江苏省苏锡常镇四市2020届高三年级教学情况调研(二)数学试题含附加题+答案

江苏省苏锡常镇2020届高三数学二模试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{}1x x <，B ＝{}03x x <<，则A B ＝ ．2．已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 3．已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．6．口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为 ． 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 8．函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．9．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b++-的最小值为 ． 10．已知偶函数()f x 的定义域为R ，且在[0，+∞)上为增函数，则不等式2(3)(2)f x f x >+的解集为 ．11．过直线l ：2y x =-上任意点P 作圆C ：221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线最小时，△PAB 的面积为 ． 12．已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为 ． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB AQ ⋅＝83，则AQ CP ⋅的最小值为 ．14．已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求证：CE ⊥AB ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值．17．（本小题满分14分）某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =+--，其中a ∈R ．（1）如果曲线()y f x =在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的极小值不超过2a，求实数a 的最小值； （3）对任意1x ∈[1，2]，总存在2x ∈[4，8]，使得1()f x ＝2()f x 成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项都不为0的无穷数列，对任意的n ≥3，n N *∈，1223a a a a ++11(1)n n n a a n a a λ-+=-恒成立．（1）如果11a ，21a ，31a 成等差数列，求实数λ的值； （2）已知λ＝1．①求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②已知数列{}n a 中，12a a ≠．数列{}n b 是公比为q 的等比数列，满足111b a =，221b a =，31ib a =(i N *∈)．求证：q 是整数，且数列{}n b 中的任意一项都是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝ 2 10 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1A -＝ 0 1b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(6π)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）求线段AF 的中点M 的轨迹方程；（2）已知△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，求直线l 的方程．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)．。

2020届江苏省苏锡常镇四市高三第二次教学情况调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A U B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝_______. 2．若复数z 满足(1﹣i )z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______. 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是_______.4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为_______.5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_______.6．函数ln y x =的定义域为_______.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝______.8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝_______. 9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为_______.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12,?02()11,?112x a x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝_______.11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______. 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅u u u r u u u r＝_______.13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且10OM O N +=u u u u r u u u u r r ，则a 的取值范围为_______.14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e x y x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切.若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为_______.15．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bsin 2A ＝asinB .（1）求A ；（2）求cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值. 16．已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点.（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ；（2）求证：AC ⊥平面EBD .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.18．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B .现规划修建一条新路（由线段MP ，»PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，»PQ所对的圆心角为6π.记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）.（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值.19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立.（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j . 20．已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R . （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由.21．已知点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)，求矩阵A 的特征值.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值.23．已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c a x x a b c--+≤++恒成立. 24．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点.（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PN PC 的值.25．已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+(n N *∈). （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362ni n i i a =>-∑.参考答案1．1【解析】【分析】根据集合A B U 中的元素，判断出a 的值.【详解】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A U B ＝{﹣1，a ，2}，∴a ＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2．0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z ，由此求得z 的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3．30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率，将所得结果乘以100，求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4．﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的y的值.【详解】运行程序，第一步：y＝2，x＝2；第二步：y＝﹣1，x＝﹣1；退出循环，输出的y的值为﹣1.故答案为：1-【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题. 5．2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，求得男生和女生人数的比值.【详解】∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，∴男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题. 6．(]0,2【解析】【分析】由函数ln y x =+有意义，得到200x x -≥⎧⎨>⎩，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数ln y x =有意义，则满足200x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数ln y x =的定义域为(]0,2.故答案为：(]0,2.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．1【解析】【分析】先求得抛物线24y x =的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得a 的值. 【详解】∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)， ∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1. 故答案为：1【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8．2或8【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对12a a +是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得4a 的值.【详解】∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时2422a a q ==；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8.故答案为：2或8【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.9．24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由=C MBD M BCD V V -—计算出几何体的体积.【详解】2311121=6243239C MBD M BCD V V BC AA -=⨯⨯=⨯=—. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10．0【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性、周期性求得()()1,0f f 的值，由此列方程，解方程求得,a b 的值，进而求得+a b 的值.【详解】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =，∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -== ∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩. 故答案为：0【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含tan α的表达式，由此求得tan α的值，进而求得tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0 解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题. 12．4【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将BD AC ⋅u u u r u u u r 转化为221()2BC BA -u u u r u u u r ，由此求得BD AC ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】取AC 中点E ，连接,ED BE ，则ED AC ⊥，则1()()()2BD AC BE ED AC BE AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222211()(31)422BC BA =-=⨯-=u u u r u u u r . 故答案为：4【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．()4【解析】【分析】 根据10OM O N +=u u u u r u u u u r r 判断出四边形1ONO M 为平行四边形，由此求得圆1O 的方程以及1AO 的长，进而判断出A 点在圆22()9x a y -+=上，根据圆22()9x a y -+=与圆221x y +=的位置关系，求得a 的取值范围.【详解】10OM O N +=⇒u u u u r u u u u r r 四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1，所以圆1O 的方程为()221x a y -+=，且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=，故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，由()222291x a y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2802A a x a a -=>⇒> 故a 的取值范围为(4).故答案为：()4【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】设出切点坐标()000,e x x x ，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得+a b 关于0x 的表达式，构造函数()f x ，利用()'fx 研究()f x 的单调性，由此求得t 的取值范围.