最新2020-2021年高考数学模拟试题(一)

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50 ．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生15 45 60女生15 25 40合计30 70 100所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V C﹣ABD==∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，∴S△ACD==，设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。

江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题第I 卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集为R,集合2{|0x A x x -=>B={x|x ≥1},则A ∩B 等于( ) A.{x|0<x ≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}2.复平面内表示复数622i zi +=-的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若0.131log ,72m n ==,4log 25,p =则m,n,p 的大小关系为() A.m>p>n B.p>n>m C.p>m>n D.n>p>m4. 在公比为q 的正项等比数列{}n a 中, a 4=1,则当2a 2 + a 6取得最小值时, log 2q 等于()1111 (4488)A B C D -- 5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱AB,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且asin2B+bsinA=0,若a+c=2,则边b 的最小值为()A .B .CD 7.已知双曲线22221(0,x y a b a a -=>>0)的左､右焦点分别为1,F 2,F 过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若2211()0,F F F A F A +⋅=则此双曲线的标准方程可能为()2.743x y A -= 22.134x y B -= 22.1169x y C -= 22.1916x y D -=8.已知函数f(32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-,若,12121,[,2],()3()0x x f x g x ∀∈-≥,则实数a 的取值范围为()A.[4,+∞)B.[3,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞) 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.将函数f(x)=sin3x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数g(x)的图象,则() A.g(x)在[0,]2π上的最小值为0 B.g(x)在[0,]2π上的最小值为-1 C.g(x)在[0,]2π上的最大值为0 D.g(x)在[0,]2π上的最大值为1 10.如图所示的函数图象,对应的函数解析式不可能是()2.21x A y x =--B.y=2xsinX .ln x C y x = 2.(2)x D y x x e =-11. 已知函数122cos 2,0,()log ,()2,0a x x f x x x g x x a x +≥⎧=+=⎨+<⎩(a ∈R ),若对任意X1∈[2, +∞),总存在x 2∈R ,使f(x 1)= g(x 2),则实数a 的值可以是( )17 (22)A B C -1D.2 12.在数列{a n }中,若22*1(2,.n n a a p n n -=≥∈-N p 为常数),则称{a n }为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{an}是等差数列,则{a n }是等方差数列 .{(1)}n B -}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则*}{(),kn a k ∈N k 为常数)也是等方差数列D.若{a n }既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩, 则使f(a)=-1成立的a 的值是______.14.已知2012(1)(1)(1)(n n n x a a x a x a x n *=+++++++∈N ）对任意x ∈R 恒成立,则a 0=____;若a 4+a 5=0,则n=________.(本题第一空2分,第二空3分)15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足:a 1=1,*2212,1(),n n n a s a a n ++=+=-∈N 不等式n nS a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是____.四､解答题(本大题共6小题,共70分)17. (10分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，a 1=25,且a 1, a 11,13a 成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)设(1),n n n b a =-求数列{}n b 前2020项的和.18. (12分)在△ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, bsinB+ csin C=asin sin ).sin B c A A +（ (1)求A 的大小;(2)若,3a B π==求△ABC 的面积.19.(12分)如图,在五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,△SBC 为边长为2的正三角形,将△SBC 沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD.上的射影恰好在AD 上｡(1)当AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD;(2)若AB=1,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值｡20.(12分)某工厂欲购买软件服务,有如下两种方案:方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元｡(1)设日收费为y 元,每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y 与x 的函数关系式;(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由｡21.(12分)(2020济南模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>焦距为 (1)求C 的方程;(2)若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点(点P,Q 均在第一象限),O 为坐标原点. 证明:直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列.22. (12 分)已知函数f(x)=lnx, g(x)=x -1.(1)当k 为何值时,直线y= g(x)是曲线y= kf(x)的切线;(2)若不等式:()g af x ≥在[1, e]上恒成立,求a 的取值范围.。

最新高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=14．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．3855．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．886．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．1008．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣19．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，再由求得答案．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2==．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：3x＞1=30，解得：x＞0，即B=（0，+∞），∴∁R B=（﹣∞，0]，∵A=（﹣3，2），∴A∩（∁R B）=（﹣3，0]，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a，c，进而得到b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：椭圆+y2=1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a=1，c=，b==1，可得x2﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．385【分析】根据黑球的个数分为三类，根据根据分类计数原理可得．【解答】解：分三类，两个黑球，有C42C62=90种，三个黑球，有C43C61=24种，四个黑球，有C44=1种，根据分类计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．5．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．88【分析】根据题意，计算、，利用线性回归方程过样本的中心点，求出线性回归方程，再计算x=8.3时的值，从而得出预测结果．【解答】解：根据题意，计算=×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，=×（90+84+83+80+75+68）=80，线性回归方程=x+中=﹣20，=﹣b=80﹣（﹣20）×8.5=250，所以线性回归方程=﹣20x+250，当x=8.3时，=﹣20×8.3+250=84，可预测单价定为8.3元时，销售件数为84．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了利用线性回归方程进行预测的应用问题，是基础题目．6．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化，结合函数单调性的性质进行比较即可得到结论．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），∴由f（x+1）=f（x﹣1），得f（x+2）=f（x），则f（﹣）=f（﹣+2）=f（），f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），∵f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（﹣）＜f（）＜f（1），即f（）＜f（）＜f（1），故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性，周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．100【分析】由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3=1，得，即：，解得．∴数列{}是常数列1，1，1，…，则a12+a22+…+a102=10．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程组的解法，是基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣1【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n的值，观察规律可得a的取值以3为周期，从而有当i=2017时，不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1，满足条件n≤2016，a=，n=3满足条件n≤2016，a=﹣1，n=4满足条件n≤2016，a=2，n=5…观察规律可知，a的取值以3为周期，由2016=672×3，从而有：满足条件n≤2016，a=，n=2016满足条件n≤2016，a=﹣1，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．9．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx+）=2=1﹣cos（2ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，故y=cos（2ωx+）在区间[，]内单调递减，∴2ω+≤π，∴ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）【分析】根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，由正方形的性质求棱长、判断位置关系，由三角形的面积公式求出该四面体的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，PC=PA=AC=2，PB=，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∴该四面体的表面积：S=+=2（1+2+），故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图冰借助于正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）【分析】由题意得，y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由f'（x）=e x（x≥0），得切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），由此能求出结果．【解答】解：由题意得，∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，∴y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由图可得a1＜a＜a2，由题意得，，∵f'（x）=e x（x≥0），设切点横坐标为m，∴切线斜率k=f'（m）=e m=a2，切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），且过点（﹣1，0）解得m=0，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出+的最小值m，从而求出b1与通项公式b n，再求出以及b1+++…+的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=a p+a q得，p+q=6，因为+=（+）（p+q）=（1+9++）=+（+）≥+2=，当且仅当q=3p时取得最小值，此时p=，q=（不合题意，舍去）；应取p=2，q=4，此时+取得最小值是，所以m=，b1=；又由2b n+1﹣b n b n+1=1，可归纳出b n=，所以=；所以b1+++…+=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与数列求和的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量，夹角为120°，||=5，||=2，∴=||||cos120°=5×2×（﹣）=﹣5，∵=+λ，⊥，∴（+λ）=（+λ）（﹣）=0，即﹣+λ﹣λ=0，∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0解得λ=，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为 5 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=x2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，1），z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，故z=z=x2+y2=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．【分析】联立直线y=x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|2，将直线OP方程为，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|2，再由|OP|2=3|OA|2，结合离心率公式，可得e．【解答】解：因为，所以；由题设直线OP方程为，所以，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）CDsin．解得．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接EF、DF，则EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，从而平面DEF∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连接EF、DF，…（1分）∵E为棱PA的中点，∴EF∥PB，∵∠CBD=∠FDB=30°∴DF∥BC∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（7分）则点，B（，0，0），，D（0，3，0），P（0，0，1），E（﹣，0，），…（8分）设平面BCP的法向量为则，∴，即，∴y=0，x=1，即…（10分）设平面BCE的法向量为，，则，∴，∴…（11分）∴cos＜＞==，∴二面角P﹣BC﹣E的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．【分析】（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布B（4，），由此能求出在同一时刻需用人操控的平均台数．（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数，当n=1时，X服从两点分布；当n=2时，P（X）=，k=0，1，2；当n=3时，，k=0，1，2，3．由此得到一个工作人员操控2台机器符合要求．【解答】解：（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布：，k=0，1，2，3，4，∴在同一时刻需用人操控的平均台数EX==1．…．（4分）（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数．①当n=1时，X服从两点分布：X 0 1P此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为＞0.60．…（6分）②当n=2时，P（X）=，k=0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=，即X的分布列为：X 0 1 2P此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）2=0.526＜0.60．…．（8分）③当n=3时，，k=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）3=，即X的分布列为：X 0 1 2 3P此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为：3×（）2×+（）3=，故一人操控的3台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）3==0.421875＜0.60．…（10分）综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求．…．（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【分析】（1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出p即可；（2）设l斜率为k，联立方程组解出AB的中点即M的坐标，根据切线的性质列方程解出k 即可得出l的方程和圆的圆心与半径．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p，又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，∴|AB|=y1+y2+2，故p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|=|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，圆心，半径，∴圆M的方程为．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y=f（x）的解析式；（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可证明：＜1．【解答】解：（1）因为，所以f′（1）=1+a=﹣1，所以a=﹣2又点（1，f（1））在切线x+y﹣2=0上，所以1+b﹣2=0，所以b=1所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）lnx+1．…．（4分）（2）令g（x）=x﹣e x，（x＞0）因为g′（x）=1﹣e x所以当x＞0时，g′（x）＜0所以g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以g（x）＜g（0）=﹣1＜0所以等价于f（x）﹣1＞g（x）．…．（6分）我们如果能够证明f（x）﹣1＞﹣1，即f（x）＞0即可证明目标成立．下面证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．由（1）知，令则，所以h（x）在（0，+∞）内单调递增，又h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）使得h（x0）=0．当0＜x＜x0时，h（x）＜0即f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞x0时，h（x）＞0即f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1．由f′（x0）=0得所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1=（x0﹣2）（﹣1）+1=5﹣（x0+）．令，则r′（x）=1﹣=＜0所以r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5所以f（x）＞5﹣（x+）＞5﹣5=0．综上，对任意x∈（0，+∞），．…．（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明：=；（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC∴∠C=∠BEC∵∠BED=∠BAD∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB∴∠EAB=∠EBA=2∠C，又∠C=∠BAD∴∠EAD=∠C∴∠BAD=∠EAD…（4分）∴．…（5分）（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA∴△EAD∽△FED…（8分）∴又∵DE=4，AD=8，∴DF=2．…（10分）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，考查等角对等弧，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，把，代入即可得出直角坐标方程．根据（t为参数），消去t得普通方程．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．由参数的几何意义，可知：|PM|2+|PN|2==﹣4t1t2即可得出．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∵，∴y2=2x；根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3=0，故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x，x﹣y﹣3=0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．设t1，t2是该方程的两根，则，由参数的几何意义，可知．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

