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从阿贝尔变换看定积分分部积分公式刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师 尹小玲2006年9月摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义,分析它与定积分存在某种联系;经过进一步探讨,得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。
阿贝尔变换：设有两组数k k b a ,),,3,2,1(m k =为了求和数m m mk kk b a b a b a ba ++=∑=22111引入 m m b b b B b b b B b b B b B ++=++=+==21321321211,,,, 这样， 112211,,,--=-==m m m B B b B B b B b 把它代入和式中得)()()(1233122111-=-+-+-+=∑m m m mk kk B B a B B a B B a B a bam m m m m B a B a a B a a B a a +-+-+-=--11232121)()()( ∑-=++-=111)(m k m m k k kB a B a a这个变换式：∑∑-=+=+-=1111)(m k m m k k kmk kk B a B a ab a (1)就称为阿贝尔变换或和差变换。
上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。
为了简单起见，以6=m 为例，设0≥k a ，且)6,5,4,3,2,1(0=≥k b k ，且k a 单调下降。
这时，∑=61k k k b a 在上图中就表示以k b 为底，ka 为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。
它显然等于以6543216b b b b b b B +++++=为底，以6a 为高的矩形面积，以及以k k b b b B +++= 21为底，1+-k k a a ),5,4,3,2,1(=k 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。
(完整版)阿贝尔定理及其应用阿贝尔定理及其应用阿贝尔定理是一项重要的数学定理，广泛应用于各个领域。
下面将介绍阿贝尔定理的概念、原理以及在实际应用中的具体情况。
阿贝尔定理的概念与原理阿贝尔定理，又称为阿贝尔可交换定理，是代数学中的一项基本定理。
该定理表明，当两个数列的乘积的累加和为有限数时，可以交换乘积的顺序，也就是说，交换顺序后的乘积的累加和仍为有限数。
数学上，阿贝尔定理可以表示为以下公式：$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_i b_j = \sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n} a_i b_j$其中，$a_i$ 和 $b_j$ 分别表示两个数列的元素，$n$ 和$m$ 为两个数列的长度。
阿贝尔定理的原理基于数列的性质，通过交换乘积的顺序，将原先的双重求和转化为两个单独的求和，使得计算更加简洁。
阿贝尔定理在实际应用中的情况阿贝尔定理在各个领域都有广泛的应用，下面列举了一些实际应用情况：数学在数学中，阿贝尔定理常用于求解和简化数列的求和问题。
通过交换求和的顺序，可以简化复杂的求和运算，从而得到更加简洁的结果。
物理在物理学中，阿贝尔定理可以用于求解多个相互作用的力或能量的总和。
通过交换相互作用的顺序，可以简化力或能量的求和运算，从而得到更加方便的计算方法。
经济学在经济学中，阿贝尔定理可以用于计算不同商品的价格总和。
通过交换商品价格的顺序，可以简化价格总和的计算过程，从而方便经济学家进行经济指标的计算和比较。
计算机科学在计算机科学中，阿贝尔定理可以用于优化算法的性能。
通过交换计算的顺序，可以减少计算量和内存访问次数，从而提高算法的效率。
以上仅是阿贝尔定理在实际应用中的一些示例，该定理在不同领域中都有广泛的应用。
通过灵活运用阿贝尔定理，我们可以简化计算过程，提高效率，从而在各个领域中发挥更大的作用。
例谈阿贝尔求和公式的妙用
於家海
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2021()12
【摘要】定理(阿贝尔公式,也称阿贝尔变换)设εi,vi(i=1,2,…,n)为两组实数,若令σk=v1+v2+…+vk(k=1,2,…,n),则有如下分部求和公式成立.