【详解】设切点为(0x ，00x x e)(1)e x y x '=+，∴00020000(1)e e e x x x a x b x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 0200e (1)x a b x x t +=-++=有唯一解，构造函数()2()1x f x e x x =-++()e (2)(1)x f x x x '=-+-，注意到2x <-时()0f x <，故()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-)U {e }. 故答案为：{}25,e e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭ 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.15．（1）3π（2）1 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得cos A ，进而求得A 的大小. （2）用B 表示出C ，将所求表达式化为sin()3B π+，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）∵bsin 2A ＝asinB ，∴2bsinAcosA ＝asinB ， ∴由正弦定理sin sin a b A B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1， ∴cos (B ＋6π)＋sin (C ＋3π)的最大值为1. 【点睛】 本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接1CD ，通过证明四边形1ED CF 是平行四边形，证得1//EF CD ，由此证得//EF 平面11CC D D .（2）通过证明DE AD ⊥，结合面面垂直的性质定理证得DE ⊥平面ABCD ，由此证得DE AC ⊥，由菱形的性质得到BD AC ⊥，从而证得AC ⊥平面EBD .【详解】（1）连结CD 1，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形， ∴A 1D 1//B 1C 1，BC //B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，∴ED 1//FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ，∴EF //平面CC 1D 1D.（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD //A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点，∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD //A 1D 1，∴DE ⊥AD ，又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1I 平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1， ∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD I DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ，∴AC ⊥平面EBD .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.17．（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32) 【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及222b a c =-，求得22,,a b c ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）首先判断直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线l 的方程1y kx =+，联立直线l 的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得Q 点坐标并代入椭圆方程，由此求得k 的值，进而求得Q 点坐标.【详解】（1）设焦距为2c ，∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+，设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++， ∴Q (2834k k -+，2634k+)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q (1，32)或(﹣1，32). 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18．（1）QN 的长度为1千米（2）6π【解析】【分析】（1）连接,,CB CN CM ，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN 是正方形，由此求得QN 的长度. （2）用θ表示出线段MP ，»PQ，线段QN 的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，»PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-++，366ππ≥+=，当tan θ=答：新路总长度的最小值为6π.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）证明见解析；2n n a =（2）i ＝4，j ＝5 【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此得到22n n S a +=.利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n b 的表达式，由2,,i j b b b 成等差数列列方程，分成2j i ≥+和1j i =+两种情况进行分类讨论，由此求得整数,i j .【详解】（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-，∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =，∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243i i b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，∴2(243)9243i ji j +-=++-， 变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j---+->， 令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i i i i i i i i c c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为0112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20．（1）函数()f x 有极大值﹣1，无极小值;（2）m 的取值范围为{0};（3）存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当0m =时，利用()'f x 研究函数()f x 的单调性，由此求得函数()f x 的极值.（2）当0n =时，由()'0F x ≥或()'0Fx ≤恒成立，将m 分成02m <<，0m <，2m ≥和0m =四种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.（3）设0x 为相同的零点，由此得到00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩，进而得到000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数m . 【详解】（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+， ∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==， 要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)U (12m-，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12，12m -)时，()0>g x ，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)U (12，+∞)时，()0<g x ，x ∈(12m -，12)时，()0>g x ，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0<g x ，x ∈(12，+∞)时，()0>g x ，不符题意； ④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎨-++-=⎩， 得00ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 由（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 21．矩阵A 的特征值为4或﹣1 【解析】 【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得,a b 的值，也即求得矩阵A ，然后根据特征值的求法，求得矩阵A 的特征值. 【详解】∵点M (2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N (5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1. 【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22．（1）2214x y +=；0x y +-（2【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=求得曲线C 的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）设出P 点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得P 到直线l 的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最小值. 【详解】（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，由sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=化简得直线l 的普通方程为0x y +-=. （2）设P (2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题. 23．证明见解析； 【解析】 【分析】先由基本不等式求得b c aa b c++的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立. 【详解】对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”，任意x ∈R ，由绝对值不等式得2121(2)(1)3x x x x x x --+≤--+≤--+= 当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x ∈R ，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立. 【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.24．（1（2）14PN PC = 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据平面ACD 和平面MAC 的法向量，计算出二面角M AC D --的余弦值.（2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，由此求得MN u u u u r，根据直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值列方程，解方程求得λ的值，进而求得PNPC. 【详解】（1）以{AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则各点的坐标为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，P (0，0，3)，M (0，32，32)， AP u u u r ＝(0，0，3)，AC uuu r ＝(2，3，0)，AM u u u u r ＝(0，32，32)因为P A ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n r ＝(x ，y ，z )，所以00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ， 即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n r ＝(3，﹣2，2)，∴cos <AP u u u r ，n r >＝AP 17AP n n ⋅⋅u u u r r u u u r r ，∴二面角M —AC —D； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈u u u r u u u r ，其中(2,3,3)PC =-u u u r，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+u u u u r u u u r u u u r ，∵平面ABCD 的一个法向量为AP u u u r＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,AP MNAP MN AP MNλ-+⋅<>==⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+， 化简得41λ=，即14λ=，∴14PN PC =. 【点睛】本小题主要考查面面角的求法，考查根据线面角求线段长度的比值，考查空间想象能力，考查运算求解，属于中档题. 25．（1）①2a ＝362⨯；②3a ＞336()2⨯（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，比较出①②中两数的大小关系.（2）首先利用数学归纳法证明当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，然后利用放缩法，证得所要证明的不等式成立. 【详解】（1）①∵22166393a =⨯-+=，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵231993213a =⨯-+=，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯ 其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---++++⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑L L ，131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的项，考查数学归纳法证明不等式，考查放缩法证明不等式，考查等比数列前n 项和，属于难题.。

2020~2021注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的2.回答选择题时，选出每小题动，用橡皮擦干净后，再选涂在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题项是符合题目要求的。

