高考高考数学最后预测试题五：题型预测

2025届重庆市巴南区高考数学考前最后一卷预测卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞2．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc -=（ ）A ．32B ．12C ．14D ．184．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．623+B ．622+C ．8D ．65．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >6．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．47．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种8．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．10．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．812．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省达州市（新版）2024高考数学统编版（五四制）考试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题过直线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若，则（）A．8B．C．D．10第(2)题已知，则（）A．B．C．D．第(3)题满足等式的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第(4)题棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的.若复数满足，复数对应的点在复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(5)题平面内三个单位向量，，，满足，若，则（）A．B．C．2D．第(6)题表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件第(7)题定义域均为D的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.已知函数，，是关于的“对称函数“，记的定义域为D，若对任意，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是（）A．.B．.C．.D．.第(8)题从1，2，3，4，5，6这六个数字中任意选出两个数字，则这两个数字之和为5的倍数的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32第(2)题如图，已知正方体棱长为4，Q是上一动点，点H在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，P是侧面内一动点，且点P到平面距离等于线段的长，下列说法正确的是（）A．平面B．与平面所成角的正切值得最大值为C．的最小值为D．当点P运动时，的范围是第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，点，直线与椭圆交于、两点，则（）A．的最大值为B．的内切圆半径C．的最小值为D．若为的中点，则直线的方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．第(2)题已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值构成的集合为______．第(3)题已知函数在处的切线方程为，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，.（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；（2）求证：（，且）.第(2)题函数，(1)求函数的定义域；(2)求函数的零点；(3)若函数的最小值为，求的值第(3)题已知椭圆C：的焦点，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围．第(4)题已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为.(1)求双曲线的标准方程；(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上.第(5)题下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？。

2025届内蒙古呼伦贝尔市高考数学考前最后一卷预测卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 22．若()*13nx n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π3．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．64．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤5．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．136．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．64B ．104C ．55D ．1557．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m9．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知圆锥的高为33体积的比值为( )A ．53B ．329C ．43D ．25911．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 212．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省蚌埠市（新版）2024高考数学统编版（五四制）考试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题已知圆锥的底面半径为R，高为，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（）A．B．C．D．第(3)题某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(－X)的值为( )A．B．－C．D．－第(4)题定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，；记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知非零向量，，若，则（）A．B．C．D．2第(6)题在△ABC中，AB=2，AC=3，则BC=______A．B．C．D．第(7)题已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．第(8)题已知是纯虚数，则的值为（）A．-1B．1C．2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题（多选题）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A ．的图象关于直线对称B．在上是增函数C．的最大值为D．若，则第(2)题已知函数，则（）A．B．的最大值为C ．在单调递减D ．在单调递增第(3)题已知点在圆上，点在圆上，则（）A．两圆外离B．的最大值为9C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为___________.第(2)题某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为________.（参考数据：若随机变量，则，，）第(3)题已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论在上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意，都有？若存在，求a 可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．第(2)题等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 15=17，S 10=55．数列{b n }满足a n =l o g 2b n ．（1）求数列{b n }的通项公式；（2）若数列{a n +b n }的前n 项和T n 满足T n =S 32+18，求n的值．第(3)题已知函数．(1)若有3个零点，求a 的取值范围；(2)若，，求a 的取值范围．第(4)题在中，已知，.（1）求的值；（2）若，为的中点，求的长.第(5)题记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．。

河南省安阳市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（）A．11B．9C．0D．第(3)题某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（）A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理D．该问题中的样本容量为100第(4)题若，且满足，则（）A．B．C．D．第(5)题若复数，则（）A．B．C．D．10第(6)题一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A．B．C．28D．第(7)题（）A．B．C．D．第(8)题对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（）.A．茶水温度与时间这两个变量负相关B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点D．当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为第(2)题如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，圆锥的内接圆柱的底面半径为，圆柱的体积为，则（）A．圆锥的表面积为B．圆柱的体积最大值为C．圆锥的外接球体积为D．第(3)题设函数的定义域为R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T为函数的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（）A．函数是“类周期函数”B．函数是“类周期函数”C．如果函数是“类周期函数”，那么“，”D．如果“类周期函数”的“类周期”为，那么它是周期为2的周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_____________．第(2)题已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是__________当时，记，若，则整数__________．第(3)题已知函数的值域为，则的定义域可以是______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆：的焦距为，且.(1)求的方程；(2)A是的下顶点，过点的直线与相交于，两点，直线的斜率小于0，的重心为，为坐标原点，求直线斜率的最大值.第(2)题如图，在四棱锥中，，，是等边三角形，且，，，为的重心．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．第(3)题“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得.A充电桩投资金额/百万元3467910所获利润/百万元 1.523 4.567(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，求其线性回归方程；(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润与投资金额的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润与投资金额的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.第(4)题已知三点，为曲线上任意一点，满足．（1）求曲线的方程；（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．第(5)题已知函数．(1)求证：在上有唯一的极大值点；(2)若恒成立，求a的值；(3)求证：函数有两个零点．。

山东省潍坊市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知向量，，若实数λ满足，则（）A．B．C．D．1第(3)题设函数的图像关于直线对称，则值为A．3B．2C．1D．-1第(4)题为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是A．或或B．或C．或D．或第(5)题在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(6)题已知有两个零点，，则（）A．B．C．D．第(7)题函数的图象是A．B．C．D．第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点是坐标平面内一点，若在圆上存在，两点，使得（其中为常数，且），则称点为圆的“倍分点”.则（）A．点不是圆的“3倍分点”B ．在直线上，圆的“倍分点”的轨迹长度为C．在圆上，恰有1个点是圆的“2倍分点”D．若：点是圆的“1倍分点”，：点是圆的“2倍分点”，则是的充分不必要条件第(2)题已知函数的最小正周期为T，且在上恰有一个零点为，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，则．某次数学考试满分150分，甲、乙两校各有1000人参加考试，其中甲校成绩，乙校成绩，则（）A．甲校成绩在80分及以下的人数多于乙校B．乙校成绩在110分及以上的人数少于甲校C．甲、乙两校成绩在90~95分的人数占比相同D．甲校成绩在85~95分与乙校成绩在90~100分的人数占比相同三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中，常数项为___________.第(2)题已知集合，集合，则______.第(3)题已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题设函数．（1）求的最小值；（2）若存在，使得有解，求实数a的取值范围．第(2)题的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，的面积为，求c.第(3)题已知.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.第(4)题已知函数的最小值为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）设，且，求证：．第(5)题某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75人进行调查，得到如下列联表:性别比赛项目合计乒乓球组羽毛球组男生502575女生354075合计8565150 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生选择乒乓球还是羽毛球是否与性别有关联.(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15人.若从这15人中随机抽2人，记为抽到乒乓球组的学生人数，求的分布列及数学期望.附:0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828。

