2020年高考数学5月份预测考试试题文【含答案】

2020年河北省高考数学模拟试卷（5月份）答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}，则（）A．M⊆N B．N⊆MC．N∩（∁R M）＝{x|3≤x＜9}D．M⊆∁R N【解答】解：因为集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|＜3}＝{x|0≤x＜9}∴∁R M＝{x|x≥3}，∁R N ＝{x|x＜0或x≥9}，∴N∩∁R M＝{x|3≤x＜9}，故选：C．2．已知a∈R，复数+为纯虚数，则a＝（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【解答】解：∵+＝为纯虚数，∴，解得a＝3．故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a4+a5＝2a3+7，则S7＝（）A．63B．49C．35D．15【解答】解：∵a1+a4+a5＝2a3+7，∴a4＝7，则S7＝7a4＝7×7＝49．故选：B．4．若x，y满足约束条件，则z＝2x+3y﹣1的最大值为（）A．﹣13B．13C．﹣11D．11【解答】解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，A（﹣5，0）．B（0，4），由图可知，当z＝2x+3y﹣1过B时，z有最大值为11．故选：D．5．古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同．如图所示，ABCD是一个矩形，ABEF和CDFE都是等腰梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF，AB＝30，BC＝10，EF＝50，BE＝26．则这个灰斗的体积是（）A．3600B．4000C．4400D．4800【解答】解：分别过点A，B作EF的垂线，垂足为M，N，连接DM，CN，则FM＝EN ＝10，又BE＝AF＝26，∴AM＝BN＝24，∴多面体ADM﹣BCN为三棱柱，体积为＝．三棱锥D﹣AFM的体积为••AD＝．∴这个灰斗的体积是3600+2×400＝4400．故选：C．6．中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（）A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B．芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前“的总人数多【解答】解：对于选项A，芯片，软件行业从业者中90后占总人数的55%，故连项A正确；对于选项B，芯片，软件行业中从事技术、设计岗位的90后占总人数的（37%+12.6%）×55%＝27.28%，故选项B正确；对于选项C，芯心，软件行业中从事技术岗位的90后’占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后“占总人数的40%、但从从事技术的80后“占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，战选项C错；对于选项D，芯片软件行业中从事市场岗位的90后占总人数的14.4%×55%＝7.92%、“80前“占总人数的5%，故选项D正确，故选：C．7．函数f（x）＝（x2+cos x﹣|x2﹣cos x|）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，故选：B．8．随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预防措施的错误说法，为了辟谣并宣讲正确的预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（）A．12种B．14种C．16种D．32种【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有C33＝1种选法，②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有C51C32＝15种选法，则一共有1+15＝16种选法，故选：C．9．已知两个正方形ABCD和CDEF有一条公共边CD，且△BCF是等边三角形，则异面直线AC和DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取CD的中点M，CF的中点N，连接MN，则MN∥DF．延长BC到P，使CP＝BC，连接MP，NP，则MP∥AC．令AB＝2，则MP＝MN＝，又△BCF是等边三角形，NC＝PC＝1，由余弦定理可得：NP＝，异面直线AC和DF所成角为∠NMP，∴cos∠NMP＝＝．故选：B．10．已知函数f（x）＝sin+cos（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立，则ω的最大值为（）A．2020B．4040C．1010D．【解答】解：利用辅助角公式对函数化解可得f（x）＝sin+cos＝2sin（x+），由对任意的实数x，对任意的实数x，都有f（x0﹣2020）≤f（x）≤f（x0）成立；可得f（x0），f（x0﹣2020），分别为函数的最大值和最小值，要使得ω最大，只要周期T＝＝2ω最大，当＝2020即T＝4040＝2ω，周期最大，此时ω＝2020；故选：A．11．已知定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，则不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（）A．（﹣1，1）∪（1，4）B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣，1）∪（1，2）D．（﹣，1）∪（1，）【解答】解：定义在R上的连续函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），导函数为f′（x）．当x＞1时，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1）＝，令g（x）＝（x﹣1）2f（x），则g′（x）＝2（x﹣1）f（x）+（x﹣）2f′（x）＝（x﹣1）[2f（x）+（x﹣1）f′（x）]，所以当x＞1时，g′（x）＞0，且g（﹣1）＝g（3）＝6，结合函数的图象，可知不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集为（﹣1，1）∪（1，3）．故选：B．12．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l：＝1与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T （﹣5c，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为S（x0，y0），联立方程组，两式相减可得b2（x12﹣x22）＝a2（y12﹣y22），可得b2（x1﹣x2）（x1+x2）＝a2（y1﹣y2）（y1+y2），可得2b2（x1﹣x2）x0＝2a2（y1﹣y2）y0，所以k MN＝﹣＝＝，即﹣•＝（1），由k MN•k ST＝﹣1，可得﹣•＝﹣1（2），由（1）（2）可得x0＝﹣，y0＝5b，即S（﹣，5b），又S在直线l上，所以﹣+5＝1，解得e＝＝．故选：D．二、填空题（共4题，共20分）13．已知{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，则此数列的公比q＝3．【解答】解：∵{a n}为递增的等比数列，a2＝3，a3+a4＝36，∴3q+3q2＝36，且q＞0，解得此数列的公比q＝3．故答案为：3．14．已知非零向量，满足|2﹣|＝|﹣3|，且||＝5||，则与的夹角为．【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，θ∈[0，π]．若|2﹣|＝|﹣3|，则有（2﹣）2＝（﹣3）2，变形可得：42﹣4•+2＝92﹣6•+2，化简可得：52＝2•，又由||＝5||，则cosθ＝＝＝，则θ＝；故答案为：．15．已知函数f（x）＝x2﹣4x+3n若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：若对任意n∈N*，f（x）≥0在[m，+∞）上恒成立，可得x2﹣4x≥﹣3n，对任意n∈N*，都有﹣3n≤﹣3，当n＝1时取得等号，所以x2﹣4x≥﹣3，即x≤1或x≥3，由题意可得[m，+∞）⊆[3，+∞），从而m≥3，故答案为：[3，+∞）．16．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1y2＝﹣4．过A，B两点分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为P，Q，准线与x 轴的交点为M，四边形F APM的面积记为S1，四边形FBQM的面积记为S2，则S1•S2﹣3|AF|•|BF|＝4．【解答】解：如右图所示，∵直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设直线l：x＝ay+1，由联立可得：y2﹣4ay﹣4＝0，∴．∵S1＝（x1+3）•|y1|，S2＝（x2+3）|y2|，∴S1S2＝|y1y2|（x1+3）（x2+3）＝（ay1+4）（ay2+4）＝16+12a2，又∵|AF|•|BF|＝（x1+1）（x2+1）＝（ay1+2）（ay2+2）＝4+4a2，∴S1•S2﹣3|AF|•|BF＝4．故填：﹣4，4．三、解答题17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B+b cos A+a＝b cos C+c cos B．（1）求A；（2）若a＝，点D在BC上，且AD⊥AC，当△ABC的周长取得最大值时，求BD的长．【解答】解：（1）∵，∴，整理可得，，∵sin B≠0，∴，又A∈（0，π），∴；（2）由（1）及，知3＝b2+c2+bc，∴3＝（b+c）2﹣bc，从而，∴b+c≤2，当且仅当b＝c＝1时取等号，即△ABC的周长取得最大值，此时，∵AD⊥AC，∴，又b＝1，∴，∴．18．2020年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调查结果对相应学生提出针对性学习建议．现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，然后再从这些学生中抽取10人，进行学情调查．