1.若a ∈R,则“a=2”是“复数A.充分不必要条件 B.必要不2.若集合A.(- ∞,2] 3.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡到标号是4的条件下，第二次A.35 B.4.已知椭圆E: 2222x y a b+＝1(a sin ∠PA 1F 2=35,则E 的离心率A. 12 B. 5.已知a=sin1,b=cos1,则下列不A. log a b<a b <b a C. a b <b a <log a b 6.已知3sin(α-6π)=sin(α+A. 17 B.- 177.我国汉代数学家赵爽为了证个全等的直角三角形和一个正弦图”。

在直角三角形CGD 点P,线段BC 上任取一点A.25 8.已知函数f(x)=x 2-223x x +a 的取值范围是A.(- ∞,7) 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数 学自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写卡交回。

小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中数z=2-ai 的模为”（i 为虚数单位）的必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不x },则A ∩B=B.[2,+ ∞)C.(0,2]D.[0,2]张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张第二次抽到的标号是奇数”的概率为12 C. 110 D. 1121(a>b>0)的右焦点为F 2,左顶点为A 1,若E 上的点离心率为 25 C. 14 D. 15 下列不等式正确的是B. log a b<b a <a bD. b a <a b <log a b6π),则cos2α= C. 1113 D.- 1113为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，它由四一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽GD 中，已知GC=4,GD=3,在线段EF 上任取一Q,则AP AD ⋅u u u r u u u r 的最大值为B.27C.29D.3111+.若存在m ∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m 2+3m B.(-∞,7] C.(-∞,8) D.(-年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）2021.05答题卡上。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围； （3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)．（1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立， 令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min ＝2所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin ii a =>-∑．解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+ (1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯，∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）定义域为R ，则命题p ：“函数f （x ）为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f （x 0）=f （-x 0）”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16322+3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥C ．1//A O 平面11B CD D ．1A O ⊥平面11AB D4．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．156．已知实数x ，y 满足不等式组21035328x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，若(>0)z ax y a =-的最小值为9，则实数a 的值等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．97．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大时，m 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．18．定义在R 上的函数()f x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+，且(1,0)x ∈-时，1(x)25xf =+，则2(log 20)f =（ ）A ．1-B ．45- C ．1D ．459．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A ．1BC ．2D ．410．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．56B ．84C ．112D ．16811．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3 B ．23 C．2 D ．112． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ． 2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 6．函数()2ln f x x x =-+的定义域为 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0． 3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =+的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e -){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin cos sin()223B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan 3θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +，得11220n n n n S S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立， 函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l 的距离的最小值为2． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD所成角的正弦值为22，22，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。

2020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅰ试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用0． 5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用0． 5毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整字迹清楚．4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆锥的体积公式： V 圆锥 = 1Sh ，此中 S 是圆锥的底面积， h 是高．3圆锥的侧面积公式： S 圆锥 = prl ，此中 r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据 x 1 ， x 2 ， ， x n 的方差 s 21 n( x i x)2，此中 x = 1nx i ．n i 1 n i 1一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上 ．．．．．．．．． 1．已知全集 U 1，2，3，4，5 ，A 1，2 ， B 2，3，4 ，那么 A U e U B ▲．2．已知 (a i) 22i ，此中 i 是虚数单位，那么实数a ▲ ．3．从某班抽取 5 名学生丈量身高（单位：cm ），获得的数据为 160， 162， 开始2 ▲ ．n ← 1159， 160，159，则该组数据的方差 s4．同时投掷三枚质地平均、大小同样的硬币一次，则起码有两枚硬币正面x ← a向上的概率为▲ ．Nn ≤ 35．若双曲线 x2my21 过点2 ，2 ，则该双曲线的虚轴长为▲．Y输出 xln 2xx 2x ← 2x16．函数 f ( x)x 1的定义域为▲．结束n ← n 17．某算法流程图如右图所示，该程序运转后， 若输出的 x 15，则实数 a 等于▲ ．8．若 tan1 ， tan( )1，则 tan(2 )▲ ．23（第 7题）9 ．若直线 3x 4 ym0 与圆 x 2 y 2 2x 4 y 4 0 一直有公共点，则实数m 的取值范围是▲．10．设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为V 1 ， S 1 ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V 2 ， S 2 ，若V 1= 3，则 S 1 的值为 ▲ ．V 2 p S 211．已知函数 f (x) x 3 2 x ，若 f (1)f (log 1 3) 0（ a 0且 a 1），则实数 a 的取值范围是▲．a12．设公差为 d （ d 为奇数，且 d 1 ）的等差数列 { an } 的前 nSS9，S 0，其项和为n ，若m 1m中 m 3 ，且 m N * ，则 a n ▲．13．已知函数 f ( x)x x 2 a ，若存在 x1,2 ，使得 f (x) 2 ，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．14 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 点 A(1，0) ， B(0 ，1) ， C (a ，b) ， D (c ，d) ，若不等式uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuurm 的最大CD ≥ (m 2)OC OD m(OC OB) (OD OA) 对随意实数 a ， b ， c ， d 都成立，则实数值是▲．二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，已知向量 m (cos B ，cosC) ，n (4a b ， c) ，且 m ∥ n ．（ 1）求 cosC 的值；（ 2）若 c3 ，△ ABC 的面积 S=15，求 a ，b 的值．B4DCAP16．（本小题满分 14 分）在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 中， CA CB ， AA 12AB ，D 是 AB 的中点．（ 1）求证： BC ∥ 平面 ACD；1 1（ 2）若点 P 在线段 BB 1 上，且 BP1B 1BB 1 ，4C 1A 1（第 16 题）求证： AP平面ACD．117．（本小题满分 14 分）某经销商计划销售一款新式的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的收益为x（单位：元，x 0 ）时，销售量 q( x)（单位：百台）与 x 的关系知足： 若 x 不超出 20，则 q( x) 1260 ；x 1 若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20 ≤ x ≤ 180时， q( x) a b x （ a ， b 为实常数）．（ 1）求函数 q (x) 的表达式；（ 2）当 x 为多少时，总收益（单位：元）获得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分 16 分）2 2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：xy 1(a b 0) 的左，右焦点分别是 F 1， F 2，右a 2b 2极点、上极点分别为 A ， B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab ﹒ （ 1）若椭圆 C 的离心率等于6，求椭圆 C 的方程；3（ 2）若过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P ，且 P 在第二象限，直线 PF 2 交 y轴于点Q ﹒试判断以 PQ 为直径的 圆与点 F 1 的地点关系，并说明原因﹒19．（本小题满分 16 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 3 ，且对随意的正整数 n ，都有 S n 1S n 3n 1 ，此中常数0 ．设 b na n( nN ) ﹒n3（ 1）若 3 ，求数列 { b n } 的通项公式；（ 2）若1且3，设c n a n2 3 n(n N ) ，证明数列 { c n } 是等比数列；3（ 3）若对随意的正整数n ，都有 b n ≤ 3 ，务实数 的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 f ( x) a e x x 2 bx （ a ， bR ， e2.71828L 是自然对数的底数），其导函数为yf ( x) ．（ 1）设 a 1，若函数 yf (x) 在 R 上是单一减函数，求 b 的取值范围；（ 2）设 b 0，若函数 y f ( x) 在 R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（ 3）设 b2 ，且 a 0 ，点 ( m ， n) （ m ， n R ）是曲线 yf ( x) 上的一个定点，能否存在实数 x （ xm ），使得x 0 m成立？证明你的结论．f (x 0 ) f ()( x 0 m) n22020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅱ（附带题）2020． 5注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21 题有 A，B，C，D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第22， 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间 30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回 .2. 答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3. 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】在A， B， C，D 四小题中只好选做两题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指．．．．．．．．．．定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．．．A．选修 4 — 1：几何证明选讲E 已知△ ABC 内接于 e O ， BE 是 e O 的直径， AD 是 BC 边上的高．求证： BA AC BE AD．OB CD（第 21-A 题）B．选修 4— 2：矩阵与变换已知变换 T 把平面上的点(3， 4) ， (5 ，0) 分别变换成(2 ， 1) ， ( 1，2) ，试求变换T对应的矩阵M ．C．选修 4— 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点M (1，2) ，倾斜角为﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半3轴为极轴成立极坐标系，圆 C : 6cos ﹒若直线l 与圆C 订交于A， B 两点，求MA MB 的值．D．选修 4— 5：不等式选讲设 x 为实数，求证： x22x2 1 ﹒x 1 ≤ 3 x4【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）一个口袋中装有大小同样的 3 个白球和 1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，如有3次摸到红球即停止．