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定积分的分部积分法PPT课件

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高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt

高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt

(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2

定积分的分部积分法微课课件

定积分的分部积分法微课课件
b
uv
b a

a vu dx .
b
定积分的分部积分公式
注：将被积的两个函数按照“反、对、幂、指、三”的顺 序排到前面的选为u，后面的选为v’。 如， 幂 原式= 三
选x为u，cosx为v’ 则v为sinx
二、例题分析
例1 计算
（反、对、幂、指、三)
幂 对 解：选lnx为u，x为v’,则v为
0
1
(3) x arctan xdx
0
1
下节请关注 “反常积分”
原式=
例2 计算
幂 对
解：选lnx为u，1为v’,则v为 原式=
4本节小结
1、定积分的分部积分法
a uvdx uv a a部积分法计算简单定积分
5课后练习
请计算下列定积分
(1) arctan xdx
1 e
(2) xe x dx
定
微
列
------之七分部积分法
目录
1 2 3 4 5
CONTENTS
曲边梯形的面积 定积分的概念 定积分的几何意义 微积分基本定理1 微积分基本定理2
6 7
8 9 11
定积分的换元积分法
分部积分法
反常积分
定积分的应用一面积 定积分的应用三
10 定积分的应用二旋转体的体积
一、复习引入
设函数 u( x )、v ( x )在区间a , b上具有连续导数， 则有 uv dx uv

u vdx .
不定积分的分部积分公式
注：一般情况下，将被积的两个函数按照“反、对、幂、 指、三”的顺序排到前面的选为u，后面的选为v’。
如， 幂 原式= 三 选x为u，cosx为v’ 则v为sinx

《分部积分法》课件

《分部积分法》课件

02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。

高数课件-分部积分法

高数课件-分部积分法

2021-10-3
bx
b
a (a f (t)dt)dx a (b x) f (x)dx .
证
bx
x
b
b
x
( f (t)dt)dx x f (t)dt xd( f (t)dt)
aa
a
a
a
a
b
b
ba f (t)dt a xf (x)dx
b
b
a bf (x)dx a xf (x)dx
22-1
例5 求積分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx xsin(lnx) xd[sin(lnx)]
x
sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
xsin(lnx) xcos(lnx) xd[cos(lnx)]
x[sin(lnx) cos(lnx)] sin(lnx)dx
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求積分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
b
a (b x) f (x)dx
22-1
例 5.5.12 证明
2021-10-3
In
2 sinn xdx
0
2 0
cosn

定积分的换元法和分部积分法课件

定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。

高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法

高数课件-定积分的换元积分法与分部积分法
0 ( 1
sin t
t
dt )d(
x2 2
)
[ x2
2
x 1
2
sin t
t
dt
]10
1 0
x2 2
sin x2 x2
2 xdx
0
1
0
x
sin
x
2dx
1 (cos1 1) 2
1
例13 设f (t)连续, f (1) 0 , 解
1
例14 證明
n1n331 ,
n n2 4 2 2
n 為偶數
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
2
∴
原式 = a 2
2 cos2 t d t
0
a2 2
2 0
(1
cos
2
t)d
t
y
y
a2 x2
a2
4
o
ax
1
例2 求 0a
1
dx
(x2 a2)3
(a 0)
解 令x a tant, dx a sec2 t d t
当 x 0 时, t 0; x a 时, t
t dt 1
1 t2
2
1
12(1
t
2
)
1 2
d (1 t 2 )
3
12 1t2 2
1 2
1 3
2 2 3
3 2
1
例4
1 x2 1
1
x4
dx 1
1 x2
1
2x 1 x4 1
2x dx
1
1 x2
1
dx
2x 1
1 1
x
2x 4 1

D54定积分的分部积分法-PPT精选文档


4 4 tan x sec xtan x0 0 xdsec


2 2 xsec xdx 2 4 sec x 1sec xdx 2 4 tan 0
0




2 4 sec3 xdx 4 sec xdx

0


0
4 2 1 2 14 x dx sec xdx ln sec xtan x sec 0 2 2 2 2 0 2 1 ln 2 1 P154 2 2
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b b ( udv uv vdu ) a a a
b
例. 计算
0 arcsinxdx.
1 2
1 2
x 解: 原式 = x arcsin

0
0
1 2
x 1 x
2
dxΒιβλιοθήκη 1 π 11 2 2 2 2 ( 1 x) d ( 1 x) 0 12 2 1 1 π 2 (1 x2)2 12 0 π 3 b b b 1 uv vdu 12 2 a udv a a
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 证:
两端在 [ a ,b ]上积分
b b b u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x ) d x u (x )v (x ) a a a b b b (x u (x )v (x )d x )v (x )d x u ( x ) v ( x ) u a a a
t
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例 计算 0 4 cos x dx.

