高考数学大一轮复习第3章第3节三角函数的图象与性质课件文新人教版

解析： f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin 4x， ∴T＝24π＝π2.
答案：
π 2
3．(2010·北京卷)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求fπ3的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．
解析： (1)fπ3＝2cos23π＋sin23π－4cosπ3 ＝－1＋34－2＝－94.
∴f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．
答案： B
4．比较大小，sin－1π8________sin－1π0.
解析： 因为y＝sin x在－π2，0上为增函数且－1π8＞－1π0， 故sin－1π8＞sin－1π0. 答案： ＞
5．函数y＝sinx＋π3，x∈0，π3的值域是________．
【变式训练】 3.(1)求函数y＝sin π3－ห้องสมุดไป่ตู้x ，x∈[－π，π]的单调递减 区间；
(2)求y＝3tanπ6－4x的周期及单调区间．
解析： (1)由 y＝sinπ3－2x得 y＝－sin2x－π3， 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ 得 －1π2＋kπ≤x≤152π＋kπ，k∈Z. 又 x∈[－π，π]， ∴－π≤x≤－172π，－1π2≤x≤152π，1112π≤x≤π. ∴函数 y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－172π， －1π2，152π，1112π，π.
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z，x∈R
解析： ∵x－π4≠kπ＋2π，∴x≠kπ＋34π，k∈Z. 答案： D
3．(2010·陕西卷)对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是 ()
A．f(x)在π4，π2上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析： ∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，

考点一 三角函数的定义域与值域 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
)
A．2－ 3
B．0
C．－1
D．－1－ 3
解析
2．(易错题)函数 y＝tan 1x－1的定义域为__________________． tan x－1≠0，
减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减
函数 答案：B
3．(教材习题改编)函数 y＝－tanx＋π6＋2 的定义域为 ________________．
答案：xx≠kπ＋π3
，k∈Z
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调 性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
[即时应用]
1．函数 f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______． 解析：由已知函数为 y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减 区间，只需求 y＝sin2x－π3的单调增区间即可． 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)． 答案：kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)
1．下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是
()
A．y＝cos 2x
B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x 答案：B
D．y＝sin2x－π2
2．(教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是 ()
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是

∴φ=-ωx0=-
2
(3
2)=
3
.
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解法四：（平移法）
由图象知，将y=5sin
2 3
x的图象沿x轴向左平移
2
个单
位，就得到本题图象.故所求函数解析式为
y=5sin〔 2 ( x+ )〕=5sin( 2 x+ ).
3
2
33
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考点三 三角函数图象的对称性
已知函数y=sin2x+acos2x= 1 a2 sin(2x+φ)(其中
3
(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，
“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.
(3)已知函数图象求函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的解题 方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由 周期确定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由
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图象求得的y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯 一,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不 确定,解析式也就不唯一.
学案3 三角函数的图象
考点分析
1. “五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A＞00,,ω,＞,30)的,2简图
五点的取法是：设X=ωx+φ，由X取 2 2 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.
2.变换作图法作y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0）的 图象
(1)振幅变换：y=sinx→y=Asinx 返回目录
以“五点法”中的第一零点(
,0)作为突破口，要从图
象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特

第三节 三角函数的图象与性质
[考情展望] 1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函 数的有关性质(单调性、奇偶性、周期性和对称性).3.考查三角 函数的值域(最值)．
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
x∈R
x∈R 且 x≠π2 ＋kπ，k∈Z
x
＝2 3cosx＋π6. ∵x∈[0，π]，∴π6≤x＋π6≤76π，
∴－1≤cosx＋π6≤ 23，
∴－2 3≤2 3cosx＋π6≤3. ∴y＝3cos x－ 3sin x 的值域为[－2 3，3]．
③法一：y＝sin xcos x＋sin x＋cos x
性
k∈Z
最小正
2π 周期
kπ＋π2，0， k∈Z
k2π，0，k∈Z
x＝kπ，k∈Z 无对称轴
2π
π
三角函数奇偶性的判断技巧 1．若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)． 2．若 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)．
(【1)尝y＝试s解in答－】3x＋(π41；)y＝(2－)y＝sin|ta3nx－x|.π4， 它的增区间是 y＝sin3x－π4的减区间， 它的减区间是 y＝sin3x－π4的增区间． 由 2kπ－π2≤3x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z， 得23kπ－1π2≤x≤23kπ＋π4，k∈Z.

－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
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(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
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考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
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【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
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cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
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解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)). (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)). (3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)). (4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)). (5)tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
可得 3sin 18°(1－sin 18°)(1＋sin 18°)－(sin 18°－1)· (sin218°－sin 18°－1)＝0，
可得(1－sin 18°)[3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18° －1]＝0，
可得 3sin 18°(1＋sin 18°)＋sin218°－sin 18°－1＝0， 可得 4sin218°＋2sin 18°－1＝0， 解得 sin 18°＝－22＋×24 5＝ 54－1(负值舍去).
题组三 真题展现
4.(2021 年全国乙)cos21π2－cos251π2＝(
)
1
3
2
A.2
B. 3
C. 2
3 D. 2
答案：D
5.(2021 年新高考Ⅰ)若 tan
θ＝－2，则sinsinθθ1＋＋csoins
2θ θ
＝( )
A.－65
B.－25
2 C.5
6 D.5
答案：C
考点一 公式的直接应用 [例 1](1)(2020 年全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且 3cos 2α－ 8cos α＝5，则 sin α＝( )

解析:由 x∈[0, π ]得 2x- π ∈[- π , 3π ],
2
4
44
所以 sin(2x- π )∈[- 2 1].
4
2
即函数 f(x)在[0, π ]上的最小值为- 2 .
2
2
故选 B.
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4.若函数 f(x)=-cos 2x,则 f(x)的一个递增区间为( B )
(A)(- π ,0) (B)(0, π )
③y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1;
④y=sin |x|是偶函数.
其中是假命题的是
.
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解析:①错误.不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数 f(x)=C(C 为常数)的周期为任意非零实数,但没有最小正周期.
②错误.正切函数 y=tan x 在每一个区间(kπ- π ,kπ+ π )(k∈Z)
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夯基固本
考点突破
思想方法
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夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 见附表
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基础自测
1.(2014 高考陕西卷)函数 f(x)=cos(2x- π )的最小正周期是 6
(B )
(A) π 2
(B)π
(C)2π (D)4π
解析:∵T= 2π =π,∴选项 B 正确. 2
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编写意图 三角函数的图象与性质是高考的重点,一般会以选择 或解答题的形式出现.主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性等.本节按照上述要求设置三个考点,主要 强化对三角函数图象、性质的理解、掌握.在习题设置上突出了数学 思想方法的应用,并在选题上引入了自主招生的数学试题放置在“思 想方法”与“探究创新”中供同学们欣赏体验.