【文档】东南大学 线性代数与空间解析几何 考题及答案(整理)

20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）一. 填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B ，则行列式=AB .2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211，若3阶非零方阵B 满足0=AB ，则=t .3．已知3阶方阵A 的行列式3||=A ，则行列式=--|2|1A4．设3阶方阵A 的三个特征值分别为1、2、3，又方阵E A A B +-=22，则方阵B 的特征值为.5．若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012为正定矩阵，则a 的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1． 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件【 】(A)A 的行向量组线性相关; (B) A 的列向量组线性相关;(C) A 的行向量中有一个为零向量; (D)A 为方阵且其行列式为零.2． 设n 维行向量)21,0,,0,21( =α，矩阵ααT -=I A ，ααT 2+=I B ，其中I 为 n 阶单位阵，则=AB 【 】(A) 0； (B)I -； (C)I ； (D) ααT +I .3． 设321,,ααα是齐次方程组0=Ax 的基础解系，则下列向量组中也可作为0=Ax 的基础解系的是【 】(A)32132212,,ααααααα++++; (B) 133221,,αααααα-++;(C) ;(D) .4． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】 (A) 2； (B) ； (C) 1； (D).5． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是.【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.321211,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =三. (10分)已知方阵，试求行列式及逆矩阵. 四.（10分）设方阵，已知，求.五. (12分)讨论为何值时，方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.六.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.七. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型.八. (8分)已知3阶方阵满足：，，其中为元素的代数余子式，求九.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000011202310216A ||A 1-A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310120002A BA A ABA +=26B λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=f )(ij a A =ij ij A a =011≠a ij A ij a .||A 321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵，，则行列式.2．设，若3阶非零方阵满足，则.3．齐次线性方程组的基础解系为_. 4．曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为. 5．若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二. 单项选择题（每小题3分，共15分）1． 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【 】(A)的行向量组线性相关; (B) 的列向量组线性相关;(C) 的行向量中有一个为零向量; (D)为方阵且其行列式为零.2． 设维行向量，矩阵，，其中为阶单位阵，则【 】(A) 0； (B)；(C)； (D) .3． 设是齐次方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是【 】(A); (B) ;(C) ;(D) .6． 已知线性方程组有无穷多个解，则【 】(A) 2； (B) ； (C) 1； (D).7． 设矩阵的秩，下述结论中正确的是【 】(A)的任意个列向量必线性无关；(B)的任意一个阶子式不等于零；(C)齐次方程组只有零解；(D)非齐次方程组必有无穷多解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200540321A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132015001B =AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t A 23402211B 0=AB =t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000201421321x x x ⎩⎨⎧≤≤==)31( 0x z e x yox ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 0001012a 0=Ax A A A A n )21,0,,0,21( =αααT -=I A ααT 2+=I B I n =AB I -I ααT +I 321,,ααα0=Ax 0=Ax 32132212,,ααααααα++++133221,,αααααα-++133221,,αααααα+++3221,0,αααα--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a =a 2-1-n m A ⨯n m A r <=)(A m A m 0=Ax b Ax =三. (10分)已知3阶方阵可逆且，试求的伴随矩阵的逆矩阵.四.（12分）证明直线与直线在同一平面上，并求与交点的坐标，及平面的方程.五. (12分)设向量，，，，，问取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式.六.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：向量组的秩为3.七. (10分)已知方阵的特征值为（1） 求的值；（2） 是否可以对角化？若可以，求可逆矩阵及对角矩阵，使得.一. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型九. 证明题（6分）（两题中选做一题）1． 设3维欧几里德有两个标准正交基，.已知可由线性表示为，试证：矩阵为正交矩阵. 2． 设为阶方阵，表示矩阵的秩，试证：A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3330221011A A 112131:1+=+=+z y x L 243514:2-=-+=-z y x L π1L 2L πT 1)4 ,2 ,1 ,1(-=αT 2)2 ,3 ,1 ,0(=αT 3)14 ,10 ,2 ,3(+-=a αT 4)5 ,2 ,1 ,1(+-=a αT )10 ,6 ,1 ,2(+-=b βb a ,β4321,,,αααα321,,)I (ααα421,,)II (ααα3)II (,2)I (==r r 4321,,αααα+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3000201a b A .0,3321===λλλb a ,A P D D AP P =-1323121232221321828878),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=f V 321,,)I (ααα321,,)II (βββ)II ()I (⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=333223113333222211223312211111αααβαααβαααβa a a a a a a a a 33)(⨯=ij a A A n )(A R A ).()(1+=n n A R A R20XX 年线性代数与空间解析几何试题（C ）一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 已知3阶方阵的行列式，则行列式.2. 已知3阶方阵，其中为的列向量组，若行 列式，则行列式.3. 已知阶方阵，满足，为单位阵，则.4．设矩阵，为的伴随阵，则_____.5．设，若3阶非零方阵满足，则____.6. 设向量组：，，线性相关，则___.7.设是维向量，令，，，则 向量组的线性相关性是.8. 设为的矩阵且秩为2，又3维向量是方程组的两个 不等的解，则对应的齐次方程组的通解为.9. 设3阶可逆方阵有特征值2，则方阵必有一个特征值为.10. 若二次型为正定二次型，则的取值范围是______________.二. (8分)已知方阵，试求行列式. 三.(12分)设方阵，又已知，求以及.四. (12分)讨论为何值时，方程组(1) 有唯一解？(2) 无解？(3) 有无穷多解？并在此时求出其通解. 五.(10分)设向量组：，，，，试求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.