澳门2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）考试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知P是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(2)题下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与第(3)题在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A．B．C．D．第(4)题设，则是为纯虚数的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件第(5)题若复数满足，则（）A．B．C．D．第(6)题函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(7)题将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（）A．B．C．D．第(8)题已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，便是它的一种表达式，下列有关说法正确的是（）A．星形线关于对称B．星形线图象围成的面积小于2C．星形线上的点到轴，y轴距离乘积的最大值为D．星形线上的点到原点距离的最小值为第(2)题已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：012若，则（）．A．B．C．D．第(3)题某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登录，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（）A．B．数列为等比数列C．D．当时，越大，越小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题把复数的共轭复数记作，是虚数单位，若，则______，复数在复平面内对应的点位于第______象限．第(2)题在正方体的12条棱中，与平面平行的棱共有______条.第(3)题如图为一个三棱锥的三视图，则其外接球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E 2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为5时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．第(2)题如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形.（1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.第(3)题鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：甲款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率10%8%4%频数106030乙款鲁班锁玩具一等品二等品三等品单件成本利润率7.5% 5.5%3%频数503020(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．第(4)题已知函数，（e为自然对数的底）.（1）讨论的极值；（2）当时，（i）求证：当时，；（ii）若存在，使得，求实数m取值范围.第(5)题已知矩阵，.求矩阵；求矩阵的特征值.。

上海市新中高级中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差2．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C ．323D ．2333．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．25B 25C ．25-D ．254．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知集合{}|124A x x =<≤，21|65B x y x x ⎧⎫==⎨⎬-+-⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤6．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．197．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭9．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1612．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考预测：五个可能出现的数学难题
题目一：小明有3个苹果，小红有5个橘子，问：如果把小红的3个橘子换成小明的2个苹果，两人谁比较高兴？
答案：水果店老板最开心，因为他卖掉了6个水果。

题目二：有一道长为10米的围墙，墙上有一只老鼠，老鼠要从一个角跳到另一个角，问：老鼠需要跳多高？
答案：这也太难了吧，老鼠不会跳高，它能找个门进去吗？
题目三：如果一支笔的一半加上两支笔的一半等于3支笔的一半，问：一支笔的一半是多少？
答案：这题在考试中一定会引起笔记，真的不知道怎么算，不如用铅笔试试？
题目四：如果A车和B车同时从同一地点出发，A车速度为60公里/小时，B车速度为40公里/小时，A车比B车提前出发30分钟，问：多长时间后A车追上B车？
答案：谁追谁啊？他们出发前先决定好不追就不追。

题目五：有一条河宽20米，一只小船静水中的速度为2米/秒，问：小船顺流下游需要多长时间才能到达对岸？
答案：靠，不会游泳的小船还怎么能划到对岸呢？得找个有艇证的帮忙。

以上预测为虚构内容，请勿当真，希望给大家带来一些笑声。

祝愿所有考生都能在高考中取得优异的成绩！。

2025届浙江省鄞州区余姚市高考数学考前最后一卷预测卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．82．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)5．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件6．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 27．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 9．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 11．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )12．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

