2019届高考理科数学知识点题组训练题9

2019年理科数学高考重点题单选题（共5道）1、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和42、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和43、设a=sinxdx,则二项式的展开式的常数项是A160B-160C240D-2404、复数=（）A﹣3﹣4iB﹣3+4iC3﹣4iD3+4i5、设复数（是虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限简答题（共5道）6、中,若三内角、、满足关系式.（1）用表示（2）判断的形状,并说明理由.7、已知函数，（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角的对边分别且,，若,求的值。

8、设数列的前项和为，且，其中是不为零的常数。

（1）证明：数列是等比数列；（2）当时，数列满足，，求数列的通项公式。

9、已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。

(1)求；（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。

10、设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集，（1）求A∩B；（2）若，求a的取值范围。

书面表达（共5道）11、阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

一家人晚饭后边看电视边聊节目。

爷爷说：“还是京剧好啊。

一招一式、一颦一蹙都是真功夫，都是美呀！祖宗留下的东西就是好哇！”孙子听了，抢着说：“爷爷，流行音乐也挺好的，不管是中国的还是外国的。

您不知道演唱会让年轻人有多疯狂。

”妈妈摇摇头说：“还是我们自己的好。

外国的毕竟不适合我们。

有时候对我们自己的文化还会有影响，甚至冲突和破坏。

”爸爸静静地听着，最后微笑着说：“美国的星巴克咖啡店可以开在故宫，咱们的广场舞也可以跳到巴黎。

2019年高三数学（理科）试卷及答案(WORD版本试卷+名师解析答案，建议下载练习)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.下面是关于复数的四个命题：；；的虚部为2；的共轭复数为.其中真命题为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；故选：A．【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（）万元A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．【详解】由题意，，，代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，所以a＝0.75，所以0.6x+0.75，所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；则f（2019）＝﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期．6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．7.设，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ，可得结果.【详解】由（1，），（1，0），．则（1+k，），由，则0，即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），设与的夹角为θ，则cosθ，又θ∈[0，π]，所以，故选：A．【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．14.设，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】分别令x=0和x=-1，即可得到所求.【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题. 15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形P AB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．（2）先利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单调递增区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时取得等号.∴面积，故面积的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.设是等差数列，前项和为，是等比数列，已知，，，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{b n}的通项公式；（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合，则（ ）}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A =⋂B A A.}1,0,1{-B. B.{0,1}C. C.}1,1{-D. D.}2,1,0{答案：A 解答：，所以.}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B }1,0,1{-=⋂B A 2.若，则（ ）i i z 2)1(=+=z A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +1答案：D 解答：,.i i z 2)1(=+i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.0答案：C 解答：7.0100608090=+-4.的展开式中的系数为（ ）42)1)(21(x x ++3x A.12B.16C.20D.24答案：A 解答：由题意可知含的项为，所以系数为.3x 33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅125.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）{}n a 41553134a a a =+3a =A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C 解答：设该等比数列的首项，公比，由已知得，，1a q 4211134a q a q a =+因为且，则可解得，又因为，10a >0q >2q =231(1)15a q q q +++=即可解得，则.11a =2314a a q ==6.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）x x ae y x ln +=)1(ae ，b x y +=2A.,e a =1-=b B.,e a =1=b C.,1-=e a 1=b D.,1-=e a 1-=b 答案：D 解析：令，则，，得.x x ae x f xln )(+=1ln )(++='x ae x f x21)1(=+='ae f 11-==e ea ，可得.故选D.b ae f +==2)1(1-=b7.函数在的图像大致为（ ）3222xx x y -=+[6,6]-A.B.C.D.答案：B 解析：∵，∴，∴为奇函数，32()22x x x y f x -==+332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++()f x 排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意.334442424(4)8222f -⨯⨯=≈=+8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若C 22142x y -=F P C O 则的面积为（ ）||||PO PF =PFO ∆C:D:答案:A 解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过22042x y -=y x =PFO ∆||||PO PF =点做垂直因为;所以P PH OF tan POF=∠PO =故选A;12S PFO ∆==11.若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）()f x R (0,)+∞A. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>B.233231(log (2)(2)4f f f -->>C.233231(2)(2)(log )4f f f -->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案：C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在单调递减，则函数在上单调递增；因为(0,)+∞(,0)-∞；又因为；所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=233230221log 4--<<<<；故选C.233231(2)(2)(log )4f f f -->>12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x []02π，5结论：在有且仅有个极大值点○1()f x ()0,2π3在有且仅有个极小值点○2()f x ()0,2π2在单调递增○3()f x 0,10π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是 ○4ω1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.○1○4○2○3○1○2○3○1○3○4答案：D解析：根据题意，画出草图，由图可知，[)122,x x π∈由题意可得，，解得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，解得，故对；2429255πππωω≤<1229510ω≤<○4令得，∴图像中轴右侧第一个最值点为最大值点，故对；52x ππω+=3010x πω=>y ○1∵，∴在有个或个极小值点，故错；[)122,x x π∈()f x ()0,2π23○2∵，∴，故对.1229510ω≤<1149251051002πππππω≤⋅+<<○3二.填空题13.已知，为单位向量，且，若，则 .ab 0a b ⋅= 2c a =- cos ,a c =答案：23解析：∵，∴，()22222459c a a b b ==+-⋅= 3c =∵，∴.()2222a c a a a b ⋅=⋅=-⋅= 22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅14.记为等差数列的前项和，若，，则 .n S {}n a n 10a ≠213a a =105S S =答案：4解析：设该等差数列的公差为，∵，∴，故，d 213a a =113a d a +=()1120,0d a a d =≠≠∴.()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d++⨯====++15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若1F 2F 1203622=+y x C ：M C 为等腰三角形，则的坐标为________.21F MF ∆M 答案：)15,3(解析：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三1203622=+y x C ：6=a 4=c M C角形中，,,21F MF ∆8211==F F MF 4212=-=MF a MF 415828sin 2221=-=∠M F F ，代入可得.故的坐标为.15sin 212=∠=M F F MF y M 1203622=+y x C ：3=M x M )15,3(16.学生到工厂劳动实践，利用D 打印技术制作模型。

