为d ， 2AD =ABD △为等腰直角三角形，2AB ∴=,则1d =,1111123323B DEP E PBD PBDV V Sd --∴==⋅=⨯⨯⨯=.22．（2021·上海市徐汇中学高二月考）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，BC =1AA 1BB =E 分别是BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1BCB ；（2）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小． 【标准答案】（1）证明见解析；（2）30°. 【思路点拨】推导出AE BC ⊥，从而1BB ①平面ABC ，进而1BB ①AE ，由此能证明AE ①平面1BCB ； (2 ) 取1BB 中点 M 和1B C 中点 N ，连接1A M ，1A N ，NE ，推导出四边形1A AEN 是平行四边形，从而1//A N AE , 进而1A N ①平面1BCB ,11A B N ∠即为直线11A B 与平面1BCB 所成角，最后根据已知条件求出来即可. 【精准解析】( 1 ) 证明：① AB = AC ，E 为 BC 中点，① AE ① BC ①1AA ①平面 ABC ，1BB //1AA ① 1BB ①平面ABC ① 1BB ①AE 又① BC ∩1BB = B ① AE ①平面1BCB如图， 取1BB 中点 M 和 1B C 中点 N ，连接1A M ， 1A N ，NE ① N 和 E 分别为1B C 和 BC 的中点，112NE B B ， ①1NE A A ①四边形1A AEN 是平行四边形 ① 1A N AE ∥ 又①AE ①平面1 BCB ①1A N ①平面1BCB ①11A B N ∠即为直线 11A B 与平面1BCB 所成角， 在ABC 中，可得AE = 2 ① 1A N = AE = 2 ①11 ,BM AA BM AA = ①1A M AB 且1A M AB =又由 1AB BB ⊥ ① 11A M BB ⊥在11Rt A MB △中，114A B == 在11Rt A NB △中，111111sin 2A N AB N A B ∠== ①1130A B N ∠=︒, 即直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小为30 一23．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二月考）如图，∶ABC 中，∠ACB =90︒，CD ⊥平面α，AD ，BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒，CD =2（1）证明：直线AC ∶平面BCD （2）求点D 到直线AB 的距离【标准答案】（1）证明见解析；（2【思路点拨】（1）由CD ⊥平面α，得到CD ⊥AC ，再由∠ACB =90︒，得到BC ⊥AC ，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）根据BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒，CD =2，得到2AC BC ==，再作CE AB ⊥，连接DE ，易得AB ⊥平面CDE ，得到AB ⊥DE ，则DE 为点D 到直线AB 的距离求解. 【精准解析】 （1）CD ⊥平面α， CD ⊥AC ，又因为∠ACB =90︒， BC ⊥AC ， BC CD C ⋂=AC ⊥平面BCD.（2）因为BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒，CD =2，所以2AC BC ==，则4AB ，如图所示：作CE AB ⊥，连接DE ，因为CD ⊥平面α， 所以CD AB ⊥，又CE CD C ⋂=， 所以AB ⊥平面CDE ， 所以AB ⊥DE ，所以DE 为点D 到直线AB 的距离，又 AC BCCE AB⨯==所以DE ==24．（2021·上海市松江二中高二月考）已知边长为6的正方形ABCD 所在平外一点P ，PD ∶平面ABCD ，PD =8.（1）连接PB ，AC ，证明：PB ∶AC ； （2）求点D 到平面PAC 的距离.【标准答案】（1）证明见解析；（2 【思路点拨】（1）欲证PB ①AC ，只需证明AC 垂直PB 所在平面即可，因为PB 在平面PBD 中，AC 垂直平面PBD 中的两条相交直线PD 和BD ，所以问题得证．（2）利用等体积法，点D 到平面P AC 的距离可以看做三棱锥D ﹣P AC 的高，三棱锥D ﹣P AC 还可把三角形DAC 看做底面，PD 看做高，利用两种方式求出体积，令其相等，即可求出点D 到平面P AC 的距离． 【精准解析】（1）证明：连接BD ，在正方形ABCD 中，AC ①BD ， 又PD ①平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，PD ①AC ，因为BD PD D =,所以AC ①平面PBD ，因为PB ⊂平面PBD ，故PB ①AC ； （2）连接PA ,PC ，设点D 到平面P AC 的距离为h ， 则有V D ﹣P AC ＝V P ﹣ACD ，即：13×PACS×h ＝16×PD ×AD ×DC 1668486=⨯⨯⨯=，因为ABCD 为正方形，所以AD CD =， 又PD ⊥平面ABCD ，所以2PDA PDC π∠=∠=，则PAD PCD ≅，所以PA PC =，O 为AC 的中点，所以在①P AC 中，PO ①AC ，AC =PO ==12PACS=⨯代入计算可得：h D 到平面P AC .25．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二月考）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ED DC ⊥，M 为ED 的中点，如图2．（1）求证：//AM 平面BEC ；（2）求证：平面BCD ⊥平面BDE ； （3）若1DE =，求点D 到平面BEC 的距离．【标准答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【思路点拨】（1）证得//BN AM ，根据线面平行的判定定理即可证出结论； （2）证得ED ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理即可证出结论；（3）证得DG ⊥平面BEC ，即点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度，在Rt BDE 中，解三角形即可求出结果. 【精准解析】（1）证明：取EC 中点N ，连接MN ，BN ．在EDC △中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，所以//MN CD ，且12MN CD =．由已知//AB CD ，12AB CD =，所以//MN AB ，且MN AB =．所以四边形ABNM 为平行四边形．所以//BN AM ．又因为BN ⊂平面BEC ，且AM ⊄平面BEC ， 所以//AM 平面BEC ．（2）证明：在正方形ADEF 中，ED AD ⊥，又ED DC ⊥，AD DC D =，AD DC ⊂、平面BCD ，①ED ⊥平面BCD ，ED ⊂平面BDE ，①平面BCD ⊥平面BDE ．（3）由（2）知平面BCD ⊥平面BDE ，且平面BCD 平面=BDE BD ，又因为BC BD ⊥，所以BC ⊥平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ，且平面BDE ⋂平面BEC BE =，过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则DG ⊥平面BEC ， 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度，在Rt BDE 中，BD DE DG BE ⋅==，所以点D 到平面BEC 26．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值； （2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ． 【标准答案】（1）52；（2）证明见解析.【思路点拨】（1）采用平移直线法进行求解，连接1A M ，1B M ，可得11B A M ∠或其补角即为异面直线所成角，结合线段长度求解出结果；（2）通过证明111,BM A B BM B M ⊥⊥，再结合线面垂直的判定定理完成证明. 【精准解析】（1）连接1A M ，1B M ，①长方体1111ABCD A B C D -中，1111//A B C D ，①11B A M ∠或其补角即为异面直线1A M 和11C D 所成角， ①11A B ⊥平面11BB C C ，1B M ⊂平面11BB C C ，①111A B B M ⊥，11Rt B C M中，152B M ==， ①11Rt A B M △中，111115tan 2B M B A M A B ∠==， 即异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值等于52；（2）①11Rt B C M 中，11C M =，112B C =且Rt BCM △中，4CM =，2BC = ①1112BC CMC M B C ==，结合1190MC B BCM ∠=∠=︒ ①11Rt Rt B C MMCB △△，可得111190BMC MB C B MC ∠=∠=︒-∠．①1190BMC B MC ∠+∠=︒，得1BM B M ⊥又①11A B ⊥平面11BB C C ，BM ⊂平面11BB C C ，①11A B BM ⊥ ①11A B 、1B M 是平面11A B M 内的相交直线 ①BM ⊥平面11A B M ．。