智才艺州攀枝花市创界学校一、总体预测1．仍将“以才能立意〞，考察学生分析问题和解决问题的一般才能及数学才能，考察学生继续学习的潜能． 3．考察内容仍将分为主干知识和根底知识，个别知识点仍有可能“不拘泥于考试大纲〞而略有拓展，但中等考生认真探究后就能获得正确结果，主干知识的重点仍为“函数、不等式、数列、圆谁曲线、直线和平面、导数、概率与统计、三角及平面向量〞，而“排列、组合、二项式定理、简易逻辑、球、线性规划〞这类非重点知识，不会出现难度较大的解答题．4．继续加强以才能为核心，全面考察根底运算才能，空间想象才能，逻辑推理才能，分析和解决问题的才能，理论才能以及思维品质的特色，“增加思维量、控制计算量〞．5．继续考察根本数学思想方法的掌握程度，特别是分类讨论思想，数形结合思想． 6．继续注重数学浯言的转译才能，考察学生阅读理解即时定义或者数学记号的程度．7．继续坚持实际应用，从考生可知、能知的领域采撷素材，设计导向性良好、模型较简单的应用题，仍保持“小题鲜活，大题不难〞的特色，除常见概率与统计、函数、不等式、数列模型外，还极有可能与教材应用题相关，设计与三角、几何相关的应用题． 8．设计开放性的探究题，考察学生的创新意识、创新才能． 二、大题预测１．17题考察三角函数，以解三角形为外衣，实际考察三角函数公式的变形使用． ２．18题考察数列、函数与不等式的小综合．３．19题为立体几何题，考察的几何体会有一条侧棱与底面垂直，注意直棱柱和有一条侧棱与底面垂直的三棱锥与四棱锥为载体的问题．４．20题为应用题，应是一道贴近生活的简单的函数、不等式的应用问题． ５．21题为解析几何问题，包含有向量的条件，注重向量与几何的转化． ６．22题为代数综合问题，应该是不与导数相关的二次函数问题．三、试题范例例1．A 、B 是ΔABC 的两个内角，a sin 22A B A Bi j +-+，其中i j 、为互相垂直的单位向量，假设6||2a =. (Ⅰ)试问tanA ·tanB 是否为定值假设为定值，恳求出；否那么请说明理由． (Ⅱ)求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状． 解答：(Ⅰ)|a |2=32∴223)(sin )222A B A B +-+=即2232cos sin 222A B A B +-+= ∴1cos()3cos()122A B A B --+++=∴cos()cos()02A B A B -+-=∴cos cos 3sin sin A B A B =∴1tan tan 3A B ⋅=为定值. (Ⅱ)tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--=tan tan 23A B+-=31(tan )23tan A A -+≤322-⋅=∴max tan|C =tan tan 3A B ==即30A B ==获得最大值，此时ΔABC 为等腰钝角三角形.(只答等腰三角形不扣分)例2．(本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ)求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ)是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n 假设存在，求出n 的值； 假设不存在，说明理由；(Ⅲ)〔文科学生不做〕假设常数p 、q 〔p ≠0，q ≠0〕满足数列}{qpn S n+是等差数列， 求p 、q 应满足的关系. 解答：(Ⅰ)当2≥n 时，)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ，得)2(41≥=--n a a n n，所以}{n a 为等差数列，且.34-=n a n(Ⅱ)假设存在满足条件的自然数n ，那么,2)(2121n n n a a S n n-=+=∴.12-=n n S n 所以2321)12(753132n n nS S SS n =-+++++=++++ ， 由4002=n ，得.20=n(Ⅲ),()(),nn S An B S An B pn q pn q=+=+++设即2,1,0Ap Ap Bp Bq =⎧⎪+=-⎨⎪=⎩02,,00=+=≠q p A B q 得消去所以因为. 例3．在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. 〔Ⅰ〕求证：不管P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ； 〔Ⅱ〕假设CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. 〔Ⅲ〕当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.解答：〔Ⅰ〕由题意可知，不管P 点在棱CC 1上的任何位置，AP 在底面ABCD 内射影为AC. ∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥AP.〔Ⅱ〕延长B 1P 和BC ，设B 1P ∩BC=M ，连结AM ， 那么AM=平面AB 1P ∩平面ABCD.过B 作BQ ⊥AM 于Q ，连结B 1Q ，由于BQ 是B 1Q 在底面ABCD 内的射影， 所以B 1Q ⊥AM ，故∠B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2BC ，BC BC BC BM AB AM 1092222=+=+=.在Rt △ABM 中，103103BC BC BC BC AM BM AB BQ =⋅=⋅=，在Rt △B 1BQ 中，得73cos 7cos 19401112=∴=+QB B QB B 为所求.〔Ⅲ〕设CP=a ，BC=m ，那么BB 1=2m ，C 1P=2m －a ，从而,)2(2221a m m P B -+=在△PAB 1中，12121212cos AB AP P B AB AP PAB ⋅-+=∠，依题意，得∠PAC=∠PAB 1， ABCDA 1D 1C 1 B 1P∴.2.2121212121212AB AC P B AB AP AB AP P B AB AP AP AC ⋅=-+∴⋅-+= 即.522])2([5222222m m a m m m m a ⋅=-+-++∴.411021101BB m a ⋅-=-=故P 距C 的间隔是侧棱的.4110- 例4．如下列图，有两条相交成60角的直线,EF MN ，交点是O ，起初，某甲在OE 上距O 点3千米的点A 处；某乙在OM 上1千米的点B 处．如今他们同时以4千米/小时的速度行走，某甲沿EF 的方向，某乙沿NM 方向． 〔Ⅰ〕求起初两人的间隔；〔Ⅱ〕用包含t 的式子表示t 小时后两人的间隔； 〔Ⅲ〕什么时候他们两人的间隔最短？ 解：〔Ⅰ〕在△ABO 中3,1,60OA OBAOB ==∠=，291231cos 607,AB AB =+-⨯⨯⨯==千米；〔Ⅱ〕设经过t 小时两人的间隔为d 千米假设30,4t≤≤那么()()()()222341423414cos60d t t t t =-++--+⋅ =()()()()2234143414t t t t -++--+；假设34t >，那么()()()()222431424314cos120d t t t t =-++--+⋅ =()()()()2234143414t t t t -++--+；0t ∴>时，2d =()()()()2234143414t t t t -++--+=248247t t -+d 〔0)t >〔Ⅲ〕d==14t =时min 2d =〔千米〕例5．点Q 位于直线3x=-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的间隔之和等于4.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ)直线l 过点()1,0M交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+，0EP AB =，又OE =(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？假设能，求出此时直线l 的方程；假设不能，请说明理由. 解：〔Ⅰ〕设(),Qx y ，那么()343QF x x ++=>-，即：()343x x +=>-，化简得：()2430y x x =--<≤．所以，动点Q 的轨迹为抛物线24y x =-位于直线3x =-右侧的局部．〔Ⅱ〕因为1()2FP FA FB =+，所以，P 为AB 中点；又因为0EP AB =，且OE =(0x ,0)， 所以，点E 为线段AB 垂直平分线与x 轴焦点．由题可知：直线l 与x 轴不垂直，所以可设直线l 的方程为()1y k x =-，代入轨迹C 的方程得到：()2222420kx k x k +-+=()30x -<≤〔＊〕设()f x =()222242k x k x k +-+，要使得l 与C 有两个不同交点，需且只需()()()224224240423023000k k k k f f ⎧∆=-->⎪⎪-⎪-<<⎨-⎪->⎪⎪>⎩解之得：2314k <<． 由〔＊〕式得：2224A B k x x k -+=，所以，AB 中点P 的坐标为：2212A B P x x x k+==-，()21P F y k x k=-=-．所以，直线EP 的方程为22121y x k k k ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭令0y =得到点E 的横坐标为221E x k =--．因为2314k <<，所以，E x ∈〔113-，－3〕． 〔Ⅲ〕不可能．要使PEF ∆成为以EF 为底的等腰三角形，需且只需2PE F x x x =+，即：22222111k k ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，解得：212k =．另一方面，要使直线l 满足〔Ⅱ〕的条件，需要23,14k⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，不可能使PEF ∆成为以EF 为底的等腰三角形． 例6.函数b a bx ax x f ,(1)(2++=为实数〕，x R ∈，(),(0)()(),(0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩〔Ⅰ〕假设f (－1)=0，且函数()f x 的值域为)0,+∞⎡⎣，求)(x F 表达式；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，当kx x f x g x -=-∈)()(,]2,2[时是单调函数，务实数k 的取值范围； 〔Ⅲ〕设)(0,0,0x f a n m mn且>>+<为偶函数，判断)()(n F m F +能否大于0.解析：〔Ⅰ〕(1)0f -=0a b c ∴-+=，又x R ∈时，()0f x ≥恒成立，240a b a >⎧∴⎨∆=-≤⎩ 24(1)0,2,1b b b a ∴--≤==．22()21(1)f x x x x ∴=++=+〔Ⅱ〕22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+=222(2)()124k k x --++-．∴当22,2k -≥或者222k -≤-时， 即6k≥或者2k ≤-时()g x 单调．〔Ⅲ〕()f x 时偶函数，2()1f x ax ∴=+，0mn <，设0,00,0m n m n m n ><+>>->则又，m n ∴>-22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->()()F m F n +能大于0．例7．，二次函数f 〔x 〕＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g 〔x 〕＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.〔Ⅰ〕求证：f 〔x 〕及g 〔x 〕两函数图象相交于相异两点；〔Ⅱ〕设f 〔x 〕、g 〔x 〕两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 解析：依题意，知a 、b ≠0 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0∴a ＞0且c ＜0〔Ⅰ〕令f 〔x 〕＝g 〔x 〕， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.〔*〕Δ＝4〔b 2－ac 〕∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f 〔x 〕、g 〔x 〕相交于相异两点〔Ⅱ〕设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标那么|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程〔*〕，知|A 1B 1|2＝22224)(444aacc a a ac b -+=- ∵020a b c a c a b++=⎧⇒+>⎨>⎩，而a ＞0，∴2ca>- ∵020a b c a c c b++=⎧⇒+<⎨<⎩，∴12c a <-∴122c a -<<- ∴4［〔a c 〕2＋ac＋1］∈〔3，12〕∴|A 1B 1|∈〔3，23〕。