（1）若采用分层抽样抽取10人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数．（2）若被抽取的10人中，有6人每天学时超过7小时，有4人每天学时不足4小时，现从这10人中，再随机抽取4人做进一步调查．（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，求事件A发生的概率；（ii）用ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取30，45，75人，30+45+75＝150，从这些学生中抽取10人，根据分层抽样法，高一应抽取10×＝2人，高二应抽取10×人，高三应抽取10×人，故高一、高二、高三应抽取的人数分别为2人，3人，5人；（2）（i）记事件A为“被抽取的4人中至多有1人学时不足4小时”，记事件B为“被抽取的4人中恰有1人学时不足4小时”，记事件C为“被抽取的4人中恰有0人学时不足4小时”，则P（A）＝P（B∪C）＝P（B）+P（C）＝；（ii）随机变量ξ表示被抽取的4人中学时不足4小时的人数，则ξ＝0，1，2，3，4，则，，，，，随机变量ξ的分布列如下：ξ01234PEξ＝．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC＝，AB＝2，P A ⊥平面ABCD．（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面P AC⊥平面QBD．（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求P A的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，则BD⊥平面P AC，∵BD在平面QBD内，∴平面P AC⊥平面QBD；（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设P（0，﹣1，a）（a＞0），则，设平面PBC的一个法向量为，则，可取，同理可求平面PDC的一个法向量为，∴，解得a2＝2，∴．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且有3a2＝4b2+1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，过点M作直线x＝3的垂线，垂足为点P，证明直线NP经过定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）由e＝＝，所以＝1﹣＝1﹣＝，联立方程组，解得a2＝3，b2＝2，所以椭圆的方程为+＝1；（2）证明：由（1）可得F（1，0），当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆方程2x2+3y2＝6，消去x可得（3+2m2）y2+4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，且点P（3，y1），则NP的方程为（x2﹣3）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+y1（x2﹣3），又x2＝my2+1，所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）+my1y2﹣2y1（*）y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝y1+y2，（*）式可变形为（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣3）﹣y1+y2．所以（my2﹣2）y＝（y2﹣y1）（x﹣2），即直线NP经过定点（2，0）．当直线l与x轴重合时，显然直线NP也经过定点（2，0），综上，直线NP经过定点（2，0）．21．已知函数f（x）＝+（a＞0）．（1）证明：当x∈[1，+∞）时，f（x）≥1．（2）当0＜a≤1时，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≥m，求整数m的最大值．【解答】解：（1）证明：，∵a＞0，x≥1，∴f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）＝1；（2）当x≥1时，由（1）知f（x）≥1，故m≤1，当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，所以，令，故问题转化为g（x）≥m在（0，1）上恒成立，，令h（x）＝x+1+lnx，易知h（x）在（0，1）上单调递增，∵h（e﹣2）＜0，h（1）＞0，∴存在，使得h（x0）＝x0+1+lnx0＝0，当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在x＝x0处取得最小值，，由于x0+1+lnx0＝0，于是，∵，∴0＜g（x0）＜1，∴m的最大整数值为0．（选做题）22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若射线m的极坐标方程为θ＝（ρ≥0），设m与C相交于点M（非坐标原点），m与l相交于点N，点P（6，0），求△PMN的面积．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：y2＝2x．直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝8．转换为直角坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将代入得到．将代入ρ（cosθ+sinθ）＝8得到ρ2＝4．所以|MN|＝|．点P（6，0）到直线MN：x﹣的距离d＝，所以．23．已知函数f（x）＝2|x+2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若a＞0，b＞0，且函数F（x）＝f（x）﹣3a﹣2b有唯一零点x0，证明：+≥f（x0）．【解答】解：（1）当x≤﹣2时，有﹣2（x+2）﹣x+3≥8，即x≤﹣3，故x≤﹣3；当﹣2＜x＜3时，有2（x+2）﹣x+3≥8，即x≥1，故1≤x＜3；当x≥3时，有2（x+2）+x﹣3≥8，即，故x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（2）证明：由题意知，y＝f（x）与y＝3a+2b有且只有一个交点，结合f（x）的图象知x0＝﹣2且f（x0）＝5＝3a+2b，即证明成立，∵，∴，当且仅当时取等号，∴+≥f（x0）．。

2020届下学期高三模拟测试数学文科试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或22．若复数2i2a z -=，a R ∈在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ） A ．2B ．2C ．1D ．223．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1B ．1C ．1020-D ．1024．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64B ．32C ．16D ．45．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．126．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U8．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63 的概率为（ ）A ．49 B ．13 C ．25D ．3109．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()xf x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．212．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A ．51-B ．15+ C ．35+ D ．5二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n }的前9项之和等于_____ 14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.16. 设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（共60分） 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c ，且3sin sin sin a b b cC B A+-=-．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．四、选做题（10分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,43x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.数学文科试卷参考答案一、单选题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2 【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项. 2．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2 BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212aa z i -=⇒==-，,z =故选B.3．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】C【解析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u r u u u ru u u ru u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ， 则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 8．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．49 B ．13 C ．25 D ．