D单元数列D1 数列的概念与简单表示法20.D1,D5,M2[2019·北京卷]已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m),若a i1<a i2<…<a im,则称新数列a i1,a i2,…,a im为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证:a m<a n.(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.20.解:(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明:设长度为q末项为a n0的一个递增子列为a r1,a r2,…,a rq-1,a n.由p<q,得a rp ≤a rq-1<a n.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为a m0,又a r1,a r2,…,a rp是{a n}的长度为p的递增子列,所以a m0≤a rp.所以a m<a n.(3)由题设知,所有正奇数都是{a n}中的项.先证明:若2m是{a n}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1是数列{a n}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1,2m是数列{a n}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{a n}中的项.假设存在正偶数不是{a n}中的项,设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{a n}的同一个递增子列中.又{a n}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2⏟(m-1)个×1×1=2m-1<2m.与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2且m为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{a n}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以a n={n+1,n为奇数, n-1,n为偶数.D2 等差数列及等差数列前n项和9.D2[2019·全国卷Ⅰ]记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n9.A[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由题意有{4a1+4×32d=0,a1+4d=5,解得{a1=-3,d=2,所以a n=-3+(n-1)×2=2n-5,S n=-3n+n(n-1)2×2=n2-4n,对比选项可知只有A正确.19.D2,D3[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.19.解:(1)证明:由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列. 由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8,即a n+1-b n+1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n-1,所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n-12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n+12.14.D2[2019·全国卷Ⅲ] 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .14.4 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+d=3a 1,即d=2a 1,则S 5=5a 1+5×42d=25a 1,S 10=10a 1+10×92d=100a 1,所以S 10S 5=100a 125a 1=4.10.D2[2019·北京卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .10.0 -10 [解析] 方法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由已知可得{a 1+d =-3,5a 1+10d =-10,解得{a 1=-4,d =1,所以a 5=a 1+4d=-4+4×1=0,S n =-4n+12n (n-1)=12n 2-92n=12(n -92)2-818.因为n ∈N *,故当n=4或n=5时,S n 取得最小值-10.方法二:设等差数列{a n }的公差为d ,因为S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=-10,所以a 3=-2,又因为a 2=-3,所以d=a 3-a 2=1,所以a 1=a 2-d=-4,a 5=a 3+2d=0,S n =-4n+12n (n-1)=12n 2-92n=12(n -92)2-818.因为n ∈N *,故当n=4或n=5时,S n 取得最小值-10.8.D2[2019·江苏卷] 已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .8.16 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,由S 9=9a 5=27,得a 5=3,从而3a 2+a 8=0,即3(a 5-3d )+(a 5+3d )=0,解得d=23a 5=2,所以S 8=S 9-a 9=S 9-(a 5+4d )=27-11=16.20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ), 当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1.设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.(i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1.(ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n ×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n =27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ), 解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +2√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c1+c2+…+c n<2√n对任意n∈N*成立.D3 等比数列及等比数列前n项和14.D3[2019·全国卷Ⅰ]记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.14.1213[解析]因为a42=a2a6=a6,所以a2=1,所以公比为a2a1=3,所以S5=13×(1-35)1-3=1213.21.D3,K6[2019·全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.21.解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i+1-p i=4(p i-p i-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1p1.3,所以由于p8=1,故p1=348-1p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-1p13.=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257试验方案合理.19.D2,D3[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.19.解:(1)证明:由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a1+b1=1,所以{a n+b n}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n-b n)+8,即a n+1-b n+1=a n-b n+2.又因为a1-b1=1,所以{a n-b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)知,a n+b n=12n-1,a n-b n=2n-1,所以a n=12[(a n+b n)+(a n-b n)]=12n+n-12,b n=12[(a n+b n)-(a n-b n)]=12n-n+12.5.D3[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.25.C[解析]设数列{a n}的公比为q,由题知a1>0,q>0且q≠1,则{a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得{a1=1,q=2,所以a3=a1q2=4.9.D3,L1[2019·全国卷Ⅲ]执行图1-3的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于()图1-3A .2-124B .2-125C .2-126D .2-1279.C [解析] x=1,s=0,s=0+1=1,x=12,12>0.01;s=1+12,x=14,14>0.01;s=1+12+14,x=18,18>0.01;s=1+12+14+18,x=116,116>0.01;s=1+12+14+18+116,x=132,132>0.01;s=1+12+14+18+116+132,x=164,164>0.01;s=1+12+14+18+116+132+164,x=1128,1128<0.01,输出s=1+12+14+18+116+132+164=1×[1-(12)7]1-12=2-126.20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ), 当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1. 设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;(ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n)1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ), 解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.D4 数列求和20.D2、D3、D4[2019·江苏卷] 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”. (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n-2bn+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1,求m的最大值.20.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2-4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由1S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1-b n ),当n ≥2时,由b n =S n -S n-1,得b n =b n b n+12(b n+1-b n )-b n -1b n2(b n -b n -1),整理得b n+1+b n-1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *).②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q>0. 因为c k ≤b k ≤c k+1,所以q k-1≤k ≤q k ,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有lnkk ≤ln q ≤lnkk -1. 设f (x )=lnxx (x>1),则f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,得x=e .