最新高考数学（理）密卷第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数12i34iz -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是() A.25i - B.25i C.25- D. 252．设集合{}2320A x x x =-+≤，{}21x B y y ==+，则A B = () A.[]1,2 B.(]1,2 C. ()1,+∞ D. [)2,+∞3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．3.24.0ˆ+=x yB ．4.22ˆ-=x yC ．5.92ˆ+-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 4．已知命题:p 对任意R x ∈，总有112x x -++>；命题:q 2x >是1x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 () A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ∧⌝5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是() A.()sin f x x = B.()3f x x = C. ()12x f x =D. ()3x f x = 6．已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x=0，若以直线y=kx -2上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是() A ．-l B ．0C ．1D ．2 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是()8.已知点P(x ，y)的坐标满足条件2144x y x y x y a -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，当2z x y =-+取得最大值为1时，那么x 2＋y 2的最小值为( )A ．22B ．12C ．1D ．29．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法种数为( )A ．12B ．15C ．18D ．2110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为( )21-) B ．(21-，1) C ．(1，A ．(0，21+)D ．(21+，+∞)第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．12.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是________．13. 在△ABC 中，90A ∠=，边1AC =，2AB =，过点A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且AP AB AC λμ=+，则λμ=________．14. 直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点且与x 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于.15.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=⋅+-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18. （本小题满分12分）已知等边三角形的边长为3，点E D ,分别在边AC AB ,上，且满足21==EA CE DB AD ，将ADE ∆沿DE 折叠到DE A 1∆的位置，使BCDE DE A 平面平面⊥1，连接C A B A 11,．（Ⅰ）证明：BCDE D A 平面⊥1；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使得直线1PA 与平面BD A 1所成的角为60？若存在，求出PB 的长；若不存在，说明理由．19. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫nS n n,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．20. （本小题满分13分）设平面上一动点P 到定点（1,0）的距离与到定直线4x =的距离之比为12． （Ⅰ）求动点的P 轨迹C 的方程；（Ⅱ）设定点A (-2,3),曲线上C 一点00(,)M x y ,其中00y ≥.若曲线C 上存在两点,E F ，使AE AF AM +=，求0x 的取值范围．21. （本小题满分14分） 函数()ln f x x =，()2122g x x x =-．（Ⅰ）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()()22b af a b f a a-+-<； （Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值．密卷答案一、 选择： DDBDCAABCA二、 填空11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， …10分(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，zyxFEPDCBA当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又PA ⊥底面ABCD, ∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分) 由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hzy y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22……(10分) 设二面角E -BD -C的大小为θ，则|||||||,c o s |c o s 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ， 化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分） 所以X 的分布列为：X 23 4 5P21121473 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设db d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分 20.解（1）22222c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k -2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分） 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169,此时k=1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时，)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ)222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==>………4分 令0)(='x f ,得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或ax 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11<<-x a； 综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a -……10分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时,01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解;故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3.…………………14分。

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}2．计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知两条直线a，b和平面α，若a⊥b，b⊄α，则“a⊥α”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）A．B．C．2 D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A．6 B．5 C．4 D．37．已知等比数列{a n}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（）A．{a n+2+a n}是等比数列B．对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1≠2a kC．对于n∈N*，都有a n a n+2＞0D．若a2＞a1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n8．如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B．近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D．以上判断都不正确二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p= ．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a= ．11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则= ．12．已知，则z=x+4y能取得最（大或小）值为．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．14．已知偶函数f（x），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值．16．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（Ⅰ）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（Ⅱ）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求a≥b的概率．17．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．（Ⅰ）求证：SD∥平面MAC；（Ⅱ）求证：SE⊥AC；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABC的体积．18．数列{a n}中，a1=1，a2=2，数列{b n}满足b n=a n+1+（﹣1）n a n，n∈N*．（Ⅰ）若数列{a n}是等比数列，a n=32，求项数n的值；（Ⅱ）若数列{b n}是常数列，求数列{a n}的前2016项的和S2016．19．已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m＞0，讨论函数零点的个数．20．已知椭圆的长轴长为4，离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段AB的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点．问：是否存在直线l 使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集．【解答】解：∵x2＞1解得：x＞1或x＜﹣1，∴B={x|x＞1或x＜﹣1}，∵A={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}．故选：C2．计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1﹣i，计算化简即可．【解答】解：===1+i故选A3．已知两条直线a，b和平面α，若a⊥b，b⊄α，则“a⊥α”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别判断出充分性和不必要性即可．【解答】解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b∥α，是充分条件，若a⊥b，b⊄α，b∥α，推不出a⊥α，不是必要条件，则“a⊥α”是“b∥α”的充分不必要条件，故选：A．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，得到底面为直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PBC⊥底面ABC，再由线面垂直的性质可得AC⊥PC，求解直角三角形可得PA，则答案可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，底面为直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PBC⊥底面ABC，△BPC是等腰三角形，PO⊥BC，PO=1，BO=OC=1，AC=1，则AC⊥PC，在Rt△POC中，PO=OC=1，∴PC=，则PB=，在Rt△PCA中，PA=．∴三棱锥的最长棱的长为．故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图流程依次计算程序运行的结果，根据输出的a的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=1；第二次循环i=2，a=3；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=15；∵输出的a的值为15，∴n=4时跳出循环体，∴判断框内的条件为：n＜4．故选：C．6．已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，结合双曲线a，b，c的关系，解方程可得a=3，进而得到双曲线的实轴长2a．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==，可设焦点（c，0）到渐近线y=x的距离为4，可得=b=4，由a2+b2=c2，解得a=3，可得该双曲线实轴长为2a=6．故选：A．7．已知等比数列{a n}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（）A．{a n+2+a n}是等比数列B．对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1≠2a kC．对于n∈N*，都有a n a n+2＞0D．若a2＞a1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项，对选项分别进行分析，即可得出结论．【解答】解：对于A，{a n+2+a n}是公比为q2的等比数列，正确；对于B，对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1=+a k q，∵q≠1，∴a k﹣1+a k+1≠2a k，正确‘对于C，a n a n+2=a n2q2＞0，正确；对于D，若a2＞a1，a＞1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n，故不正确，故选：D．8．如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B．近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D．以上判断都不正确【考点】简单随机抽样．【分析】由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故可知答案．【解答】解：由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故近三年该市生产总值为正增长，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意知，其准线方程为：x=﹣，利用定义，将抛物线上的点到焦点的距离，转化为它到准线的距离即可．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣，由抛物线的定义知，2﹣（﹣）=3，解得：p=2，故答案为：2．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a= ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及同角三角函数基本关系式可得sinB的值，利用正弦定理即可解得a的值．【解答】解：∵B∈（0，π），cosB=，可得：sinB==，又∵A=30°，b=2，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=0 ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据条件求出然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出．【解答】解：∵∴=2﹣2（3，1）=（﹣4，2）∴=（1，2）•（﹣4，2）=﹣4+4=0故答案为012．已知，则z=x+4y能取得最大（大或小）值为﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（7，﹣2）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：﹣1，故答案为：大；﹣1．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360 ．【考点】频率分布直方图．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 解得d=，∴中间一组的频数为：1600×（0.02+4d）=360．故答案为：360．14．已知偶函数f（x），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为﹣1，0，或1 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】根据g（x）的图象便可得到﹣1≤y0≤1，而由f（x）的图象及f（y0）=0便可得出y0=0，从而便可由g（x）的图象和g（x0）=0即可解出x0的值．【解答】解：根据g（x）的图象得，﹣1≤y0≤1；∴由f（x）的图象及f（y0）=0得，y0=0；∴g（x0）=0；∴x0=﹣1，0，或1．故答案为：﹣1，0，或1．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得周期，解2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得单调增区间；（Ⅱ）由x∈[﹣，]可得2x﹣∈[﹣，]，可得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈Z；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）的最小值和最大值分别为﹣﹣1和0．16．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（Ⅰ）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（Ⅱ）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求a≥b的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些．（Ⅱ）先求出甲种水稻单株籽粒数的平均数，由此能估计估计甲种水稻亩产约为多少公斤．（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，先求出基本事件总数，再求出a≥b包含的基本事件个数，由此能求出a≥b的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些．（Ⅱ）估计甲种水稻亩产约为：×=1092（公斤）．（Ⅲ）∵分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，∴基本事件总数n=6×6=36，a≥b包含的基本事件个数：m=2+2+4+5+6=19，∴a≥b的概率p==．17．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．（Ⅰ）求证：SD∥平面MAC；（Ⅱ）求证：SE⊥AC；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接MO，由三角形中位线定理可得OM∥SD，然后由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由侧面SAD为正三角形，E为线段AD的中点，可得SE⊥AD，结合侧面SAD⊥底面ABCD，得SE⊥底面ABCD，则SE⊥AC；（Ⅲ）由已知求出，再由M为SB的中点，得M到底面的距离为，代入三棱锥体积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接MO，∵底面ABCD是菱形，∴O为BD的中点，又M为侧棱SB的中点，∴OM∥SD，又OM⊂面MAC，SD⊄面MAC，∴SD∥平面MAC；（Ⅱ）证明：∵SAD为正三角形，E为线段AD的中点，∴SE⊥AD，又侧面SAD⊥底面ABCD，且侧面SAD∩底面ABCD=AD，∴SE⊥底面ABCD，而AC⊂底面ABCD，∴SE⊥AC；（Ⅲ）解：∵底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，∴△ABC为边长是2的正三角形，则，又△SAD为边长是2的正三角形，∴SE=，由（Ⅱ）知SE⊥底面ABCD，即S到底面的距离为，∵M为SB的中点，∴M到底面的距离为，∴．18．数列{a n}中，a1=1，a2=2，数列{b n}满足b n=a n+1+（﹣1）n a n，n∈N*．（Ⅰ）若数列{a n}是等比数列，a n=32，求项数n的值；（Ⅱ）若数列{b n}是常数列，求数列{a n}的前2016项的和S2016．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）由数列{b n}是常数列，可得b1=a2﹣a1=1．利用a n+1+（﹣1）n a n=1，n∈N*．可得a2k+1+a2k=1，a2k﹣a2k﹣1=1，k∈N*．a2k+1=﹣a2k﹣1，a2k+a2k+2=2．分组求和即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}是等比数列，∴a n=32==2n﹣1，解得n=6．（II）∵数列{b n}是常数列，b1=a2﹣a1=1，∴a n+1+（﹣1）n a n=1，n∈N*．∴a2k+1+a2k=1，a2k﹣a2k﹣1=1，k∈N*．∴a2k+1=﹣a2k﹣1，a2k+a2k+2=2．∴数列{a n}的前2016项的和S2016=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a2013+a2015）+（a2+a4）+…+（a2014+a2016）=0+2×504=1008．19．已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m＞0，讨论函数零点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x，则f′（1）=e，f（1）=e，则函数f（x）在x=1处的切线方程y﹣e=e（x﹣1），即y=ex；（Ⅱ）由=0，得m==，设h（x）=，则h′（x）==，当x＜0时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，且h（x）＞0，当x＞2时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，即当x=2时，函数h（x）取得极小值h（2）=，作出函数h（x）的草图如图：当m＞0时，若m＞时，h（x）=m有3个不同的根，即函数g（x）有3个不同的零点，若m=时，h（x）=m有2个不同的根，即函数g（x）有2个不同的零点，若0＜m＜时，h（x）=m有1个不同的根，即函数g（x）有1个不同的零点．20．已知椭圆的长轴长为4，离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段AB的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点．问：是否存在直线l 使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得2a=4，即a=2，e==，可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，求得B的坐标，再由中点坐标公式可得D，求得线段AB的中垂线方程，可得P，Q的坐标，假设存在直线l，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点），运用三角形的面积公式，可得=，即有=，解方程即可得到所求k的值，进而判断存在直线l．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=4，即a=2，e==，解得c=，b==1，可得椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=﹣，或x=0．即有B（﹣，），中点D的坐标为（﹣，），可得AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+），化为y=﹣x﹣，可得P（﹣，0），Q（0，﹣），假设存在直线l，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点），即有PD•PC•sin∠DPC=PO•PQ•sin∠OPQ，即有PD•PC=PO•PQ，即为=，即有=，即有=﹣3，解得k=±．故存在直线l，且l的方程为y=±x+1，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）．2016年6月21日。