310【答案】B 【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()xf x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【解析】求出0x ≤时()xf x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围．【详解】当0x ≤时，()xf x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增； 当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减， 则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-， 由0x >时，()()1f x f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y g x k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e=-． 由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．故选：A ． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10．已知函数()()231cos 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+Q , 函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω>Q 5012k ∴<≤；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612U ，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ） A ．24 B ．22C ．1D ．2 【答案】C【解析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C HMH AD C D =，1111HH C H DD C D=，即1MH HH =.再将22PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥所以MH ⊥平面11CC D D . 因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D =. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C H DD C D =. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，2MN MH ≥.所以21PM MN PM MH +≥+≥. 即22PM MN +的最小值为1 故选：C 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A 51 B ．152+ C 35+D 5【答案】C【解析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB，列方程即可求出离心率．【详解】如图：由题意得：112AF F F=，所以1212F AF F F A∠=∠，又12F B F B=，所以1221BF F BF F∠=∠，又2F B是21AF F∠的平分线，所以122BF F AF B∠=∠，所以221~BAF AF FV V，所以2212||AF AB F F=⋅，即2(22)||2c a AB c-=⋅，所以22()||c aABc-=，由角平分线定理知，2112||AFABBF F F=，则112211||BF F FAB AF+=+，所以21122||AFABAF F F AF=+，所以2222()2()||22222c a c c a c aAB cc a c c a c---=⋅==-+-，故22235303102c ac a e e e+-+=⇒-+=⇒=．故选：C．二、填空题13.在等差数列{}n a中,公差16250,14,40,d a a a a>+==则数列{a n}的前9项之和等于_____【答案】90【解析】【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a和5a的值，并求出1a和公差d的值，再利用等差数列前n项和公式可求出数列{}n a的前9项之和。

2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A. A∩B={x|x＞0}B. A∩B={x|x＞1}C. A∪B={x|x＞1}D. A∪B=R2.已知F1（-3，0），F2（3，0），若点P（x，y）满足|PF1|-|PF2|=6，则P点的轨迹为（）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 一条射线3.已知复数z1＝1+2i，z2＝1-i，则（）A. B. C. D.4.已知a=0.24，b=0.32，c=0.43，则（）A. b＜a＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. a＜b＜c5.用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A. 15B. 16C. 17D. 186.在同一直角坐标系中，函数f（x）=xα（x≥0），g（x）=-logαx的图象可能是（）A. B. C. D.7.数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，则a6=（）A. 32B. 62C. 63D. 648.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A. 4B.C. 2D. 49.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，其与抛物线E：y2=交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为正三角形，则C的离心率为（）A. B. C. D.11.已知点A（2，1），动点B（x，y）的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（）A. [，]B. [，]C. [2，18]D. [4，l8]12.设函数f（x）=，则满足2f（f（a）=f（a）的a的取值范围是（）A. （-∞，0]B. [0，2]C. [2，+∞）D. （-∞，0]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则a3与a7等差中项的值为______14.已知向量=（l，2），=（2，1），=（1，n），若（2-3）⊥，则n=______15.函数f（x）=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为______16.已知四面体中，，则四面体的体积为__________.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．（1）求BC的长：（2）求△ABC的面积．18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC=6；如图2，将图l中△DAC沿AC起，点D在丽ABC上的正投影G在△ABC内部，点E为AB的中点，连接DB，DE，三棱锥D-ABC的体积为l2．（1）求证：DE⊥AC；（2）求点B到平面ACD的距离．19.如图，O为坐标原点，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|=2（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，l）作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T．求证：点T的纵坐标为定值3．20.菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图l所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月-2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1-13分别对应2018年1月至2019年1月）．（1）试估计该市市民的平均购房面积．（2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于[110，130]的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）根据散点图选择=和=两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：=0.9369+0.0285=0.9554+0.03061ln x （y i）20.0005910.000164（y i）20.006050份的二手房购房均价（精确到0.001）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36．参考公式：相关指数R2=1-．21.已知函数f（x）=e x--1（1）若直线y=x+a为f（x）的切线，求a的值．（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，求b的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ+6cosθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）已知P（1，3），C1与C2的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.设函数f（x）=|2x+a|+|x-1|-3．（1）当a=4时，求不等式，f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x＞0}，A={x|x＞1}；∴A∩B={x|x＞1}，A∪B={x|x＞0}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、并集的运算．2.答案：D解析：解：F1（-3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|-|PF2|=6，因为|F1F2|=6，则点P的轨迹是一条射线．故选：D．利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3.