六. (12分)用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型.A 0||≠=a A =-|2|A ),,(321βββ=B 321,,βββB 2||-=B =-|,3,2|1213ββββn A 02=--E A A E =-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010321A *A A =-*1)(A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12032211t A B 0=AB =t T 1)0,0,1(=αT 2)4,2,0(=αT 3),3,1(t -=α=t 21,ααn 1212ααβ-=211ααβ+=211ααβ-=321,,βββA 34⨯21,ηηb Ax =0=Ax A 12)(-A 212322213212)1(2),,(x x x x x x x x f --++=λλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=y x x x x x y x x x x x y x x x x x y x A 322||A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200010002,100011021B A BA AX =X A ,1-5X λ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x T 1)1,1,1(-=αT 2)2,4,3(-=αT 3)0,4,2(=αT 4)1,1,0(=α32232221321222),,(x x x x x x x x f +++=f七. (8分)设方阵为阶正交阵且，为阶单位阵，试求行列式八.(8分)设两向量组：，的秩为，证明：可由向量组线性表出.A n 0||<A E n .||E A +321,,)I (ααα4321,,,)II (αααα3)II ()I (==r r 4α321,,ααα20XX 年线性代数与空间解析几何试题（A ）符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；TA 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵A 、B 的行列式分别为3)det(,2)det(==B A ，则=--)2det(*1B A __________.(2) 设4阶可逆方阵A 按列分块为][4321αααα =A ，方阵][2314αααα =B ，已知线性方程组b Bx =有唯一解为T ) , , 753,1(=x ，则方程组b Ax =的解为x =__________ .(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,221-===3 λλλ，T )3,2,1(1=α及T )4,3,2(2=α均为A 的对应于特征值2的特征向量，则A 的对应于特征值1-的特征值向量为_________________.(4) 设矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301,22310321b t p ，已知线性方程组b Ax =无解，则常数p 与t 满足的关系式是____________.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1) 设m 阶方阵A 的秩为m ，n m ⨯矩阵B 的秩为s ，则(A) (r AB s <). (B) (r AB s >).(C) (r AB s =). (D) (r AB n >). 【 】(2) 设方阵A 与B 相似，即存在可逆方阵P ，使B AP P =-1，已知ξ为A 的对应于特征值λ的特征向量，则B 的对应于特征值λ的特征向量为(A) ξP . (B) ξT P . (C) ξ. (D)ξ1-P . 【 】 (3) 设A 为实对称矩阵，则0)det(>A 是A 为正定矩阵的(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则向量组(A) 133221 , , αααααα+++不能作为0=Ax 的基础解系.(B) 133221 , ,αααααα++-可作为0=Ax 的基础解系.(C) 133221 , , αααααα--+可作为0=Ax 的基础解系.(D) 132121 , , αααααα++-不能作为0=Ax 的基础解系. 【 】三、(12分) 已知方阵=A 33)(⨯ij a 的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=524735947*A ，求)det(A 及A . 四、（12分）设有向量组(I)：T 1)5 ,3 ,1 ,2(-=α，T 2)4,3 ,2 ,3(-=α，T 3)3,1,3 ,4(-=α，T 4)17 ,15 ,1 ,4(-=α.问向量T )0 ,7 ,6 ,7(-=β能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.五、（12分）求直线L ：z y x -==-11在平面π：12=+-z y x 上的投影直线0l （即L 上各点在π上的垂足点全体所形成的直线）的方程.六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a b 32132143214321相似于对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010D . (1) 求常数a 、b 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使D AP P =-1.七、（13分）求一个正交变换，将二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=化成标准形，并指出二次曲面0),,(321=x x x f 的名称.八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=101013A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=62734A . 证明：元素组321,,A A A 线性无关，而4321,,,A A A A 线性相关，并指出数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为() )()1()(x f x f x f T -+=,3]F[)( x x f ∈∀ 求T 在3]F[x 的基：32 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度.九、（6分）设n 阶方阵A 的秩为1-n . 证明：A 的伴随矩阵*A 相似于对角矩阵的充要条件是02211≠+++nn A A A ，其中ii A 为)det(A 的),(i i 元素的代数余子式.20XX 年线性代数与空间解析几何试题（B ）符号说明：)det(A 指方阵A 的行列式；*A 指方阵A 的伴随矩阵；TA 指矩阵A 的转置矩阵；r )(A 指矩阵A 的秩；I 为单位矩阵；n x ]F[指次数不超过n 的一元多项式全体构成的线性空间. 一、填空题 (每小题3分，共12分)(1) 若3阶方阵A 的行列式为2)det(=A ，则1*det(2)A A --=________.(2) 设A 为43⨯的矩阵，秩3)(=A r ，已知方程组b Ax =有两个不等的特解21,ηη，则方程组0=Ax 的通解为x =__________ .(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ，又T )0,0,2(1=α为A 的对应于特征值1的特征向量，则A 为_________________.(4) 设A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t 22310321，已知非零矩阵B 满足0=AB ，则t =_________.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1) 设m 阶方阵A 的秩为2-m ，则矩阵*A 的秩为(A) 2-m . (B)2. (C) 1. (D) 0. 【 】(2) 设三阶方阵A 可逆，且各行元素之和均为2，则A 必有特征值(A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】(3) 2=a 是T 3T 2T 1),2,2,1( ,,0)(1,0, ,(1,1,-1,1)a a ===ααα线性无关的(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】(4) 设A 为n m ⨯矩阵且n m <，则下述结论正确的是(A) )0(≠=b b Ax 必有解. (B) 0=Ax 必有无穷多组解.(C) 0=Ax 只有零解. (D) )0(≠=b b Ax 必无解. 【 】三、(12分) 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000001,410530602B A ，又三阶方阵X 满足X AB B XA +=+，求101X .四、（12分）已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+++=+++122242432143214321x x x x ax x x x b x x x x ，讨论b a ,为何值时方程组（1） 有解？（2）无解？并在有解时求出其通解.五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程.六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡210012003204321t 可以相似于对角矩阵， (1) 求常数t 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.七、（13分）求一个正交变换，将二次型31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=化成标准形，并指出二次曲面1),,(321=x x x f 的名称.八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=70113A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=12314A . 试求数域F 上线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.。