@学无止境！@绝密★启用前 试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（ ）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（ ）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为 （ ） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是 （ ）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（ ）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为 （ ） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （ ）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ， 则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项 ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2020-2021学年度山东省聊城市高考一模考试数学（理）试题及答案高考模拟试题理科数学（一）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|1}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =+≥，则 A B =I （）A ．[0,1)B ．(1,)-+∞C ．(0,1)D ．(1,0]-2.设复数2(1)1i z i-=+，则z =（）A ．4B ．2C ．2D ．13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13104S =，65a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A ．110B ．15 C ．310 D ．255.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 与抛物线C ：24y x =相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为（）A ．1y x =-B ．25y x =-+C ．3y x =-+D ．23y x =-7.已知函数()(1010)xxf x x -=-，不等式(12)(3)0f x f -+>的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（）A ．4.5B ．6C ．7.5 D．910.在ABC ?中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ?所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．-111.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A ．73πB ．289πC ．1479πD ．43π12.已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ?--≤-??+=??--<<??恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,3e ??-- B ．211,e e ??--C ．221,3e ??--D ．21,33??--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥??-≤??+≤?，则12()16x yz =的最大值为．14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：15.2922()y x x ++的展开式中常数项为． 16.若函数()sin()4f x m x π=+x 在开区间7(0,)6π内，既有最大值又有最小值，则正实数m 的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+. （Ⅰ）证明：{4}n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下：（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的A 型车和22座的B 型车两种，A 型车一次租金为80元，B 型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19.如图，四棱锥P ABCD -中，PAD ?为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，22AD BC ==，AB AD ⊥，AB BC ⊥.（Ⅰ）证明：PC BC ⊥；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成角为60o，求二面角B PC D --的余弦值.20.已知圆224x y +=经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点和两个顶点，点(0,4)A ，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且MAN ∠的平分线在y 轴上，AM AN ≠. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线MN 过定点. 21.已知函数()22xf x e kx =--.（Ⅰ）讨论函数()f x 在(0,)+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=（Ⅰ）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ?u u u r u u u r的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（Ⅰ）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.高考模拟理科数学（一）答案一、选择题1-5: ACBDC 6-10: DADBC 11、12：CA二、填空题13. 4 14. 144 15. 67216. 23m <<+三、解答题17.解：（Ⅰ）∵12a =-，∴142a +=，∵124n n a a +=+，∴1428n n a a ++=+2(4)n a =+，∴1424n n a a ++=+，∴{4}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知42n n a +=，∴24n n a =-. ∴12n n S a aa =+++2(24)(24)=-+-(24)n++-2(222)4nn =+++-2(12)412n n -=--1224n n +=--.∴1242n n S n +=--.18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8. 记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件A ，则()1(10.8)P A =--(10.8)0.96-=.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（Ⅱ）设X 表示租用A 型车的总费用（单位：元），则X 的分布列为.设Y 表示租用B 型车的总费用（单位：元），则Y 的分布列为.因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租B 型车较合算. 19.证明：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，∵PAD ?为等边三角形，∴PO AD ⊥.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵PO CO O =I ，∴AD ⊥平面POC ，∵PC ?平面POC ，∴AD PC ⊥. 又//AD BC ，所以BC PC ⊥.（Ⅱ）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，可得OP ，OD ，OC 两两垂直，又直线PC 与平面ABCD 所成角为60o，即60PCO ∠=o，由2AD =，知3PO =，得1CO =.建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r. ∴030y x z =-=??，令1z =，则(3,0,1)n =r ，设平面PDC 的一个法向量为(',',')m x y z =u r，∴''0'3'0x y x z -=-=??，令'1z =，则(3,3,1)m =u r ， cos ,m n <>u r r m n m n ?=u r ru r r 27727==，∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为27 -.20.解：（Ⅰ）圆224x y +=与x 轴交点(2,0)±即为椭圆的焦点，圆224x y +=与y 轴交点(0,2)±即为椭圆的上下两顶点，所以2c =，2b =.从而22a =因此椭圆C 的方程为：22184x y +=. （Ⅱ）设直线MN 的方程为y kx m =+.由22184y kx m x y =++=??，消去y 得222(21)4280k x kmx m +++-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+. 直线AM 的斜率1114y k x -=14m k x -=+；直线AN 的斜率2224y k x -=24m k x -=+. 12k k +=1212(4)()2m x x k x x -++2(4)(4)228m km k m --=+-216(1)28k m m -=-. 由MAN ∠的平分线在y 轴上，得120k k +=.又因为AM AN ≠，所以0k ≠，所以1m =.因此，直线MN 过定点(0,1).21.解：（Ⅰ）'()2xf x e k =-，(0,)x ∈+∞，当2k ≤时，因为22xe >，所以'()0f x >，这时()f x 在(0,)+∞内单调递增.当2k >时，令'()0f x >得ln2k x >；令'()0f x <得0ln 2kx <<. 这时()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. 综上，当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，当2k >时，()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. （Ⅱ）①当02k <≤时，因为()f x 在(0,)+∞内单调递增，且(0)0f =，所以对于任意的(0,)x m ∈，()0f x >.这时()2f x x >可化为()2f x x >，即2(2)20x e k x -+->.设()2(2)2xg x e k x =-+-，则'()2(2)xg x e k =-+，令'()0g x =，得2ln 2k x +=，因为2ln02k +>，所以()g x 在2(0,ln )2k +单调递减.又因为(0)0g =，所以当2(0,ln)2k x +∈时，()0g x <，不符合题意. ②当2k >时，因为()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，且(0)0f =，所以存在00x >，使得对于任意的0(0,)x x ∈都有()0f x <.这时()2f x x >可化为()2f x x ->，即2(2)20xe k x -+-+>.设()2(2)2xh x e k x =-+-+，则'()2(2)xh x e k =-+-.（i ）若24k <≤，则'()0h x <在(0,)+∞上恒成立，这时()h x 在(0,)+∞内单调递减，又因为(0)0h =，所以对于任意的0(0,)x x ∈都有()0h x <，不符合题意. （ii ）若4k >，令'()0h x >，得2ln 2k x -<，这时()h x 在2(0,ln)2k -内单调递增，又因为(0)0h =，所以对于任意的2(0,ln )2k x -∈，都有()0h x >，此时取02min{,ln}2k m x -=，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立. 综上，k 的取值范围为(4,)+∞. 22.解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=+??=+?（θ为参数）.直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（Ⅱ）由直线l 的方程20x y +-=可得点(2,0)A ，点(0,2)B .设点(,)P x y ，则PA PB ?u u u r u u u r(2,)(,2)x y x y =--?--.2222x y x y =+--2412x y =+-.由（Ⅰ）知2cos 3sin x y θθ=+??=+?，则PA PB ?u u u r u u u r 4sin 2cos 4θθ=++)4θ?=++.因为R θ∈，所以44PA PB -≤?≤+u u u r u u u r23.解：（Ⅰ）因为()(3)f x f x =-，x R ∈，所以()f x 的图象关于32x =对称. 又()2||22a f x x a =++的图象关于2a x =-对称，所以322a -=，所以3a =-. （Ⅱ）()21f x x a ≤--+等价于2210x a x a ++-+≤. 设()g x =221x a x a ++-+，则min ()(2)(21)g x x a x a =+--+1a a =++. 由题意min ()0g x ≤，即10a a ++≤. 当1a ≥-时，10a a ++≤，12a ≤-，所以112a -≤≤-；当1a <-时，(1)0a a -++≤，10-≤，所以1a <-，综上12a ≤-.。