答案：B解析：【分析】把z1=1+2i，z2=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴=．故选：B．4.答案：B解析：解：∵a=0.24=0.042=0.0016，b=0.32=0.09，c=0.43=0.064，∴b＞c＞a，故选：B．利用幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论．本题主要考查幂的意义，求出各个式子的具体值，可得结论，属于基础题．5.答案：B解析：解：若个位数是0，则有C=4种，若个位数不是0，则有A=12种，则共有4+12=16种，故选：B．讨论个位数是0，不是0时，对应的个数即可．本题主要考查简单计数的应用，利用讨论个位数是否为0是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越平缓，g（x）=-log a x 的图象为增函数，当1＜a时，函数f（x）=x a（x≥0）为增函数，且图象变化越来越快，g（x）=-log a x的图象为减函数，综上：只有D符合故选：D．结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x a （x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．7.答案：C解析：解：数列{a n}中，a n+l=2a n+l，a1=1，a2=2a1+l=3，a3=2a2+l=7，a4=2a3+l=15，a5=2a4+l=31，a6=2a5+l=63，故选：C．利用数列的递推关系式逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：设长方体的三条棱的长分别为：x，y，z，则，可得对角线的长为===．故选：B．首先转化为数学表达式，设出长方体的三条棱的长分别为x，y，z，根据题意列出关系式，通过配方法即可求出对角线的长．本题主要考查了长方体的特征，考查了配方法的应用，属于中档题．9.答案：B解析：解：某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，则恰好抽到2幅不同种类的概率为p==．故选：B．现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数n==15，恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数m==12，由此能求出恰好抽到2幅不同种类的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．解析：解：由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），可得|AB|=|OA|=2n，即有=n，又n2=m，解得m=，n=1，则-=1，且c=2，即a2+b2=4，可得a=b=，则e==．故选：C．由抛物线和双曲线关于x轴对称，可设A（m，n），B（m，-n），（m，n＞0），由正三角形的性质和点满足抛物线方程，求得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，运用离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，以及抛物线和双曲线的对称性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则=（x，y），=（2，1），则在向量方向上的投影为z=||cosθ==，设u=2x+y，得y=-2x+u，平移直线y=-2x+u，由图象知当直线y=-2x+u经过点B（0，2）时直线的截距最小，此时u=2，当直线y=-2x+u经过D时，直线y=-2x+u的截距最大，由，得，即D（6，6），此时u=12+6=18．即2≤u≤18，则≤z≤，即≤z≤，即z的取值范围是[，]，作出不等式组对应的平面区域，根据数量积的定义，结合目标函数函数的几何意义利用平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用向量投影的定义进行转化，利用目标函数的几何意义利用平移法是解决本题的关键．12.答案：D解析：解：作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，当t＞1时，2•=t成立，即有a＞2或a＜0；当≤t≤1时，21-t=t，即有t=1，可得a=0或a=2．综上可得a的范围是a≥2或a≤0．故选：D．作出y=f（x）的图象，可得f（x）的最小值为，2f（f（a）=f（a），设t=f（a），可得t≥，即有2f（t）=t，讨论t的范围，结合图象可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查分类讨论思想方法和方程思想，以及化简运算能力，属于中档题．13.答案：11解析：解：根据题意，等差数列{a n}中，a1=1，a9=21，则有a1+a9=a3+a7=1+21=22，则a3与a7等差中项为（a3+a7）=11；故答案为：11．根据题意，由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=1+21=22，进而由等差中项的定义分析可得答案．本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属于基础题．14.答案：4解析：解：；∵；∴；∴n=4．故答案为：4．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出n．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积、减法和数乘的坐标运算．15.答案：（1，2）解析：解：由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a-x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3-3（a+x）2+5（a+x）-1+（a-x）3-3（a-x）2+5（a-x）-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+（6a-6）x2，对任意x均成立，∴6a-6=0，且2a3-6a2+10a-2=2b，即a=1，b=2，即对称中心（1，2）．故答案为：（1，2）．根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．本题主要考查三次函数对称性的求解，利用对称中心的性质，建立方程是解决本题的关键．16.答案：解析：解：取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB=AD=BC=DC=BD=5，AC=8，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO=CO==，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，又因为OE⊥AC，所以OE===，∴四面体ABCD的体积：V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC==2×=．故答案为：．取BD中点O，AC中点E，得出BD⊥平面AOC，由四面体ABCD的体积V=V B-AOC+V D-AOC=2V B-AOC，即可求出结果．本题考查四面体体积的求法，考查四面体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵在△ABC中，AD=3，AC=7，cos∠ACD=．∴由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，可得：9=CD2+49-2×CD×7×，由于CD＜7，∴解得CD=5，∵cos∠CDA==-，∴∠CDB=，又∵∠DCB=，∴BC=5．…6分（2）在△CDB中，∠DCB=，∠CDB=，∴C点到AB的距离h=，BD=10，∴△ABC面积S==．…12分解析：（1）在△ABC中，由余弦定理结合CD＜7，解得CD的值，利用余弦定理可求cos∠CDA=-，可求∠CDB=，结合∠DCB=，可求BC的值．（2）在△CDB中，由（1）可求C点到AB的距离h=，BD=10，根据三角形的面积公式即可计算得解△ABC面积．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC、△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF=F，故AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，GA⊂面ABC，GC⊂面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，∵DA=DC，∴GA=GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，∵F为AC中点，∴E，F，G三点共线，由AB=2AD=2DC=6，得△ABC是等腰直角三角形，，设B到平面ADC的距离为h，则由V D-ABC=V B-ADC，得，∴点B到平面ACD的距离h===4．解析：（1）在图1中作AB的中点E，在图1、图2中取AC的中点F，连结DF、CE、EF，推导出AC⊥DF，AC⊥EF，从而AC⊥面DEF，由此能证明DE⊥AC．（2）推导出DG⊥GA，DG⊥GC，EG垂直平分AC，E，F，G三点共线，设B到平面ADC的距离为h，由V D-ABC=V B-ADC，能求出点B到平面ACD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）由题意可知：，又a2=b2+c2，有，故椭圆C的方程为：．（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠0，x2≠0），得（4k2+3）x2+8kx-8=0，，且有x1+x2=kx1x2，，==，故==．故点T的纵坐标为3．解析：（1）建立方程求出a．b，c的值即可；（2）通过联立方程组，建立AM、BN的方程，再次联立AM、BN的方程求出交点T的纵坐标．本题主要考查椭圆的性质与方程，直线与圆的位置关系，属于中档题目．20.答案：解：（1）=65×0.05+75×0.1+85×0.2+95×0.25+115×0.15+125×0.05=96．