考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）适用专业：全院理、工科各专业本试卷共九大题，100分一、单项选择题 (每小题3分, 共18分)1.设A ，B均是n 阶可逆矩阵，且1=A ，2=B ，则1-AB 等于（ ）．)(A21)(B 2 )(C 1 )(D 42.设A 、B 是n 阶方阵，下列式子中正确的是( ) ．)(A T A A = )(B A k kA = )(C TT T B A AB =)( )(D kk k B A AB =)(3.设非齐次线性方程组b x A n m =⨯的系数矩阵的秩m A R =)(，则（ ）．)(A b x A n m =⨯一定有解 )(B b x A n m =⨯可能无解)(C 0=⨯x A n m 只有零解 )(D 0=⨯x A n m 有非零解4.已知11Tk α=（，，）是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量，则 k = ( )．)(A 1或2 )(B -1或-2 )(C 1或-2 )(D -1或25.设A 是n 阶实对称矩阵，则下列哪个选项不是A 为正定矩阵的充要条件（ ）.)(A A 的特征值全大于0 )(B A 的二次型是正定二次型)(C ()n A r = )(D A 的顺序主子式全大于06.对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）.)(A 方程2232y x z +=表示椭圆抛物面 )(B 方程132222=++z y x 表示椭球面 )(C 方程x y =2表示抛物柱面)(D 方程19141222=-+z y x 表示双叶双曲面二 、填空题(每小题3分, 共18分)1.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=+B A 2 ．3.设向量组321,,ααα线性相关，而向量组432,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的 一个极大线性无关组是_____．4.设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b Ax =的解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是b Ax = 的解，则=+++s k k k 21_____．5.设二次型322123222144465x x x x x x x f --++=，则其矩阵A 为 ． 6.直线⎩⎨⎧=---=+++08330432z y x z y x 在xoy 面上的投影直线的方程为： ．线订装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷A 卷专业年级及班级 姓名 学号三、（10分）计算行列式2111121*********=D ．四、(10分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120021111A 的逆矩阵．五、(10分)问四个点)10,8,0(),7,5,1(),8,0,4(),6,1,3(D C B A 是否共面？ 若共面，求出该平面方程．六、(10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34123α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20114α的秩及其一个极大线性无关组．七、(10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300021012A ，求正交矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角矩阵．八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+.32235,122,54321432121x x x x x x x x x x九、（4分）若1ξ,2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，211ξξη+=,212ξξη-=，试证明1η,2η也是0=Ax 的基础解系．线订 装郑州轻工业学院2014—2015 学年 第 1学期 线性代数与空间解析几何 试卷专业年级及班级 姓名 学号。