列表如下:x (1,e)e (e,+∞)f'(x ) +0 -f (x )↗极大值↘因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q=√33,当k=1,2,3,4,5时,lnkk ≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k-1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.19.D2,D3,D4[2019·天津卷] 设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式. (2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).19.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1) =(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n)1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).20.D2,D3,D4,M3[2019·浙江卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记c n =√an 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.20.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得a 1+2d=4,a 1+3d=3a 1+3d , 解得a 1=0,d=2, 从而a n =2n-2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列得(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n ),解得b n =1d (S n+12-S n S n+2), 所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)c n =√a n 2b n=√2n -22n(n+1)=√n -1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设n=k (k ∈N *)时不等式成立,即c 1+c 2+…+c k <2√k .那么,当n=k+1时,c 1+c 2+…+c k +c k+1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k= 2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1, 即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.D5 单元综合20.D1,D5,M2[2019·北京卷] 已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m ),若a i 1<a i 2<…<a i m ,则称新数列a i 1,a i 2,…,a i m 为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.(2)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为a m 0,长度为q 的递增子列的末项的最小值为a n 0.若p<q ,求证:a m 0<a n 0.(3)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s 末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1,2,…),求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明:设长度为q 末项为a n 0的一个递增子列为a r 1,a r 2,…,a r q -1,a n 0.由p<q,得a rp ≤a rq-1<a n.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为a m0,又a r1,a r2,…,a rp是{a n}的长度为p的递增子列,所以a m0≤a rp.所以a m<a n.(3)由题设知,所有正奇数都是{a n}中的项.先证明:若2m是{a n}中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).假设2m排在2m-1之后.设a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1是数列{a n}的长度为m末项为2m-1的递增子列,则a p1,a p2,…,a pm-1,2m-1,2m是数列{a n}的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{a n}中的项.假设存在正偶数不是{a n}中的项,设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前(k=1,2,…,m-1),所以2k和2k-1不可能在{a n}的同一个递增子列中.又{a n}中不超过2m+1的数为1,2,…,2m-2,2m-1,2m+1,所以{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为2×2×2×…×2⏟(m-1)个×1×1=2m-1<2m.与已知矛盾.最后证明:2m排在2m-3之后(m≥2且m为整数).假设存在2m(m≥2),使得2m排在2m-3之前,则{a n}的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上,数列{a n}只可能为2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,….经验证,数列2,1,4,3,…,2m-3,2m,2m-1,…符合条件.所以a n={n+1,n为奇数, n-1,n为偶数.10.D5[2019·浙江卷]设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=a n2+b,n∈N*,则()A.当b=12时,a10>10B.当b=14时,a10>10C.当b=-2时,a10>10D.当b=-4时,a10>1010.A[解析]a2=a2+b≥b,a n+1=a n2+b,所以当b越大时,a10越大.四个选项中A中的b最大,当b=12时,a n+1=a n2+12,所以a2≥12,a3≥34,a4≥1716,a5≥417256>32,a6>114,a7>12916>8,a8>64,所以a10>a9>a8>10.故选A.9.[2019·南昌模拟]已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-8,且(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-9n2+21n-10,则a n=()A.-4nB.3n-5C.(3n-5)(5-n)D.5-n9.C[解析]∵(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-9n2+21n-10,∴(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-(9n2-21n+10),即(3n-5)a n+1=(3n-2)a n-(3n-5)(3n-2),∵n∈N*,∴a n+13n-2=a n3n-5-1,∴数列{a n3n-5}为等差数列,其首项为a13-5=4,公差d=-1,∴a n3n-5=4-(n-1)=5-n,∴a n=(3n-5)(5-n),故选C.3.[2019·山东淄博模拟]已知在等比数列{a n}中,a1=2,且a1,a2,a3-2成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=1a n+2log2a n-1,求数列{b n}的前n项和S n.3.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q.∵a 1,a 2,a 3-2成等差数列,a 1=2, ∴2a 2=a 1+(a 3-2)=2+(a 3-2)=a 3, ∴q=a3a 2=2,∴a n =a 1q n-1=2n (n ∈N *).(2)b n =1a n+2log 2a n -1=(12)n +2log 22n -1=(12)n +2n-1,则S n =(12+1)+[(12)2+3]+[(12)3+5]+…+[(12)n+(2n -1)]=12+(12)2+(12)3+…+(12)n +[1+3+5+…+(2n-1)]=12[1-(12)n]1-12+n ·[1+(2n -1)]2=n 2-(12)n+1(n ∈N *).6.[2019·河北石家庄质检] 已知{a n }是首项为1的等比数列,各项均为正数,且a 2+a 3=12. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1(n+2)log3a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n .6.解:(1)设数列{a n }的公比为q , 由a 2+a 3=12得q+q 2=12, 解得q=3或q=-4,因为数列{a n }的各项都为正数,所以q>0,所以q=3,所以a n =3n-1. (2)由(1)知b n =1(n+2)log3a n+1=1n(n+2)=12(1n -1n+2),∴S n =12×1-13+12-14+…+1n -1-1n+1+1n -1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题1. 已知集合A={−1, 0, 1, 2}, B={x|x2≤1}，则A∩B=( )A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1}D.{0,1,2}2. 若z(1+i)=2i，则z=( )A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了了解本校小学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A.0.5B.0.6C.0.7D.0.84. (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.245. 已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=( )A.16B.8C.4D.26. 已知曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e, b=−1B.a=e, b=1C.a=e−1, b=1D.a=e−1，b=−17. 函数y=2x32x+2−x在[−6,6]的图象大致为()A. B.C. D.8. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△EDC为正三角形，平面EDC⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9. 执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出的值等于()A.2−124B.2−125C.2−126D.2−12710. 双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO|=|PF|，则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√211. 设f(x)是定义域为R 的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则( ) A.f (log 314)>f (2−32)>f (2−23) B.f (log 314)>f (2−23)>f (2−32) C.f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)D.f (2−23)>f (2−32)>f (log 314)12. 设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论： ①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点， ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点， ③f(x)在(0，π10)单调递增，④ω的取值范围是[125，2910). 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④二、填空题13. 已知a →，b →为单位向量，且a →⋅b →=0，若c →=2a →−√5b →，则cos (a →,c →)=________.14. 记S n 为等差数列{a n }项和，若a 1≠0，a 2=3a 1，则S 10S 5=________.15. 设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ，3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g .三、解答题 17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A,B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图： 记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A+C 2=b sin A .