押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）押题猜想一函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用.........................................................1押题猜想二导数中的零点问题................................................................................................................................5押题猜想三三角恒等变换求值问题.....................................................................................................................15押题猜想四解三角形中的范围与最值问题.........................................................................................................19押题猜想五外接球、内切球、棱切球.................................................................................................................25押题猜想六立体几何中的不规则图形.................................................................................................................31押题猜想七条件概率背景下概率与实际生活密切联系.....................................................................................41押题猜想八圆锥曲线的离心率..............................................................................................................................51押题猜想九圆锥曲线中的面积问题.....................................................................................................................56押题猜想十数列新定义2024年高考数学终极押题猜想 (67)用已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x ，y 满足()()()()21f x y f x y f x f y ++-=+，且()02f =，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 是周期函数D ．()110512f =【答案】C【解析】令0x y ==，得()()()20201f f f =，因为()02f =，所以()11f =，A 正确;令0x =，则()()()()()212f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，则()f x 为偶函数，B 正确；令0y =，得()()()()221041f x f x f f x =+=+，即()()112f x f x +=，所以()f x 不是周期函数，C 错误；当x 取正整数n 时，()()()11111222n n f n f n f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()911102512f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确.故选： C.押题解读从近五年的高考情况来看，本部分多以选择题的压轴题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想、数形结合思想和通过合理的赋值解决，抽象函数问题是今年高考的热点之一.1．已知函数()2112ππe e sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，则不等式()()2122f x f x ++-≥的解集为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．[)2,-+∞【答案】D【解析】因为()2112ππe e sin 124x x f x x --⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，所以()()()()2111211221ππππ1e e sin 11e e sin 12424x x x x f x x x ------⎡⎤⎛⎫-=-+--+=---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()()12f x f x -+=，即()f x 的图像关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称．()2112πππ2e 2e cos 224x x f x x --⎛⎫=++- ⎝'⎪⎭ππππππcos 4cos 224224x x ⎛⎫⎛⎫≥-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当12x =时等号成立）．因为ππ1cos 124x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()π402f x ≥->'，所以()f x 在R 上单调递增．由()()12f x f x -+=，得()()212f x f x -+-+=．由()()2122f x f x ++-≥可得()()()()21221f x f x f x f x ++-≥-+-+，即()()211f x f x +≥-+，所以211x x +≥-+，解得2x ≥-．故选：D ．2．（多选题）已知函数()1y xf x =+为偶函数，且()()13f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．()f x 的最小正周期为2D ．()()()12301f f f ++⋅⋅⋅+=-【答案】ABD【解析】对A ：因为()1y xf x =+为偶函数，则()()11xf x xf x +=--+，即()()11f x f x +=--+，所以()1y f x =+是奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故A 正确；对B ：因为()()13f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对C ：因为()()13f x f x -=+，()()11f x f x +=--+，则()()31f x f x +=-+，则()()()531f x f x f x +=-+=+，所以()f x 的最小正周期为4，故C 错误；对D ：因为当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，所以()01f =，()10f =，因为()f x 的图象既关于点()1,0对称，又关于直线2x =对称，所以()()201f f =-=-，()()310f f ==，因为()f x 的最小正周期为4，所以()()401f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()()()()()12307123412f f f f f f f f f ⎡⎤++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦()70011=⨯++-=-，故D 正确．故选：ABD ．3．（多选题）已知定义城为R 的函数()f x ．满足()()()()()11f x y f x f y f x f y +=---，且()00f ≠，()10f -=，则（）A ．()10f =B ．()f x 是偶函数C ．()()2211f x f x ++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()20241i f i =-∑【答案】ABC 【解析】对于A 项，由()()()()()11f x y f x f y f x f y +=---，令12x y ==，则()22111022f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故A 项正确；对于B 项，令0x y ==，则()()()()2220010f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因()00f ≠，故()01f =，令1y =，则()()()()()()11101f x f x f f x f f x +=--=--①，所以函数()f x 关于点()1,0成中心对称，令1x y ==，则()()()222101f f f ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，令2y =，则()()()()()()2211f x f x f f x f f x +=---=-②，由①可得：()()2f x f x +=--③，由②③可知：()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为R ，则函数()f x 是偶函数，故B 项正确；对于C 项，令y x =-，则()()()()()011f f x f x f x f x =---+，因为()01f =，()()f x f x -=，()()11f x f x +=--，代入上式中得，故得：()()2211f x f x ⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，故C 项正确；对于D 项，由上可知：()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，故函数()f x 的一个周期为4，故()()401f f ==，令2,1x y ==，则()()()()()321100f f f f f =--=，所以()()()()()123401010f f f f +++=+-++=，则20241()25400i f i ==⨯=∑，故D 项错误．故选：ABC ．4．（多选题）已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数分别为()(),f x g x ''，且()()4f x f x =-，()()()()14,10f x g x f x g x ''+-=++=，则（）A ．()g x 关于直线1x =对称B ．()31g '=C ．()f x '的周期为4D ．()()()0f n g n n ''⋅=∈Z 【答案】ACD 【解析】由()(4)f x f x =-，得(1)(3)f x f x +=-①，(1)()4f x g x +-=②，得(3)(2)4f x g x ---=③，由①②③，得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 图象关于直线1x =对称，故A 正确；由()(2)g x g x =-，得()(2)g x g x ''=--，令1x =，得(1)0g '=；由(1)()4f x g x +-=，得(1)()0f x g x ''+-=，令1x =，得(2)(1)0f g ''==，∴(2)(1)0f x g x ''+-+=④，又()(1)0f x g x ''++=⑤，令2x =，得(2)(3)0f g ''==，故B 错误；④⑤两式相加，得(2)()0f x f x ''++=，得(4)(2)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，即函数()f x '的周期为4，故C 正确；由(2)()0f x f x ''++=，令2x =，得(4)(2)0f f ''+=，所以(4)0f '=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()()0()f g f g f g f g f n g n n ====''''''''=''=∈Z ，故D 正确.故选：ACD5．（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有(3)(1)0f x f x -++--=，3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(5)2f -=-，7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当[1,0]x ∈-时，()f x =2ax bx +，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于点(2,0)-对称B ．(1)2f =C ．(2023)(2024)(2025)2f f f ++=D ．函数()f x 与函数|ln |||y x =的图象有8个不同的公共点【答案】ABD【解析】由(3)(1)0f x f x -++--=得函数()f x 关于()2,0-对称，A 正确；由3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数()f x 关于=1x -对称，所以(4)()0f x f x -++-=，()()2f x f x -+=-，所以(4)(2)0f x f x -+-=，即()(2)0f x f x ++=，所以()()()24f x f x f x =-+=+，故函数()f x 的周期为4，由(5)2f -=-知(1)2f -=-，713224f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又[1,0]x ∈-时，2()f x ax bx =+，所以2113424a b a b -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以[1,0]x ∈-时，2()f x x x =-+，所以()()112f f =--=，B 正确；()()()(2023)(2024)(2025)1010f f f f f f ++=-++=，C 错误；画出函数()f x 和函数|ln |||y x =的图象，如图：()ln 7||ln 727f -=<=-，观察图象可得函数()f x 与函数|ln |||y x =的图像有8个不同的公共点，D 正确.故选：ABD.押题猜想二导数中的零点问题已知函数()ln f x x x =，()32a g x x x =+．(1)若()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；(2)若()()()()h x x f x g x =-，()h x '是()h x 的导函数，方程()h x m '=有两个不相等的实数解1x ，2x ，求证：122x x +>．【解析】（1）法一：由已知()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，则方程3ln 2a x x x x=+，即223ln 2x x x a -=有且仅有两个不同的实数解，令()223ln 2p x x x x =-，则原问题可转化为函数()p x 的图象与直线y a =有两个不同的交点.()()2ln 32ln 1p x x x x x x x =+-=-'，令()0p x '>，得e x >，令()0p x '<，得0e x <<，故()p x 在()e,∞+上单调递增，在()0,e 上单调递减，且当x 趋近于0时，()p x 趋近于0，当x 趋近于+∞时，()p x 趋近于+∞，()2e e 2p =-，作出()p x 与y a =的大致图象如图所示，数形结合可得2e 02a -<<，即实数a 的取值范围为2e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法二：若()f x 与()g x 的图象有且仅有两个不同的交点，则方程3ln 2a x x x x=+，即223ln 2x x x a -=有且仅有两个不同的实数解，令()223ln 2p x x x x a =--，则原问题可转化为函数()p x 有两个不同的零点．()()2ln 32ln 1p x x x x x x x =+-=-'，令()0p x '>，得e x >，令()0p x '<，得0e x <<，故()p x 在()e,∞+上单调递增，在()0,e 上单调递减，且当x 趋近于0时，()p x 趋近于a -，当x 趋近于+∞时，()p x 趋近于+∞()2e e 2p a =--，作出()p x 的大致图象如图所示，数形结合可得20e 02a a ->⎧⎪⎨--<⎪⎩，得2e 02a -<<，即实数a 的取值范围为2e ,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()223ln 2h x x x x a =--，则()()2ln 1h x x x '=-，令()()2ln 1x x x ϕ=-，则()()2ln 122ln x x x ϕ=-+='，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且()e 0ϕ=，当x 趋近于0时，()x ϕ趋近于0，当x 趋近于+∞时，()x ϕ趋近于(),12∞ϕ+=-，作出()x ϕ的大致图象如图所示．不妨令12x x <，则由()()12h x h x =''，得1201e x x <<<<，令()()()2F x x x ϕϕ=--，01x <<，则()()(2)2ln 2ln(2)F x x x x x ϕϕ=+-=+'-''222ln(2)2ln (1)1x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦当01x <<时，()()2110,1x --+∈，所以()0F x '<，()F x 单调递减，所以()()()()11210F x F ϕϕ>=--=，所以()()2x x ϕϕ>-，01x <<．因为101x <<，所以()()112x x ϕϕ>-，又()()21x x ϕϕ=，故()()212x x ϕϕ>-，又21e x <<，121x ->，且()x ϕ在()1,∞+上单调递增，故212x x >-，即122x x +>．押题解读本部分多以解答题呈现，导数压轴题以零点问题为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题（结合不等式、双变量问题、恒成立与有解问题、极值点偏移问题等）的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函数求解难题，导数中的零点问题与不等式结合是今年高考的热点之一1．已知0b >，函数()()()ln f x x a x b =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为ln 2ln 20x y --=.(1)求a ，b 的值;(2)若方程()1e f x =（e 为自然对数的底数）有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21111e eln2x x -<++【解析】（1）因为()()ln x a f x x b x b +=+++'，所以()()11ln 1ln21a f b b+=++=+'，由题意知()10f =，所以()()()11ln 10f a b =++=，联立方程组()()()1ln 101ln 1ln21a b a b b⎧++=⎪⎨+++=⎪+⎩，解得1,1a b =-=.（2）由（1）可知()()()1ln 1,1f x x x x =-+>-，()()00,10f f ==，()()21ln 11f x x x =-+++'，设()()f x u x '=，()()221011u x x x '=+>++，所以()u x 即()f x '在()1,-+∞上单调递增.又()()010,1ln 20f f ''=-<=>，所以存在()00,1x ∈，使得()00f x '=，故()f x 在()01,x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，设()()1ln 2h x x =-⋅，令()()()()()()1ln 11ln 2F x f x h x x x x =-=-+--⋅，则()()()12ln 1ln2ln 11ln211x F x x x x x -=++'-=+-+-++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增.又()10F '=，所以当11x -<<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>.所以()F x 在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增.故()()10F x F ≥=，即()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立.因为方程()1ef x =有两个实数根12,x x ，且12x x <，也就是()()()()211100ef x f x f f ==>==，且注意到()f x 在()1,+∞上单调递增，所以10201x x x <<<<，所以()()()2221ln 11ln2x x x -+>-，即()()22f x h x >.设()1e h x =的根为：2x '，则211eln2x ='+，又()h x 在()1,-+∞上单调递增，所以()()()222h x f x h x '=>，故22x x '>①.易知()f x 的图象在坐标原点处的切线方程为()g x x =-，令()()()()()1ln 1T x f x g x x x x =-=-++，则()()()22ln 12ln 111x T x x x x x ='++=-++++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()T x '在()1,-+∞上单调递增.又()00T '=，所以当10x -<<时，()0T x '<，当0x >时，()0T x '>，所以()T x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.所以()()00T x T ≥=，()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立.因为10x <，所以()()1211ln 1x x x -+>-，即()()11f x g x >.设()1e g x =的根为1x '，则11ex '=-，又()g x 在()1,-+∞上单调递减，所以()()()111g x f x g x '=>，所以11x x '<，从而11x x '->-②.由①②可知：2121111eln2e x x x x ''-<-=++.2．已知函数1()e ax f x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．【解析】（1）当0a =时，1()1f x x =+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax ax g x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a-<<，所以函数()g x 在()2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a >-，令()0g x '<，则20x a<<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241e a -；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x=-，当0x >时，1e ,00ax x >-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e ax x =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x -=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x-=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．3．已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.【解析】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e e x x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.4．已知函数()e 2cos xf x x x =--.(1)讨论函数()()cos g x f x x =+的单调性；(2)求函数()f x 在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数.【解析】（1）∵()()cos e 2x g x f x x x =+=-，故()()e 2xg x x ='-∈R ，令()0ln 2,()0ln 2g x x g x x ''<⇒<>⇒>，所以()g x 在(,ln2)-∞上单调递减，在(ln2,)+∞上单调递增；（2）因为()e 2cos x f x x x =--，π,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，则()e sin 2x f x x '=+-．①当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，因为()()()e 1sin 10xf x x =+-'-<，所以()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．所以()()00f x f >=．所以()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无零点．②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x '单调递增，且()010f '=-<，π2π'e 102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=．当[)00,x x ∈时，()0f x '<；当0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>．所以()f x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且()00f =．所以()00f x <．设()e 2xh x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知()h x 在()0,ln 2上单调递减，在πln 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．所以()()min ln 222ln 20h x h ==->．所以π2πe 02h π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，得π2πe π02f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭．所以()0π02f x f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭．所以()f x 在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点．所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个零点．③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()π2'e sin 2e 30x f x x =+->->，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．因为π02f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点．综上所述，()f x 在π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上的零点个数为2．5．已知函数()3ln f x x ax =-．(1)讨论()f x 的单调性．(2)已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）()()30axf x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增．②当0a >时，令()0f x '>得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；同理，令()0f x '<得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1)l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在()1,∞+上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在()1,∞+上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在()1,∞+上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．押题猜想三三角恒等变换求值问题己知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 22tan sin sin βαββ=+，则πcos 23αβ⎛⎫++= ⎝⎭（）A．2B．C ．12D ．12-【答案】B【解析】因为2sin 22tan sin sin βαββ=+，所以22sin 2sin cos 2cos cos sin sin 1sin αβββαβββ==++，所以sin sin sin cos cos ααβαβ+=，所以()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ=-=+，所以()πcos cos 2ααβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()ππ0,,0,π22ααβ⎛⎫-∈+∈ ⎪⎝⎭，所以π2ααβ-=+，所以π22αβ+=，所以π5πcos 2cos 36αβ⎛⎫++== ⎪⎝⎭故选： B.押题解读在近几年的高考中，本部分多以选择题或者填空题形式呈现，三角恒等变换是三角函数部分考查频率最高的一个知识点，考查题目灵活多变。