【总页数】4页(P44-47)
【作者】於家海
【作者单位】浙江省宁波市咸祥中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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阿贝尔方法及其在数学分析中的应用阿贝尔（1802~1829年）是挪威的数学家，他的一生虽然短暂而凄苦，但他的研究成果在数学史上的作用是巨大的。
尽管众说纷纭，阿贝尔方法及其应用不可否认，尤其在数学分析中经常应用到。
阿贝尔是从一个浅显的恒等式开始的，它可以直接导出阿贝尔引理，从而又可以导出一系列有价值的命题。
下面简单阿贝尔方法及其在数学分析中的应用：阿贝尔恒等式：设m引理1：若对一切n=1，2，3…而言b1≥b2…≥bn≥0，m≤ak≤M则有b1m≤akbk≤b1M证明：设Sk=ai（k=1，2，3…n），则akbk=Snbn+Sk（bk-bk+1），由于m≤Sk≤M，bk-bk+1≥0，得akbk≤Mbn+M（bk-bk+1）=Mb1，akbk≥mbn+m（bk-bk+1）=mb1，即有b1m≤akbk≤b1M引理2：设（1）ak为单调数列（2）Bk（Bk=bi，k=1，2，…）为有界数列，即存在M>0，对一切k，Bk≤M成立，则akbk≤M（a1+2ap）。
证明：由引理1得akbk≤apBp+ak+1-akBk≤M（ap+ak+1-ak）由于ak单调，所以ak+1-ak=ap-a1，即akbk≤M（a1+2ap）一、级数的收敛性定理1（阿贝尔定理）：设an=S，则anxn=S证明：容易看出anxn=f（x）在0≤x≤1上为一致收敛，事实上对任给正数ε，有N使当n>N时，akxk那么，应用阿贝尔定理，我们还可以得到级数乘法定理和阿贝尔求和法，下面分别这两方面的内容。
定理2（级数乘法定理）：令cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，又设级数an，bn，cn都收敛，则cn=（an）（bn）证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此cnxn=（anxn）（bnxn）=S1（x）S2（x）（0≤x≤1），于是由阿贝尔定理可得：cn=cnxn=S1（x）S2（x）=S1（x）S2（x）=（an）（bn）例1．设an和bn二收敛级数中至少有一个绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+…anb0，则cn收敛，且（an）（bn）=cn证明：不妨设an为绝对收敛，且设An=ak→A，Bn=bk→BCn=ck，ak=A′，Bn≤B′则可得AnB-Cn=a0（B-Bn）+a1（B-Bn-1）+…+an（B-B0）从AnB-Cn≤arB-Bn=r+arB-Bn=r≤A′B-Bn=r+2B′ar可见，AnB-C→0即Cn→AB（n→∞）。
级数求和的阿贝尔方法阿贝尔方法，听名字就有点拗口，其实它源于一位聪明的数学家，名字叫阿贝尔。
这位老兄在19世纪的时候，真是个数学天才。
他发明的方法就像是在数学的海洋里找到了一个金色的沙滩。
我们常常在生活中遇到一些级数，比如一加一加一加……这些简单的加法有时候就能让我们发现意想不到的东西。
就像小时候玩捉迷藏，总能在一个不起眼的角落找到宝藏。
在阿贝尔的方法里，有一个关键的思想，就是将一个看似复杂的级数转化为一个比较简单的东西。
这就像我们生活中有时候会觉得一堆事情让人头疼，结果细想一下，发现其实就是几件小事的组合。
想象一下，如果你有个无穷级数，像是1加1/2加1/4加1/8……这时候你可能会想，这不是一直加下去吗？可是，阿贝尔告诉我们，可以通过一种技巧，让这个级数变得更加明了。
通过这种方法，我们其实是在处理一个极限的问题。
这就像你每天都去健身房，前期的努力虽然感觉没什么变化，但随着时间的推移，效果开始显现，身材也越来越好。
阿贝尔方法就像是在这过程中帮你梳理思路，让你在无穷的世界中找到出口。
很多时候，我们看似在加减乘除，实际上是在与时间赛跑，追寻那个理想的自己。
再说说直观的感觉，阿贝尔方法就像在海滩上捡贝壳。
每一个贝壳都代表着一个项，乍一看，这些贝壳五花八门，似乎没什么规律。
但只要你耐心去找，就会发现其中的美。
比如我们把级数写成一个函数，函数里藏着许多秘密。
这就像在探险，每一步都有新的发现，新的领悟，真是让人激动不已。
更有趣的是，阿贝尔方法不仅仅适用于简单的级数。
很多复杂的数学问题，也可以用这个思路去解决。
就像厨师在厨房里，手里拿着不同的调料，灵活运用，总能做出美味的佳肴。
这种灵活性让我们在面对数学问题时，不再是束手无策，而是能游刃有余。
数学的美妙之处还在于它的连贯性。
用阿贝尔方法解决的问题，往往会引发更多的思考，像滚雪球一样越滚越大。
你可能从一个简单的级数出发，最后竟然能推导出一系列的定理，真是让人惊叹。
阿贝尔定理16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。
这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。