（ 1）求恰巧摸 4 次停止的概率；（ 2）记4次以内（含 4 次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的散布列．23．（本小题满分10 分）设实数 a1， a2，L ，a n知足 a1 a2 L a n 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a n |≤ 1 (n N * 且 n ≥ 2) ，令b n an (n N*) ．求证： | b1 b2 L b n |≤ 1 1 ( n N*) ．n 2 2n2020 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（二）数学Ⅰ试题参照答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分．1． {1，2，5} 2． 1 3 ．64 ．15 ． 46 ． 0,1U1,27 ． 1 8 ．15279． [0 ，10] 10 ．32 11 ．0,1U 3, 12 ． 3n 12 13 ． ( 1,5) 14 ．5 1 p二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（ 1）∵ m ∥ n ，∴ ccos B(4a b)cos C ，2 分由正弦定理，得 sin C cos B (4sin A sin B)cos C ，化简，得 sin( B C)4sin Acos C ﹒4 分∵ A B C p ，∴ sin A sin( B C ) ﹒又∵ A0, p，∵ sin A 0，∴ cosC1 ． 6 分4（2）∵ C0,p ， cos C1，∴ sin C1 cos2C1 15 ．14416∵ S1absin C15，∴ ab 2 ﹒①9 分24∵ c3 ，由余弦定理得 221，3 abab222 4 ，②12 分∴ a b由①②，得 a 4 4a 2 4 0 ，进而 a 22 ， a2 （舍负），因此 b2 ，∴ ab2 ．14 分16．证明：（ 1）连接 AC 1 ，设交 A 1C 于点 O ，连接 OD ．∵四边形 AA 1 C 1C 是矩形，∴ O 是 AC 1 的中点．2 分在△ ABC 1 中， O ， D 分别是 AC 1 ， AB 的中点，∴ OD ∥BC 1．4 分又∵ OD 平面 ACD 1 ， BC 1 平面 ACD 1 ，∴ BC ∥ 平面 ACD ．6 分1 1（2）∵ CA CB ， D 是 AB 的中点，∴ CD AB ﹒又∵在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，底面 ABC ⊥侧面 AA 1B 1 B ，交线为 AB ，CD 平面 ABC ，∴ CD平面 AA 1 B 1 B⋯⋯⋯⋯ 8 分 ∵ AP 平面 A 1B 1BA ，∴ CD AP ． ⋯⋯⋯⋯ 9 分∵ BB 12BA ， BB AA，BP1 BB 1 ，1 14∴ BP2=AD ， ∴ Rt △ ABP ∽ Rt △ A 1 AD ，BA4AA 1进而∠ AA 1 D =∠ BAP ，因此∠ AA 1 D +∠ A 1 AP =∠ BAP +∠ A 1 AP = 90 ，∴ APA 1D ．⋯⋯⋯⋯ 12 分又∵CDI ADD， CD 平面 ACD ， A D平面ACD111 1∴ AP平面 ACD 1 ．⋯⋯⋯⋯ 14 分17．解：（ 1）当a b20 ，a 90 ，⋯⋯⋯⋯ 2 分20≤ x ，由60 得≤ 180a b1800 ，b 3 ．512600 x ≤ 20,x,1故 q( x)＝ 903 5 x,20x ≤ 180,⋯⋯⋯⋯ 4 分0,x 180（ 2） 利 f (x) x q( x) ，126000 x ， 0 x20,x 1由（ 1）得f ( x) ＝ 9000 x 300 5 x， ≤x ≤，⋯⋯⋯⋯ 6 分x 20180， x 180当 0x ≤ 20 ， f ( x)126000x 126000 126000， f ( x) 在 [0 ，20] 上 增，x 1x 1因此当 x 20 ， f (x) 有最大 120000．⋯⋯⋯⋯ 8分当 20 x ≤ 180 ， f ( x)＝9000x 300 5 x x ， f ( x)＝9000 450 5x ，令 f ( x)＝0 ，得 x80．⋯⋯⋯⋯ 10 分当 20 x 80 ， f ( x) 0 ， f (x) 增，当 80 x ≤ 180 ， f ( x)0 ， f ( x) 减，因此当 x 80时， f (x) 有最大值 240000． 12 分当 180 x 时， f (x)0 ﹒答：当 x 等于 80 元时，总收益获得最大值240000元．14 分18．解：由题意，得点A(a,0) ， B(0, b) ，直线 AB 的方程为xy 1 ，即 ax by ab 0 ﹒ab由题设，得abab ，化简，得 a2b 2 1 ﹒①2 分a2b2（ 1）∵ e c6 ，∴ a 22 b22，即 a 23b 2 ﹒②a 3 a3a 2 3 ，5 分由①②，解得 4 ﹒b 214因此，椭圆 C 的方程为4x 24 y 2 1 ﹒6 分3（ 2）点 F 1 在以 PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： ykx 1 ，x 2 y 2122 2222228 分由 a 22，得 k )x 2ka x a b 0 ，（* ）b(b aay kx 1则 =(2 ka 2 )2 4(b 2 a 2 k 2 )( a 2 a 2 b 2 ) 0 ，化简，得 1 22 221 b 21 ，ba k0 ，因此， k2a∵点 P 在第二象限，∴ k 1﹒把 k 1代入方程（ * ） ，得 x 22a 2 x a 4 0 ，解得 xa 2，进而 y b 2，因此 P( a 2, b 2) ﹒2进而直线 PF 2 的方程为： y 2b( x2，ba 2a )c令 x 0 ，得 yb 2c ，因此点 Q(0, b 2c﹒2)aca 2 +c uuura2uuurb 2 2c )，进而F 1P=(c,b 2 ) ， FQ 1 =( c,a +cuuur uuur42b c进而 F 1P FQ 1 c( c)aa 2 +cc( a 4 c 2 +b 4 ) c( a 4 b 4 c 2 ) c (b 2 a 2 )(b 2 a 2 ) c 2=a 2 +ca 2 +c =0，a 2 +c10 分11 分12 分13 分又∵ a2 b 2 1， a 2 =b2 +c2，uuur uuur⋯⋯⋯⋯ 15 分∴ F1P F1Q 0因此点 F1在以 PQ 直径的上⋯⋯⋯⋯ 16 分19．解：∵ S n 1 S n n 1N ，3 ， n∴当 n ≥ 2 ，S n S n -1 3n，进而 a n 1 a n 2 3n，n≥2， n N又在 S n 1 S n 3n 1中，令n 1，可得a2a1 2 31，足上式，因此 a n 1 a n 2 3n， n N ⋯⋯⋯⋯ 2 分（ 1）当 3 ，a n 1 3a nn， n N ，2 3进而a n 1 a n 2b n2 n 1 n ，即 b n 1 ，3 3 3 3又 b1 1 ，因此数列因此b n 2n 1 ．3 （ 2）当0 且 3 且c n a n2 n33 a n 123又 c1 3 6 3因此 { c n } 是首{ b n } 是首 1，公差2的等差数列，3⋯⋯⋯⋯ 4 分1，a n 1 2n 1 2 n3333n 1 ( 3 3) (a n 1 2 3n 1 ) c n 1，⋯⋯⋯⋯ 7 分33( 1)0 ，33(1) ，公比的等比数列， c n 3( 1) n 1⋯⋯⋯⋯ 8 分3 3（ 3）在（ 2）中，若 1 ，c n 0 也合适，因此当 33( 1) n 1．， c n 3进而由（ 1）和（ 2）可知 a n (2n 1) 3n 1，3，⋯⋯⋯⋯ 9 分3( 1) n 1 2 n ，．3 3 3 3当 3 ，n2n 1 ，然不足条件，故3 ．⋯⋯⋯⋯10分b3当 3 ，b n 1 ( )n 1 2 ．3 3 3若 3 ，1b n 1， n N ， b n [1, ) ，不切合，舍去．⋯⋯⋯⋯ 11 分0 ， b n3若 01时，1 0 ，2 0 ， b nbn 1， n N ，且 b n0 ．33因此只须 b 1a 1 1 ≤ 3 即可，明显成立．故 01切合条件；12 分 3若1时， b n 1 ，知足条件．故1切合条件；13 分若 13 时，1 0 ，2 0 ，进而 b nb n 1 ， nN ，33由于 b 1 10 ．故 b n[1，2要使 b n ≤ 3 成立，只须2 ≤ 3即可．) ，33于是 1≤7．15 分3综上所述，所务实数716 分的范围是 (0， ]．320．解：（ 1）当 a1时， f( x)e xx 2 bx ，∴ f (x)e x2x b ，由题意f ( ) e x 2 x b ≤ 0 对 x R 恒成立﹒1 分xxx，由 e 2x b ≤ 0 ，得 b ≥ - e 2x令 F (x) - e x 2 x ，则 F (x) - e x2，令 F (x)0 ，得 x ln2 ．当 x ln2 时， F (x)0 ， F ( x) 单一递加，当 x ln2 时， F ( x) 0 ， F (x) 单一递减，进而当 x ln2 时， F ( x) 有最大值 2ln2 2 ，因此 b ≥ 2ln22 ．3 分（ 2）当 b 0 时， f ( x) ae x x 2 ，由题意 ae x x 20 只有一解﹒22x(2 x x) ，由 ae x x 2 0 ，得 axx ，令 G( x)xx ，则 G (x)eee令 G (x) 0 ，得 x 0 或 x 2 ．5 分 当 x ≤ 0 时， G (x) ≤ 0 ， G( x) 单一递减， G(x) 的取值范围为 0，， 当 0 x2 时， G ( x) 0 ， G( x) 单一递加， G( x) 的取值范围为4，0 ，e 2当 x ≥ 2时， G (x) ≤ 0 ， G( x) 单一递减， G(x) 的取值范围为4，0 ，e2由题意，得 a 0 或 a42，进而 a 0 或 a42 ，ee因此当 a 0 或 a4时，函数 yf ( x) 只有一个零点．8 分e 2（ 3） f ( x) ae xx 2 2x ， f ( x) ae x 2x 2 ，假 存在， 有 f ( x 0 )f ( x 02 m)( x 0 m) nf ( x 0 m)( x 0 m) f ( m) ，2f ( x 0 ) f (m)x 0 mx 0 m x 0mx 0 mf () ae2即x 0 m2) ，∵ f ( 2 22 ，2f ( x 0 ) f ( m) a(e x 0 e m ) ( x 0 2m 2 ) 2( x 0 m) a(e x 0 e m ) (x 0 m) 2 ，x 0 mx 0 mx 0mx 0 mx m)⋯⋯（ * ）∴ ae2a(e 0 e⋯⋯⋯⋯ 10 分x 0 mx 0 mxmtt mm∵ a 0eemee，∴ e2，不如 t x 0m 0 ， e2x 0 mttett两 同除以 e m ，得 e21，即 te 2e t 1 ，⋯⋯⋯⋯ 12 分tttttt令 g (t ) e t te 2 1 ， g (t)e t (e 2te 2 ) e 2 (e 2t 1) ，22t t1 t1 1 t令 h(t )21， h (t )221) 0 ，e 2 2 e 2 (e2∴ h(t ) 在 (0 ， ) 上 增，又∵ h(0)0 ，∴ h(t )0 t(0 ， ) 恒成立，⋯⋯⋯⋯ 14 分即 g (t ) 0 t (0 ， ) 恒成立，∴ g (t ) 在 (0 ，) 上 增，又 g (0)0 ，∴ g (t ) 0 t (0 ，) 恒成立，即（ * ）式不可立，⋯⋯⋯⋯ 15 分 ∴不存在 数x 0 （ x 0m ），使得 f (x 0 )f( x 0m)( x 0 m) n 成立．⋯⋯⋯⋯ 16 分2常四市高三教课状况研（一）数学Ⅱ（附带）参照答案21、【做】在A、B、 C、 D 四小中只好做两，每小10 分，共 20 分．．．．．．．A．修 4— 1：几何明明： AE ．∵ BE 是 e O 的直径，∴BAE 90 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分∴ BAE ADC ．⋯⋯⋯⋯ 4 分又∵BEA ACD ，∴△ BEA∽△ ACD ．⋯⋯⋯⋯ 7 分∴ BE AC，∴ BA AC BE AD．⋯⋯⋯⋯ 10 分BA ADB．修 4— 2：矩与解： M a b ，由意，得 a b 3 5 2 1 ，⋯⋯⋯⋯ 3 分c d c d 4 0 1 23a 4b 2 ，∴5a 1 ，⋯⋯⋯⋯ 5 分3c 4d 1 ，5c 2.1a,5b13,解得20 . ⋯⋯⋯⋯ 9 分2c,511d201 13即 M 5 20 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分211520C．修 4— 4：坐系与参数方程x 1 1t ，解：直 l 的参数方程2(t 参数 ) ，⋯⋯⋯⋯ 2 分3y 2 t ，2C 的一般方程(x 3)2 y2 9 ⋯⋯⋯⋯ 4 分直 l 的参数方程代入 C 的一般方程，得t2 2( 3 1)t 1 0 ，⋯⋯⋯⋯ 6 分方程两根t1， t 2， t1 t2 1 ⋯⋯⋯⋯ 8 分∴ MA MB = t1 t 2 =1 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分D．修 4— 5：不等式明：因右—左 =2 x4 2 x3 2 x 2 ⋯⋯⋯⋯ 2 分= 2( x 1)( x3 1) 2( x 1)2 ( x2 x 1) ⋯⋯⋯⋯ 4 分2= 2( x 1)2 x 1 3 ≥ 0 ，⋯⋯⋯⋯ 8 分2 4因此，原不等式成立．⋯⋯⋯⋯ 10 分【必做】第22 、第 23 ，每10 分，共20 分．22．解：（ 1）事件“恰巧摸4 次停止”的概率P ，P C32 ( 1 )2 3 1 9 ．⋯⋯⋯⋯ 4 分444256（2）由意，得X =01，，2，3，P(X = 0) C 0 ( 3 ) 4 81 ，P( X =1) C 1( 1 ) ( 3 )327 ，4 4 256 4 4 4 64P(X = 2) C42 (1 )2 (3)2 27 ，P(X = 3) 1 81 27 27 13 ，⋯⋯⋯⋯ 8 分4 4 128 256 64 128 256∴X 的散布列X 0 1 2 3P81 27 27 13256 64 128 256⋯⋯⋯⋯ 10 分23．明：（ 1）当n 2 ， a1 a2，∴ 2| a1 | | a1 | | a2 |≤ 1 ，即 | a1 |≤1，2∴ | b1 b2 | | a1 a2 | | a1 | ≤ 1 1 1 ，即当 n 2 ，成立．⋯⋯⋯⋯ 2 分2 2 4 2 2 2（ 2）假当n k ( k N * 且 k ≥ 2) ，成立，即当 a1 a2 L a k 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a k |≤ 1 ，有 | b1 b2 L b k |≤11 ．⋯⋯⋯⋯ 3 分2 2k当 n k 1 ，由 a1 a2 L a k a k 1 0 ，且 | a1 | | a2 | L | a k 1 |≤ 1 ，∵ 2 | a k 1 | | a 1 a 2 L a k | | a k 1 |≤ a 1 | | a 2 | L| a k 1 |≤ 1 ，∴| a k 1 ≤ 1， ⋯⋯⋯⋯ 5 分| 2又∵ a 1 a 2 L a k 1 ( a k a k 1) 0 ，且| a 1 | | a 2 | L | a k 1 | | a k a k 1 |≤| a 1 | | a 2 | L| a k 1 |≤ 1，由假 可得 | b 1b 2 Lb k 1 a ka k 1|≤11 ， ⋯⋯⋯⋯ 7 分k 2 2k∴ b 1 b 2 Lb k b k 1 | |b 1 b 2 Lb k 1a k a k 1 |kk 1| ( b 1 b 2 L b k 1a ka k 1 ) ( a k 1 - a k 1 ) | ≤ 1 1 | a k 1 - a k 1 |kk 1k 22k k 1 k 1 1 1 - 1 ) | a k ≤ 1 11 - 1 1 11， 2 2k (k 1 |2 k(k 1)2 2(k1)k 1 2 k 2即当 nk 1 ， 成立．上，由（ 1）和（ 2）可知， 成立．⋯⋯⋯⋯ 10 分。

