1、3相似三角形的性质

相似三角形和全等三角形相似三角形和全等三角形是初中数学中的重要知识点，本文将分别介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及应用。

一、相似三角形1. 定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

即两个三角形的对应角度相等，但对应边长不相等。

2. 性质相似三角形有一些重要的性质：(1) 相似三角形的对应边成比例。

(2) 相似三角形的对应高线、中线、角平分线也成比例。

(3) 相似三角形的面积成比例的平方。

(4) 相似三角形的周长成比例。

(5) 相似三角形的内角和相等。

3. 应用相似三角形在实际应用中有着广泛的用途。

比如：(1) 制图时，可以利用相似三角形的性质，根据已知图形的大小比例绘制出所需图形。

(2) 在建筑工程中，可以通过相似三角形的性质，测量出高度、距离等。

(3) 在计算机图形学中，利用相似三角形的性质，可以将一个图形放大或缩小。

二、全等三角形1. 定义全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。

即两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等。

2. 性质全等三角形有一些重要的性质：(1) 全等三角形的对应角度相等。

(2) 全等三角形的对应边相等。

(3) 全等三角形的对应高线、中线、角平分线也相等。

(4) 全等三角形的面积相等。

(5) 全等三角形的周长相等。

3. 应用全等三角形在实际应用中也有着广泛的用途。

比如：(1) 在建筑工程中，可以利用全等三角形的性质，确定角度、距离等。

(2) 在制图时，可以利用全等三角形的性质，绘制出所需图形。

(3) 在计算机图形学中，利用全等三角形的性质，可以进行图形变换，如旋转、平移等。

相似三角形和全等三角形在数学和实际应用中有着广泛的用途。

掌握它们的定义、性质和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。

《1.3相似三角形的性质》教案郑公实验学校 张龙★新课标要求 一、知识与技能1．了解常见的三角形相似模型．2．会根据具体情景构建恰当的相似模型，解决不能直接测量的物体的测高、河的测宽等问题，培养学生建模能力．3．会用数型结合的方法分析问题，多角度地思考问题，能有条理的表述解题过程． 二、过程与方法1．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．2．让学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，培养学生的数学学习兴趣．三、情感、态度与价值观 ★教学重点将实际问题转化为数学问题，有条理的表述解题过程． ★教学难点根据实际情境建立三角形相似模型． ★教学方法通过具体实例培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力，提高分析问题和解决问题的能力． ★教学过程 一、引入新课一天中午小明和他爸爸在公园里散步，在阳光的照射下地面上留下了两人的影子，小明的身高150cm ，影子长120cm ，他爸爸的影子长144cm ，你能求出他爸爸的身高吗？ 二、进行新课（一）测高1．利用“同一时刻的两个物体的高与影长”构成相似三角形（甲物高乙物高甲物影长乙物影长）．例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．问：怎样测量OA 的长？生2：由平行四边形性质得OH =GK /2，量得GK 和HA 的长就可得OA 的长． 学法：师生共同分析，把数字标在图上，应用数形结合的方法分析题意．设计意图：巩固模型1的应用，同时解决了测量OA 的长的方法．在分析中采取了数形结合学习方法．2．利用“标杆在测量中的作用”构成相似三角形．例2：一位同学想利用电线杆影子测电线杆高，他在BE 上取一点C ，立2m 长的标杆DC 垂直BE ，这时电线杆影子的顶端正好与标杆DC 的影子的顶端重合于点E ．他量得DC 的影长CE 为1.8m ，BC 长为7.2m ，他求得电线杆高是多少米?学法：教师问你还有测量旗杆高度的方法吗？先由学生设计测量方案，共同归纳相似模型2，然后出示例2，应用相似模型2解题．设计意图：应用模型2解决问题，在学生设计测量方案的过程中，提炼相似模型2，培养解决实际问题的能力和建模能力．3．利用平面镜构造相似三角形例3：小强用以下方法来测量教学楼AB 的高度．如图所示，在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA =20m ，当他与镜子的距离CE =2.5m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知她眼睛距地面的高度DC=1.6m ．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB 为多少米?学法：先设置问题，你还有什么方法测量旗杆的高度？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型3，然后出示例3，应用相似模型3解题．设计意图：在学生设计测量方案的过程中提炼相似模型3，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力．（二）测宽4．利用对顶角构造相似三角形例4：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q、R、C，使点Q、R、C在一直线上，且直线QC⊥PQ，直线DC⊥QC，在直线CD上取一点D，使D、R、P在一直线上．如果测得QR＝60m，RC=30m，DC=45m，求河的宽度PQ．学法：先设置问题，你能测量河的宽度吗？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型4，然后出示例4，应用相似模型4解题．设计意图：培养学生在不同的情境中灵活应用相似知识巧妙设计测量方案提炼相似模型4，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力．5．利用公共角构造相似三角形例5：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．学法：先设置问题，你还有其他测量的方法吗？由学生设计测量方案，共同归纳相似模型5，然后出示例5，应用相似模型5解题．设计意图：培养学生用不同的方法解决相同的问题，用不同的数学模型解决同一个问题，培养学生多角度思考问题的品质．在测量方案设计中提炼相似模型5，进一步培养解决实际问题的能力和建模能力以及表达能力．三、课堂总结、点评1．本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从分析实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力．2．数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解决问题的思路．因此在教学过程中要突出“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”的数学建模过程，重点培养把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例1：如图，已知直线AB：y=4/3 x+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）试证明：△ABC∽△AOB；（2）求△ABC的周长．例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-1，0）和点（1，4）交y轴于点B．（1）求一次函数解析式和B点坐标．（2）过B点的另一直线1与直线AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点P的坐标．（3）点M（0，a）为y轴正半轴上的动点，点N（b，O）为X轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线AB时，求a：b的值．例3：（2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长．例4：（2010·攀枝花）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连接EF ．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积． 例题(1)两个相似三角形的面积比为21:s s ，与它们对应高之比21:h h 之间的关系为_______ (2)如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若16:9:=∆∆COB ABC S S ，则AD:DB=_________BCDE AO(2)题图(4)题图BGFE DAC(5)题图CA ’D D ’ C ’B ’ BA(3)如图，已知AB ∥CD,BO:OC=1:4,点E 、F 分别是OC ，OD 的中点，则EF:AB 的值为 (4)如图，已知DE ∥FG ∥BC,且AD:FD:FB=1:2:3,则) (S ::FBCG DFGE =∆四边形四边形S S ABCA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A ’B ’C ’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC=2,则正方形移动的距离AA ’是 (6)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（AD<BC ），AC 、BD 交于点O,若ABCD OAB S S ∆∆=256,则△AOD 与△BOC 的周长之比为__________。