然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。
”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。
阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理定理（阿贝尔（Abel）定理）：1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
”它的否定是什么？定理1 （阿贝尔第一定理）1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。
2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。
定理2：有幂级数①，即，若则幂级数①的收敛半径为定理3（阿贝尔第二定理）若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。
定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。
定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分参考资料：阿贝尔与椭圆函数椭圆函数是从椭圆积分来的。
分部求和法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以描述分部求和法的基本概念和应用背景。
概述部分：分部求和法是一种数学求和方法，用于将一个复杂的问题分解为若干个简单的部分，并分别求解这些部分的和。
这种方法通常用于处理数列或级数的求和问题，在数学和科学领域被广泛应用。
在许多实际问题中，我们面临的计算任务常常非常复杂，直接求解整体的和往往非常困难。
分部求和法的出现正是为了解决这一难题。
它通过将复杂的问题分解为多个简单的部分，进而逐步求解，使得问题的求解过程更加可行和可控。
分部求和法的基本思想是将总和拆分为多个部分的和，通过处理这些部分的和来逐步计算出总和。
在这个过程中，常常利用数学中的基本运算规则，如乘法法则和加法法则，以及级数的性质，如等比级数的求和公式等，来简化计算和加速求解的过程。
虽然分部求和法最初是为了解决数学问题而提出的，但它的应用领域已经扩展到了更广泛的范围。
在工程、物理、经济学等学科中，分部求和法常用于处理复杂的数学模型，从而获得模型的总和或近似解。
它在优化问题、数值计算和统计学中也有重要应用，为研究者和工程师提供了一种有效的求解工具。
总之，分部求和法是一种重要的数学求和方法，它通过将复杂的问题分解为简单的部分，逐步求解这些部分，从而得到整体的解。
它在各个领域都有着广泛的应用，并为问题的求解提供了一种方便快捷的工具。
1.2 文章结构文章结构就是对文章的整体框架进行规划和安排，以确保逻辑清晰，层次分明。
在本文中，我们按照以下方式进行组织和安排文章的结构。
首先，我们将引言部分作为文章的开端，引入分部求和法的背景和意义。
在引言部分中，我们将对分部求和法进行概述，介绍其基本原理和应用领域，以便读者对分部求和法有个初步的认识。
接着，我们进入正文部分，详细阐述分部求和法的定义和实质。
在2.1节中，我们将对分部求和法进行定义，解释其在数学和统计学中的具体含义和用途。
我们将介绍分部求和法的基本公式和计算步骤，并通过示例说明其应用方法。
阿贝尔求和变换的几何解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述阿贝尔求和变换是数学中一个重要的概念，它在各个领域的数学和物理问题中都有广泛的应用。
本文主要探讨了阿贝尔求和变换的几何解释，通过几何方法来解释阿贝尔求和变换的本质和意义。
在几何学中，阿贝尔求和变换可以理解为一种将连续运算转化为离散运算的方法。
它的基本思想是通过在空间中引入一个平面或曲线，将连续变量转化为离散变量，从而使得原本复杂的运算问题可以简化为离散的求和问题。
这种离散化的处理方式不仅可以简化计算过程，还能够使得问题的几何结构更加清晰可见。
阿贝尔求和变换的几何意义可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一条直线上的函数，我们想要求解该函数在某个区间上的积分，但是由于函数的复杂性，我们无法直接求解该积分。
这时，我们可以对直线进行离散化，将其分割成若干个小段，然后对每个小段进行数值计算，最后将它们相加得到近似的积分值。
这个过程实质上就是阿贝尔求和变换在几何上的解释。
阿贝尔求和变换在数学和物理中有广泛的应用。
在数学分析中，它被用于处理无穷级数的求和问题，通过将级数转化为离散的求和形式来进行计算。
在信号处理中，阿贝尔求和变换常用于对信号进行频域分析，可以将信号从时域转化为频域，从而得到信号的频谱特性。
在物理学中，它被用于描述波动现象和周期性现象，例如声音的合成和分析、电磁场的计算等等。
除了以上提到的应用，阿贝尔求和变换还有许多很有趣的推广。
例如，它可以与其他数学变换相结合，进一步扩展其应用范围。
此外，它在数学的其他分支中也有应用，如数论中对整数分割问题的研究等。