江苏省四市高三教学情况调研（二）数 学 Ⅰ 试 题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲．4．已知直线20x -=为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +„所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y y x „所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为面积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且sin α=，tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c，若满足2cos =2b A c ，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，若4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，则△PBC 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩…若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．14．已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量m ,1)x =-,n 2(sin ,cos )x x =．（1）当π3x =时，求⋅m n 的值；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅mn 12=-，求cos2x 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC BC =，90ACD ∠=︒．（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． ①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=u u u r u u u r，PB BF μ=u u u r u u u r．求证：λμ+为定值；②若A ，B 两点满足OA OB ⊥（O 为坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加）试题注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并．在相应的．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2DE BE =，求证：23OC BC =．B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C 的参数方程为[]2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=（R a ∈）．若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c++++…．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n nn n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ， 其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，…． （1）试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．数学参考答案一、填空题．1．{}12x x -<<2．1 3．19.7 45．14 6．347．3 8．9．1710．-1 11．π612．3213．1(,6)(,0]4-∞--U14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当π3x =时，m 1)=-，n 1)4=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分（2）⋅m n 2sin cos x x x -=11π12cos2sin(2)2262x x x --=--， ………………………8分若⋅m n 12=，则π1sin(2)1262x =---，即πsin(2)6x -=，因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --剟，所以πcos(2)6x -=， (10)分则ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=--⨯ (12)分1=． (14)2分16．（1）因为平面ABC⊥平面ACD，90∠=︒，即CD⊥AC，ACD平面ABC I平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面ABC， (3)分又AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB，………………………………………………4分因为AC BC=，E为AB的中点，所以CE⊥AB， (6)分又CE CD CI，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，=所以AB⊥平面EDC． (7)分（2）连EF，EG，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD，………………………………………………………………10分同理可证EG∥平面BCD，且EF I EG=E，EF⊂平面BCD，EG⊂平面BCD，所以平面EFG∥平面BCD， (12)分又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分 17．解：（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（05x 剟）．………………4分（2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭6743-…．……………………………………8分当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．.................................10分 故()max 43L x =．........................................................................12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． (14)分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；.....................10分 故()max 43L x =． (12)分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． (14)分18．解：（1）当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， (2)分令()0f x '=，得x =0a <0>，所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， (4)分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1，所以()g a 的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分 （2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解， 所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b =图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=，令()0m x '=，得x =14分当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <…，即ab 的取值范围为33e e ]（，．…………16分19．解：（1）由题设知=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分(1,2代入椭圆C 得到2211122+=b b，则21=b ，22=a ，…………………2分∴22:12x C y +=． (3)分（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k--+==++． ……………5分由λ=u u u r u u u r PA AF ，μ=u u u r u u u r PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++（定值）．………9分②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积S =，……………10分当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k ==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k==++， …………………12分△AOB 的面积2OA OBS ⋅== (13)分令[)211,t k =+∈+∞，S ==， 令1(0,1)u t=∈，则23S ⎡=⎢⎣⎭． ……………15分综上所述，23S ⎡∈⎢⎣⎦． (16)分20．解：（1）当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++，∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分（2）①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ． (9)分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==． 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．ο1若三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分ο2若一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分2）若,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z 剟，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +„，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +„，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +„，检验得20y =，22z =，25x =， 即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE =g，即2()R OC R x =+g ，① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =g，即24()x x R x =+g ，② ………6分∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+g ，35ROC =， ……………………………8分∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． (10)分B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=． ……………………………………4分1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒=，∴曲线D20y a +-=， ……………………………………6分曲线C 圆心到直线D的距离为2d ==， (8)分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分（少一解，扣一分）D ．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵22b a b a +…，22c b c b +…，22a c a c +…，∴222b c a a b c a b c +++++222a b c ++…， ………………………………………6分∴222b c a a b c a b c++++...， (10)分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++…，∴222b c a a b c a b c++++...， (10)分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分（2）X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=； (1)分0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+-2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； (2)分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． (3)分（2）猜测：()!n f x n =． (4)分而!!!()!(1)!()!kn n n kC kk n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC nk n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． (5)分用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--=L ． 当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++---L 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---L 011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+---L L0101111111[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k kk k k k k k kkkk x C x C C x C C x k k x C x Cx k Cx k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----L L0101111111[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---L L L010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+---L L L （）由归纳假设知（）式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n 成立． ………………………………………………………10分。