(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围.19. 图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60∘，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B −CG −A 的大小.20. 已知函数f(x)=2x 3−ax 2+b . (1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b ，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为−1且最大值为1？若存在，求出a,b 的所有值；若不存在，说明理由.21. 已知曲线C ：y =x 22,D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A,B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22. 如图，在极坐标系Ox 中，A(2，0)，B(√2，π4)，C(√2，3π4)，D(2，π），弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，π2)，(1，π)，曲线M 1是弧AB̂，曲线M 2是弧BC ̂，曲线M 3是弧CD ̂.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|=√3，求P 的极坐标.23. 设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥13成立，证明：a ≤−3或a ≥−1.参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x2≤1,∴−1≤x≤1,∴B={x|−1≤x≤1},∴A∩B={−1,0,1}.故选A.2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：z(1+i)=2i，z=2i1+i，z=2i(1−i)(1+i)(1−i)，z=1+i，故选D.3.【答案】C【考点】生活中概率应用【解析】此题暂无解析【解答】解：只阅读过《红楼梦》或《西游记》的人数为：90−60=30，只阅读过《红楼梦》的人数为：80−60=20，只阅读过《西游记》的人数为30−20=10，阅读过《西游记》的人数为：10+60=70，与该校学生总数比值为70100=0.7.故选C.4.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1+x)4展开式中x3项的系数：C43=4；(1+x)4展开式中x项的系数：C41=4；所以(1+2x2)(1+x)4展开式中x3项的系数为：4+2×4=12. 故选A.5.【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：a1q4=3a1q2+4a1，q4−3q2−4=0，解得q=2或−2（舍）a1(1−q4)1−q=15，解得a1=1，所以a3=a1q2=4.故选C.6.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：y′=ae x+ln x+1,∵曲线y=ae x+x ln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，∴ae+ln1+1=2,解得a=e−1.∴切线方程为y=2x−1，解得b=−1.故选D.7.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：将−x代入题中函数，可得y1=2(−x)32−x+2−(−x)=−y，故原函数为奇函数，关于原点对称，因此排除选项C.将x=1代入函数，得y=45>0，排除选项D.将x=4代入函数，得y=2⋅4324+2−4≈23=8，排除选项A. 故选B.8.【答案】B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：连接M，N,∵ MN为△DBE的中位线，∴ MN//EB，∴ M，N，E，B四点共线，∴ BM，EN相交；设AB=4，则AD=DC=CB=DE=CE=4；设P为CD中点，Q为DP中点，连接EP，MQ；∵ EP⊥DC，平面ECD⊥平面ABCD，EP⊂平面ECD，平面ECD∩平面ABCD=CD；∴ EP⊥平面ABCD，∴ EP⊥PN，同理MQ⊥QB，在△EPN中，EP=2√3，PN=2，则EN=4；在△MQB中，MQ=√3，BQ=5，则BM=2√7.∴ BM≠EN；故选B.9.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ε=0.01,①输入x=1,s=0,有s=1+0=1，x=12，x>ε;②输入x=12，s=1+12=2−12，x=122，x>ε；③输入x=122，s=2−12+122=2−122，x=123，x>ε;④输入x=123，s=2−122+123=2−123，x=124，x>ε;⑤输入x=124，s=2−123+124=2−124，x=125，x>ε;⑥输入x=125，s=2−124+125=2−125，x=126，x>ε;⑦输入x=126，s=2−125+126=2−126，x=127<ε，此时输出s=2−126.故选C . 10.【答案】 A【考点】双曲线的渐近线 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设点P =(x 0，y 0)， ∵ a =2，b =√2， ∴ c =√6.由题知x 02+y 02=(x 0−√6)2+y 02，解得x 0=√62， 由于双曲线的渐近线方程为y =±√22， ∴ y 0=√32， ∴ S △PFO =12×√6×√32=3√24. 故选A. 11.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：|log 34−1|=|−log 34|>1， 2−32=√23<23=2−23，又∵ f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减， ∴ f (2−32)>f (2−23)>f (log 314). 故选C.12.【答案】D【考点】正弦函数的周期性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出f(x)的大致图像，由图知f(x)在(0，2π)上有3个极大值点，①对；f(x)在(0，2π)上有2个或3个极小值点，②错； 5π−π5≤2πω<6π−π5，解得125≤ω<2910，④对；24π100≤π10ω<29100π，∵ π2−π5=310π.∴ f(x)在(0，π10)单调递增，③对.故选D .二、填空题 13.【答案】23【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 数量积表示两个向量的夹角 单位向量 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题可知， ∵ a →⋅b →=0，∴ a →⊥b →， ∵ c →=2a →−√5b →,∴ |c →|=√22+(√5)2=3,且c →与a →夹角小于π2,故cos (a →,c →)=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=(2a →−√5b →)⋅a →|a →|⋅|c →|=23，故答案为：23. 14.【答案】 4【考点】等差数列的前n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 数列{a n }为等差数列，a 2=3a 1， ∴ a 1+d =3a 1, 即d =2a 1， S n =na 1+n(n−1)d2, ∴S 10S 5=10a 1+(10×9)2d 5a 1+(5×4)2d,将d =2a 1代入，得S10S 5=4.故答案为：4. 15. 【答案】 (3，√15)【考点】 椭圆的应用 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为M 在椭圆上，设M 横坐标为t ，则M(t,√180−5t 29)；又因为△MF 1F 2为等腰三角形且M 在第一象限， 则MF 1=F 1F 2， 由题意得F 1F 2=8. (t +4)2+(√180−5t 29)2=64，解得t =3或t =−21(舍去). 当t =3时，M 的坐标为(3，√15).故答案为：(3，√15). 16.【答案】 118.8 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：模型的体积为长方体的体积减去四棱锥的体积， 正方体的体积为：6×6×4=144cm 3， 四棱锥的体积为：13×6×4×12×3=12cm 3. 模型的体积为：144−12=132cm 3. 模型的质量为：132×0.9=118.8g . 故答案为：118.8. 三、解答题17.【答案】解：(1)由题意得：0.7=a +0.2+0.15， 解得：a =0.35.b =1−0.05−0.15−0.7=0.1.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 【考点】众数、中位数、平均数 频率分布直方图【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意得：0.7=a +0.2+0.15，解得：a=0.35.b=1−0.05−0.15−0.7=0.1.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为：2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为：3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.18.【答案】解：(1)由题设及正弦定理可得，sin A sin A+C2=sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin A+C2=sin B，∵ A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2.∵cos B2≠0,故sin B2=12,∴ B=60∘.(2)由题设及(1)可知，S△ABC=12ac sin B=√34a，由正弦定理得a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，∵ △ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘，∴30∘<C<90∘，故12<a<2,从而√38<S△ABC<√32.答：△ABC面积的取值范围为(√38，√32).【考点】解三角形三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题设及正弦定理可得，sin A sin A+C2=sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin A+C2=sin B，∵ A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2.∵cos B2≠0,故sin B2=12,∴ B=60∘.(2)由题设及(1)可知，S△ABC=12ac sin B=√34a，由正弦定理得a=c sin Asin C=sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，∵ △ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘，∴30∘<C<90∘，故12<a<2,从而√38<S△ABC<√32.答：△ABC面积的取值范围为(√38，√32).19.【答案】(1)证明：由已知得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG，故AD，CG确定一平面，从而A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)解：作EH ⊥BC ，垂足为H ， 因为EH ⊂平面BCGE ， 平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60∘， 可求得BH =1，EH =√3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz ，则A （−1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，√3）， CG →=（1，0，√3），AC →=（2，−1，0）， 设平面ACGD 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{CG →⋅n →=0，AC →⋅n →=0，即{x +√3z =0,2x −y =0.所以可取n →=(3，6，−√3).又平面BCGE 的法向量可取为m →=(0，1，0)， 所以cos <n →，m →>=n →⋅m→|n →||m →|=√32. 