03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换 初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分)1、设),,(),,,(321321b b b B a a a A ==是两个三维向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=609406203B A T,则=T AB （B ）().6A ().9B ().15C ().12D 2、下列矩阵中，（ D ）不是正交矩阵。

）（A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001）（B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ）（C ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21232321）（D ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22222222 3、二次型32232221321232),,(x tx x x x x x x f +++=是正定的，则t 的取值范围是（ C ）（A ）55<<-t (B )55>-<t t 或(C) 66<<-t (D ) 66>-<t t 或4、已知3阶方阵A 的3个特征值分别为10±，，则下列命题不正确的是（C ） ）（A 矩阵A 为不可逆矩阵； ）（B矩阵A 与对角阵相似；）（C 1和1- 所对应的特征向量是正交的；）（D 方程组0=Ax 的基础解系由一个向量组成。

5、直线:l 182511+=--=-z y x 与平面:π032=+-+z y x 的夹角为( A )）（A6π ）（B4π）（C 3π）（D2π二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列的2-倍加到第1列上得到矩阵B ,若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321B ,则矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛98236514325 2、设4阶矩阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩=*)(A R 0 .3、设矩阵A 满足042=-+E A A ,其中E 为A 同阶的单位矩阵，则=--1）（E A E A+24、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则=a 2 。

一、单选题1.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A、k≤3B、k<3C、k=3D、k>3答案： A2.n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）。

A、充分必要条件B、充分而非必要条件C、必要而非充分条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B3.A、-6B、6C、2D、-2答案： B4.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A、1B、2C、3D、4答案： C5.下列排列中是奇排列的是( )。

A、4321B、1234C、2314D、4123答案： D6.A、m+nB、-(m+n)C、n-mD、m-n答案： D7.关于最大无关组，下列说法正确的是（ ）。

A、秩相同的向量组一定是等价向量组B、一个向量组的最大无关组是唯一的C、向量组与其最大无关组是等价的D、如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关答案： C8.设A,B是n阶方阵，A非零，且AB=0 ，则必有（）。

A、B=0B、BA=0C、(A+B)2=A2+B2D、|B|=0答案： D9.设A是m*n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）A、A的列向量线性无关B、A的列向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的行向量线性相关答案： A10.设非齐次线性方程组AX=β的系数行列式为零，则（）。