2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）=．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为．6．函数f（x）=的定义域为．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于．8．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．26．设实数a1，a2，…，a n满足a1+a2+…+a n=0，且|a1|+|a2|+…+|a n|≤1（n∈N*且n≥2），令b n=（n∈N*）．求证：|b1+b2+…+b n|≤（n∈N*）．2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，那么A∪（∁U B）={1，2，5} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出B的补集，再求出其与A的并集，从而得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，又B={2，3，4}，∴（C U B）={1，5}，又A={1，2}，∴A∪（C U B）={1，2，5}．故答案为：{1，2，5}．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=﹣1．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣13．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．【考点】极差、方差与标准差．【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可．【解答】解：数据160，162，159，160，159的平均数是：160，则该组数据的方差s2=（02+22+12+02+12）=，故答案为：．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解．【解答】解：∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，∴至少有两枚硬币正面向上的概率为：p==．故答案为：．5．若双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），则该双曲线的虚轴长为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线x2+my2=1过点（﹣，2），∴2+4m=1，即4m=﹣1，m=﹣，则双曲线的标准范围为x2﹣=1，则b=2，即双曲线的虚轴长2b=4，故答案为：4．6．函数f（x）=的定义域为（0，1）∪（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组求得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0＜x＜2，且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（0，1）∪（1，2）．故答案为：（0，1）∪（1，2）．7．某算法流程图如图所示，该程序运行后，若输出的x=15，则实数a等于1．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a的值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，x=a满足条件n≤3，执行循环体，x=2a+1，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2a+1）+1=4a+3，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为15．所以：8a+7=15，解得：a=1．故答案为：18．若tanα=，tan（α﹣β）=﹣，则tan（β﹣2α）=﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】根据题意，先有诱导公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β），进而结合正切的和角公式可得tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣β）+α]=﹣=﹣=﹣；故答案为：﹣．9．若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，则实数m的取值范围是[0，10] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r=1，求出圆心（﹣1，2）到直线3x+4y ﹣m=0的距离d，由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，得d≤r，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心（﹣1，2），半径r==1，圆心（﹣1，2）到直线3x+4y﹣m=0的距离d==，∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点，∴，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0，10]．故答案为：[0，10]．10．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若=，则的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据体积比得出a和r的关系，代入面积公式求出面积比即可．【解答】解：圆锥的母线l==r．V1=a3，S1=6a2，V2=，S2=πrl=πr2．∵==，∴a=r．∴==．故答案为：．11．已知函数f（x）=x3+2x，若f（1）+f（log3）＞0（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）．【考点】函数的值．【分析】可判断函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，从而化简f（1）+f（log3）＞0为log3＞﹣1；从而解得．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2x是奇函数，且在R上是增函数，∵f（1）+f（log3）＞0，∴f（log3）＞﹣f（1）=f（﹣1），∴log3＞﹣1；∴＞1或3＜a；即a∈（0，1）∪（3，+∞）；故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．12．设公差为d（d为奇数，且d＞1）的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m=﹣9，S m=0，﹣1其中m＞3，且m∈N*，则a n=3n﹣12．【考点】等差数列的前n项和．=﹣9，S m=0，其中m＞3，可得：（m﹣1）a1+d=﹣9，【分析】S m﹣1ma1+d=0，化为：d=．由于m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，通过分类讨论验证即可得出．=﹣9，S m=0，其中m＞3，【解答】解：∵S m﹣1∴（m﹣1）a1+d=﹣9，ma1+d=0，可得：d=．∵m＞3，且m∈N*，d为奇数，且d＞1，∴d=3，m=7．∴a1=﹣9．∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12．故答案为：3n﹣12．13．已知函数f（x）=x|x2﹣a|，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2，则实数a的取值范围是（﹣1，5）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，等价为（﹣x2﹣）min＜﹣a＜（﹣x2+）max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：当x∈[1，2]时，f（x）=|x3﹣ax|，由f（x）＜2可得﹣2＜x3﹣ax＜2，即为﹣x2﹣＜﹣a＜﹣x2+，设g（x）=﹣x2﹣，导数为g′（x）=﹣2x+，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，即g（x）递减，可得g（x）min=﹣4﹣1=﹣5，即有﹣a＞﹣5，即a＜5；设h（x）=﹣x2+，导数为g′（x）=﹣2x﹣，当x∈[1，2]时，h′（x）＜0，即h（x）递减，可得h（x）max=﹣1+2=1．即有﹣a＜1，即a＞﹣1．综上可得，a的范围是﹣1＜a＜5．故答案为：（﹣1，5）．14．在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m﹣2）•+m（•）•（•）对任何实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件可以求出向量的坐标，从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc）．【解答】解：根据条件，，，，代入并整理得：c2+a2+d2+b2≥m（ac+bd+bc），即c2+a2+d2+b2﹣m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：（a﹣）2+（d﹣）2+（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，有（a﹣）2≥0，（d﹣）2≥0满足，则要：（c2+b2﹣bc）≥0恒成立，则有：，解得﹣2≤m≤﹣1，所以m最大值为﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量=（cosB，cosC），=（4a ﹣b，c），且∥．（1）求cosC的值；（2）若c=，△ABC的面积S=，求a，b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC，结合sinA＞0，即可解得cosC的值．（2）由（1）结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式可解得ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4，从而解得a，b的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵m∥n，∴ccosB=（4a﹣b）cosC，…由正弦定理，得sinCcosB=（4sinA﹣sinB）cosC，化简，得sin（B+C）=4sinAcosC﹒…∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）﹒又∵A∈（0，π），∵sinA＞0，∴．…（2）∵C∈（0，π），，∴．∵，∴ab=2﹒①…∵，由余弦定理得，∴a2+b2=4，②…由①②，得a4﹣4a2+4=0，从而a2=2，（舍负），∴，∴．…16．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：AP⊥平面A1CD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，由O为AC1的中点，D是AB的中点，可得OD∥BC1，即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标，可求=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），由•=0，•=0，即可证明AP⊥平面A1CD．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设与CA1交于O点，连接OD，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O为AC1的中点，∵D是AB的中点，∴△ABC1中，OD∥BC1，又∵OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）由题意，取A1B1的中点O，连接OC1，OD，分别以OC1，OA1，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OA1=a，OC1=b，则：由题意可得各点坐标为：A1（0，a，0），C（b，0，2a），D（0，0，2），P（0，﹣a，），A（0，a，2），可得：=（b，﹣a，2），=（0．﹣a，2），=（0，﹣2a，﹣），所以：由•=0，可得：AP⊥A1C，由•=0，可得：AP⊥A1D，又：A1 C∩A1 D=A1，所以：AP⊥平面A1CD．17．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，x＞0）时，销售量q（x）（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则q（x）=；若x大于或等于180，则销售为零；当20≤x≤180时．q（x）=a﹣b（a，b为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（2）总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值．【解答】解：（1）由x=20和x=180时可以解得a，b∴a=90，b=3∴q（x）=（2）设总利润为W（x）则W（x）=①当x∈（0，20]时，W（x）=1260﹣为单调递增，最大值为1200，此时x=20②当x∈[20，180]时，W（x）=90x﹣3x，（W（x））′=90﹣此时x∈[20，80]时，W（x）单调递增．x∈[80，180]时，W（x）单调递减∴在x=80时取得最大为240000综上所述：x=80时，总利润最大为240000元．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C的离心率等于，求椭圆C的方程；（2）若过点（0，1）的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由﹒【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得A，B的坐标，可得AB的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx+1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得k的值，可得P（﹣a2，b2），从而可得直线PF2的方程，求得Q的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得点A（a，0），B（0，b），直线AB的方程为，即ax+by﹣ab=0﹒由题设，得，化简，得a2+b2=1﹒①，由，即为，即a2=3b2﹒②由①②，解得，可得椭圆C的方程为；（2）点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题设，直线l与椭圆相切且l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由，得（b2+a2k2）x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0，（*）则△=（2ka2）2﹣4（b2+a2k2）（a2﹣a2b2）=0，化简，得1﹣b2﹣a2k2=0，所以，由点P在第二象限，可得k=1，把k=1代入方程（*），得x2+2a2x+a4=0，解得x=﹣a2，从而y=b2，所以P（﹣a2，b2）﹒从而直线PF2的方程为：，令x=0，得，所以点﹒从而，，从而=，又a2+b2=1，a2=b2+c2，∴﹒所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，且对任意的正整数n，都有S n+1=λS n+3n+1，其中常数λ＞0．设b n=（n∈N*）﹒（1）若λ=3，求数列{b n}的通项公式；（2）若λ≠1且λ≠3，设c n=a n+（n∈N*），证明数列{c n}是等比数列；（3）若对任意的正整数n，都有b n≤3，求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵，n∈N*，∴当n≥2时，，从而，n≥2，n∈N*﹒又在中，令n=1，可得，满足上式，∴，n∈N*﹒当λ=3时，，n∈N*，从而，即，又b1=1，所以数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列，∴．（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，=，又，∴{c n}是首项为，公比为λ的等比数列，﹒（3）解：在（2）中，若λ=1，则c n=0也适合，∴当λ≠3时，．从而由（1）和（2）可知：a n=．当λ=3时，，显然不满足条件，故λ≠3．当λ≠3时，．若λ＞3时，，b n＜b n+1，n∈N*，b n∈[1，+∞），不符合，舍去．若0＜λ＜1时，，，b n＞b n+1，n∈N*，且b n＞0．∴只须即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；若λ=1时，b n=1，满足条件．故λ=1符合条件；若1＜λ＜3时，，，从而b n＜b n+1，n∈N*，∵b1=1＞0．故，要使b n≤3成立，只须即可．于是．综上所述，所求实数λ的范围是．20．已知函数f（x）=a•e x+x2﹣bx（a，b∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），其导函数为y=f′（x）．（1）设a=﹣1，若函数y=f（x）在R上是单调减函数，求b的取值范围；（2）设b=0，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求a的取值范围；（3）设b=2，且a≠0，点（m，n）（m，n∈R）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g （x）=e x﹣2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b的范围；（2）求得f（x）的解析式，令f（x）=0，可得﹣a=，设h（x）=，求得h（x）的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a的范围；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．求得f（x）的导数，化简整理可得=e，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，求出导数，判断单调性即可判断不存在．