这些都表明阿贝尔求和变换具有重要的研究价值和广泛的应用前景。
综上所述，阿贝尔求和变换是数学中一个重要的概念，它通过几何的方式解释了连续运算如何转化为离散运算。
它在数学、物理和工程等领域都具有广泛的应用，而且还有很多有趣的推广。
通过对阿贝尔求和变换的研究，可以更深入地理解数学和物理问题的本质，并且为解决实际问题提供有效的数学工具。
关于阿贝尔分部求和公式引理（Abel 变换） 设{}{},n n a b 是两数列，记()111,2,...p k i i k b B -===∑，则()1111p p kkppkk k k k Ba b a b a a -===-+-∑∑．证明：把等式左边展开得: 1p k k k a b =∑()()11121112211111111pk k k k ppk k k k k k p p k k pk k p k k p p p kk k k a a B B B a a a B B Ba a a B B B Ba a a B -=-==--+==-==+-=+-=-+=-+∑∑∑∑∑-∑上式也称为分部求和公式．图是当0,0n n a b ≥≥，且{}n a 单上调增加时，Abel 变换的直观的示意．图中矩形550,0,a B ⎡⎡⎤⎤⨯⎦⎦⎣⎣被分割成9个小矩形，根据所标出的各个小矩形的面积，即得到p=5的Abel 变换：()5455111kkkk k k k Ba b a a a B ===-+-∑∑事实上，Abel 变换就是离散形式的分部积分公式．记()(),xx ag t dt G =⎰则分部积分公式可以写成B5B4a5a4B3B2a2B1a1a3()()()()()()bbaaf xg x dx G x df x f b G b =-⎰⎰．将数列的通项类比于函数，求和类比于求积分，求差类比于求微分，1k a +－k a 对应于()df x ，则两者是一致的．三 阿贝耳分部求和公式的推广及应用（一）关于数论方面的推广和应用定理 1 设1x ≥，()b n 是一个数论函数， ()()n xB x b n ≤=∑．再设()a x 是区间12,x x ⎡⎤⎣⎦上的连续可微函数，21>0.x x ≥那么有()()12n n n x x a b <≤∑＝()()22x x a B ＿()()11x x a B ＿()()21'x B x a x dx x ⎰．证明：设1n ＝1x ⎡⎤⎣⎦，2n ＝2x ⎡⎤⎣⎦．我们有（约定()0B ＝0）12(n)b(n)n a x x <≤∑=()()12<n nnx n a b ≤∑=()(){}()2111n n B n B n a n n =+--∑=－()()111Ba n n +＿()()(){}21111n n B n a n a n n -=++-∑+()()22B a n n=－()()111Ba n n +()()21111'n nn n B n a x dx n -+=+-+∑⎰()()22B a n n＝－()()111Ba n n +-()()211'nB x a x dx n+⎰＋()()22B a n n 此外还有()()111'n B x a x dx x +⎰＝()()(){}1111.B a a n n x +- ()()22'x B x a x dx n =⎰()()(){}222.B a a n x n -注意到()1B x ＝()1B n ，()2B x ＝()2B n ，由以上三式即得公式成立． 由阿贝耳求和公式可知，如果我们知道了数论函数()n b 的均值()B x 的渐进公式，那么，对于满足适当条件的函数()x a ，数论函数()()n a b n 的均值的渐进公式有可能通过定理公式得到。
（二）关于阿贝耳引理及其推广和应用1．关于级数收敛性问题定理 2 (Abel 引理 ) 设（1）{}k a 为单调数列；（2）{}k B 1,1,2,...kk i i k b B =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑为有界数列，即存在M>0,对一切k ，成立kM B≤，则()112pkkpk Ma ba a =≤+∑．证明：由Abel 变换可得，1pkkk a b=∑111111p p pkpk k p k k k k M a a a a a a BB--++==⎛⎫≤+-≤+- ⎪⎝⎭∑∑由于{}k a 单调，所以111p k k k aa -+=-∑＝1pa a-．()112pkkpk Ma ba a =≤+∑定理1 （级数的Abel 判别法）{}n a 单调有界，1n n b ∞=∑收敛，则级数1nn n b a ∞=∑敛．证明：设n a M ≤，由于1n n b ∞=∑收敛，则对于任意给定的ε＞0，存在正整数N ，使得对于一切n>N 和p N +∈,成立1p nkk nb+=+∑＜ε.对于1p nkkk nb a+=+∑应用Abel 引理，即得1p nkkk nb a+=+∑＜()12n p n aa +++≤3M ε.定理 2 （阿贝耳定理） 设0n n a ∞=∑＝s,则lim 1x -→0nnn a x∞=∑＝s.证明：容易看出0nn n a x ∞=∑＝()f x 在01x ≤≤上为一致收敛．