高二数学4一、填空题（每小题4 分，满分 40 分，请将正确答案直接填写在相应空格上） 1．已知 A2 1 4 ， B 13 1 ，则AB 。

75 30 8 5．已知lim an 2bn 100 2 ，则 a b 。

2n3n 13．已知矩阵2 3 120 ，则 a 。

4 6 a 04．平面上 A 、 B 、 C 三点的坐标分别为(2 , 1)、( 3 , 2)、( 1 , 3)，如果四边形 ABCD 是平行四边形，则 D 的坐标是。

5．已知某个线性方程组的增广矩阵是645，则该增广矩阵对应的线性方程组可83 2以是。

r r(3 ,1)，且 rr r6．已知 a (2 , 3) , bb a 与 b 垂直，则实数 的值是。

7．若关于 x 、 y 的二元一次方程组 mx4 y m 2无解，则实数 m 。

x my m8．已知无穷等比数列 { a n } 的各项的和是 4，则首项 a 1 的取值范围是。

9．某算法的程序框如下图所示，则输出量y 与输入量 x 满足的关系式是。

开始输入 x是输出 y uur 结束uuuuruuuuuur 1 uuuur10．设点 A 0 为坐标原点， A n (n ,) (nN * ) ，记向量 a n A 0 A 1A 1 A 2A n 1A n ，uur r 否 n 1rn是an与 i 的夹角（其中 i(1, 0) ），设 S n tan 1tan2tan n ，则lim S n。

n二、选择题（每小题3 分，满分 15 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）a b c11．行列式de f 中元素 f 的代数余子式是 （）g hi（ A ）a b； （ B ） a b ； （ C ） a c ；（ D ） ab 。

g hg h g i d ex 2 a 2 b 212．关于 x 的方程 xa b 0 的解是 （）111（ A ）xa （ B ） xb （C ） x a 和 x b ；（D ） x a 和 xb 13．下列条件中，A 、B 、P 三点不共线的是 （）uuur1 uuur 3 uuuruuur uuur uuur（A ）MPMA MB ； （ B ） MP 2MAMB ；4 4uuur uuur uuuruuur 3 uuur 1 uuur（C ）MP 3MA 3MB ；（D ）MP MA 4 MB ；4 uuur uuur14．在 ABC 中， AB 2， AC1 ， D 为 BC 的中点，则 AD BC （）（A ）3； （B ）1；（ C ）3； （D ） 1。