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=﹣e x+2x﹣b，函数y=f（x）在R上是单调减函数，可得f′（x）≤0恒成立，即为﹣b≤e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，g′（x）=e x﹣2，当x＞ln2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=ln2处取得极小值，且为最小值2﹣2ln2，即有﹣b≤2﹣2ln2，即b≥2ln2﹣2，则b的取值范围是[2ln2﹣2，+∞）；（2）由b=0，可得f（x）=a•e x+x2，令f（x）=0，即有﹣a=，设h（x）=，h′（x）=，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，2）递减；当x＞2或x＜0时，h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增．可得h（x）在x=2处取得极大值，且h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，由题意函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，则﹣a=0或﹣a＞，即为a=0或a＜﹣，即a的取值范围是{0}∪（﹣∞，﹣）；（3）假设存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．函数f（x）=a•e x+x2﹣bx的导数为f′（x）=ae x+2x﹣b，可得a•e x0+x02﹣bx0=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m）+a•e m+m2﹣bm，化简可得（x0﹣m）（+x0+m﹣b）=（ae+x0+m﹣b）（x0﹣m），由a≠0，x0≠m，可得=e，上式的几何意义为函数y=e x图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率，考虑函数y=e x的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称，上式可转化为=，设x0＞m＞0，即有lnx0﹣lnm=，即ln=，设t=＞1，上式即为lnt=，令m（t）=lnt﹣，t＞1，则m′（t）=﹣=＞0，则m（t）在（1，+∞）递增，即有m（t）＞m（1）=0，则方程lnt=无实数解．即有=不成立，则=e不成立．故不存在实数x0（x0≠m），使得f（x0）=f′（）（x0﹣m）+n成立．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA•AC=BE•AD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AE．证明△BEA∽△ACD，可得，即可证明BA•AC=BE•AD．【解答】证明：连结AE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°．…∴∠BAE=∠ADC．…又∵∠BEA=∠ACD，∴△BEA∽△ACD．…∴，∴BA•AC=BE•AD．…B．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T把平面上的点（3，﹣4），（5，0）分别变换成（2，﹣1），（﹣1，2），试求变换T对应的矩阵M．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设，由题意，得，…∴…解得．…即．…C．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为﹒以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA•MB的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为为参数），圆C：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程为：（x﹣3）2+y2=9﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得，设该方程两根为t1，t2，则t1•t2=﹣1﹒∴MA•MB=|t1•t2|=1．D．[选修4-5：不等式选讲]24．设x为实数，求证：（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【考点】不等式的证明．【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2，只需证明恒大于等于零即可．【解答】证明：右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2=2（x﹣1）（x3﹣1）=2（x﹣1）2（x2+x+1）=，所以（x2+x+1）2≤3（x4+x2+1）﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率．（2）由题意，得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则．…（2）由题意，得X=0，1，2，3，，，，，…∴X 的分布列为X 0 12 3 P…26．设实数a 1，a 2，…，a n 满足a 1+a 2+…+a n =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a n |≤1（n ∈N *且n ≥2），令b n =（n ∈N *）．求证：|b 1+b 2+…+b n |≤（n ∈N *）． 【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】按照数学归纳法的证题步骤：先证明n=2时命题成立，再假设当n=k 时结论成立，去证明当n=k +1时，结论也成立，从而得出命题对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立【解答】证明：（1）当n=2时，a 1=﹣a 2，∴2|a 1|=|a 1|+|a 2|≤1，即， ∴，即当n=2时，结论成立．（2）假设当n=k （k ∈N*且k ≥2）时，结论成立，即当a 1+a 2+…+a k =0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k |≤1时，有．则当n=k +1时，由a 1+a 2+…+a k +a k+1=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∵2|a k+1|=|a 1+a 2+…+a k |+|a k+1|≤a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，∴，又∵a 1+a 2+…+a k ﹣1+（a k +a k+1）=0，且|a 1|+|a 2|+…+|a k ﹣1|+|a k +a k+1|≤|a 1|+|a 2|+…+|a k+1|≤1，由假设可得， ∴， =， =，即当n=k +1时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立．2020年8月27日。

江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝．2．若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为．6．函数()2lnf x x x=-+的定义域为．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点是双曲线22214x ya a-=的顶点，则a＝．8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，425S S=，22a=，则4a＝．9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C—MBD的体积为．10．已知定义在R上的奇函数()f x的周期为2，且x∈[0，1]时，12, 02()11,112x a xf xbxxx⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a＋b＝．11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值．16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b，c是正数，求证：对任意x∈R，不等式21b c ax xa b c--+≤++恒成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，点M是棱PD的中点．（1）求二面角M—AC—D的余弦值；（2）点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为22，求PNPC的值．23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑．江苏省2019—2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第I 卷（必做题，共160分）1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，若A B ＝{﹣1，a ，2}，则a ＝ ．答案：1考点：集合并集运算解析：∵集合A ＝{1，2}，B ＝{﹣1，a }，且A B ＝{﹣1，a ，2}， ∴a ＝1．2．若复数z 满足(1﹣i)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 答案：0 考点：复数解析：2221(1)121(1)(1)1i i i i z i i i i i ++++====--+-，∴z 的实部为0．3．某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50，100]内，将学生成绩分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在[80，90)内的学生人数是 ．答案：30考点：频率分布直方图解析：[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y 的值为 ．答案：﹣1 考点：伪代码解析：第一步：y ＝2，x ＝2；第一步：y ＝﹣1，x ＝﹣1；故最后输出的y 的值为﹣1．5．某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为 ． 答案：2考点：随机变量的概率解析：∵“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的12， ∴男生人数与女生人数的比值为2．6．函数()ln f x x =的定义域为 ．答案：(0，2]考点：函数的定义域解析：20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故与函数的定义域为(0，2]．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点是双曲线22214x y a a-=的顶点，则a ＝ ． 答案：1考点：抛物线与双曲线的简单性质解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1，0)，∴双曲线22214x y a a-=的顶点为(1，0)，故a ＝1． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，425S S =，22a =，则4a ＝ ． 答案：2或8考点：等比数列的简单性质解析：∵{}n a 为等比数列，425S S =，∴1234125()a a a a a a +++=+，∴34124()a a a a +=+，当120a a +=时，1q =-，此时4a ＝2；当120a a +≠时，24q =，此时242248a a q ==⨯=，综上所述，4a ＝2或8．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为6，点M 是对角线A 1C 上靠近点A 1的三等分点，则三棱锥C —MBD 的体积为 ．答案：24考点：棱锥的体积 解析：2311121=6243239C MBD V BC AA ⨯⨯=⨯=—．10．已知定义在R 上的奇函数()f x 的周期为2，且x ∈[0，1]时，12, 02()11, 112xa x f x bx x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性解析：∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)f f -=-①，(0)0f =， ∵函数()f x 的周期为2，∴(1)(1)f f -=②，由①，②得(1)(1)0f f -==∴0(0)201011(1)02f a a a b b b f ⎧=+==-⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨-===⎩⎪⎩． 11．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝ ．答案：2考点：三角恒等变换解析：∵sin 22cos21αα-=-，∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=， 化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得，23tan2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯． 12．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2π，AB ＝1，BC ＝3，以AC 为一边在△ABC 的另一侧作正三角形ACD ，则BD AC ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积 解析：取AC 中点E ，则1BD AC (BE ED)AC BE AC (BA BC)(BC BA)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 222211(BC BA )(31)422=-=⨯-=．13．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的直径，且点A 在第一象限；圆O 1：(x ﹣a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)与圆O 外离，线段AO 1与圆O 1交于点M ，线段BM 与圆O 交于点N ，且1OM O N 0+=，则a 的取值范围为 ．答案：(4) 考点：圆与圆的位置关系解析：1OM O N 0+=⇒四边形ONO 1M 为平行四边形，即ON ＝MO 1＝r ＝1， 且ON 为△ABM 的中位线⇒AM ＝2ON ＝2⇒AO 1＝3，故点A 在以O 1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：22()9x a y -+=， 故22()9x a y -+=与x 2＋y 2＝1在第一象限有交点，即2＜a ＜4，求得2802A a x a a-=>⇒>a 的取值范围为(，4)． 14．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝t （t 为常数），且直线y ＝ax ＋b 与曲线e xy x =（e 是自然对数的底数，e ≈2.71828…）相切．若满足条件的有序实数对(a ，b )唯一存在，则实数t 的取值范围为 ． 答案：(-∞，25e-){e} 考点：利用导数研究函数的切线，函数与方程 解析：设切点为(0x ，00xx e )(1)e xy x '=+，∴0002000(1)e e e xx xa xb x x ax b⎧=+⎪⇒=-⎨=+⎪⎩， 02000e (1)()x a b x x f x t +=-++==有唯一解，0000()e (2)(1)x f x x x '=-+-，故0()f x t =有唯一解时t 的取值范围为(-∞，25e-){e}． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且b sin2A ＝a sinB ． （1）求A ；（2）求cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值． 解：（1）∵b sin2A ＝a sinB ，∴2b sinAcosA ＝a sinB ， ∴由正弦定理sin sin a bA B=，得2cos ba A ab =， ∵0ab ≠，∴1cos 2A =， 又∵三角形内角A (0)π∈，，∴A ＝3π； （2）由（1）A ＝3π，又A ＋B ＋C ＝π，得C ＝23A B B ππ--=-，B 2(0)3π∈，， cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)cos cos sin sin sin()66B B B πππ=-+-1sin sin()23B B B π+=+ ∵B 2(0)3π∈，，∴()33B πππ+∈，，∴当=32B ππ+， 即6B π=时，sin()3B π+取最大值1，∴cos(B ＋6π)＋sin(C ＋3π)的最大值为1． 