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽亲可知：，解得x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，基本事件总数n=6，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），其中恰有一人在[120，130]的情况共有3种，∴这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率P=．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，∴模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．2019年6月份对应的x=18．∴=0.9554+0.0306ln18=0.9554+0.0306（ln2+2ln3）≈1.044万元/平方米．解析：（1）利用频率分布直方图能估计该市市民的平均购房面积．（2）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，由分层抽样能求出x=3，y=1，在抽取的4人中，记3名位于[110，120）的市民为：A1，A2，A3，1名位于[120，130]的市民为B，再从这4人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率．（3）设模型=0.9369+0.0285和=0.9554+0.0306ln x的相关指数分别为，则，=1-，∴，从而模型=0.9554+0.036ln x的拟合效果更好．由此能求出结果．本题考查平均数、概率的求法，考查直线回归方程的应用，考查频率分布直方图、列举法、回归直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，∴f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得x0=0，a=0．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1≥0，在x∈[0，+∞）上恒成立．∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h（0）=1-b．①令1-b≥0，即b≤1，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0在x∈[0，+∞）上恒成立，满足题意．②令1-b＜0，即b＞1时，g′（x）min=h′（0）=1-b＜0．又g′（x）在在x∈[0，+∞）上单调递增．∴存在唯一x0∈（0，+∞），使得g′（x0）=-x0-b=0．且g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（x0）=--1-bx0=--1-x0（-x0）=+-1-x0．令u（x）=e x+-1-xe x，x＞0．h′（x）=x（1-e x）＜0，∴h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0．∵x0＞0，∴h（x0）＜0，即g（x0）＜0，不符合题意．综上可得：b≤1．解析：（1）设切点为P（x0，y0），f′（x）=e x-x，可得f′（x0）=-x0=1，--1=x0+a，解得a．（2）∀x∈[0，+∞），f（x）≥bx恒成立，⇔e x--1-bx≥0，x∈[0，+∞）．令g（x）=e x--1-bx，x∈[0，+∞）．g′（x）=e x-x-b=h（x），h′（x）=e x-1，可得h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增．h（x）min=h （0）=1-b．对b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）由ρ=8sinθ+6cosθ，得ρ2=8ρsinθ+6ρcosθ，∴x2+y2-6x-8y=0，即（x-3）2+（y-4）2=25；（2）把代入（x-3）2+（y-4）2=25，得．∴t1t2=-20．则|PA|•|PB|=|t1t2|=20．解析：（1）把已知方程两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数t几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（1）当a=4时，f（x）≤6即为|2x+4|+|x-1|≤9，当x≥1时，2x+4+x-1≤9，解得1≤x≤2；当x≤-2时，-2x-4+1-x≤9，解得-4≤x≤-2；当-2＜x＜1时，2x+4+1-x≤9，解得-2＜x＜1，综上可得-4≤x≤2，即有f（x）≤6的解集为[-4，2]；（2）由f（x）=|2x+a|+|x-1|-3，=|x+|+|x+|+|x-1|-3≥0+|（x+）-（x-1）|-3=|1+|-3，（当且仅当x=-时取得等号），关于x的不等式f（x）≥2恒成立，可得2≤|1+|-3，即为|1+|≥5，解得a≥8或a≤-12，可得a的范围是（-∞，-12]∪[8，+∞）．解析：（1）由绝对值不等式解法，讨论x≥1，x≤-2，-2＜x＜1，去掉绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值，再由恒成立思想，解不等式可得a的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。

机密★启用前华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学本试题卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|y＝12x}，则A∪B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x>1}2.右图来自中国古代的木纹饰图。

若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A.136B.19C.16D.293.设有下面两个命题：p1：复数x∈R的充要条件是z＝z；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限。

那么下列命题中，真命题是A.p1∧p2B.(⌝p1)∧p2C.p1∧(⌝p2)D.(⌝p1)∧(⌝p2)4.已知数列{a n}为等差数列，若a2＋a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝A.0B.1C.2D.35.已知定义在R上的函数f(x)＝3sinx－2x＋1，则f(x)的最大值与最小值之和等于A.0B.1C.2D.36.(1－x)·(x＋1x＋2)4的展开式中x的系数是A.10B.2C.－14D.347.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为A.94πB.98πC.109πD.329π8.如图所示的程序框图是为了求出满足1＋3＋5＋…＋n≤2020的最大正奇数n的值，那么在框中，可以填A.“输出i －4”B.“输出i －2”C.“输出i －1”D.“输出i ”9.已知函数f(x)3－cos2x 在区间[0，2π]上当x ＝θ时取得最大值，将f(x)的图象向左平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则A.g(x)＝2cos2xB.g(x)＝－2cos2xC.g(x)3sin2x ＋cos2xD.g(x)3sin2x －cos2x 10.已知双曲线于22143x y -=的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，则△AF 2B 的内切圆半径为 43 23 C.23D.2 11.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1。

2020年名校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合，则A∪B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞1}2．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A．B．C．D．3．设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数z∈R的充要条件是；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限，A．p1∧p2B．（￢p1）∧p2C．p1∧（￢p2）D．（￢p1）∧（￢p2）4．已知数列{a n}为等差数列，若a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝（）A．0B．1C．2D．35．已知定义在R上的函数f（x）＝3sin x﹣2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0B．1C．2D．36．的展开式中x的系数是（）A．10B．2C．﹣14D．347．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A．B．C．D．8．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A．“输出i﹣4”B．“输出i﹣2”C．“输出i﹣1”D．“输出i”9．已知函数在区间上当x＝θ时取得最大值，将f（x）的图象向左平移θ个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2cos2x B．.g（x）＝﹣2cos2xC．D．.10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为（）A．B．C．D．211．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为a n（n∈N），则使a7＝1的a0所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．612．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，A、B是圆O上的两点，若，则弦AB长为14．已知实数x、y满足，则z＝x+2y的最小值为．15．已知抛物线x2＝y的焦点为F，过F作两条夹角为30°的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则的最小值为．16．在四楼锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q点是△PBC内的一个动点（含边界），且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足且a＞b．