A、方程组有无穷多解；B、方程组无解；C、若方程组有解，则有无穷多解；D、方程组有唯一解 .答案： C11.设A,B是n阶方阵，则必有（）A、|A+B-1|=|A|+|B|-1B、|A+B|-1=B-1+A-1C、(AB)2=A2B2D、|A'B|=|BA|答案： D12.实二次型f=X'AX为正定二次型的充要条件是（）A、f的负惯性指数是0B、存在正交阵P使A=P'PC、存在可逆阵T使A=T'TD、存在矩阵B使A=B'B答案： C13.A、B、C、D、答案： D14.设 A 为 4 阶矩阵，且 | A |=2 ，则 | 2 A -1 |=（）A、4B、16C、1D、8答案： D15.设A是m*n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案： D16.若排列6 i 4 3 j 1为奇排列，则（）。

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷编号：A20130116一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分) 1、设*A 是n 阶可逆方阵A 的伴随矩阵，下列结论中不正确的是( C ))(A 1-*=n AA )(B A AA 1)(1=-* )(C **=kA kA )( )(D T T A A )()(**= 2、设A 为m 阶可逆方阵，B 为n 阶可逆方阵，下列结论中不正确的是( D ))(A B A BA =00 )(B B A BA mn )1(00-=)(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1110000B A B A )(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000111B A B A 3、方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ( B )()A A 的行向量组线性无关 ， ()B A 的列向量组线性无关 ， ()C A 的行向量组线性相关 ， ()D A 的列向量组线性相关 .4、直线182511:1+=--=-z y x l 与直线⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l 的夹角为（ C ） )(A 6π )(B 4π )(C 3π )(D 2π 5、对二次曲面，下列说法不正确的是（ D ）)(A 方程2222y x z +=表示旋转抛物面； )(B 方程22222y x z +=表示圆锥面； )(C 方程x y =2表示抛物柱面；)(D 方程19141222=--z y x 表示单叶双曲面。

二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、交换矩阵A 1、2两行得到矩阵B ,若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0638527411B,则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0368257142、向量)4,3,4(-=α在向量)1,2,2(=β上的投影=αβj Pr 23、设4元线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3)(=A R ,321,,ηηη均为此方程组的解，且,)6,4,0,2(21T=+ηη,)2,1,2,1(31T -=+ηη则方程组b Ax =的通解为T T k x )4,3,2,1()3,2,0,1(+=4、已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为35<<-λ5、二次曲面4222222=++++++yz xz bxy z ay x 经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面：4422=+ζη，则=a 3，=b 1.三、（10分）计算行列式：1023*********102=D解、1021023123113101610260236231631064321=+++c c c c D 5分212313121621203130121031016141312----=-------r r r r r r 8分00500501216231312=-----r r r r 10分 四、(10分) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=654321,1121B A ，又B XA =，求矩阵X解： 1=A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211A 5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-16111074311216543211BA X 10分五、(10分)设m ααα,,,21K 是两两正交的非零向量组，证明m ααα,,,21K 线性无关。