事实上，对任给正数ε，有N 使得当n>N 时n pkk na+=∑＜ε．从而由阿贝耳引理可知同时有n p kkk na x+=∑＜nx ε，只要01x ≤≤．因此由函数数项级数的连续性定理可得lim ()1x f x -→＝(1)f ＝s.定理 2 (级数乘法原理) 令110...nnn n c a b a ba b -=+++．又设级数,,nnna b c∑∑∑都收敛．则000n n n n n n c a b ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑．证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此00nn n nn n n n n c xa xb x ∞∞∞===⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ＝12()()x x s s （01x ≤<） 于是由阿贝耳定理便可得到nn c∞==∑0lim 1nn x n c x -∞→=∑＝12lim ()()1x x x s s -→＝1lim ()1x x s -→2lim ()1x x s -→ ＝12(1)(1)s s ＝00n n n n a b ∞∞==⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑．例题1 试证211111111111(1)11...22324235234111(1...)234⎛⎫⎛⎫=-++++-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-+证明：应用阿贝耳关于级数乘法的定理，取n a ＝nb ＝()11n n+-（n=1,2,3,…）,a =0b=0,则有nc＝11n a b -+22n a b -+．．．＋11n a b -＝()1n-nω，此处n ω＝()()()()1111 (11223311)n n n n ++++---- (2)n ≥显然有n n ω=(1+()11n -)+(2+()12n -)+…+(()11n -+1) =2(1+12+…+()11n -)＝2ln n ＋2γ+o(1) (n →∞) 其中γ为欧拉常数．于是n ω0→．又因为（n+1）1n +ω－nnω＝2n n （nω－1n ω+）＝1n ω+－［（n+1）1n ω+－n nω］=1n ω+－2n>0 故得nω0↓．从而由莱布尼兹收敛判别法可见级数0n n c ∞=∑＝()21nn ∞=-∑nω是收敛的，最后由级数乘法原理可知该命题是成立的． 例题2 设0,0,0p αβ>>>．试证二重级数()(),cos pm nm n m n θφαβ+∑+为收敛的．分析：不难看出(),1111cos 4cos cos 22m nm nk j k j sθφθφ===+<∑∑ 以及,m n b －1,m n b +＝()110m p mp dxx n ααβ++>⎰+，,m nb－－,1m n b +＋1,1m n b ++=()112(1)0m n p mnp p dx dy x y αβαβ++++>⎰⎰+，其中,m n b ＝()pm n αβ-+0→（当m+n →∞时）．2．关于级数求和问题例题11111 (234)-+-+=ln2.证明:当01x ≤<时，可得 ()111n n-∞-∑nx ＝ln(1+x)故得()111n n-∞-∑＝()11lim lim 111n nx x nx---∞→→=-∑ln(1+x)＝ln2. 例题2 设1,1,.a b a b >->-≠求证()()11n n a n b ∞=++∑＝1011a bdx b a x x x ----⎰ 证明：显然左端的级数是收敛的，把它写成()()11n n a n b ∞=++∑＝1111.n b a n a n b ∞=⎛⎫- ⎪-++⎝⎭∑， 而作函数()f x ＝1b a-1n a n bn a n b x x ++∞⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭∑ （1x <） 从而'()f x ＝1b a-()111n a n b xx∞+-+--∑＝1b a -（11a bx xx x ---）． 由于(0)f ＝0,故 ()f x ＝01()1a bxdt b a tt t ---⎰（01x ≤<）因此， 应用定理便可得到要证明的等式．（三）关于连续变量的阿贝耳分部求和公式及其应用当下标n 变成连续变量时，与和差变换相应的是分部积分公式，与阿贝耳引理相应的是鲍纳的积分中值定理．我们已经熟悉掌握了黎曼积分的初步知识，所以这里可以把一些命题变成较一般的形式．定理1（分部积分法）设黎曼积分()()bax df x α⎰存在，则()()baf x d x α⎰也存在，并且有分部积分公式()()baf x d x α⎰＝[]()()ba f x x α－()()bax df x α⎰．证明：以π表示［a,b ］的任意划分：π：a=012...n x x x x <<<<=b, 并记π＝max(1v v x x --)（1v n ≤≤）.