（1）求角B的大小；（2）若b＝1，BC边上的中线AM的长为a，求△ABC的面积．18．在四棱锥P﹣ABCD中，BC＝BD＝DC，AD＝AB＝PD＝PB＝2，PA．（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（2）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．19．已知椭圆的离心率为．点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，﹣2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI＞28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）60727754●●7255 BMI（近22.323.228.320.323.523.725.516.6似值）（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X．求X的分布列及数学期望．（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5x，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg．计算得到的其他数据如下．（1）求的值及表格中8名员工体重的平均值；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重．（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+|2x﹣1|＞3的解集；（2）设g（x）＝1+|x|，若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集为R，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∪B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|2＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞1}【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∪B＝{x|x＞1}．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．解：因为大正方形的面积为：6×6＝36；而小正方的面积为：1×1＝1；故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是：．故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目．3．设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数z∈R的充要条件是；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限，A．p1∧p2B．（￢p1）∧p2C．p1∧（￢p2）D．（￢p1）∧（￢p2）【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），由复数z∈R得，则p1为真命题；再判断p2为真命题．然后由复合命题的真假判断得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z∈R⇔b＝0⇔，则p1为真命题；若复数z所对应的点在第一象限，则a＞0，b＞0，而，故复数所对应的点（b，﹣a）在第四象限，p2为真命题．∴p1∧p2为真命题．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复合命题的真假判断，是基础题．4．已知数列{a n}为等差数列，若a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5．解：∵数列{a n}为等差数列，a2+a5＝3a3，且a4与2a7的等差中项为6，∴，解得a1＝﹣1，d＝1，∴a5＝﹣1+4＝3．故选：D．【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知定义在R上的函数f（x）＝3sin x﹣2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sin x﹣2x，分析可得g（x）为奇函数，由奇函数的性质可得g（x）max+g（x）min＝0，进而可得[f（x）max﹣1]+[g（x）min﹣1]＝f （x）max+f（x）min﹣2＝0，变形分析可得答案．解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sin x﹣2x，有g（﹣x）＝3sin（﹣x）﹣2（﹣x）＝﹣（3sin x﹣2x）＝﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则g（x）max+g（x）min＝0，则有[f（x）max﹣1]+[g（x）min﹣1]＝f（x）max+f（x）min﹣2＝0，变形可得f（x）max+f （x）min＝2；即f（x）的最大值与最小值之和等于2；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意构造新函数g（x）＝f（x）﹣1，属于基础题．6．的展开式中x的系数是（）A．10B．2C．﹣14D．34【分析】把变成，再利用二项展开式的通项公式展开，可得的展开式中x的系数．解：∵（1﹣x）•＝（1﹣x）•（•x4•x3•x2+•••），故展开式中x的系数是14，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：取AB的中点D，连接SD，易知球心O在线段SD上，连接AO，设外接球的半径为r，则：，解得r．所以，该几何体的体积．则：．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+…+n≤2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A．“输出i﹣4”B．“输出i﹣2”C．“输出i﹣1”D．“输出i”【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出符合题意的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由于满足1+3+5+…+n＞2020后，此时i值比程序要求的i的值多2，又执行了一次i＝i+2，故输出的应为i﹣4．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．已知函数在区间上当x＝θ时取得最大值，将f（x）的图象向左平移θ个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2cos2x B．.g（x）＝﹣2cos2xC．D．.【分析】利用两角差的正弦函数公式可求函数解析式f（x）＝2sin（2x），利用正弦函数的性质可得当x时，f（x）取得最大值，由题意可求θ，进而利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可求解g（x）的解析式．解：2sin（2x），当x∈时，2x∈[，]，故当2x，即x时，f（x）取得最大值，所以θ，从而g（x）＝f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）＝2cos2x．故选：A．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B＝60°，则△AF2B的内切圆半径为（）A．B．C．D．2【分析】设内切圆的圆心M，设△AF2B三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M的线段，由内切圆的性质可得|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，再由双曲线定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，可得Q，F1重合，再由∠AF2B＝60°可得内切圆的半径的值．解：设内切圆的圆心为M（x，y），设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S，如图所示连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|＝|F2S|，|AT|＝|AQ|，|BS|＝|BQ|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|AF2|﹣|AT|＝|F2T|，|BF2|﹣|BQ|＝|BF2|﹣|BS|＝|F2S|，所以|AF2|﹣|AQ|＝|BF2|﹣|BQ|，由双曲线的定义可知：|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，所以可得Q，F1重合，所以|TF2|＝2a＝4，所以r＝|MT|＝|TF2|tan•4，故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质及内切圆的性质，属于中档题．11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为a n（n∈N），则使a7＝1的a0所有可能取值的个数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】推导出∀n∈N*，，由a7＝1，得a6＝2，从而a5＝4，进而a4＝1或a4＝8．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的a0的值的个数．解：由题意知∀n∈N*，，由a7＝1，得a6＝2，∴a5＝4，∴a4＝1或a4＝8．①当a4＝1时，a3＝2，∴a2＝4，∴a1＝1或a1＝8，∴a0＝2或a0＝16．②若a4＝8，则a3＝16，∴a2＝5或a2＝32，当a2＝5时，a1＝10，此时，a0＝3或a0＝20，当a2＝32时，a1＝64，此时，a0＝21或a0＝128，综上，满足条件的a0的值共有6个．故选：D．【点评】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由log2a＝log3b，知1＜a＜b或a＝b＝1 或0＜b＜a＜1，然后分情况验证个关系式即可．