重庆市（新版）2024高考数学统编版（五四制）测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（）A．B．4C．D．6第(2)题函数的最小正周期是（）A．B．C．D．第(3)题已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（）A．B．1C．D．2第(4)题已知，．若，则（）A．B．C．D．第(5)题宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，中点为，则的值为（）A．B．C．4D．2第(6)题已知函数的定义域均为，则（）A．－4B．－2C．2D．4第(7)题圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3第(8)题声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB. 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（）A．点Q的轨迹为线段B．与CD所成角的范围为C．的最小值为D．二面角的正切值为第(2)题已知函数，则（）A．为偶函数B．的最小值为C ．函数有两个零点D．直线是曲线的切线在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分､“较强”记为5分､“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（）A．甲､乙的五项能力指标的均值相同B．甲､乙的五项能力指标的方差相同C．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题2023年暑假，5位老师去某风景区游玩，现有“垂云通天河”、“严子陵钓台”这两处风景供选择，若每位老师只能选取其中的一处风景且每处风景最多被3位老师选择，则不同的选择方案共有______种（用数字作答）．第(2)题若曲线是双曲线，则其焦距为______.第(3)题由1，2，3，4，5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为，现从中任取一个数.设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为，例如：若取出的数为212，即；若取出的数为214，即.则概率___________，数学期望___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．第(2)题设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.第(3)题在直角坐标系中，点是曲线上的动点，满足的点的轨迹是．(1)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；(2)直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，若直线与曲线交于，两点，当时，求的值．第(4)题现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.(1)若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.已知椭圆的右焦点为，有两个不同的点P、在椭圆上运动，且的最小值为，椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆在第一象限交于点A，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.。

