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时取“ （当且仅当________时取“＝”号）． 当且仅当 a=b 时取 基本不等式的变形： 基本不等式的变形：
a+b . 如果 a ≥ 0, b ≥ 0, 则a + b ≥ 2 ab.或 ab ≤ 2 a+b 2 ). 或ab ≤ ( 2
时取“ （当且仅当a=b时取“＝” 当且仅当 时取 号）．
z ≥ 297600
设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm 设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面 的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的 的宽与高的比为a(a<1)，画面的上下各留出8cm的 a(a<1) 8cm 空白，左右各留5cm的空白， 5cm的空白 空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与 宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 设宣传画的宽为xcm，面积为S ，面积为 设宣传画的宽为
① ② ③ ④
a + b ≥ 2 ab a + b − 2 ab ≥ 0
( a − b)2 ≥ 0
要证②，只要证 要证③ ，只要证
显然， ④是成立的，当且仅当a=b时， ④中的等号成立
知识要点： 知识要点： 1. 基本不等式： 基本不等式： 如果a≥0，b≥0，那么 ， 如果 ，
a+b ≥ ab . 2
基础知识
重要变形2 重要变形
2ab a+b a 2 + b2 若a > 0, b > 0, 则 ≤ ab ≤ ≤ ， a+b 2 2 由小到大） 当且仅当a = b时取等号。 （由小到大）
应用基本不等式求最值的条件： 应用基本不等式求最值的条件： ab ≤ a + b
2
（ a＞0，b＞0）
一正
二定
a + b =2ab
2 2
数的角度
当a=b时 时 a2+b2－2ab =(a－b)2=0
问题2：当 a,b为任意实数时，a +b ≥ 2ab 成 问题2 a,b为任意实数时， 为任意实数时
2 2
立吗？ 立吗？
结论：一般地，对于任意实数a 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a + b ≥ 2a ⋅ b
2
a+b=18
∴当a=b=9时，积ab最大为81
不等式 ab ≤
a +b 是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用， 是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用， 2
是解决最大（ 是解决最大（小）值问题的有力工具。 最大 问题的有力工具。
1 1 (1) x x ; 例： 已知 > 0,求 + 的最值 x 1 (2) x x ; 已知 < 0,求 + 的最值 x 1 ( 3 )若 x > 3 ,函数 y = x + ,当 x 为何值时，函数 为何值时， x−3 有最值，并求其最值。 有最值，并求其最值。
240000 + 720(x + y) ≥ 240000 + 720 × 2 xy
z ≥ 240000 + 720 × 2 1600
即
当x=y,即x=y=40时,等号成立 x=y,即x=y=40时 所以,将水池的地面设计成边长为40m 40m的正方 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600 297600元 形时总造价最低,最低总造价为297600元.
设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z xm,宽为ym,水池总造价为 解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意, 根据题意,有: 4800
z = 150 × + 120(2 × 3x + 2 × 3y) 3 = 240000 + 720(x + y)
由容积为4800m 可得:3xy=4800 由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质, 由基本不等式与不等式的性质,可得
二、利用基本不等式求函数的最值
12 例2.（ ）若x > 0，求f (x) = + 3x的最小值。 1 x 12 (2)若x < 0，求f (x) = + 3x的最大值。 x （3）已知a > 0, b > 0, 且4a + b =1, 求ab的最大值。 4 （4）已知x > 2, 求x + 的最小值。 x −2 4 9 （5）已知x > 0, y > 0, 且x + y =1, 求 + 的最小值。 x y
1 2 ( x − 3) ⋅ ≥ +3= 5 x−3 1 ,即 x = 4时，函数有最大值， 函数有最大值， 当且仅当 x − 3 = x−3 最大值为 5。
一利用基本不等式证明不等式
例1.（ ）证明不等式：a 4 + b4 + c 4 + d 4 ≥ 4abcd ; 1 （2）已知：a > 0, b > 0, 且a + b = 1 ， 1 1 求证： + ≥ 4. a b
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， 若等号成立， a与b必须能 够相等
注意
1、两个不等式的适用范围不同; 、两个不等式的适用范围不同 适用范围不同 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等 、一般情况下若“ ”存在时， 号成立的条件； 号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数 、运用重要不等式时，要把一端化为常数 定值）。 （定值）。 一正 、二定 、三相等
1 1 解: x + ≥ 2 x ⋅ = 2 x x 1 x 2 时原式有最小值. 当且仅当 = 即x = 1 结论1 两个正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 x
1 1 1 2 解: x + = −[(−x) + (− )] ≤ −2 (− x) ⋅ (− ) = −2 、 x x x 1 当且仅当 x = − 即x = −1 − 时有最大值 2. − x 3 解: x > 3 Q 、 1 1 ∴y = x + = (x - 3) + +3 x−3 x- 3
2 2
证明： 证明： a2 + b2 − 2ab =(a−b)2 ≥0 Q
∴
a2 + b2 ≥ 2ab
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 a , b 分别代替a，b，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得 a + b ≥ 2 ab
a +b ab ≤ 2
分析法证明基本不等式 要证 只要证
（ a＞0，b＞0）
基本不等式
a +b ≥ 2
ab
2 2
当且仅当a=b时 当且仅当a=b时，等号成立 a=b 此不等式称为重要不等式 此不等式称为重要不等式
类 比 联 想
＞ ＞ （特别的）如果 a＞0 ,b＞0 , 特别的）
用 a和 b代替a、b, 可得 a + b ≥ 2 ab
也可写成
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a=b 时“＝”号成 立 此不等式称为基本不等式 此不等式称为基本不等式
【应用练习】
写成两个正数的积， （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ ） 写成两个正数的积 当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ ∵ a + b ≥ 2 ab ∴当a=b=6时，和a+b最小为12
ab=36
写成两个正数的和， （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ） 写成两个正数的和 当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ∵ ab ≤ ( a + b )2
分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 3m, 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了. 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。
一．知识要点 2. 利用基本不等式求最值问题： 利用基本不等式求最值问题：
果 如 a ≥ 0, b ≥ 0, 那 a + b ≥ 2 ab或ab ≤ ( 么
a+b 2 ). 2
），那么 （1）如果 ，b＞0，且ab＝P（定值），那么 ）如果a， ＞ ， ＝ （定值）， a+b有最 小 值______(当且仅当 a=b 时取“=”）. 有最____值 2 p 当且仅当 当且仅当_____时取 时取“ ） 有最 定值）， （2）如果 ，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么 ）如果a， ＞ ， ＋ ＝ 定值），那么 1 2 s ab有最 大 值______(当且仅当 a=b 时取“=”）. 有最____值 4 当且仅当______时取 时取“ ） 有最 当且仅当 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。 利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
例:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, 3m.如果池底每平方米 其容积为4800m 深为3m. 其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米 的造价为150 150元 池壁每平方米的造价为120 的造价为150元,池壁每平方米的造价为120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造 怎样设计水池能使总造价最低? 价是多少? 价是多少?
a+b a＞0 ,b＞0 , a b ≤ ＞ ＞ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a=b 时“＝”号成立 此不等式称为基本不等式
概念： 概念：