最新高考第一次模拟考试试卷数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数21ii +的值为 A ．1i -B ．1i +C ．iD ．2i -2．有下列四个命题，其中假命题．．．是 A ．20000,x x x ∃>≤B ．,30xx R ∀∈> C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=D ．00,lg 0x R x ∃∈=3．如图，OABC 是矩形，B 在抛物线2y x =上，A 为(1,0)， 现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为A ．12B ．13C ．14D ．164．某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学 某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该 游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加 本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X ，则X 的数学期望为 A ．4B ．6C ．8D ．125．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的结果是A ．56B ．67 C ．45 D ．130 6．已知x ，y 满足约束条件102202x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值为 A ．6- B ．4- C ．3- D ．2- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为1(1)S S k k ++=A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π8．已知(1)f x +为偶函数，且()f x 在[1,)+∞单调递减，若(2)0f =，则()0f x >的解集为 A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(1,2)9．若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(,0)a ，则实数a 所在区间可能是A ．(0,)4πB ．(,)43ππC ．(,)32ππD ．3(,)24ππ10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是A．y = B．y = C ．2y x = D ．4y x =11．函数22()10()20x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[1,0]- C ．[1,2] D ．[0,2]12．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}n a (*n N ∈)：①3n a n =，②21n a n =+，③n a =，④2nn a n =-，⑤ln1n n a n =+ 其中是“差递减数列”的有 A ．③⑤ B ．①②④ C ．③④⑤ D ．②③第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q =U ． 14．已知当t n =时，36()(0)f t t t t =+>取得最小值，则二项式1()n x x-的展开式中2x 的系数为．15．已知{}n a 是等差数列，12a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若521a a a 、、成等比数列，则5S =．16．如图，椭圆的方程为22162x y +=，A 是其右顶点，B 是该椭圆在第一象限部分上的一点，且4AOB π∠=．若点C 是椭圆上的动点，则OA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且222a b c ab +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2()cos cos f x x x x =+，求()f B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆和PAC ∆均为边长是2的正三角形，且ο90=∠BAC ，O 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：⊥PO 平面ABC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x （单位：百公里）和汽车保有量y （单位：百辆）的数据8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）． （Ⅱ）根据上表数据，用变量y 和x 的相关系数说明y 与x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数∑∑∑===----=81281281)()())((i i i ii i iy y x xy y x xr ；回归直线的方程是：ˆˆybx a =+， 其中121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，i y ˆ是与i x 对应的回归估计值． 参考数据：155=x ，75.169=y ，4200)(812=-∑=i ix x，5.1827)(812=-∑=i i y y ，2750))((81=--∑=i i iy y x x64.80≈42.75≈．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：24y x =，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A 、B 两点，记线段AB 中点为00(,)P x y ． （Ⅰ）若02x =，求直线AB 的斜率;（Ⅱ）设线段AB 的垂直平分线与x 轴，y 轴分别相交于点D 、E ．当直线AB 的斜率||||AB DE 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln()x f x x a x a+=+-+． （Ⅰ）求此函数的单调区间及最小值；（Ⅱ）当a ＝2时，过点(1,1)A --作直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的的直线有多少条？证明你的结论．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能选做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，CD 是半圆的切线，AC 平分BAD ∠，AD 交半圆于点E ．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若5AB =，1DE =，求AE 的长．23．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），过点(3,3)P 的直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 533543 (t 为参数)．（Ⅰ）求原点(0,0)到直线l 的距离；（Ⅱ）设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数11)(--+=x x a x f ，1≥a ． （Ⅰ）当1=a 时，解不等式1)(<x f ；（Ⅱ）若实数a 的取值范围是]4,3[，求)(x f 的图象与直线2=y 所围成的三角形的面积的取值范围．若要功夫深，铁杵磨成针！@学无止境！@。

2020-2021年数学高考模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x|y＝log2(x−1)2}，则集合M∩N＝（）A.{x|0≤x≤2}B.{x|0≤x<1或1<x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x<2}2. 复数z满足：z+＝2，则z＝（）A.-iB.-iC.+iD.+i3. 人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A.人口数逐次增加，第二次增幅最大B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大D.人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小4. 已知圆C:x2+y2−4x−2y+3＝0，过原点的直线l与圆C相交于A，B两点，则当△ABC的面积最大时，直线l的方程为（）A.y＝0或y＝xB.y＝2x或y＝-xC.x＝0或y＝xD.y＝x5. 将3名男生1名女生分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（）A. B. C. D.6. 函数f(x)＝ln(|x|+1)⋅sin2x的部分图象大致是（）A. B.C. D.7. 雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生与雪花类似，由等边三角形开始，把三角形的第一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形（如图：（2），（3），（4）是等边三角形（1）经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线）．若按照上述规律，一个边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是（）A. B. C. D.8. 如图，直角三角形△ABC中，∠ABC＝90∘，AB＝3，BC＝4，M点是线段AC一动点，若以M为圆心半径为的圆与线段AC交于P，Q两点，则•的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9. 对任意实数a，b，c，有以下命题中，正确的是（）A.若ac2<bc2，则a<bB.若a>b，则>1C.>，则a<|b|D.若a>1>b>0，则log a(a−b)>010. 设M，N是函数f(x)＝2sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象与直线y＝2的交点，若M，N两点距离的最小值为6，P(−，2)是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（）A.该函数图象的一个对称中心是(7, 0)B.该函数图象的对称轴方程是x＝-+3k，k∈ZC.f(x)在[-，-]上单调递增D.f(x)＝2cos（x+）11. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，DD1的中点，则以下四个结论正确的是（）A.B1C // MNB.B1C⊥平面MNC1C.A到直线MN的距离为D.过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为12. 已知函数f(x)＝−ln x+m在区间(1, e)内有唯一零点，则m的可能取值为（）A.-B.C.D.1+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

最新高三第一次模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。

第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，{}12B x x =-≤≤，则等于 ( )A. {}10x x -<< B. {}24x x ≤< C. {}02x x x <>或 D. {}02x x x ≤≥或 2．在复平面内，复数2iz i-=的共轭复数z 对应的点所在的象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0x >，则“4m =”是“4≥+xmx ”恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是. （ ） A ． 17 B ． 16 C ．18 D ． 195.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 606、已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率e 为( )A. 3B.2C.3 D.27．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k(x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A. 12B. 13C. 2D.2 8．有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=；③函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<--成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，212(log )4c f =-，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>10.已知实数,x y 满足：04010x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，则使等式(2)(1)240t x t y t ++-++=成立的t 取值范围为（ ）A . 51--42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B . 51---+42⎛⎤⎛⎫∞⋃∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， C.5-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 1-12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 11.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，又3,2,4AB BC BD ===,且60CBD ∠=o ，则球O 的表面积为（ ）（A ）12π （B ） 16π （C ） 20π （D ）25π12、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，下列判断正确．．的是（ ）A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、设21eea dx x=⎰,则二项式261()-ax x 展开式中的常数项为。

题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答 .
二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分
（ 13）设向量 a=(x， x+1)， b=(1， 2)，且 a b，则 x=.
（ 14）已知 θ是第四象限角，且 sin( θ+ π)= 3 ，则 tan(θ–π)=.
45
4
22
（ 15）设直线 y=x+2a 与圆 C： x +y -2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若
p x ， 代 入 y2 t
2 px 整理 得
px 2
2t 2 x 0 ，解得 x1
0 ， x2
2t 2
2t 2
，因此 H ( ,2t) .
p
p
所以 N 为 OH 的中点，即 | OH | 2 . | ON |
（Ⅱ）直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点 .理由如下：
直 线 MH 的 方 程 为 y t p x ， 即 x 2t ( y t) . 代 入 y 2 2 px 得 y2 4ty 4t 2 0 ， 解 得
（ A）
（B）
（ C）
（D）
（ 10）执行右面的程序框图，如果输入的
x 0, y 1, n=1,则输出 x, y 的值满足
（ A） y 2x
（ B） y 3x
（ C） y 4x
（ D） y 5x
（ 11）平面 过正文体 ABCD— A1B1C1D1 的顶点 A // 平面 CB1D1 , I 平面 ABCD m ， I 平面 ABB1A1 n ，则 m， n 所成角的正弦值为
（ 6） D
（ 7） A （ 8） B （ 9）D （ 10） C （ 11） A （ 12） C

绝密★启封并使用完毕前试题类型：普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =I（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）13（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y=2sin(2x+π4) （B ）y=2sin(2x+π3) （C ）y=2sin(2x –π4) （D ）y=2sin(2x –π3)（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c<log b c （B ）log c a<log c b （C ）a c<b c（D ）c a>c b（9）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n=1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）3（B ）22（C ）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a=(x ，x+1)，b=(1，2)，且a ⊥b ，则x=. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。

