附录Ⅰ-常见截面的几何性质

I z1 y1 = I zy + abA;
注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式：
I z1 = ∫ y1 dA = ∫ ( y cos α z sin α ) 2 dA;
2
I z1 =
I y1 =
Iz + Iy 2 Iz + Iy
2
A
+
Iz Iy 2 Iz Iy
2
A
cos 2α I zy sin 2α ;
A
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
Sy Sz yc = ; z c = . A A
n
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
S z = ∑ Ai yci ;
A A
12 几何关系： I P = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( y 2 + z 2 )dA = I Z + I y .
四、惯性积： I = z y dA; zy ∫A 五、平行移轴公式：
2 ∴ I z1 = Ι z + a 2 A; Ι y1 = Ι y + b A;
I z1 y1 = I zy + abA;
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i =1
S y = ∑ Ai zci ;
i =1
n
四、组合截面形心公式：
yc =
∑A y
i =1 i
n
ci
∑A
i =1
n
;
zc =
∑A z
i =1 i
n
ci
i
∑A
i =1
n
;
i
例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 = 0.072m 2 , y1 = 2.46m; A2 = 0.48m 2 , y2 = 1.2m;
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
Α1 y1 + Α2 y2 yc = Α1 + Α2
500× 5 + 500× (10 + 25) = = 20cm; 500 + 500
(2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴） 50×103 2 Ιz1 = Ιz1 + a12Α1 = + (20 5) ×500=1.17×105 cm4; 12 10×503 2 2 Ιz2 = Ιz2 + a2 Α2 = + (35 20) ×500= 2.17×105 cm4; 12
二、极惯性矩： A d πD 4 πD 4 实心圆截面： I P = (1 α 4 ); (α = ) ; 空心圆截面：I P =
32
32 D
I P = ∫ ρ 2 dA;
I z = ∫ y 2 dA; I y = ∫ z 2 dA; 三、惯性矩 A A 3 （转动惯 3 πD 4 ; 矩形截面： I z = bh ; I y = hb ; 圆形截面：I y = I z = 量）： 64 12
2
4
二、惯性矩(转动惯量）： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
I z = ∫ y 2 dA;
A
32 空心圆截面： I P = πD (1 α 4 ); (α = d ) 32 D
D 2 0
πD 4
;
I y = ∫ z 2 dA;
A
A
m 静矩为代数值。静矩单位： 3 ; mm3 ; 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
Sz =
∫
A
y dA = A y c ;
S y = ∫ z dA = A z c ;
附录Ⅰ 附录Ⅰ 截面的几何性质
第一节 静矩和形心 第二节 第三节 第四节 第五节 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结 返回
附录Ⅰ 附录Ⅰ 截面的几何性质
第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 z dA 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为： S z = ∫ y dA ; S y = ∫ z dA ;
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积： 定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
I zy = ∫ z y dA;
yc =
y 'c =
若分解为１、２、３三个矩形，则
0.6 × 2.52 × (1.26 1.2) = 0.16m; 0.6 × 2.52 2 × 0.2 × 2.4
A1 y1 + A2 y2 0.072 × 2.46 + 0.48 × 1.2 = = 1.36m; A1 + A2 0.072 + 0.48
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo = 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
bh 3 I z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2bdy = ; A h / 2 12
h/2
取微面积dA=hdz,则：
b/2
hb 3 I y = ∫ z 2 dA = ∫ z 2 hdz = ; b / 2 A 12
取微面积dA=dzdy，则：I zy = 0; 例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
Ι z 1 = ∫ y1 dA =
Α Α
( y + a ) 2 dA ∫
A Α Α
= ∫ y 2 dA Ư = Ι z + a 2 A; Ι y1 = Ι y + b A;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为：
I P = ∫ ρ 2 dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面： I P = ∫ ρ 2πρdA =
I z = ∫ y dA = ∫ 2 y R y dy = = ; A R 4 64 πD 4 由对称性：I y = I z = ; 由几何关系：ρ 2＝y 2 + z 2 , 64
2 2 2 2 R
πR 4
πD 4
I P = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( y 2 + z 2 )dA = I Z + I y .
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
4 4 单位： m , mm ;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
Ι z = Ι z1 + Ι z 2 = (117 + 2 17)×105 = 3.34×105 cm4 ;
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小 结
S y = ∫ z dA = A z c ; 一、静矩： S z = ∫A y dA = A y c ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
cos 2α + I zy sin 2α ;
I z1 y1 =
Iz Iy 2
sin 2α + I zy cos 2α ;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 I zo yo = 0 的这对 正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 特点： 特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； ②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； ③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的α o 角，即 形心主惯性轴。 第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。