贵州省织金县第五中学2024届高三下学期高考考前预测模拟数学试题一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{4M x x =>且},{3,7,9}x U N ∈=，则()U M N =I ð（ ） A ．{1,5}B ．{5}C ．{1,3,5}D ．{3,5}2．已知复数2i z a =+，若(3i)z ⋅+是实数，则实数=a （ ） A ．3B ．3-C ．6D ．6-3．已知向量(,3)a m =-r ，(3,2)b m m =+r ，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．2或2-4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310l og l o g l o ga a a ++⋅+=（ ）A ．12B ．10C ．5D ．32log 55．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ）A B C ．23D ．436．已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是（ ） A ．5B ．7C ．9D ．117．已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n ，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为n P ，当n P 最大时，红球个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．98．函数sin cos ()((0,π))1cos 1cos x xf x x x x=+∈+-的最小值为（ ）A ．12B ．1C 2D二、多选题9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．若0d <，则n S 有最大值C ．n S ，2n S ，3n S 成等差数列D ．若m n S S =，m n ≠，则0m n S +=10．已知函数32()4x f x x +=+，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在(),1-∞-上单调递增 B ．函数()f x 在()1,+∞上单调递减 C ．函数()f x 的极小值为13D ．若()f x m =有3个不等实根123,,x x x ，则1230x x x ++=11．已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆22221x ya b+=于A ，B 两点，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，M ，N 为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ，则（ ）A ．若1k =B ．若13MA MB k k =-C ．1//l FQD ．若直线BQ 平行于x 轴，则k =三、填空题12．已知函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 是偶函数，在[]0,1上有()21xf x =-，则()5f =．13．已知抛物线2:6C y x =，过()3,2P 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且PA PB =，则直线l 的方程为.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，球O 与正方体的各个表面都相切，则平面MBD 截球O 所得截面的面积为．四、解答题15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，::30:16:15c AD b =． (1)求cos A ；(2)若10c =，求ABC V 的外心O 到BC 的距离．16．某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：1,2,,6,6…个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”．(1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为1,2,3的灯谜的个数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；(2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为12，求小王在猜对编号为1,2的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．17．在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，2AD BC ==，60DAB ∠=︒，M 为AB 中点，将AMD V ，BMC △沿MD ，MC 翻折，使A ，B 重合于点E ，得到三棱锥M CDE -．(1)求ME 与平面CDE 所成角的大小； (2)求二面角M DE C --的余弦值．18．已知双曲线2222:1x y C a b -=过点()3,4M ，左、右顶点分别为A ，B ，直线MA 与直线MB的斜率之和为3． (1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线右焦点2F 的直线l 交双曲线右支于P ，Q （P 在第一象限）两点，223PF F Q =u u u u r u u u u r，E 是双曲线上一点，PQE V 的重心在x 轴上，求点E 的坐标．19．已知函数()e e (1)[1ln(1)]x f x x x x =-+-++．(1)求出()f x 的所有零点，并求出函数()f x 在零点处的切线方程；(2)设()()(1e)g x f x x =--，()()(1ln 2)(1)h x f x x =-+-，证明：()0g x ≥，()0h x ≥；(3)若函数()f x m =有两个解1x ，2x ，且12x x <，证明：211111ln 2e 1x x m ⎛⎫-≤++ ⎪+-⎝⎭．。