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt

定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法

《分部积分法》课件


实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。

详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从

二定积分的分部积分法-PPT精选文档


13 2 ( t 3 )d t 21 3 22 1 13 ( t 3t) 23 3 1
YANGZHOU UNIVERSITY
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例3. 设 f ( x ) C [ a , a ] ,
a a a
偶倍奇零
a 0
( x ) f ( x ) ,则 (1) 若 f x ) d x 2 x ) d x f( f(
YANGZHOU UNIVERSITY
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例2. 计算
4
0
t2 1 x 1 ,则 x ,d x td t, 且 解: 令 t 2 2 , t 3. 当 x0 时 , t 1; x4时
∴ 原式 =
x2 d x. 2x1

t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
( x ) f ( x ) , 则 )d x 0 (2) 若 f f(x
a
证:
a f (x)dx a f (x) dx 0 f (x)dx
f (t)dt f (x) dx
a
a
0
a
a
x ) f( x ) ] d x [f(
0
0 a
0 n sin ( t)d t 2
0

2
sin n 1 ) sin x cos x , sin x ,则 u sin x ,v v cos x
1 ( ) a , ( ) b ; ( t ) C [ , ] , 1)
则
, ] 上 a ( t ) b , 2) 在[ b (t ) d (t )] f ( x ) d x f [ t a
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n
1 1

n n n

3 2 3

... ...
3 4 4

1 2 2
，n为正偶数，
2 ,n为大于1的正奇数.
n n2 5 3

证
In

2
0

sin n1
xd cos
x
预科部：melinda




sin n1
x
cos
x
2 0

n
0
xf

x
dx
.
解
f x sin x2 2x 2sin x2
x2
x
f
1

1
1
sin t
tdt

0
1
0
xf
xdx

1
0
fxd x 2 预科部：melinda

x2 2
f
1
x0

1
0
x2 2
df
x

f
1
2

1
0
x2 2
预科部：melinda
In2

n n

3 2
In4
,,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m

2m 1 2m
2m 2m

3 2

2m 2m

5 4
...5 6

3 4

1 2

I0
I 2 m1

2m 2m
1
2m 2m
2 1

2m 2m

4 3
...
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对
于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求
差，另一项
b
a vdu
仍按定积分继续计算.
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u和v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求
定积分，应观察积分区间是否关于原点对称，
被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊
6 7

4 5

2 3

I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0


2
0
sin
0
xdx


2
, I1


2
0
sin
xdx
1

In

2
0
sin
n
xdx

n
n
1 n 1
n n n

3 2 3
... ...

3 4 4

1 2 2
，n为正偶数，
f xdx

1 0
x2 2
2sin x
x2
dx

1 0
x sin
x2dx


1 2
1
0 sin
x2dx2

1 2
cos x2
1 0

1 cos11
2
预科部：melinda
例4 证明定积分公式


In

2
0
sin n xdx

2
0
cosn xdx

n n
定积分公式简化定积分的运算.
预科部：melinda
二、例题
例1 计算 1 xexdx . 0
解
1 xexdx 1 xdex
0
0

xex
1 0

1exdx
0
e
ex
1 0
1
预科部：melinda
2
例2
计算
4
0
sin
xdx .
2
解
4
0
sin
xdx
x

t 0, t

x, dx 2tdt
0; x 2 ,t


2 2 0
t
sin tdt
42

202 td cost



2t
cos
t
2 0

2 2 0
cos tdt
预科部：melinda


2sin
t
2 0

2
例3
设
f

x


x2
1
sin t
tdt
，求
1
2 , n为大于1的正奇数.
n n2 5 3
预科部：melinda
预科部：melinda
预科部：melinda
1 2 sin n2 0
x
cos2
xdx

n 102 sin n2 x1 sin 2 xdx


n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In

n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx

uv
b a

b
a
uvdx；
或
b
a
udv

uv
b a

b
a
vdu
2.说明
预科部：melinda