解：由log2a＝log3b，知1＜a＜b或a＝b＝1 或0＜b＜a＜1，当a＝b＝1时，②成立，其他的不成立；当0＜b＜a＜1时，a b＞b a，a b＞a a，b b＞b a，③成立，④⑤不成立；当1＜a＜b时，取a＝2，b＝3，则a b＝23＝8＜9＝32＝b a，①成立，a b＞a a，b b＞b a，④⑤不成立，综上，只有④⑤不可能成立．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，A、B是圆O上的两点，若，则弦AB长为2【分析】结合图形可得，两边平方后整理可得2﹣20，则2＝24．解：因为，两边平方可得2﹣222，即2﹣20，所以2＝24，所以AB＝2故答案为：2．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题．14．已知实数x、y满足，则z＝x+2y的最小值为0．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x、y满足，画出可行域如图，化z＝x+2y为y x z，由图可知，当直线y x z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值，由，解得A（2，﹣1），最小值z＝2+2×（﹣1）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知抛物线x2＝y的焦点为F，过F作两条夹角为30°的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则的最小值为1．【分析】求得抛物线的焦点F的坐标，设直线m的倾斜角为α，求得直线m的参数方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得|PQ|，再将α换为α+30°，可得|MN|，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求最小值．解：抛物线x2＝y的焦点为F（0，），设直线m的倾斜角为α，可得直线m的参数方程为（t为参数），设P，Q对应的参数分别为t1，t2，联立抛物线的方程x2＝y，可得t2cos2α﹣t sinα0，即有t1+t2，t1t2，则|PQ|＝|t1﹣t2|，即有|PQ|，将α换为α+30°，同理可得|MN|，则cos2α+cos2（α+30°）＝1[cos2α+cos（2α+60°）]＝1+cos（2α+30°）cos30°＝1cos（2α+30°），当cos（2α+30°）＝﹣1，即α＝75°时，的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16．在四楼锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q点是△PBC内的一个动点（含边界），且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解距离即可．解：根据题意，连接AC，BD，两直线交于点O，取PC上一点M，连接MB，MD，如图：若满足题意DQ⊥AC，又AC⊥BD，故AC⊥平面DBQ，则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可，假设如图所示，平面DBM与平面DBQ是同一个平面，则Q点的轨迹就是线段BM，根据假设，此时直线AC⊥平面DBM，则AC⊥MO，故三角形PAD是等腰直角三角形，三角形BAD是等边三角形，故AD⊥PB，又因为BC∥AD，故BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形，故PC2，在三角形PAC中，PA，AC＝2，PC＝2，由余弦定理可得：cos∠PCA，在菱形ABCD中，OC，故在直角三角形MOC中，MC，在三角形BCM中，∠PCB＝45°，故BM2＝BC2+CM2﹣2BC×CM×cos∠PCB＝22+（）2﹣2×2，故得BM．【点评】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题．三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足且a＞b．（1）求角B的大小；（2）若b＝1，BC边上的中线AM的长为a，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B；（2）由已知结合向量数量积的性质即可求解．解：（1）因为，由正弦定理可得，sin A sin B cos C+sin C sin B cos A sin B，因为sin B≠0，所以sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，因为a＞b，所以B为锐角，故B，（2）由题意可知，2，||＝a，两边同时平方可得，4a2＝b2+c2+2bc cos∠BAC，又由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，故cos A＝0因为A∈（0，π），所以A＝90°，所以b＝1，c，S△ABC．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量数量积的性质的综合应用，属于中档试题．18．在四棱锥P﹣ABCD中，BC＝BD＝DC，AD＝AB＝PD＝PB＝2，PA．（1）求证：平面PBD⊥平面ABCD；（2）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结PO，推导出PO⊥OA，PO⊥BD，从而PO ⊥平面ABCD，由此能证明平面PBD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结PO，由对称性知O为BD中点，且AC⊥BD，PO⊥BD，又△PBD≌△ABD，AO⊥BD，从而PO＝AO＝1，又PA，由PO2+OA2＝PA2，∴PO⊥OA，PO⊥BD，OA∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD，∵PO⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．（2）解：由（1）知，PO，BD，AC两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，，0），P（0，0，1），在等腰△BCD中，CO＝3，则C（3，0，0），（3，，0），（0，，1），平面PBD的法向量（1，0，0），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，3），设二面角C﹣PD﹣B的平面角为θ，∴cosθ．∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆的离心率为．点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，﹣2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．【分析】（1））由已知得，解得a2，b2，进而可得椭圆C的方程．（2）设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB 与椭圆方程，得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，结合韦达定理，中点坐标公式得M（，），同理N（，），进而得直线MN斜率，和方程，令x＝0，得y，即可得出答案．解：（1）由已知得，解得a2＝12，b2＝3，所以椭圆C的方程为．（2）由题意知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，由△＞0得k2，且x1+x2，所以x M，y M＝kx M﹣2，即M（，），同理N（，），所以k MN，所以直线MN的方程为y（x），由对称性可知定点必在y轴上，令x＝0，得y（0），所以直线MN过定点（0，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI ≤27.9为偏胖；BMI＞28为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）60727754●●7255BMI（近22.323.228.320.323.523.725.516.6似值）（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X．求X的分布列及数学期望．（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5x ，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg．计算得到的其他数据如下．（1）求的值及表格中8名员工体重的平均值；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重．（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）．【分析】（I）由表中可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（II）（1）由已知条件易知19，从而得到线性回归方程，由于其一定经过样本中心点，将样本中心点代入回归方程即可求得；（2）由的计算公式可知320，而更正后的数据，，再结合的公式即可求出其值，利用可求出，于是可得更正后的线性回归方程，最后把x＝180代入求出即可．解：（I）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列为X012P数学期望E（X）．（II）（1）∵根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，∴71＝0.5×180，解得19，故线性回归方程为0.5x﹣19．∵样本中心点一定在回归直线方程上，∴．（2）由（1）知更正前的数据，∵0.5，∴2×（89920﹣8×170×66）＝320，更正后的数据，，∴，，∴0.8，∴，故更正后的线性回归方程为．当x＝180时，，∴重新预估一名身高为180cm的员工的体重约为75kg．【点评】本题考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对h（x）求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的a的范围．