应用和差变换于积分和 ()()()()11,nkk kk fx x σπξααξ-=⎡⎤=-⎣⎦∑，其中计值点组 ()12,,...nξξξξ=适合1k kkx xξ-≤≤ （k=1,2,…,n ）,我们得到(),σπξ=10111()[()()]()()()()n k n k k n k f f f f x x x αααξξξξ-+=--+-∑＝1()[()()]a f f a αξ--111()[()()]n k k kk f f x αξξ-+=--∑- ()[()()]()()()()nb f b f b f b a f a αααξ-+-＝(),()()()()b f b a f a αα-Ξ+-∑∏， 其中∏为划分0121...nn a b ξξξξξ+=<<<<<=，而计值点组Ξ＝121(,,...,,)n a b x x x -， 于是(),Ξ∑∏为积分()()bax df x α⎰的积分和，并且∏＝max(1vv ξξ--)2π≤ (11v n ≤≤+)所以令0π→时，便得()()baf x d x α⎰＝()()0lim ,lim ,()()()()b f b a f a πσπξαα→∏→=-Ξ+-∑∏＝－()()bax df x α⎰＋()()()()b f b a f a αα-注意：若()f x 连续而()x α为有界变差的函数，则积分()()baf x d x α⎰存在．而由本命题可知，当()x α为连续而()f x 为有界变差时，积分()()b af x d x α⎰也存在．定理2 （第一中值定理）设()x α为一单调函数而()f x 为实值连续函数，则有中值公式()()baf x d x α⎰＝[]()()()f b a ξαα- （a b ξ≤≤）．提示：此命题的证法与通常黎曼积分的中值公式证法相似．定理3 （第二中值定理）设在［a,b ］上()x α为一实值连续函数而()f x 为一单调函数．则必有,ξa b ξ≤≤，使得()()baf x d x α⎰＝()f a ()ad x ξα⎰＋()f b ()bd x ξα⎰．提示：应用分部积分公式后再应用第一中值定理即得． 例题1设1()x g 和2()x g 满足12()()x xaat dt t dt g g≤⎰⎰ ()a x b ≤<12()()bba at dt t dt gg=⎰⎰．又设()f x 为非增函数，则12()()()()bbaax dx x dx f x g f x g≤⎰⎰证明：令G(t)= 21()()xa t t dt g g ⎡⎤-⎣⎦⎰,则G(x) ≥0 ()a x b ≤≤. G(a)=G(b) =0,所以有2()()bat dt f t g⎰－1()()bat dt f t g⎰＝()baf t d ⎰G(t)＝[]()()ba f t G t －()()b aG t df t ⎰ ＝－()()baG t df t ⎰0≥．例题2 不等式()()()bb b adt f t g t dt ft λ-≤⎰⎰()a adt ft λ+≤⎰（1）（式中()bag t dt λ=⎰） 对每一个不增的函数()f t 都成立的充分必要条件是函数()g t 对所有[,]x a b ∈满足0()bxg t dt b x ≤≤-⎰且0()xag t dt x a ≤≤-⎰ (2) 成立．证明：必要性：设{1()0()()t x t x f t ≤>=，则不等式(1)给出()xag t dt x a ≤-⎰（a x a λ≤≤+），（3） ()bx g t dt ⎰≥0 (a x b λ+≤≤),(4)设a x b λ+≤≤，则有(4)得 ()x a --()xag t dt ⎰=()x a λ--+()bxg t dt ⎰0≥.设a x a λ≤≤+，则有（3）得()bxg t dt ⎰＝λ－()xag t dt ⎰≥λ－（x a -）＝a ＋λ－x 0≥所以（3）和(4)对所有的[,]x a b ∈都成立．同样可证()xag t dt ⎰0≥，()bxg t dt ⎰≤b x -对于所有的[,]x a b ∈成立．所以当不等式（1）对所有的不增的()f t 成立时不等式(2)成立．充分性：由已知可得()a adt ft λ+⎰－()()b af tg t dt ⎰＝[][]()()1()a af t f ag t dt λλ+-+-⎰＋[]()()()ba f a f t g t dt λλ++-⎰12I I =+利用分部积分公式()()()()(())()bbbxaaaax f x dx f b t dt t dt df x ϕϕϕ=-⎰⎰⎰⎰容易看出当（2）式成立时1I ＝()1()()a x a a g t dt df x λ+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()[]()()a xa a x a g t dt d f t λ+⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰⎰0≥2I ＝()()bb a x g t dt df x λ+⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰0≥所以（1）右边的不等式成立．同样的道理可以证明左边的不等式也成立．。