最新高三（下）期初数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合{﹣1，0，1}共有个真子集．2．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．3．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm3．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．7．设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为．8．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．9．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是．10．设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围．11．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．12．如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．13．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2﹣ab+b2的最小值是．14．已知函数f（x）=kx，g（x）=，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是．二、解答题：（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．16．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．17．已知A （﹣2，0）、B （2，0），点C 、点D 依次满足．（1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．18．某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，DE ，DF 是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x （0＜x ＜）．现在弧EF 、线段DE 与线段DF 上装彩灯，在弧AE 、弧BF 、线段AD 与线段BD 上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k ，节能灯的比例系数为k （k ＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）试确定当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且S n =． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n =，试问是否存在正整数p ，q （其中1＜p ＜q ），使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p ，q ）；若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=λx 2+λx ，g （x ）=λx+lnx ，h （x ）=f （x ）+g （x ），其中λ∈R ，且λ≠0．（1）当λ=﹣1时，求函数g （x ）的最大值；（2）求函数h （x ）的单调区间；（3）设函数若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t ≠x ），使得φ′（x ）=φ′（t ）成立，求实数λ的取值范围．三、附加题（共4小题，满分0分）21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=，A1C∩AC1=E．（Ⅰ）求证：直线DE与平面ABC不平行；（Ⅱ）设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=，求AA1的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC1∩平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px （p＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．集合{﹣1，0，1}共有7 个真子集．【考点】子集与真子集．【分析】根据集合元素个数与集合真子集之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵集合{﹣1，0，1}含有3个元素，∴集合的真子集个数为23﹣1=8﹣1=7，故答案为：7．2．若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为﹣2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．3．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为4 ．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的b的值为31，确定跳出循环的a值，从而确定判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环b=2+1=3，a=2；第二次循环b=2×3+1=7，a=3；第三次循环b=2×7+1=15，a=4；第四次循环b=2×15+1=31，a=5．∵输出的b的值为31，∴跳出循环的a值为5，∴判断框内的条件是a≤4，故答案为：4．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f（0）=sin=，故答案为：．5．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4）（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有2种，即（1，2），（2，4），故其中一个数是另一个的两倍的概率为=，故答案为：7．设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），可得c=2，利用离心率为，可得a=4，即可求出椭圆的短轴长．【解答】解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），∴c=2，∵离心率为，∴a=4，∴b==2，即n=2，∴椭圆的短轴长为4，故答案为：4．8．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则= ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．【解答】解：，∵，∴，∵，∴cos∠DAC=sin∠BAC，，在△ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，，=|BC|sinB==，故答案为．9．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．【考点】曲线与方程；两条直线垂直的判定．【分析】先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．【解答】解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．10．设f（x）=，若f（t）=f（）则t的范围[2，3]∪{﹣} ．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（t）=f（），∴当t≤﹣1时，t+2=，解得t=﹣，或t=（舍）；当﹣1＜t＜0时，2t+1=，无解；0＜t＜2时，2t+1=8，t=2，不成立；2≤t≤3时，f（t）=f（）=8，成立；t＞3时，8=2，解得t=3，不成立．综上所述，t的范围为：[2，3]∪{﹣}．故答案为：[2，3]∪{﹣}．11．直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，0] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]12．如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质；直线和圆的方程的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=30°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c=2a，即可得到离心率的值．【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=30°∴|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，∴c﹣c=2a，∴e==1+故答案为1+13．若a，b∈R，且4≤a2+b2≤9，则a2﹣ab+b2的最小值是 2 ．【考点】基本不等式．【分析】由题意令a=rcosθ，b=rsinθ（2≤r≤3），由三角函数的知识可得．【解答】解：∵a，b∈R，且4≤a2+b2≤9∴可令a=rcosθ，b=rsinθ（2≤r≤3），∴a2﹣ab+b2=r2cos2θ﹣r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2（1﹣sinθcosθ）=r2（1﹣sin2θ），由三角函数可知当sin2θ取最大值1且r取最小值2时，上式取到最小值2故答案为：214．已知函数f（x）=kx，g（x）=，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是[）．【考点】函数的零点．【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．【解答】解：由f（x）=g（x），∴kx=，∴k=，令h（x）=，∵方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，∴h（x）=在[，e]内的图象与直线y=k有两个交点．∴h′（x）=，令h′（x）==0，则x=，当x∈[，]内h′（x）＞0，当x∈[，e]内h′（x）＜0，当x=，h（x）=，当x=e时，h（e）=，当x=，h（x）=﹣e2，故当k∈[）时，该方程有两个解．故答案为：[）二、解答题：（共6小题，满分90分）15．已知函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．（1）求f（）的值；（2）在△ABC中，若f（A）=1，求sinB+sinC的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx 化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（A）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（﹣B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC 的最大值．【解答】（1）∵f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx=cos2x+sin2x，sin（2x+），∴f（）=1；（2）f（A）=sin（2A+）=1，而0＜A＜π可得：2A+=，即A=．∴sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜π，0＜sin（B+）≤1，∴sinB+sinC的最大值为．16．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．（1）求证：BC⊥平面AEC；（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在图1中，过C作CF⊥EB，连接CE，证明BC⊥CE，在图2中，利用AE ⊥EB，AE⊥ED，可证AE⊥平面BCDE，从而可得AE⊥BC，即可证明BC⊥平面AEC （2）用反证法．假设EM∥平面ACD，从而可证面AEB∥面AC，而A∈平面AEB，A ∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾，故可得结论．【解答】（1）证明：在图1中，过C作CF⊥EB∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD=1，∴EF=1．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．连接CE，则CE=CB=，∵EB=2，∴∠BCE=90°，∴BC⊥CE．在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，∴AE⊥平面BCDE．∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．（2）解：用反证法．假设EM∥平面ACD．∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∴假设不成立，∴EM与平面ACD不平行．17．已知A （﹣2，0）、B （2，0），点C 、点D 依次满足．（1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程． 【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设C 、D 点的坐标分别为C （x 0，y 0），D （x ，y ），欲求点D 的轨迹方程，即寻找x ，y 之间 的关系式，利用向量间的关系求出P 点的坐标后代入距离公式即可得； （2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a ，b 即可．【解答】解：（1）设C 、D 点的坐标分别为C （x 0，y 0），D （x ，y ）， 则），，则，故． 又代入中，整理得x 2+y 2=1，即为所求点D 的轨迹方程．（2）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为y=k （x+2），① 又设椭圆方程为，②a 2﹣b 2=4，因为直线l ：kx ﹣y+2k=0与圆x 2+y 2=1相切． 故，解得．将①代入②整理得，（a 2k 2+a 2﹣4）x 2+4a 2k 2x+4a 2k 2﹣a 4+4a 2=0，③将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由线段MN的中点到y轴的距离为，||=，解得a2=8，或a2=，经检验，a2=8，此时③的判别式大于0．故所求的椭圆方程为．18．某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．【分析】（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．【解答】解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD ，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y 在上单调递增； 当时，y'＜0，此时y 在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．19．已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且S n =．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgb n =，试问是否存在正整数p ，q （其中1＜p ＜q ），使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p ，q ）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）令n=1，即可求a 1；（2）根据等差数列的定义即可证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程组进行求解即可得到结论． 【解答】解：（1）令n=1，则a 1=S 1==0（2）由，即，①得．②②﹣①，得 （n ﹣1）a n+1=na n ．③ 于是，na n+2=（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n =2na n+1，即a n+2+a n =2a n+1 又a 1=0，a 2=1，a 2﹣a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，a n =n ﹣1（3）假设存在正整数数组（p ，q ），使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lgb 1，lgb p ，lgb q 成等差数列， 于是，所以，（☆）．易知（p ，q ）=（2，3）为方程（☆）的一组解 当p ≥3，且p ∈N*时，＜0，故数列{}（p ≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p ，q ）=（2，3），使b 1，b p ，b q 成等比数列20．已知函数f （x ）=λx 2+λx ，g （x ）=λx+lnx ，h （x ）=f （x ）+g （x ），其中λ∈R ，且λ≠0．（1）当λ=﹣1时，求函数g （x ）的最大值； （2）求函数h （x ）的单调区间； （3）设函数若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t ≠x ），使得φ′（x ）=φ′（t ）成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①令g ′（x ）=0求出根，判断两边的符号，求出最值 ②导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间一定在定义域内 ③不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论 【解答】解：（1）当λ=﹣1时，g （x ）=lnx ﹣x ，（x ＞0）∴令g′（x）=0，则x=1，∴g（x）=lnx﹣x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减=g（1）=﹣1∴g（x）max（2）h（x）=λx2+2λx+lnx，，（x＞0）∴当λ＞0时，h'（x）＞0，∴函数h（x）的增区间为（0，+∞），当λ＜0时，，当时，h′（x）＜0，函数h（x）是减函数；当时，h′（x）＞0，函数h（x）是增函数．综上得，当λ＞0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；当λ＜0时，h（x）的增区间为，减区间为（3）当x＞0，在（0，+∞）上是减函数，此时φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ，若λ＞0时，φ′（x）在（﹣∞，0）上是增函数，此时φ′（x）的取值集合B=（﹣∞，λ）；若λ＜0时，φ′（x）在（﹣∞，0）上是减函数，此时φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．对任意给定的非零实数x，①当x＞0时，∵φ′（x）在（0，+∞）上是减函数，则在（0，+∞）上不存在实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），则t∈（﹣∞，0），要在（﹣∞，0）上存在非零实数t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；②当x＜0时，φ′（x）=2λx+λ在（﹣∞，0）时是单调函数，则t ∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零实数t （t ≠x ）， 使得φ′（x ）=φ′（t ）成立，必定有B ⊆A ，∴λ＜0． 综上得，实数λ的取值范围为（﹣∞，0）．三、附加题（共4小题，满分0分） 21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a 的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a 的值． 【解答】解：设是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量， 则，…5分故解得…10分．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcos θ+4=0相交于A ，B 两点，求线段AB中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x ，将曲线ρ2﹣10ρcos θ+4=0化为普通方程得，x 2+y 2﹣10x+4=0，联立消去y 得，2x 2﹣5x+2=0， 利用中点坐标可得线段AB 的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l 与曲线C 的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x ，将曲线ρ2﹣10ρcos θ+4=0化为普通方程得，x 2+y 2﹣10x+4=0， 联立并消去y 得，2x 2﹣5x+2=0，∴x 1+x 2=， ∴AB 中点的横坐标为=，纵坐标为，∴= 化为极坐标为．方法2：联立直线l 与曲线C 的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0， 解得ρ1=1，ρ2=4， ∴线段AB 中点的极坐标为，即．23．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D 在线段BB 1上，且BD=，A 1C ∩AC 1=E ．（Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；（Ⅱ）设平面ADC 1与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若cos θ=，求AA 1的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC 1∩平面ABC=l ，求直线l 与DE 所成的角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=（﹣2，3，），平面ABC 的法向量为，可得，即可证明直线DE 与平面ABC 不平行；（Ⅱ）求出平面ADC 1的法向量，利用平面ADC 1与平面ABC 所成的锐二面角为θ，cos θ=，建立方程，即可求得结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求出直线l 与DE 的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，设AA 1=h ，则．（Ⅰ）证明：由AA1⊥平面ABC可知为平面ABC的一个法向量．∵=（﹣2，3，），∴．∴直线DE与平面ABC不平行．（Ⅱ）设平面ADC1的法向量为，则，取z=﹣6，则x=y=h，故．∴，解得．∴．（Ⅲ）在平面BCC1B1内，分别延长CB、C1D，交于点F，连结AF，则直线AF为平面ADC1与平面ABC的交线．∵BD∥CC1，，∴．∴，∴．由（Ⅱ）知，，故，∴．∴直线l与DE所成的角的余弦值为．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（8，﹣4），P（2，t）（t＜0）在抛物线y2=2px （p＞0）上．（1）求p，t的值；（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=2k3，求点C的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）运用代入法，即可求得p，t；（2）求得M（2，0），求出直线AM的方程，代入抛物线方程，可得B的坐标，运用正弦的斜率公式，可得k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得k3，进而得到直线PC方程，再联立直线AM的方程，即可得到C的坐标．【解答】解：（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣x+，联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=﹣，k2=﹣2，代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，从而直线PC的方程为y=﹣x+，联立直线AM：y=﹣x+，并解得C（﹣2，）．2016年10月23日。

2021年新高考数学模拟试卷(1) 2021年新高考数学模拟试卷1一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.（5分）设集合A={0,-2}，B={-1,2}，则A∪B=（）A。