因此二面角B −CG −A 的大小为30∘. 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：由已知得AD//BE ，CG//BE ， 所以AD//CG ， 故AD ，CG 确定一平面， 从而A ，C ，G ，D 四点共面， 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ， 故AB ⊥平面BCGE ， 又因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面BCGE . (2)解：作EH ⊥BC ，垂足为H ， 因为EH ⊂平面BCGE ， 平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60∘，可求得BH =1，EH =√3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz ，则A （−1，1，0），C （1，0，0），G （2，0，√3）， CG →=（1，0，√3），AC →=（2，−1，0）， 设平面ACGD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{CG →⋅n →=0，AC →⋅n →=0，即{x +√3z =0,2x −y =0.所以可取n →=(3，6，−√3).又平面BCGE 的法向量可取为m →=(0，1，0)， 所以cos <n →，m →>=n →⋅m→|n →||m →|=√32. 因此二面角B −CG −A 的大小为30∘. 20.【答案】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a). 令f ′(x)=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减； 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)单调递增；若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0； 当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,a3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减.(2)满足题设条件的a,b 存在.i 当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2−a +b ， 此时a ，b 满足题设条件当且仅当b =−1, 2−a +b =1，即a =0,b =−1. ii 当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2−a +b . 此时a,b 满足题设条件当且仅当2−a +b =−1, b =1，即a =4,b =1.iii 当0<a <3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+b ，最大值为b 或2−a +b . 若−a 327+b =−1, b =1，则a =3√23，与0<a <3矛盾.若−a 327+b =−1,2−a +b =1，则a =3√3或a =−3√3或a =0，与0<a <3矛盾.综上，当且仅当a =0, b =−1或a =4, b =1时， f(x)在[0,1]的最小值为−1，最大值为1.【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f ′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a). 令f ′(x)=0，得x =0或x =a3.若a >0，则当x ∈(−∞,0)∪(a3,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(0,a3)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,0),(a3,+∞)单调递增，在(0,a3)单调递减； 若a =0,f(x)在(−∞,+∞)单调递增；若a <0，则当x ∈(−∞,a3)∪(0,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(a3,0)时，f ′(x)<0.故f(x)在(−∞,a 3),(0,+∞)单调递增，在(a3,0)单调递减. (2)满足题设条件的a,b 存在.i 当a ≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b ，最大值为f(1)=2−a +b ，此时a ，b 满足题设条件当且仅当b =−1, 2−a +b =1， 即a =0,b =−1.ii 当a ≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b ，最小值为f(1)=2−a +b . 此时a,b 满足题设条件当且仅当2−a +b =−1, b =1，即a =4,b =1. iii 当0<a <3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f (a3)=−a 327+b ，最大值为b 或2−a +b . 若−a 327+b =−1, b =1，则a =3√23，与0<a <3矛盾. 若−a 327+b =−1,2−a +b =1，则a =3√3或a =−3√3或a =0，与0<a <3矛盾. 综上，当且仅当a =0, b =−1或a =4, b =1时， f(x)在[0,1]的最小值为−1，最大值为1. 21. 【答案】解：(1)设D (t,−12), A (x 1,y 1)，则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1.整理得2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12.由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0. 于是x 1+x 2=2t, x 1x 2=−1, y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB|=√1+t 2|x 1−x 2| =√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1).设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离， 则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1.因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1. 设M 为线段AB 的中点，则M (t,t 2+12).由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0， 解得t =0或t =±1.当t =0时，S =3；当t =±1时S =4√2， 因此，四边形ADBE 的面积为3或4√2. 【考点】 直线恒过定点利用导数研究曲线上某点切线方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设D (t,−12), A (x 1,y 1)，则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1+12x 1−t=x 1.整理得2tx 1−2y 1+1=0.设B (x 2,y 2)，同理可得2tx 2−2y 2+1=0. 故直线AB 的方程为2tx −2y +1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12.由{y =tx +12,y =x22可得x 2−2tx −1=0. 于是x 1+x 2=2t, x 1x 2=−1, y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1, |AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1). 设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离，则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1.因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.设M 为线段AB 的中点，则M (t,t 2+12).由于EM →⊥AB →，而EM →=(t,t 2−2), AB →与向量(1,t)平行， 所以t +(t 2−2)t =0， 解得t =0或t =±1.当t =0时，S =3；当t =±1时S =4√2， 因此，四边形ADBE 的面积为3或4√2. 22. 【答案】解：(1)由题设可得，弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的极坐标方程分别为， ρ=2cos θ, ρ=2sin θ, ρ=−2cos θ， 所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤θ≤π4)，M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cos θ(3π4≤θ≤π). (2)设P(ρ,θ)，由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cos θ=√3， 解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cos θ=√3，解得θ=5π6.综上，P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6). 【考点】圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1)由题设可得，弧AB̂，BC ̂，CD ̂所在圆的极坐标方程分别为， ρ=2cos θ, ρ=2sin θ, ρ=−2cos θ， 所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤θ≤π4)，M 2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤θ≤3π4)，M 3的极坐标方程为ρ=−2cos θ(3π4≤θ≤π).(2)设P(ρ,θ)，由题设及(1)知， 若0≤θ≤π4，则2cos θ=√3，解得θ=π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ=√3，解得θ=π3或θ=2π3；若3π4≤θ≤π，则−2cos θ=√3，解得θ=5π6.综上，P 的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).23.【答案】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2 =(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)] ≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43,当且仅当x =53, y =−13, z =−13时等号成立.(2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)] ≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3, y =1−a 3, z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1.【考点】 柯西不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2 =(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)] ≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2],故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43, 当且仅当x =53, y =−13, z =−13时等号成立. (2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2 =(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)] ≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2], 由已知得,(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23,当且仅当x =4−a 3, y =1−a 3, z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23,由题设知(2+a)23≥13,解得a ≤−3或a ≥−1.。