16．（本小题满分14分）已知在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，且平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，DA 1＝DD 1，点E ，F 分别为线段A 1D 1，BC 的中点．（1）求证：EF ∥平面CC 1D 1D ； （2）求证：AC ⊥EBD ．证明：（1）连结CD ，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1C 1D 1，BB 1C 1C 是平行四边形，∴A 1D 1// B 1C 1，BC//B 1C 1，且A 1D 1＝B 1C 1，BC ＝B 1C 1， 又∵点E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点， ∴ED 1 // FC ，ED 1＝FC ，所以四边形ED 1CF 是平行四边形，∴EF //CD 1，又∵EF ⊄平面CC 1D 1D ，CD ⊂平面CC 1D 1D ， ∴EF //平面CC 1D 1D（2）四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形AA 1D 1D 是平行四边形，∴AD // A 1D 1，在△DA 1D 1中，DA 1＝DD 1，点E 为线段A 1D 1的中点， ∴DE ⊥A 1D 1，又∵AD// A 1D 1，∴DE ⊥AD ， 又∵平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1平面ABCD ＝AD ，DE ⊂平面A 1ADD 1，∴DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AC ， ∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵BD DE ＝D ，BD ，DE ⊂平面EBD ， ∴AC ⊥平面EBD ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P(0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ．己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标． 解：（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②， 由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， （2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P(0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A(1x ，11kx +)，B(2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q(12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩， 122286()2()23434k k x x k k k++=⋅-+=++， ∴Q(2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上，∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得 Q(1，32)或(﹣1，32)． 18．（本小题满分16分）某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C 为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE ，OF ，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A ，B ．现规划修建一条新路（由线段MP ，PQ ，线段QN 三段组成），其中点M ，N 分别在OE ，OF 上，且使得MP ，QN 所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P ，Q ，PQ 所对的圆心角为6π．记∠PCA ＝2θ（道路宽度均忽略不计）．（1）若512πθ=，求QN 的长度； （2）求新路总长度的最小值．解：（1）连接CB ，CN ，CM ，OM ⊥ON ，OM ，ON ，PM ，QN 均与圆C 相切 ∴CB ⊥ON ，CA ⊥OM ，CP ⊥MP ，CQ ⊥NQ ，∴CB ⊥CA ∵∠PCA ＝2θ56π=，∠PCQ ＝6π，∴∠QCB ＝526622πππππ---=， 此时四边形BCQN 是正方形，∴QN ＝CQ ＝1，答：QN 的长度为1千米；（2）∵∠PCA ＝2θ，可得∠MCP ＝θ，∠NCQ ＝23πθ-， 则MP ＝tan θ，PQ 6π=，NQ＝2tantan 23tan()231tan tan 3πθπθπθ--==+ 设新路长为()f θ，其中θ∈(6π，2π)，即tan θ≥∴()tan tan 6336f ππθθθ=++=-+++，6π≥，当tan θ=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为6π．19．（本小题满分16分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意n N *∈，11122n n n n n n a S a S a a +++-=-恒成立．（1）求证：数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设43n n b a n =+-，已知2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列，求正整数i ，j ． 解：（1）∵11122n n n n n n a S a S a a +++-=-， ∴11(2)(2)n n n n a S a S +++=+，∵数列{}n a 各项均为正数，∴10n n a a +>，等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=，故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为2，公差为0， ∴22n nS a +=，即22n n S a +=①，2222S a +=，求得24a =， ∴1122n n S a --+=(n ≥2)②，①﹣②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 又2142a a ==，∴对任意n N *∈，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列故数列{}n a 的通项公式为2nn a =；（2）43243nn n b a n n =+-=+-，∴29b =，243ii b i =+-，243j j b j =+-， ∵2b ，i b ，j b (2＜i ＜j )成等差数列， ∴2(243)9243iji j +-=++-，变形得111232122j i i i i j -----=+-(*)， ①当2j i ≥+时，112112j i i j ---+->，令1232i i i c --=(i ≥3)，则112123520222i ii i i i i ic c +-----=-=<(i ≥3)， ∴数列{}i c 单调递减，故(max)3314i c c ==<， ∴12312i i --<，112112j i i j ---+->，故2j i ≥+时*式不成立， ②当1j i =+时，*式转化为112312122i i i i ---+=+-，解得i ＝4，故j ＝5． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)ln f x m x x =-+，2()(2)(3)2g x m x n x =-++-，m ，n ∈R ． （1）当m ＝0时，求函数()f x 的极值；（2）当n ＝0时，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；（3）当n ＞0时，判断是否存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点，并说明理由．解：（1）当m ＝0时，()ln f x x x =-+，∴1()1f x x'=-+，令()0f x '=，解得x ＝1，列表如下：∴当x ＝1时，函数()f x 有极大值﹣1，无极小值；（2）当n ＝0时，函数2()()()(2)(4)ln 2F x g x f x m x m x x =-=-----∴22(2)(4)1(21)[(2)1]()m x m x x m x F x x x------+'==，要使函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上为单调函数， 则对x ∀∈(0，+∞)，()0F x '≥或()0F x '≤恒成立，令()(21)[(2)1]g x x m x =--+，()0g x ≥或()0g x ≤恒成立①当0＜m ＜2时，x ∈(0，12)(12m -，+∞)时，()0g x <，x ∈(12，12m-)时，()0g x >，不符题意；②当m ＜0时，x ∈(0，12m -)(12，+∞)时，()0g x <，x ∈(12m -，12)时，()0g x >，不符题意；③当m ≥2时，x ∈(0，12)时，()0g x <，x ∈(12，+∞)时，()0g x >，不符题意；④当m ＝0时，2()(21)0g x x =--≤，此时()0F x '≤恒成立，函数()()()F x g x f x =-在(0，+∞)上单调递减，符合题意， 综上所述，m 的取值范围为{0}；（3）∵函数()f x 与()g x 有相同的零点，不妨设0x 为相同的零点则00200(1)ln 0(2)(3)20m x x m x n x -+=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩， 得000ln x x m x -=①，20000ln (3)20x x x n x --++-=②， 有（1）知()ln (1)10f x x x f =-+≤=-<，故00ln 0x x ->， ∴00ln 0x x m x -=>， 令200000()ln (3)2h x x x x n x =--++-，又(1)0h n =>，(+3)(3)ln(3)20h n n n =-++-<， 故当0x ∈(1，n ＋3)时，0()0h x =，②式有解，且能满足00ln 0x x m x -=>， ∴存在正数m ，使得函数()f x 与()g x 有相同的零点．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A 的特征值．解：∵点M(2，1)在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点N(5，6)， ∴1 25 216a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则25226a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，∴A ＝1 32 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1 3()(1)(2)62 2f E A λλλλλλ--=-==-----，令()0f λ=，得2340λλ--=，解得14λ=，21λ=-， ∴矩阵A 的特征值为4或﹣1． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值．解：（1）由题意，曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的普通方程为0x y +-=． （2）设P(2cos α，sin α)，则P 到直线l 的距离d ===所以当sin()αθ+＝1时，d min所以P 到直线l ． C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c 是正数，求证：对任意x ∈R ，不等式21b c ax x a b c--+≤++恒成立．证明：对于正数a ，b ，c ，由均值不等式得3b c a a b c ++≥=， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”， 任意x R ∈，由绝对值不等式得当且仅当x ≤﹣1时取“＝”，∴对任意x R ∈，都有不等式21b c ax x a b c--+≤++成立． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，AD ＝AP ＝3，点M 是棱PD 的中点．（1）求二面角M —AC —D 的余弦值；（2）点N 是棱PC 上的点，已知直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，求PNPC的值．解：（1）以{AB ，AD ，AP }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)， M(0，32，32)， AP ＝(0，0，3)，AC ＝(2，3，0)，AM ＝(0，32，32)因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面ACD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以AC 0AM 0n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23033022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取n ＝(3，﹣2，2)， ∴cos<AP ，n >＝AP =1739+4+4AP n n⋅，∴二面角M —AC —D ； （2）设((0,1))PN PC λλ=∈，其中(2,3,3)PC =-，∴3333(0,,)(2,3,3)(2,3,3)2222MN MP PN λλλλλλ=+=-+-=--+， ∵平面ABCD 的一个法向量为AP ＝(0，0，3)，∴33(3)cos ,3AP MN AP MN AP MNλ-+⋅<>==33λ-+=∵直线MN 与平面ABCD，∴223(3)92=92222182λλλ-+-+，化简得41λ=，即14λ=，∴PN 1PC 4=． 23．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，16a =，21133n n n a a a +=-+( n N *∈)． （1）分别比较下列每组中两数的大小：①2a 和362⨯；②3a 和336()2⨯； （2）当n ≥3时，证明：223()2()362nin i i a =>-∑． 解：（1）①∵29a =，3692⨯=，∴2a ＝362⨯； ②∵321a =，33816()24⨯=，∴3a ＞336()2⨯； （2）先用数学归纳法证明：当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，当n ＝3时，3a ＞336()2⨯；假设当n ＝k （k ≥3，k N *∈）时，结论成立，即(1)236()2k k k a ->⨯，当n ＝k ＋1时，(1)(1)2222111333(6())6()33322k k k k k k k a a a --+=-+>⨯-⨯+(1)(1)222133(6())6()322k k k k -->⨯-⨯其中(1)(1)222(3)12(1)(1)(1)222133(6())6()33222()123336()6()6()222k k k k k k k k k k k k k a ---+--+⨯⨯>-=>⨯⨯⨯， ∴(1)2136()2k k k a ++>⨯，∴当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上所得，当n ≥3时，(1)236()2n n n a ->⨯，从而，当n ≥3时，213()()62n n n a ->，则222312312223333333()()()()()()()()()662222222nin n i i a a --=>++++=++++∑， 131()3322()332212n n --=⨯=--，∴当n ≥3时，223()2()362nin i i a =>-∑．。