02-03学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 填空题(每小题3分, 共36分):1. 2002]315[ 201⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----6210000315; 2. 1200011032-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2/100021031; 3. 若A 是正交矩阵, 则行列式 |A 3A T | = 1;4. 空间四点A (1, 1, 1), B (2, 3, 4), C (1, 2, k ), D (-1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3;5. 点P (2, 1, 1)到直线l : 12121zy x =-+=-的距离为 1 ;6. 若4阶方阵A 的秩为2, 则伴随矩阵A *的秩为 0 ;7. 若可逆矩阵P 使AP = PB , B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3021, 则方阵A 的特征多项式为(1)(3);8. 若3阶方阵A 使I A , 2I A , A +3I 都不可逆, 则A 与对角阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-300020001相似(其中I 是3阶单位矩阵);9. 若A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0211110y x 与对角阵相合, 则(x , y ) = (1, 2).10. 设A = [A 1, A 2, A 3, A 4], 其中列向量A 1, A 2, A 4线性无关, A 3 = 2A 1 A 2 + A 4, 则齐次线性方程组Ax = 的一个基础解系是 = [2, 1, 1, 1]T ;11. 设A , B 都是3阶方阵, AB = O , r(A ) r(B ) = 2, 则r(A ) + r(B ) = D ;(A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2; 12. 设n 阶矩阵A 满足A 2 = 2A , 则以下结论中未必成立的是 B .(A) A I 可逆, 且(A I )1 = A I ; (B) A = O 或A = 2I ; (C) 若2不是A 的特征值, 则A = O ; (D) |A | = 0或A = 2I .二 计算题(每小题8分, 共24分)13. 2103132110115102- = 3001132110115102-- =300131010115102-- = = 30010310401011100-- = 0314011110)1(14--+ = 4304011110--- = 43111-- = 29. ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-1) ⨯(-2)⨯(-1)14. 求直线l :211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程. 解: 过直线l 且垂直于平面π的平面π1的法向量必垂直于向量{2, 1, 2}和{1, 1, - 2}, 因而可取为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1112 ,1222 ,2121 = {-4, 6, 1}.又因为π1过直线l 上的点(2, 1, -1), 由此可得平面π1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y - 1) + (z + 1) = 0整理得4x -6 y - z - 3 = 0于是可得直线l : 211122+=-=-z y x 在平面π : x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线的一般方程: ⎩⎨⎧=---=+-+0364012z y x z y x . 15. 设XA = AB + X , 其中A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101020201, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100000001求X 99.解: 原方程可化为X (A I ) = AB , 其中I 表示单位矩阵.A I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-001010200, AB = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101000201.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-AB I A = ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--101000201001010200 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-102/1000101100010001 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)(I A AB I . 于是可得X = AB (A I ) 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101, X 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡2/300000002/3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10000000123,X 99 = (X 2)49X = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡100000001234949⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-102/1000101234949. (注意X 未必等于(A I ) 1AB !)三 计算题, 解答题(3小题共32分).16. 设向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=01211α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20112α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a 1123α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b 352β. V = L (1,2,3)是由1,2,3生成的空间.已知维(V ) = 2,V .(1) 求a , b ; (2) 求V 的一个基, 并求在此基下的坐标; (3) 求V 的一个标准正交基. 解: (1) A = [1, 2, 3, ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--b a 20310151122211 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---0000260013103101b a . 因为维(V ) = 2, V . 所以a6 = b + 2 = 0, 即a = 6, b = 2.(2) 由上述初等行变换的结果可知1, 2构成V 的一个基, 且 =312.初等列变换 初等行变换(3) 令1 = 1, 2 = 2 11112,,ββββα〉〈〉〈 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--012163 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡22/102/1, 再单位化得V 的一个标准正交基⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121661ε, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4101622ε. 17. 用正交变换化简二次曲面方程:x 12 + x 22 4x 1x 2 2x 1x 32x 2x 3 = 1求出正交变换和标准形, 并指出曲面类型. 解:二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 224x 1x 22x 1x 32x 2x 3的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------011112121.A 的特征多项式|λI A | = λλλ11112121-- = (λ 3)( λ 1)( λ + 2).A 的特征值λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2. 由(λi I A )x = 求得A 的对应于λ1 = 3, λ2 = 1, λ = 2的特征值向量:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0111ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112ξ, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1113ξ.它们已经两两正交, 单位化得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=011221p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=211662p , ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=111333p .令P = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--33360336622336622, 则P T P = I , 且P 1AP = P T AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-200010003. 令x = Py , 则原二次曲面的方程化为3y 12 + y 22 2y 32 = 1.可见该二次曲面为二次锥面.18. 设D 为由yOz 平面中的直线z = 0, 直线z = y ( y 0)及抛物线y + z 2 = 2, 围成的平面区域. 将D 绕y 轴旋转一周得旋转体. (1) 画出平面区域D 的图形;(2) 分别写出围成的两块曲面S 1, S 2的方程;(3) 求S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程; (4) 画出S 1, S 2和l , C 的图形.解: (1) 平面区域D 的图形如右图所示:(2)由锥面S 1: 22z x y +=和旋转抛物面S 2: y = 2x 2z 2围成. (3) 由22z x y +=和y = 2 x 2 z 2消去y 得x 2 + z 2 = 1. 由此可得S 1, S 2的交线l 在zOx 平面上的投影曲线C 的方程: ⎩⎨⎧==+0122y z x (4) S 1, S 2和l , C 的图形如右图所示:O y z 22 O yz22 l S 1 C S 2 x四 证明题, 解答题(每小题4分, 共8分).19. 设是线性方程组Ax = b 的一个解, b , 1, 2是导出组Ax = 的基础解系.证明: , 1+, 2+线性无关. 证明: 因为A = b , 所以不是线性方程组Ax = 的解.而1, 2是Ax = 的基础解系, 故, 1, 2线性无关, 否则能由1, 2线性表示, 从而是线性方程组Ax =的解, 矛盾! 假若k 1 + k 2(1+) + k 3(2+) = , 则(k 1 + k 2 + k 3) + k 21 + k 32 = . 于是(k 1 + k 2 + k 3) = k 2 = k 3 = 0, 即k 1 = k 2 = k 3 = 0. 所以, 1+, 2+线性无关. 20. 设是3维非零实列向量, |||| =2. 又A =T .(1) 求A 的秩; (2) 求A 的全部特征值;(3) 问A 是否与对角阵相似? (4) 求|I A 3|.解: (1) 设 = [a , b , c ]T , 则A = T = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡cc cb ca bc bb ba ac ab aa O , 且秩(A ) = 1.(2) 设 是A 的对应于特征值的特征向量. 即T = .若T = 0, 则 = T = , 而 , 故 = 0.此时, 是T x = 0的解向量. 而秩(T ) = 1,故T x = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构成. 即对应于 = 0, A 有两个线性无关的特征向量,若T 0, 则由T = 可得T T = T . 从而 =T .此时, 由于T = . 故可取 = 作为对应于 = T的特征向量.综上所述, A 的全部特征值有: = 0和 = T .(3) 由(2)可见A 有3个线性无关的特征向量, 所以A 与对角阵相似.(4) 由(2)可见存在3阶可逆矩阵P , 使P 1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ααT00000000.因此|I A 3| = |P 1||I A 3||P | = |(P 1IP P 1A 3P )| = |I (P 1AP )3|= 3T )(100010001αα- = 1 (T )3.If you want something badly enoughYou must let it go free If it comes back to you It’s yours If it doesn’tYou really never had it, anyway。