第九单元平面向量考点一平面向量的线性运算1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.【答案】122.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则().A.AD=-1AB+4ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC【解析】AD=AC+CD=AC+1BC=AC+1(AC-AB)=4AC-1AB=-1AB+4AC.故选A.【答案】A3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为().A.3B.22C.5D.2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ,连接CE ,则CE ⊥BD.∵CD=1,BC=2, ∴BD= 2+22= , EC=BC ·CD BD = 5=2 55, 即圆C 的半径为2 55, ∴点P 的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.设P (x 0,y 0),则x 0=2+2 55cos θ,y 0=1+2 55sin θ(θ为参数),而AP =(x 0,y 0),AB =(0,1),AD =(2,0).∵AP =λAB +μAD =λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),∴μ=12x 0=1+ 55cos θ,λ=y 0=1+2 55sin θ.两式相加,得 λ+μ=1+2 5sin θ+1+ 5cos θ=2+sin (θ+φ)≤3其中sin φ=55,cos φ=2 55, 当且仅当θ=π2+2k π-φ,k ∈Z 时,λ+μ取得最大值3. 故选A . 【答案】A考点二 向量的数量积运算4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=().A.-8B.-6C.6D.8【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).因为(a+b)⊥b,所以(a+b)²b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.【答案】D5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA=1,3,BC=3,1,则∠ABC=().A.30°B.45°C.60°D.120°【解析】因为BA=12,32,BC=32,12,所以BA²BC=34+34=32.又因为BA²BC=|BA||BC|cos∠ABC=1³1³cos∠ABC,所以cos∠ABC=32.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.【答案】A6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD²AE=-4,则λ的值为.【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,AB²AC=3³2³cos60°=3,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,∴AD²AE=1AB+2AC²(λAC-AB)=λ-2 3AB²AC-13AB2+2λ3AC2=λ-2 3³3-13³32+2λ3³22=11 3λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3117.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m²n<0”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ,使得m=λn , 则m 与n 反向共线,θ=180°, 所以m ²n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.当90°<θ<180°时,m ²n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn. 故“存在负数λ,使得m=λn ”是“m ²n<0”的充分而不必要条件. 故选A . 【答案】A8.(2017年山东卷)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若 3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是 .【解析】由题意知|e 1|=|e 2|=1,e 1²e 2=0,| 3e 1-e 2|= ( 3e 1-e 2)2= 3e 12-2 3e 1·e 2+e 22= 3−0+1=2.同理|e 1+λe 2|= 1+λ2. 所以cos60°=31212| 3e -e ||e +λe |=3e 12 31·e 2222 1+λ=3-2 1+λ=12,解得λ= 33.【答案】 3考点三 与向量的模有关的运算9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .【解析】|a+2b|= (a +2b )2=2+4a ·b +4b 2= 2+4×2×1×cos60°+4×12= 12=2 3.【答案】2310.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a²b=|a|2+|b|2,∴a²b=0.又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.【答案】-211.(2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.【解析】设a,b的夹角为θ.∵|a|=1,|b|=2,∴|a+b|+|a-b|=2(a-b)2=+.令y=5+4cosθ+5−4cosθ,则y2=10+22θ.∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],∴y∈[4,25],即|a+b|+|a-b|∈[4,25].【答案】425考点四平面向量在平面几何中的应用12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA²(PB+PC)的最小值是().A.-2B.-3C.-4D.-1【解析】如图,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA²(PB+PC)=2PA²PD.要使PA²PD最小,则PA与PD方向相反,即点P在线段AD上,则(2PA²PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最大值.又|PA|+|PD|=|AD|=2³3=3,2∴|PA ||PD |≤ |PA |+|PD|22= 322=34,∴[PA ²(PB +PC )]min =(2PA ²PD )min =-2³34=-32.故选B . 【答案】B13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA²OB ,I 2=OB ²OC ,I 3=OC ²OD ,则( ). A.I 1<I 2<I 3 B.I 1<I 3<I 2 C.I 3<I 1<I 2 D.I 2<I 1<I 3【解析】∵I 1-I 2=OA ²OB -OB ²OC =OB ²(OA -OC )=OB ²CA , 又OB与CA 所成角为钝角, ∴I 1-I 2<0,即I 1<I 2.∵I 1-I 3=OA ²OB -OC ²OD=|OA ||OB |cos ∠AOB-|OC ||OD |cos ∠COD =cos ∠AOB (|OA ||OB |-|OC ||OD |), 又∠AOB 为钝角,OA<OC ,OB<OD ,∴I 1-I 3>0,即I 1>I 3. ∴I 3<I 1<I 2.故选C . 【答案】C高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.§9.1平面向量的概念及线性运算一向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).2.零向量:长度为的向量;其方向是任意的,记作0.3.单位向量:长度等于的向量.非零向量a的单位向量为±a|a|4.平行向量(也称共线向量):方向或的非零向量.(0与任一向量平行或共线)5.相等向量:长度且方向的向量.6.相反向量:长度且方向的向量.二向量的线性运算1.向量的加(减)法法则有法则和法则,向量的加法运算满足和.2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ0时,λa的方向与a的方向相同;当λ0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.☞左学右考如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则EF=().A.1AB-1ADB.23AB+12ADC.13AB-12ADD.12AB-23AD下列命题中,正确的个数是().①若|a|=|b|,则a=b;②若a=b,则a∥b;③|AB|=|BA|;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.1B.2C.3D.4已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则().A.AO=ODB.AO=2ODC.AO=3ODD.2AO=OD知识清单。