小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质三角形是初中数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质与判定方法。

相似性是三角形研究中一项重要的内容，通过相似判定及相似性质可以帮助我们更深入地理解三角形的特性。

本文将归纳总结小学阶段数学中关于三角形相似判定及性质的知识，帮助小学生更好地掌握和运用。

一、相似判定方法1. AAA相似判定法当两个三角形对应的三个角分别相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

2. AA相似判定法当两个三角形中一对对应角相等，并且另一对对应角相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E或∠A = ∠E，∠B = ∠D时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

3. SAS相似判定法当两个三角形中一对对应边成比例，并且夹角也相等时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF，并且∠B = ∠E时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

4. SSS相似判定法当两个三角形对应的三条边成比例时，可以判定它们相似。

例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF = BC/EF时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。

二、相似性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，它们对应的角相等。

例如，在∆ABC ∽∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，它们对应的边成比例。

例如，在∆ABC ∽∆DEF中，AB/DE = AC/DF = BC/EF。

3. 相似三角形的周长比性质如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的周长之比。

例如，在∆ABC ∽ ∆DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF = 周长(∆ABC)/周长(∆DEF)。

：如图，已知：∽，相似比为分别作出与的高和和中，，，，
相似三角形的应用十分广泛，它与函数联系起来，会出现各种各样的变化。

掌握利用相
中，，，，，点在上，与点上
当的面积与四边形的面积相等时，求
当的周长与四边形的周长相等时，求
在，使得
的长
(1) (2) (3) 已知A （3，0），B （ACO=•∠BAO ，•则点________，•AC=_______．已知，如图4，△ABC 中，，DF ∥AC ，则图中共有________对相似三角形．．下列各组图形一定相似的是（．
．有一个角相等的等腰三角形 B ．有一个角相等的直角三角形
．有一个角是100°的等腰三角形 D ．有一个角是对顶角的两个三角形 ，AB=BC=CD=DE ，∠
(4) (5) (6)
．如图6，若∠则△____∽△_____，对应边的比例式为_______， ．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，，在坐标轴上找到点点D ，使△AOB 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． BD 于点F ，BE:EC=3:1，18FBE S
E，连接EN并延长交
．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子
，已知他的眼睛到地面的高度CD为
，你知道是什么吗？试加以说明．
上，请找出一个与△CF交AD•于点E．。