D12_5函数的幂级数展开式的应用课件

即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有

2!
n!
返回
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
1
(n
1 1)2
)
1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
0x
3 3! 5 5!
返回
三、欧拉(Euler)公式
对复数项级数
①
若un u , vn v, 则称 ① 收敛 , 且其和为 u i v.
n1
n1
若 un i vn un2 vn2 收敛, 则称 ① 绝对收敛.
n1
n1
由于 un un2 vn2 , vn un2 vn2 , 故知
e 11 1 1 1
2! 3!
8!
2.71828
返回
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
20 20 6 20
r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
(un i vn ) 绝对收敛
un , vn 绝对收敛
n1
n1 n1
(un i vn ) 收敛 .
n1
返回
定义: 复变量
的指数函数为
易证它在整个复平面上绝对收敛 .
当 y = 0 时, 它与实指数函数 e x 的幂级数展式一致.
当 x = 0 时,
ei y 1 i y 1 (i y)2 1 (i y)3 1 (i y)n

n 1 f n 1 R x x x , 介 x 于 与 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 !
——拉格朗日余项
2.级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质
1
一、泰勒级数 问题：给定函数 f x, 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 f x? 若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数. 泰勒公式： 若函数 f x在 x 0 某邻域内有直到 n1 阶的导数，则 n f x f x 2 n 0 0 (1) f x f x f x x x x x x x R x 0 0 0 0 0 n 2 ! n ! n 1 f n 1 R x x x , 介 x 与 于 x 之 ， 间 n 0 0 n 1 ! ——拉格朗日余项
2 n 0 f x a a x a x a x a 0 f 0 1 2 n 2 n 1 f 0 f x a 2 a x 3 a x na x a 1 1 2 3 n
即
f n 0 n ! a n 1 n n 1 2 a x f x an n n 1 n! n f 0 f 0 2 n f x f 0 f 0 x x x 得证 2 ! n !
问题: （1）x x0 时, 级数(3)是否收敛? （2）若级数(3)收敛, 是否收敛于 f x?
n f x f x 2 n 0 0 x f x 则 f x 设 在 定理 : 在该邻域内能展 f x f x f x x x x x x x 某邻域内有任意阶导数， 0 0 0 0 0 0 2 ! n ! 成泰勒级数(3)的充分必要条件是

把展开式
把上面两式进行相减，得到不含 有偶次幂的展 开式：
12.5 函数的幂级数展开式的应用
1 x 1 3 1 5 ln ln(1 x ) ln(1 x ) 2 x x x 1 x 3 5 ( 1 x 1) 1 1 x 1 x 2 ，解出 令 ，以 x 代入最后一 3 1 x 3
个展开式，得
1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 3 5 7 3 3 3 5 3 7 3 如果取前四项作为 ln 2的近似值，则误差为
12.5 函数的幂级数展开式的应用
于是取
1 1 1 1 1 1 r4 2 9 11 13 13 3 9 3 11 3 2 2 1 1 11 1 3 9 9 2 1 1 1 11 9 3 1 1 4 3 70000 9
1 1 1 1 1 1 1 ln 2 2 3 5 7 3 3 3 5 3 7 3
12.5 函数的幂级数展开式的应用
同样地，考虑到舍入误差，计算时应取五位小数：
1 0.33333, 3 1 1 3 0.01235 3 3 1 1 7 0.00007 7 3
在积分区间 0,1上连续，将被积函数展开，有
sin x x2 x4 x6 1 ( x ) x 3! 5! 7!
在区间[0，1]上逐项积分，得：

sin x 1 1 1 dx 1 0 x 3 3! 5 5! 7 7!
1
12.5 函数的幂级数展开式的应用
12.5 函数的幂级数展开式的应用
1 0.0001 ，于是有 要使 n ! n 1 1 1370 e 2 2.7183 2! 7! 504 例 2 求sin100 的近似值．

26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
函数的幂级数展开（精选）
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。 Nhomakorabea▪
谢谢！
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