2019年高考全国各地数学理科真题分类汇编（解析版）专题一集合-------------------------------------------------------------- 2 专题二函数-------------------------------------------------------------- 3 专题三三角函数 ------------------------------------------------------ 16 专题四解三角形 ------------------------------------------------------ 26 专题五平面向量 ------------------------------------------------------ 29 专题六数列------------------------------------------------------------ 34 专题七不等式--------------------------------------------------------- 46 专题八复数------------------------------------------------------------ 48 专题九导数及其应用 ------------------------------------------------ 50 专题十算法初步 ------------------------------------------------------ 62 专题十一常用逻辑用语 --------------------------------------------- 65 专题十二概率统计 --------------------------------------------------- 67 专题十三空间向量、空间几何体、立体几何-------------------- 75 专题十四平面几何初步 -------------------------------------------- 95 专题十五圆锥曲线与方程 ----------------------------------------- 99 专题十六计数原理------------------------------------------------- 118 专题十七不等式选讲 ---------------------------------------------- 120 专题十八坐标系与参数方程--------------------------------------- 123专题一 集合（2019·全国Ⅰ理科）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅱ理科）设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．（2019·全国Ⅲ理科）已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,2【答案】A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-．故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. （2019·天津理科）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A CB =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D【分析】先求A B ⋂，再求()A C B 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷共23题，共150分，共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，1）B ．(－2，1）C ．(－3，－1）D ．(3，＋∞）2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝A ．－3B ．－2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a -b ）>0B ．3a <3bC ．a 3-b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年理科数学常考题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D123、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D124、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D12多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、、、（1）若的值；（2）若13、、、（1）若的值；（2）若14、、、（1）若的值；（2）若15、、、（1）若的值；（2）若书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