线性代数与空间解析几何(144206)一、单选题1、A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似参考答案:A答案解析:略2、设A为3阶矩阵,且|A|=2,|kA|=16，则k =( )。

A.2B.4C.8D.16参考答案:A答案解析:无3、设 A 为 4 阶矩阵，且 | A |=2 ，则 | 2 A -1 |=（）A.4B.16C.1D.8参考答案:D答案解析:无4、下面论断错误的是( )。

A.若干个初等阵的乘积必是可逆阵B.可逆阵之和未必是可逆阵C.两个初等阵的乘积仍是初等阵D.可逆阵必是有限个初等阵的乘积参考答案:C答案解析:无5、设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征根，则A的伴随阵A*的特征根之一是（） .A.λn-1B.λ|A|C.λD.λ1|A|参考答案:D答案解析:无6、设A是m×n矩阵，对于线性方程组AX=β，下列结论正确的是（） .A.若A的秩等于m，则方程组有解；B.若A的秩小于n，则方程组有无穷多解；C.若A的秩等于n，则方程组有唯一解；D.若m>n，则方程组无解；参考答案:A答案解析:无7、A.B.C.D.参考答案:C答案解析:略8、设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>3答案解析:无9、A.B.C.D.参考答案:D答案解析:略10、设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解参考答案:A11、设A是m*n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）A.A的列向量线性无关B.A的列向量线性相关C.A的行向量线性无关D.A的行向量线性相关参考答案:A答案解析:无12、下列说法正确的是( )。

A.若有全不为0的数k1，k2，...km 使k1a1+...+kmam=0，则向量组a1，a2，...，am 线性无关；B.若有一组不全为0的数k1，k2，...km 使k1a1+...+kmam≠0，则向量组a1，a2，...，am 线性无关；C.若有一组数k1，k2，...km 使k1a1+...+kmam=0，则向量组a1，a2，...，am 线性相关；D.任意4个3维几何向量一定线性相关参考答案:D答案解析:无13、n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）。

01-02学年第二学期一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ；100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110111001101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。

二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。

试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。

三（8%）求经过直线2221x y z x y z+-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。