{0,2}B。

{-2,1,2}C。

{-2,0,-1,2}D。

{0,-2,-1,2}2.（5分）复数z满足(-2-i)z=|3+4i|（i为虚数单位），则z=（）A。

-2+i/3B。

2-i/3C。

-2-i/3D。

2+i/33.（5分）已知a=3^(log3π)，b=π^(logπ3)，c=log3π，则a，b，c的大小关系为（）A。

a>b>cB。

a>b<cC。

c>a>bD。

c>b>a4.（5分）已知向量|z|=1，|z|=2，z•z=√3，则向量z与向量z的夹角为（）A。

π/6B。

π/4C。

π/3D。

2π/35.（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2=6，a2+a3=12，则a1的值为（）A。

1B。

2C。

3D。

46.（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面第1节的容量为（）A。

13/22升B。

14/33升C。

26/33升D。

1升7.（5分）已知函数z(z)=3sin(z+2)，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A。

4B。

1C。

2/3D。

28.（5分）已知函数z(z)=lnx-m(x+n)/(x+1)（m>n>0）在(0,+∞)上不单调，若m-n(x+1)>λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A。

[3,+∞)B。

[4,+∞)C。

(-∞,3]D。

(-∞,4]二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.（5分）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A。

最新高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣x=0}，集合B={y|﹣1＜y＜1}，则A∩B=（）A．0 B．∅C．{0} D．{∅}2．已知i为虚数单位，zi=2i﹣z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，则选出的两个球数字之和大于等于5的概率为（）A．B．C．D．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．25．已知cos（α+）=，则sin2α=（）A．B．C．D．6．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果s=（）A．8 B．9 C．10 D．118．若定义在R的函数f（x）=ln（ax+）为奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．09．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．2：1 B．2：C．：1 D．1：110．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•=﹣12，那么抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．y2=8x D．y2=4x11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（e，+∞）D．（0，）∪（e，+∞）12．若存在实数m，n，使得的解集为[m，n]，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分．）13．已知平面向量=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），则||=______．14．设x，y满足，则z=x+y的最小值为______．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面为12π，则球心O到平面ACD1的距离为______．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ=______．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．数列{a n}的前n项和为A n=n2+bn，数列{b n}是等比数列，公比q＞0，且满足a1=b1=2，b2，a3，b3成等差数列；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=b n+，求c n的前n项和．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）设AB的中点为D，且CD=A1D，求三棱锥A1﹣AEF的体积．19．我国大力提倡足球运动，从2013年开始高校的体考生招生也向招收足球项目的考生倾斜，某高校（四年制）为了解近四年学校招收体考生中足球项目考生的情况，做了如下统计，现以2012年为统计起始年，记为x=0，以足球项目考生占所有体考生的比例为y．2012级2013级2014级2015级x 0 1 2 3体考生250 260 300 300足球项目考生35 39 45 48y 0.14 0.15（1）已知y关于变量x的变化关系满足线性回归方程=x+，其中=0.141，求出回归方程；2016级计划足球项目考生60人，根据线性回归方程2016级总的体考生将招收多少人（人数四舍五入）；（2）开学后举行了一次新生足球见面赛，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样确定15级，16级的足球队员人数．（i）求足球队中，15级和16级的足球队员各有多少人？（ii）比赛上场队员有11人，其余7人在场外替补，已知在场上有6名16级学生，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，求替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率．20．已知圆F的方程为x2+y2﹣2x=0，与x轴正半轴交于点A，椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F，顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）如图D，C是椭圆上关于y轴对称的两点，在x轴上存在点B，使得四边形ABCD为菱形，求B点坐标．21．已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若|g（x1）﹣g（x2）|≥﹣ln2，求b 的范围．[选做题：几何选讲]22．如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，过内圆上一点M，做内圆的切线，交外圆于C，D两点，TC，TD分别交内圆于A，B两点．（1）证明：AB∥CD；（2）证明：AC•MD=BD•CM．选做题：坐标及参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．（1）求曲线C和圆O的标准方程；（2）已知直线l的参数方程为（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B 在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（﹣α）的值．[选做题：不等式选讲]24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣x=0}，集合B={y|﹣1＜y＜1}，则A∩B=（）A．0 B．∅C．{0} D．{∅}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x=0}={0，1}，集合B={y|﹣1＜y＜1}，则A∩B={0}，故选：C2．已知i为虚数单位，zi=2i﹣z，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵zi=2i﹣z，∴z（1+i）=2i，则，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．3．从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，则选出的两个球数字之和大于等于5的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出选出的两个球数字之和大于等于5包含的基本事件个数，由此能求出选出的两个球数字之和大于等于5的概率．【解答】解：从编号为1，2，3，4的四个小球中任选两个球，基本事件总数n==6，选出的两个球数字之和大于等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共有m=4个，∴选出的两个球数字之和大于等于5的概率p==．故选：B．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．5．已知cos（α+）=，则sin2α=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式与倍角公式即可得出．【解答】解：∵cos（α+）=，则sin2α=﹣cos=﹣=﹣=﹣，故选：D．6．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），通过|F1F2|=2|PF2|，求出椭圆的离心率e．【解答】解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．7．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果s=（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s，a的值，当n=3时，不满足条件n＜3，输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，s=0，n=1s=1，a=3满足条件n＜3，n=2，s=4，a=5满足条件n＜3，n=3，s=9，a=7不满足条件n＜3，输出s的值为9．故选：B．8．若定义在R的函数f（x）=ln（ax+）为奇函数，则实数a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵定义在R的函数f（x）=ln（ax+）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln（ax+）+ln（﹣ax+）=ln（ax+）•（﹣ax+）=ln（x2+1﹣a2x2）=0，则x2+1﹣a2x2=1，即x2﹣a2x2=0，则1﹣a2=0，则a=±1，故选：C9．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．2：1 B．2：C．：1 D．1：1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由条件可知△VAC，△ABC为等腰直角三角形，故主视图面积为S△VAC，左视图面积为S△BOV．【解答】解：取AC的中点O，连接OB，OV，∵VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=45°，∴△VAC，△ABC为等腰直角三角形，∴OV⊥AC，OB⊥AC，又侧面VAC⊥底面ABC，侧面VAC∩底面ABC=AC，∴OV⊥平面ABC，OB⊥平面VAC．设AC=x，OV=h，则OB=．则几何体的主视图面积为S△VAC==．左视图的面积为S△BOV==．∴=2．故选：A．10．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•=﹣12，那么抛物线C的方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．y2=8x D．y2=4x【考点】轨迹方程．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点坐标为（，0），直线AB的方程为y=k（x ﹣），与抛物线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，•=x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣），由直线与抛物线方程联立，得k2x2﹣（pk2+2p）x+p2k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=p+，x1•x2=p2，y1•y2=k（x1﹣）•k（x2﹣）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+p2]=﹣p2，∴•=x1•x2+y1•y2=p2﹣p2=﹣12，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x．故选：C．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（e，+∞）D．（0，）∪（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则不等式可转化为f（ln）＜f（1），求解对数不等式即可解得答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调减函数∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，∴f（ln）＜f（1），∴|ln|＞1，∴ln＞1或ln＜﹣1，可以解得，的取值范围是（0，）∪（e，+∞）．故选：D．12．若存在实数m，n，使得的解集为[m，n]，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】转化为a≤，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到a的取值范围．