2025届上海延安中学高考数学考前最后一卷预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -2．已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B 21C ．53D ．433．231+=-i i（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 4．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( )A ．34B ．43C ．-43D ．-345．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f <B ．()()3344f f <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，且16||||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．32y x =± C ．y x =± D ．2y x =±7．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．28．如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A ．22B ．32C ．212+D ．312+ 9．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 10．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12BC ．12±D ． 12．复数1i i +=（ ）A ．2i -B ．12iC ．0D ．2i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省邯郸市（新版）2024高考数学人教版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（）A．2B．C．4D．第(4)题已知的内角的对边分别为，，则一定为（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形第(5)题已知正四棱柱ABCD- A 1B1C1D1中，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A．2B．C．D．1第(6)题华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：时间（月）12345销售量（万部）0.50.81.01.21.5若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A．样本中心点为B．由表中数据可知，变量与呈正相关C．D．预测时华为手机销量约为1.86（万部）第(7)题设全集，集合N满足，则（）A．B．C．D．第(8)题若，，则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：根据该图数据，这7次人口普查中（）A．城镇人口数均少于乡村人口数B．乡村人口数达到最高峰是第4次C．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D．城镇人口总数逐次增加第(2)题分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（）A．数列是等比数列B．C．恒成立D．存在正数，使得恒成立第(3)题已知的展开式的第项与第项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（）A．展开式的奇数项的二项式系数的和为B．展开式的第项的系数与二项式系数相等且最大C．展开式中不存在常数项D．展开式中含项的系数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．第(2)题已知，，，则的大小关系是___________.第(3)题设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为.(1)求的方程；(2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程.第(2)题设函数，.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.第(3)题已知数列是等差数列，且满足：，.数列满足：.（1）求；（2）求数列的前项和.第(4)题记，分别为等比数列的前项和与公比，已知，，.（I ）求的通项公式；（II ）求的前项的和.第(5)题已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.。

吉林省吉林市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列满足，，若成立，则的最大值为（）A．7B．8C．9D．10第(3)题已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．第(4)题已知数列满足，则（）A．B．C．D．第(5)题已知函数的部分图像如图所示，其中，，则（）A．B．函数在上单调递减C．函数在上单调递减D．第(6)题已知四边形ABCD的四个顶点在抛物线上，则“A，B，C，D四点共圆”是“直线AC与BD倾斜角互补”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中），得到四个小正方形，记它们的面积分别为，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的定义域为，且．若的图象关于点对称，，则（）A．B．的图象关于直线对称C．D．第(3)题已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）A．的最小值为B．若圆C关于直线l对称，则C．若，则或D．若A，B，C，O四点共圆，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列满足：，，且，，其中.则___________，若，则使得成立的最小正整数为___________.第(2)题已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________．第(3)题某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数(1)判断函数的零点个数；(2)证明：当时，证明：第(2)题某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.第(3)题已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数零点的个数．第(4)题已知函数，其中．(1)若，证明：时，；(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列的通项公式为，求证：．第(5)题如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A，B与C，D.(1)若的斜率分别为，求四边形的面积；(2)设（ⅰ）找到满足的等量关系；（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.。

浙江省金华市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）测试(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知直线是函数（）图象的一条对称轴，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．第(2)题在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）A．B ．C ．D ．第(3)题杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ）A ．108种B ．216种C ．240种D ．252种第(4)题坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D 点开始爬坡，则行驶方向与直线的最大夹角的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°第(5)题在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A．B ．C ．D ．第(6)题若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）A ．-1B ．C ．-2D ．1第(7)题已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题函数的部分图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数及其导函数的定义域均为，记．若满足，的图象关于直线对称，且，则（）A．是奇函数B．C．D．第(2)题通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（）A．若，则存在5个5元数组，使得B．若，则存在12个5元数组，使得C．若元数组，则D．若元数组，则第(3)题已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是A．B．C．为奇函数D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是________，体积是______.第(2)题已知函数满足，且方程有2个实数解，则实数m的取值范围为________.第(3)题的二项展开式中项的系数为_____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：第(2)题已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若__________，求数列的前项和.（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）第(3)题已知点，圆，动点A满足．记A的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)过点作倾斜角互补的两条直线，设直线的倾斜角为，直线与曲线交于M，N两点，直线与圆交于P，Q两点，当四边形的面积为时，求．第(4)题已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.第(5)题已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.(1)求的值；(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.。