一方面是诸多管理的必要，一方面是便捷出行的需求；事实上要彻底禁行这几万辆超标电动车，管理者和骑行者都会感到很不容易。

假定你也是在该市市区生活的市民，请以管理部门代言人或超标电动车骑行者身份就禁行超标电动车这事表达你的看法。

要求选定你的写作身份，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

17、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

2019年福建省高考（理科）数学试题及答案（Word 解析版）一、选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45 C．5 D．5【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．120【答案】B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++= 故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）． (,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13． 6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A．．5 D ．10 【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，22323412R S R ππ⨯∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin 32,33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________3【解析】22sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙ 22222(32)332323BD BD +-==⨯⨯14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________31【解析】由直线方程3()y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ==∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：111112222220000011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分．解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115．（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x ． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x，(1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ， 即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x af x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值． 综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤iP i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y （Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx 由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >． （1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值；（3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE //AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ， CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =u u u r ，1(0,0,1)AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =- 设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2018个零点．本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x <<所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++-因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=>且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意（Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换 已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分． 解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。

题组层级快练(十二)1．函数y ＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )答案 D2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )答案 B解析 方法一：y ＝1－1x －1的图像可以看成由y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的． 方法二：由于x ≠1，故排除C ，D.又函数在(－∞，1)及(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．(2018·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝lnx －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x)＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0，1)时，f ′(x)>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f(1)＝－12<0，故选B.4．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.5．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图像可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x ＞b 时，f(x)＞0，由此可以排除A ，B 选项．又当x ≤b 时，f(x)≤0，从而可以排除D.故选择C.6．(2018·《高考调研》原创题)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像如图所示，给出下列四个命题：p 1：函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)； p 2：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(－x)；p 3：函数y ＝f(x)满足f(x)＝f(－x)； p 4：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 4答案 C解析 从函数图像上可以看出函数的图像关于原点对称，所以是奇函数，函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，p 1为真命题，p 3为假命题；从函数图像上可以看出函数的周期为4，由p 2：f(x ＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x ＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以p 2为真命题，p 4为假命题，选择C.7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x<0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )答案 B解析 当x<0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x<0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.8．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x·sinx ，②y ＝x·cosx ，③y ＝x·|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x·sinx 在定义域上是偶函数，其图像关于y 轴对称；②y ＝x·cosx 在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称；③y ＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称，且当x>0时，其函数值y ≥0；④y ＝x·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.9．(2018·北京海淀一模)下列函数f(x)图像中，满足f(14)>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D解析 因为f(14)>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A ，B.又C 中，f(14)<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f(14)<f(3)，所以不选C ，选D. 10．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )答案 A解析 易探索知x ＝2和4是函数的两个零点，故排除B ，C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D ，选A. 11．函数f(x)＝4x －12x 的图像关于( ) A ．原点对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．直线y ＝－x 对称 D ．y 轴对称答案 A解析 由题意可知，函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝4x －12x ＝2x －2－x，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.12．(2018·福建)若函数y ＝log a x(a ＞0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析因为函数y＝log a x过点(3，1)，所以1＝log a3，解得a＝3，所以y＝3－x不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B. 13．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()答案 B14．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝(12)x(x ≤0)，若g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________． 答案 g(x)＝2|x|解析 画出函数f(x)＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g(x)的图像，由图可知：函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|.15．若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝|x|和函数y ＝－x ＋a 的图像，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a －x 只有一个解．16．(2018·安徽文)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，则a 的值为________． 答案 －12解析 函数y ＝|x －a|－1的大致图像如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.17．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．答案 (1)增区间[1，2]，[3，＋∞) 减区间(－∞，1]，[2，3] (2)[－1，－34] 解析f(x)＝⎩⎨⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）.作出图像如图所示．(1)递增区间为[1，2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．函数y ＝lg|x|x 的图像大致是( )答案 D2．设a>1，对于实数x ，y 满足：|x|－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x|，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1a ）x ，x ≥0，（1a ）－x ，x<0.∵a>1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0，1)，且函数为偶函数．故图像关于y 轴对称．故选B. 3．函数y ＝lnxx 的图像大致是( )答案 A解析函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，令y＝0，得x＝1.所以函数y＝lnxx只有一个零点．当0<x<1时，lnx<0，所以y＝lnxx<0；当x>1时，lnx>0，所以y＝lnx x>0.结合图中四个选项，可知应选A.4．(2018·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则方程y＝f(2－x)的曲线是()答案 C解析先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像，再向右平移两个单位，即可得到y＝f(－(x－2))＝f(2－x)的图像．所以答案为C.注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化．5．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是( )答案 C解析 当0<a<1时，y ＝a －x 为增函数且过点(0，1)，y ＝log a x 为减函数且过点(1，0)，故应选C.6．(2018·东北三校联考)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，43] C ．[0，32) D ．[1，2)答案 D解析 方法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1，2)上单调递增，故选D.方法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)的区间[1，2)上为增函数，故选D.7．(2018·华东师大附中调研)若函数y＝f(x)的图像上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是()A．f(x)＝e x－1 B．f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝sinx D．f(x)＝tanx答案 C解析不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f(x)具有性质S，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝e x－1的图像分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图像分布在区域②和④内，f(x)＝sinx的图像分布在区域①和②内，f(x)＝tanx在每个区域都有图像，故选C.8．函数y＝5x与函数y＝－15x的图像关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案 C9．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图像大致是()答案 B10．(2018·石家庄二中月考)函数y ＝e lnx －|x －1|的图像大致是( )答案 D11．函数y ＝x2－2sinx 的图像大致是( )答案 C解析 易知函数y ＝x2－2sinx 为奇函数，排除A ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除D ；令y ′＝12－2cosx ＝0，得cosx ＝14，可知y ′有无穷多个零点，即f(x)有无穷多个极值点，排除B ，选C.12．(2018·山东)函数y ＝cos6x2x －2－x的图像大致为( )答案 D解析 令f(x)＝cos6x2x －2－x ，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝cos （－6x ）2－x －2x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A 项．又因为当x ∈(0，16)时，cos6x>0，2x －2－x >0，即f(x)>0，故排除B 项，而f(x)＝0有无数个根，所以排除C 项，D 项正确．13．(2018·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则f(x)的图像大致为( )答案 B解析 由题意可得f(π2)＝22，f(π4)＝5＋1⇒f(π2)<f(π4)，由此可排除C ，D 项，当3π4≤x ≤π时f(x)＝－tanx ＋tan 2x ＋4，可知x ∈[3π4，π]时图像不是线段，可排除A 项，故选B 项．14．(2018·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (0，1)∪(1，4)解析y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x>1，－x －1，－1<x<1，函数y ＝kx －2恒过定点M(0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x>1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0，1)∪(1，4)，两函数图像恰有两个交点．。

2019年理科数学常考题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D123、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D124、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D12多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、、、（1）若的值；（2）若13、、、（1）若的值；（2）若14、、、（1）若的值；（2）若15、、、（1）若的值；（2）若书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

一方面是诸多管理的必要，一方面是便捷出行的需求；事实上要彻底禁行这几万辆超标电动车，管理者和骑行者都会感到很不容易。

假定你也是在该市市区生活的市民，请以管理部门代言人或超标电动车骑行者身份就禁行超标电动车这事表达你的看法。

要求选定你的写作身份，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

17、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。