【解答】解：ae x≤x（e是自然对数的底数），转化为a≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]，则由右边函数y=的图象可得a的取值范围为（0，）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．共20分．）13．已知平面向量=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），则||= 5 ．【考点】向量的模．【分析】设出的坐标，求出2﹣=（2﹣x，﹣4﹣y）=（﹣1，0），根据对应关系求出x，y的值，从而求出向量的模即可．【解答】解：设=（x，y），∵=（1，﹣2），2﹣=（﹣1，0），∴2﹣=（2﹣x，﹣4﹣y）=（﹣1，0），∴，解得：，∴||==5，故答案为：5．14．设x，y满足，则z=x+y的最小值为 2 ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y 的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面为12π，则球心O到平面ACD1的距离为．【考点】球内接多面体．【分析】利用球O的表面积为12π，可得球的半径，正方体的对角线长为2，即可求出球心O到平面ACD1的距离．【解答】解：∵球O的表面积为12π，∴4πR2=12π∴R=，∴正方体的对角线长为2，∴球心O到平面ACD1的距离为OD﹣OO1=﹣=．故答案为：．16．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，则φ= ﹣．【考点】正弦函数的对称性；余弦函数的对称性．【分析】由条件利用正弦函数、余弦函数的周期性以及它们的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）与函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的对称轴完全相同，∴它们的周期相同，即=，∴ω=2．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，即f（x）=2sin（ωx+）的图象的对称轴为x=+，k∈Z．故函数g（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称轴为x=+，k∈Z，即2•（+）+φ=nπ，即kπ++φ=nπ，n∈Z，故φ=﹣，故答案为：﹣．三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．数列{a n}的前n项和为A n=n2+bn，数列{b n}是等比数列，公比q＞0，且满足a1=b1=2，b2，a3，b3成等差数列；（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=b n+，求c n的前n项和．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】（1）令n=1得出b，于是a n=A n﹣A n﹣1，根据b2，a3，b3成等差数列求出q，从而得出b n；（2）使用分项求和与列项求和计算c n的前n项和．【解答】解：（1）∵A n=n2+bn，∴当n=1时，a1=1+b=2，∴b=1．∴当n≥2时，a n=A n﹣A n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n．显然当n=1时，上式仍成立．∴a n=2n．∵数列{b n}是等比数列，公比为q，b1=2．∴b2=2q，b3=2q2．又a3=6，b2，a3，b3成等差数列，∴2q+2q2=12．解得q=2或q=﹣3（舍）．∴b n=2•2n﹣1=2n．（2）c n=2n+=2n+﹣．设{c n}的前n项和为S n，则S n=2+22+23+…+2n+（1﹣）+（）+（）+…+（）=+（1﹣）=2n+1﹣﹣1．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）设AB的中点为D，且CD=A1D，求三棱锥A1﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可得侧棱垂直于底面，得到AE⊥BB1，再由E是正三角形ABC的边BC的中点，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定得到AE⊥平面B1BCC1，再由面面垂直的判定得答案；（2）△CA1D是等腰直角三角形，解直角三角形得到直三棱柱的高，由三棱锥体积公式，利用等体积转换，即可求得三棱锥A1﹣AEF的体积．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴B1B⊥底面ABC，则AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又B1B∩BC=B，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；解：（2）在正三角形ABC中，由AB=BC=AC=2，得CD=，∵CD=A1D，∴A1D=，在Rt△AA1D中，AA1==，∴三棱锥A1﹣AEF的体积=三棱锥E﹣A1AF的体积==．19．我国大力提倡足球运动，从2013年开始高校的体考生招生也向招收足球项目的考生倾斜，某高校（四年制）为了解近四年学校招收体考生中足球项目考生的情况，做了如下统计，现以2012年为统计起始年，记为x=0，以足球项目考生占所有体考生的比例为y．2012级2013级2014级2015级x 0 1 2 3体考生250 260 300 300足球项目考生35 39 45 48y 0.14 0.15（1）已知y关于变量x的变化关系满足线性回归方程=x+，其中=0.141，求出回归方程；2016级计划足球项目考生60人，根据线性回归方程2016级总的体考生将招收多少人（人数四舍五入）；（2）开学后举行了一次新生足球见面赛，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样确定15级，16级的足球队员人数．（i）求足球队中，15级和16级的足球队员各有多少人？（ii）比赛上场队员有11人，其余7人在场外替补，已知在场上有6名16级学生，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，求替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（1）由已知求出=1.5，=0.15，由线性回归方程=x+0.141过点（1.5，0.15），能求出线性回归方程=0.006x+0.141．根据线性回归方程能求出2016级总的体考生将招收的人数．（2）（i）15级有足球项目考生48人，16级有足球项目考生60人，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，按分层抽样能确定15级足球队员人数和16级的足球队员人数．（ii）由题意知7名替补队员中有15级学生3名，16级新生4名，由此利用等可能事件概率计算公式能求出替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率．【解答】解：（1）==1.5，=0.15，∵=0.141，∴=x+0.141，∵线性回归方程=x+0.141过点（1.5，0.15），∴0.15=1.5+0.141，解得=0.006，∴线性回归方程=0.006x+0.141．2016级时，=0.006×4+0.141=0.165，∵2016级计划足球项目考生60人，∴根据线性回归方程2016级总的体考生将招收：≈364（人）．（2）（i）∵15级有足球项目考生48人，16级有足球项目考生60人，由15级16级的足球项目考生共同组成一支18人足球队，∴按分层抽样确定15级足球队员人数为：48×=8人，16级的足球队员人数为：60×=10．（ii）由题意知7名替补队员中有15级学生3名，16级新生4名，在比赛过程中有2名替补队员被替换上场，基本事件总数n==21，替换上场的选手中恰好有1名16级的新生包含的基本事件个数m==12，∴替换上场的选手中恰好有1名16级的新生的概率p===．20．已知圆F的方程为x2+y2﹣2x=0，与x轴正半轴交于点A，椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F，顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）如图D，C是椭圆上关于y轴对称的两点，在x轴上存在点B，使得四边形ABCD为菱形，求B点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）圆的方程出A（2，0），圆心F（1，0），设椭圆方程为，（a＞b＞0），则a=2，c=1，由此能求出椭圆方程．（2）设D（m，n），则C（﹣m，n），B（2﹣2m，0），m＞0，n＞0，由题意得，由此能求出点B坐标．【解答】解：（1）∵圆F的方程为x2+y2﹣2x=0，与x轴正半轴交于点A，∴令y=0，得A（2，0），圆心F（1，0），∵椭圆C的中心在原点，焦点在圆心F（1，0），顶点为A（2，0），设椭圆方程为，（a＞b＞0），则a=2，c=1，∴b2=4﹣1=3，∴椭圆方程为．（2）设D（m，n），则C（﹣m，n），B（2﹣2m，0），m＞0，n＞0，由题意得，由m＞0，解得m=.2﹣2m=2﹣=，∴B（，0）．21．已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求实数a的值；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若|g（x1）﹣g（x2）|≥﹣ln2，求b的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）求出g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），通过换元得到g（x1）﹣g（x2）＞0，得到0＜≤，从而求出b的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，若|g（x1）﹣g（x2）|≥﹣ln2，即g（x1）﹣g（x2）≥﹣ln2，即lnt﹣（t﹣）≥﹣ln2，∴0＜t≤，∴0＜≤，由x1•x2=1，得：x2=，∴≤，0＜x1≤，而x1+x2=b﹣1即x1+=b﹣1，∴b=+x1+1，（0＜x1＜），令p（x）=x++1，（0＜x＜），p′（x）=1﹣=＜0，p（x）在（0，）递减，∴p（x）＞p（）=1+，故b＞1+．[选做题：几何选讲]22．如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，过内圆上一点M，做内圆的切线，交外圆于C，D两点，TC，TD分别交内圆于A，B两点．（1）证明：AB∥CD；（2）证明：AC•MD=BD•CM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明∠TCD=∠TAB，即可证明AB∥CD；（2）证明：∠MTD=∠ATM，利用正弦定理证明=，由AB∥CD知=，即可证明AC•MD=BD•CM．【解答】证明：（1）由弦切角定理可知，∠NTB=∠TAB，…同理，∠NTB=∠TCD，所以，∠TCD=∠TAB，所以，AB∥CD．…（2）连接TM、AM，因为CD是切内圆于点M，所以由弦切角定理知，∠CMA=∠ATM，又由（Ⅰ）知AB∥CD，所以，∠CMA=∠MAB，又∠MTD=∠MAB，所以∠MTD=∠ATM．…在△MTD中，由正弦定理知，，在△MTC中，由正弦定理知，，因∠TMC=π﹣∠TMD，所以=，由AB∥CD知=，所以=，即AC•MD=BD•CM．…选做题：坐标及参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，圆O的圆心在原点，经过曲线C的右焦点F．（1）求曲线C和圆O的标准方程；（2）已知直线l的参数方程为（t为参数）与圆O交于B，C两点，其中B在第四象限，C在第一象限，若|BC|=5，∠FOC=α，求sin（﹣α）的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为标准方程．可得c=5．得到圆O的半径为5，即可得出标准方程．（2）把直线l的参数方程（t为参数），可知：直线l经过点B（4，﹣3），点B在圆O上，而|BC|=5，可得△OBC是等边三角形．得出sin∠xOB即可得出sin（﹣α）．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为2ρ2cos2θ﹣3ρ2sin2θ=30，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为2x2﹣3y2=30，∴标准方程为：．∴c==5．可得曲线C的右焦点F（5，0）．∴圆O的标准方程为：x2+y2=25．（2）把直线l的参数方程（t为参数），可知：直线l经过点B（4，﹣3），点B在圆O上，而|BC|=5，∴△OBC是等边三角形．∵sin∠xOB=∴sin（﹣α）=．[选做题：不等式选讲]24．已知命题“∀a＞b＞c，”是真命题，记t的最大值为m，命题“∀n∈R，”是假命题，其中．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求n的取值范围．【考点】全称命题．【分析】（Ⅰ）问题转化为，利用基本不等式的性质求出即可；（Ⅱ）问题转化为∃n∈R，”是真命题，根据三角函数以及绝对值的意义求出n的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为“∀a＞b＞c，”是真命题，所以∀a＞b＞c，恒成立，又a＞b＞c，所以恒成立，所以，．…又因为=，“=”成立当且仅当b﹣c=a﹣b时．因此，t≤4，于是m=4．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“∀n∈R，”是假命题，所以“∃n∈R，”是真命题．…因为|n+sinγ|﹣|n﹣cosγ|=|n+sinγ|﹣|cosγ﹣n|≤|sinγ+cosγ|（），因此，，此时，即时．…∴，由绝对值的意义可知，．…2016年10月5日。