2024年高考押题预测卷【新高考卷】数学·全解全析第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 2 3 4 5 6 7 8 BDBCABCD1. 定义差集{M N x x M −=∈且}x N ∉，已知集合{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，则()A A B −= （ ） A. ∅ B. {}2C. {}8D. {}3,51．【答案】B【解析】因为{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，所以{}3,5A B = ，所以(){}2A A B −= ． 故选：B2.已知函数()2sin cos (0)f x x x x ωωωω+>的最小正周期为π，下列结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于π6x =对称B. 函数()f x 的对称中心是()π12k∈Z C. 函数()f x 在区间5π,1212π上单调递增 D. 函数()f x 的图象可以由()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度得到 2.【答案】D【解析】A 选项，()21cos2sin cos 2x f x x x x ωωωω−==+π1sin 262x ω−+，因为函数()f x 的最小正周期为2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π1sin 262f x x=−+，当π6x =时，πππ1sin 2sin 6362x −=−=，故A 错误； B 选项，令π2π,6x k k −=∈Z ，即ππ,122k x k =+∈Z ， 函数()f x 的对称中心是()ππ1,1222k k+∈Z ，故B 错误； C 选项，π5π,1212x∈时，π2π20,63u x =−∈ ，显然()1sin 2f x u =+在其上不单调，故C 错误； D 选项，()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度，得到()π2π1π1cos 2sin 233262g x x x f x−=−+=−+=，故D 正确． 故选：D ．3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选） A. 18 B. 36 C. 54 D. 723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A 18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A 18=种选择，综上，共有181836+=种选择. 故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔()Florence Nightingale 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误．．的是（ ）A. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 4.【答案】C【解析】对于A ，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A 说法正确； 对于B 和C ，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.960.480.48−=； 2017年，1.880.960.92−=；2018年，2.95 1.88 1.07−=； 2019年，3.56 2.950.61−=；2020年，4.15 3.560.59−=； 2021年，4.77 4.150.62−=；年，5.27 4.770.5−=；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 说法正确，C 说法错误；对于D ，由5.27100.48>×，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D 说法正确.综上，说法错误的选项为C. 故选：C5. 在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为，则sin ABD ∠=（ ）A.B.C.D.5.【答案】A【解析】因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=××=△，解得4AC =， 所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DBDB BAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以cos BAD ∠， 所以()πsin sin sin 6ABDADC BAD BAD∠=∠−∠=−∠ππsin cos cos sin 66BAD BAD =∠−∠故选：A6.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n nS a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++< 恒成立，则实数M 的最小值为（ ） A.13B.49C.43D. 36.【答案】B【解析】因为13n n n nS a S a ++=，所以()133n n n n n n n a S a S a S S +==++，即()13n n n n a S S S +−=，即13n n n a a S +=，则1213n n n a a S +++=，与上式作差后可得()()121133n n n n n n a S a a S a ++++−=−=，因为正项数列{}n a ，所以23n na a +−=，所以22223111113n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−==−， 因为11a =，11212333n n n a S a a a a a +=⇒=⇒=，所以1324213243521111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++ +++=−+−+−+−1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++ =+−−=×+−+12411499n n a a ++ =−+< ， 所以实数M 的最小值为49， 故选：B.7. 设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ） A. 101x <<，23x > B. 121x x >C. 1201x x <<D. 124x x +>7.【答案】C【解析】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xxx==， 在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy =的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133<= ，23311log 2log 239 =>= ，所以12012x x <<<<， 所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x =+=−+，因为12x x <，所以121133x x>，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确. 故选：C8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D −外接球所得的截面面积为（ ）A.B.8π3C.35π3D.5π3【答案】D【解析】取正方体的中心为O ，连接,,OP OQ OR ，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为正方体外接球球心为点O，半径12=×，又易得12OP OQ OR ===×，且12PQ PR QR ===×， 所以三棱锥O PQR −为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR 的中心为M ，即点O 到平面PQR 的距离为OM ，又正三角形PQR 的外接圆半径为MQ ，由正弦定理可得2sin 60PQMQ==°，即MQ =，所以OM ===，即正方体1111ABCD A B C D −外接球的球心O 到截面PQR 的距离为OM =所以截面PQR 被球O 所截圆的半径r ， 则截面圆的面积为25ππ3r =. 故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z A. 若13i13i z +=−，则43i 5z −−=B. 若z 为纯虚数，则20z <C. 若(2i)0z −+>，则2i z >+D. 若{||3i 3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π 9.【答案】AB 【解析】()()()213i 13i43i13i13i 13i 5z++−+==−−+，所以43i 5z −−=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠， 所以222i z b =，因为2i 1=−且0b ≠， 所以20z <，故B 正确；由()2i 0z −+>，得i(2)z a a =+>， 因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数， 所以二者之间不能比较大小，故C 错误； 设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3i a b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤， 所以集合M 所构成区域是以()0,3−为圆心3为半径的圆， 所以面积为9π，故D 错误. 故选：AB .10.已知向量a 在向量b方向上的投影向量为32，向量(b = ，且a 与b 夹角π6，则向量a 可以为（ ） A. ()0,2 B. ()2,0C. (D.)10.【答案】AD【解析】由题设可得(232a b b ⋅=，故2a b b ⋅=， 而2b = ，a 与b 夹角π6=，故2a = ， 对于A，cos ,a b = [],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故A 正确.对于B ，21cos ,222ab ==×，因[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故B 错误. 对于C ，4cos ,122ab ==× ，因[],0,πa b ∈ ，故,0a b = ，故C 错误. 对于D，cos ,a b = [],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故D 错误.故选：AD.11.已知抛物线2:2(0)Cy px p =>的焦点为()()()112233,,,,,,F A x y B x y D x y 为抛物线C 上的任意三点（异于坐标原点O ），0FA FB FD ++=，且6FA FB FD ++=，则下列说法正确的有（ ） A. 4p =B. 若FA FB ⊥，则FD AB =C. 设,A B 到直线=1x −的距离分别为12,d d ，则12d d AB +<D. 若直线,,AB AD BD 的斜率分别为,,AB AD BD k k k ，则1110AB AD BDk k k ++= 11.【答案】BD【解析】对于A ，因为,,A B D 为抛物线上任意三点，且0FA FB FD ++=， 所以F 为ABD 的重心，,02p F， 所以1231233,02px x x y y y ++=++= 又123362pFA FB FD x x x ++=+++=，即2p =，故A 错误； 对于B ，延长FD 交AB 于点E ，因为F 为ABD 的重心，所以2FD FE =，且F 是AB 的中点，因为FA FB ⊥，在Rt FAB 中，有2AB FE =，所以FD AB =，故B 正确； 对于C ，抛物线方程为24y x =，所以抛物线的准线为=1x −， 所以,A B 到直线=1x −的距离之和12d d FA FB ++，因为,,F A B 三点不一定共线，所以FA FB AB +≥， 即12d d AB +≥，故C 错误； 对于D ，因为2114y x =，2224y x =，两式相减,得：()()()1212124y y y y x x +−=−,所以1212124AB y y k x x y y −==−+, 同理可得324BD k y y =+,134AD k y y =+,所以()123211104AB AD BD y y y k k k ++++==，故D 正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。