2021届新高考数学模拟试题〔含解析〕一、单项选择题1.集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，那么AB =〔 〕A. []22-,B. (1,)+∞C. (]1,2-D.(](1)2-∞-⋃+∞,,【答案】C 【解析】 【分析】先解得不等式1244x ≤≤及110x >时函数lg y x =的值域,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 那么(]1,2A B ⋂=-, 应选:C【点睛】此题考察集合的交集运算,考察解指数不等式,考察对数函数的值域. 2.设i 是虚数单位，假设复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，那么a 的值是〔 〕 A. 3- B. 3C. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,那么1a =-, 应选:D【点睛】此题考察复数的类型求参数范围,考察复数的除法运算. 3.“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,利用均值定理可得min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,那么2a ≤,进而判断命题之间的关系.【详解】假设10,x a x x ∀>≤+,那么min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤,因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤, 所以“2a <〞是“10,x a x x∀>≤+〞的充分不必要条件, 应选:A【点睛】此题考察充分条件和必要条件的断定,考察利用均值定理求最值. 4.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如下图.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的选项是〔 〕 A. ③④ B. ①②C. ②④D. ①③④【答案】A 【解析】 【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④. 【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,那么x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 应选:A【点睛】此题考察由茎叶图分析数据特征,考察由茎叶图求中位数、平均数.5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如下图)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为〔 〕A.π90B.π180C.π270D.π360【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒,那么每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=,所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 应选:A【点睛】此题考察三角形面积公式的应用,考察阅读分析才能. 6.函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. ()1,3 B. ()1,2C. ()0,3D. ()0,2【答案】C【解析】 【分析】显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,由()f x 的一个零点在区间()1,2内,那么()()120f f <,即可求解.【详解】由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a , 应选:C【点睛】此题考察零点存在性定理的应用,属于根底题.7.圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是，那么圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是〔 〕 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】化简圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的间隔d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=⇒-<< 12r r +⇒两圆相交. 选B8.?九章算术?中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为〔 〕A.4π3B.82π3C.32π3D.642【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 应选:B【点睛】此题以中国传统文化为背景,考察四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、根本不等式的应用,表达了数学运算、直观想象等核心素养.二、多项选择题9.以下函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是〔 〕A. 3)y x =B. e e x xy -=+ C. 21y x =+ D. cos 3y x =+【答案】BC 【解析】 【分析】易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,先利用()f x -与()f x 的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D 四个选项里面的函数的定义域均为R ,对于选项A,()()))ln3ln30f x f x x x -+=+=,那么()3)f x x =为奇函数,故A 不符合题意；对于选项B,()()xx f x ee f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,当(0,)x ∈+∞时,设()1xt et =>,那么1y t t=+,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e xxf x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意； 对于选项C,()()()2211f x x x f x -=-+=+=,即()21f x x =+为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为0x =,那么()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 应选:BC【点睛】此题考察由解析式判断函数的奇偶性和单调性,纯熟掌握各函数的根本性质是解题关键.10.2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含15x 项的系数为45 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =,由展开式的各项系数之和为1024可得1a =,那么二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,易得该二项式展开式的二项式系数与系数一样,利用二项式系数的对称性判断A,B ；根据通项判断C,D 即可. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭, 那么二项式系数和为1021024=,那么奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误； 由10n =可知展开式一共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与12x -的系数均为1,那么该二项式展开式的二项式系数与系数一样,所以第6项的系数最大,故B 正确；假设展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确； 由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r ,所以系数为21045C =,故D 正确, 应选: BCD【点睛】此题考察二项式的定理的应用,考察系数最大值的项,考察求指定项系数,考察运算才能.11.在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==假设2,cos CB CD CDB =∠=，那么〔 〕 A. 3sin 10CDB ∠=B. ABC 的面积为8C. ABC 的周长为8+D. ABC 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设CD a =,那么2BC a =,在BCD 中,利用余弦定理求得a ,即可求得DBC S △,进而求得ABCS,即可判断选项B ；在ADC 中,利用余弦定理求得AC ,进而判断选项C ；由BC 为最大边,利用余弦定理求得cos C ,即可判断选项D.【详解】因为cos CDB ∠=,所以sin CDB ∠==,故A 错误； 设CD a =,那么2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得a =所以11sin 3322DBCSBD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=, 所以3583ABCDBCSS +==,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABCCAB AC BC =++=+++=+,故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC 为钝角三角形,故D 正确.应选:BCD【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形,考察三角形面积的公式的应用,考察判断三角形的形状.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 假设2PB PE =，那么//EF 平面PACB. 假设2PB PE =，那么四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C. 三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D. 平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD 【解析】 【分析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD-的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D.【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,那么ACD 为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 那么222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD 中,AC =在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,那么AC BC ⊥,因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 应选:AD【点睛】此题考察线面平行的断定,考察面面垂直的判断,考察棱锥的体积,考察空间想象才能与推理论证才能.三、填空题.13.向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，那么实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值． 【详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．14.数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，那么数列{}n a 的通项公式为___．【答案】2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】 【分析】由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式．【详解】由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-. 又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【点睛】此题主要考察了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．15.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，那么双曲线C 的离心率为________.【解析】 【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或者122F F PF =,进而利用两点间间隔 公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得212e =<〔舍〕；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得22e =,故答案为【点睛】此题考察求双曲线的离心率,考察双曲线的几何性质的应用,考察分类讨论思想. 16.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，那么不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F 〔x 〕()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F 〔x 〕()xf x e=，那么F ′〔x 〕()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′〔x 〕＞0，即函数F 〔x 〕在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x e e --＜，即F 〔x 〕＜F 〔2x 1-〕∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】此题主要考察函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决此题的关键．四、解答题.17.函数()21cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.〔1〕求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;〔2〕假设锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.【答案】〔1〕1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，，；〔2〕122bc<<. 【解析】 【分析】〔1〕运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间; 〔2〕由〔1〕结合()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题b c的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b c的取值范围.【详解】解：〔1〕()21cos 2cos f x x x x m =--+)2cos 22sin 26x x m x m π⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭由23m +=，所以1m = 因此()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭令3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，， 〔2〕由2sin 2106A π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，∴1sin 2=62A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭由02A π<<得72666A πππ<+<，因此5266A ππ+= 所以3A π=1sin 3cos sin sin 3132sin sin sin 2tan 2C C Cb Bc C C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+ 因为为锐角三角形ABC ∆，所以022032C B C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62C ππ<<因此3tan 3C >，那么122b c <<【点睛】此题考察了降幂公式、辅助角公式，考察了正弦定理，考察了正弦型三角函数的单调性，考察了数学运算才能.{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.〔Ⅰ〕求数列{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；〔2〕由〔1〕可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法〞求数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：〔1〕由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ，由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．〔2〕由〔1〕知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221nn n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和. 【易错点晴】此题主要考察待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法〞求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法〞求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法〞求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法〞求数列的和的条件〔一个等差数列与一个等比数列的积〕；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.〔1〕求证：DE ⊥平面PAD . 〔2〕求二面角A PC D --的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕13【解析】 【分析】〔1〕由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证； 〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】〔1〕在等腰梯形ABCD 中, 点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,2AD =,4BC =,1CE =,∴DE AD ⊥,点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,PG ∴⊥平面ABCD ,DE ⊂平面ABCD ,PG DE ∴⊥.又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,DE ∴⊥平面PAD .〔2〕取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如下图,由〔1〕易知,DE CB ⊥,1CE =, 又60ABC DCB ∠=∠=︒,3DE GF ∴=2AD =,PAD △为等边三角形,3PG ∴=,那么(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,3)P ,(3,0)C -,(33)0AC ∴=-,,,(13)AP =-,()3DC =-,,,3)DP =,设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =,那么00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111133030x x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,令13x =那么13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=, 设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =,那么00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22223030x y x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,令23x =,那么21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-, 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,那么33cos 13m n m nθ⋅+===⋅⨯∴二面角A PC D --的余弦值为13.【点睛】此题考察线面垂直的证明,考察空间向量法求二面角,考察运算才能与空间想象才能.20.某单位准备购置三台设备，型号分别为,,A B C 这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购置设备的同时购置该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购置易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购置设备时应购置的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上互相HY. 〔1〕求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；〔2〕以该单位一个月购置易耗品所需总费用的期望值为决策根据，该单位在购置设备时应同时购置20件还是21件易耗品？ 【答案】〔1〕16〔2〕应该购置21件易耗品 【解析】【分析】〔1〕由统计表中数据可得型号分别为,,A B C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X ,那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=,利用HY 事件概率公式进而求解即可；〔2〕由题可得X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购置设备时应同时购置20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】〔1〕由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602=； B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为201301101,,603602606===； C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为453151,604604==； 设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,那么 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P y P y ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ======, 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X , 那么(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=,故711(21)48486P X >=+=, 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16. 〔2〕以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=；(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 由〔1〕知,71(22),(23)4848P X P X ====, 假设该单位在购置设备的同时购置了20件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为1Y 元,那么1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600, 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=；117(2200)(21)48P Y P X ====； 17(2400)(22)48P Y P X ====； 11(2600)(23)48P Y P X ====； 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈； 假设该单位在肋买设备的同时购置了21件易耗品,设该单位一个月中购置易耗品所需的总费用为2Y 元,那么2Y 的所有可能取值为2100,2300,2500,2117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=；27(2300)(22)48P Y P X ====； 21(2500)(23)48P Y P X ====； 2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈；21EY EY <,所以该单位在购置设备时应该购置21件易耗品【点睛】此题考察HY 事件的概率,考察离散型随机变量的分布列和期望,考察数据处理才能.21.直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过原点的直线l 与线段AB 相交〔不含端点〕且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.【答案】〔1〕2212x y +=〔2【解析】 【分析】〔1〕由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242,33x x y y +=+=,且由斜率公式可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,那么2222112222221,1x y x y a b a b+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,即可求解；〔2〕设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的间隔 为12,d d ,那么四边形的面积为()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线间隔 求得12,d d ,根据直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,可得()4101033k k ⎛⎫⨯-+<⎪⎝⎭,即14k >-,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】〔1〕直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =,因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭, 设()()1122,,,A x y B x y ,那么121242,33x x y y +=+=,且21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得22222121220x x y y a b --+=, 那么()()()()21212121220x x x x y y y y a b-+-++=,得222a b =又222,1a b c c =+=, 所以222,1a b ==,因此椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕由〔1〕联立22121x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,易知直线l 的斜率存在,设直线:l y kx =,代入2212x y +=,得()22212k x +=,解得x =或者,设()()3344,,,C D x y y x ,那么34x x =-=,那么34C x D -==因为()410,1,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线y kx =的间隔分别是12d d ==,由于直线l 与线段AB 〔不含端点〕相交,所以()4101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14k >-,所以()124441k k d d +++==,四边形ACBD 的面积()1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,34t >,那么2221243k t t +=-+,所以S ==当123t =,即12k =时,min S =因此四边形ACBD面积的最大值为3. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程,考察椭圆中的四边形面积问题,考察直线与椭圆的位置关系的应用,考察运算才能. 22.函数()()2ln 12a f x x x xb =---，,R a b ∈. 〔1〕当-1b =时，讨论函数()f x 的零点个数；〔2〕假设()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a b c e +≤求c 的最大值. 【答案】〔1〕见解析〔2〕2 【解析】 【分析】〔1〕将1b =-代入可得()2ln 2a f x x x x =-,令0f x ,那么ln 2a xx =,设()ln x g x x=,那么转化问题为()g x 与2ay =的交点问题,利用导函数判断()g x 的图象,即可求解； 〔2〕由题可得()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,利用导函数可得()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,那么()min 0h x ≥,即221ln a b a a +≥--,再设()21ln m x x x =--,利用导函数求得()m x 的最小值,那么2ln2a b +≥,进而求解.【详解】〔1〕当-1b =时,()2ln 2a f x x x x =-,定义域为0,,由0f x 可得ln 2a xx=, 令()ln xg x x =,那么()21ln x g x x -'=, 由0g x,得0x e <<；由0g x,得x e >,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,那么()g x 的最大值为()1g e e=, 且当x e >时,()10g x e <<；当0x e <≤时,()1g x e ≤,由此作出函数()g x 的大致图象,如下图.由图可知,当20a e <<时,直线2a y =和函数()g x 的图象有两个交点,即函数()f x 有两个零点； 当12a e =或者02a ≤,即2a e =或者0a ≤时,直线2a y =和函数()g x 的图象有一个交点,即函数()f x 有一个零点； 当12a e >即2a e>时,直线2a y =与函数()g x 的象没有交点,即函数()f x 无零点. 〔2〕因为()f x 在0,上单调递增,即()ln 0f x ax b x '=+-≥在0,上恒成立,设()ln h x ax b x =+-,那么()1h x a x '=-,①假设0a =,那么()0h x '<,那么()h x 在0,上单调递减,显然()ln 0f x b x '=-≥,在0,上不恒成立；②假设0a <,那么()0h x '<,()h x 在0,上单调递减,当max ,1bx a>-时,0,ln 0ax b x +<-<,故()0h x <,()f x 单调递减,不符合题意； ③假设 0a >,当10x a<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 当1x a>时,()0h x '>,()h x 单调递增, 所以()min 11ln h x h b a a ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,由()min 0h x ≥得221ln a b a a +≥--,设()21ln ,0m x x x x =-->,那么()12m x x '=-,当102x <<时,()0m x '<,()m x 单调递减； 当12x >时,()0m x '>,()m x 单调递增, 所以()1ln 22m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭,所以2ln2a b +≥,又2a b c e +≤,所以2≤c ,即c 的最大值为2.【点睛】此题考察利用导函数研究函数的零点问题,考察利用导函数求最值,考察运算才能与分类讨论思想.。