解：（1）由题意可知，y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为f′（x）＝x+a，，所以f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即，由可得x0＝1或x0＝﹣a﹣1，由点P唯一可得﹣a﹣1＝1或﹣a﹣1≤0，即a＝﹣2或a≥﹣1，由可得a，综上可得，a；（2）由h（x）＝f（x）﹣g（x），x＞0，则，（i）若a+1＞0即0＞a＞﹣1时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因为x→0时，h（x）→+∞，且h（2）＝2+2a﹣（a+1）ln2＞2+2a﹣2（a+1）＝0，故要使得h（x）有2个零点，只有h（1）＜0即﹣1＜a，当a＝﹣1时，h（x）只有一个零点，故﹣1＜a（ii）若a+1＜0，即a＜﹣1时，①当a＝﹣2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；②当﹣2＜a＜﹣1时，h（x）在（0，﹣a﹣1）上单调递增，在（﹣a﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且x→0时，h（x）→﹣∞，且h（1）＝a0，h（e2）0，故要使得h（x）有2个零点，则h（﹣a﹣1）0，即，令m（a），﹣2＜a＜﹣1，则0，故m（a）在（﹣2，﹣1）上单调递增，且m（﹣2）0，故m（a）＞0在（﹣2，﹣1）上恒成立，不可能有2个零点，③当a＜﹣2时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，且h（1）＝a0，故h（x）不可能有2个零点，综上﹣1＜a．【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用函数的性质与导数求解函数零点个数，体现了分类讨论思想的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m 的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．转换为直角坐标法方程为x+y﹣m＝0．曲线C的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（0≤y≤1）．（2）设点P（）是曲线C2上一点，则点P到曲线C1的距离d，由于0≤α≤π，所以，则：[．由点P到曲线C1的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则2﹣m＝4，即m＝﹣2，故m＝﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+|2x﹣1|＞3的解集；（2）设g（x）＝1+|x|，若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）+|2x﹣1|中，然后根据f（x）+|2x﹣1|＞3，利用零点分段法解不等式即可；（2）由条件可知|ax+1|≤1+|x|，然后分a＝0和a≠0两种情况，利用数形结合法得到关于a的不等式，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）+|2x﹣1|＝|x+1|+|2x﹣1|．∵f（x）+|2x﹣1|＞3，∴或或，∴x＜﹣1或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜﹣1 或x＞1}．（2）不等式f（x）≤g（x），即|ax+1|≤1+|x|，当a＝0时，1≤1+|x|恒成立，∴a＝0；当a≠0时，作出f（x）＝|ax+1|与g（x）＝1+|x|的图象，如图所示，则由图象可知|a|≤1，∴﹣1≤a≤1且a≠0，综上，a的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属中档题．。

华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学参考答案和评分标准一、选择题1.【答案】D 扫码关注查询成绩【解析】由x —2>0得x>2,则B ={x x>2}; 又A ={x l<x<3}, 则AUB ={xlx>l},故选D .2.【答案】D8 2 【解析】在大正方形内随机取一点，则此点取自图形中小正方形的概率为＝—，故选D .6X 6 9 3.【答案】A 【解析】设z =a+bi,a,bER, 则zER号=O已z =乏,P 1为真命题；若在复平面内复数z 所对应的点在第一z a+bi 象限，则a>趴b>O,而----:-=. =b —ai, 故三所对应的点(b,—a)在第四象限，P z 为真命题，所以P 1/\仇为真命题，故选A .生【答案】D 【解析】巾a 2+a 5=3a 3可知a 3+a 4 =3a 3, 所以a 4=2a 3; 又a 4与2a 7的等差中项为6'所以a 4+2a 7=12,即2a 3+2a 7 = 12, 而2a 5=a 3 +a 7 =6, 故a 5=3,故选D .5.【答案】C 【解析】因为xER,令g(x)=3sinx —2x,则g(—x)= 3sin (—x)—2X (—x)=—3sinx十2x =—g(x)'故g(x)为奇函数，g(x)的最大值和最小值的和为O;又g(x) = f(x)—1, [g (x ) J max + [g (x) l run = [f (x) J max —1 +[J(x)J min —l =O, 所以[f(x)]max +[J(x)匕=2,故选C.6.【答案】C【解析】因为(1—x)•(x+』+2)= (1—x)• (石＋—r ) ;(石＋上)8的展开式的通项公式为T =x 石户1c;c石）8—侵）r =C�x 4—r '所以(1—x)•(x+ l +2 的展开式中x 的系数为C尸c:=—14,故选C.X f 7.【答案】D 【解析】由三视图还原为空间几何体，如图所示，取AB 的中点D ,连接SD ,易知球心0在线段S D 上，连接OA .设外接球半径为r,则有（点r)2+1—r z '解得r —2屈3 4 3 32点1 1 J3故V 1——订—3 27 穴，而该几何体体积为V 2——X —X2X l X岛—3 2 3 ，则V 1与32 忆的比值为—穴，故选D .9 8.【答案】A 【解析】由千满足1+3+5+…+n>2020后，此时1值比程序要求的1值多2,又执行了一次i =i+2,故输出的应为1—4,故选A .9.【答案】A s【解析】卢）—点sin2xcos2x —2sin(2x —t ); 当xE [ o 分］时，2x f E [—飞早］，故当2x 卫—卫即x —互时，f(x)取得最大值，所以0—卫；6 2 3 3 理科数学参考答案和评分标准第1页（共6页）。

辽宁省2020届高三（5月份）高考数学（文科）押题试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数i z x y =+（x ， R y ∈）满足()1i 3i z +=-，则x y +的值为（ ） A. 3- B. 4- C. 5- D. 6-2.若cos(α+π4)=13，α∈(0,π2)，则sinα的值为（ ）A. 718 B. √23 C. 4−√26 D. 4+√263.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角.已知双曲线E ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率e ⎤∈⎦时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π+2，则它的表面积是（ ）A. (3√132+3)π+√22+2 B. (3√134+32)π+√22+2C.√132π+√22 D.√134π+√225.函数y =sinx +ln |x |在区间[−3,3]的图象大致为（ ）A. B.C. D.6.已知函数()()1312,2,2{2,2R,0,2x x x f x a x a a x +-+≤=->∈≠-若()()()635ff f =-，则a 为（ ） A. 1C.7.执行下图的程序框图，若输入的0x =， 1y =， 1n =，则输出的p 的值为（ ）A. 81B.812 C. 814 D. 8188.已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a1b 1+a2b 2+a3b 3+⋯+a nb n =12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为（ ）A. -442B. -446C. -450D. -4549.若函数()2ln f x m x x mx =+-在区间()0,+∞内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,8B. (]0,8C. ][(),08,-∞⋃+∞ D. ()(),08,-∞⋃+∞ 10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，令g(x)=f(x)+f′(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（ ）A. 函数g(x)图象的对称轴方程为x =kπ−π12(k ∈Z)B. 函数g(x)的最大值为2√2C. 函数g(x)的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y =3x −1平行D. 方程g(x)=2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1−x 2|最小值为π2第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11.向量,a m n =， ()1,2b =-，若向量a ， b 共线，且2a b =，则mn 的值为_________．12.已知点()1,0A -， ()1,0B ，若圆2286250x y x y m +--+-=上存在点P 使0PA PB ⋅=，则m 的最小值为__________．13.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒， 90B ∠=︒， 120C ∠=︒， 90E ∠=︒，3AB =， 3AE =，当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，则BC 的取值范围为三、解答题（题型注释）， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且222cos cos sin sin B C A A B -=. （1）求角C ；（2）若6A π∠=， ABC 的面积为 M 为AB 的中点，求CM 的长.15.如图所示的几何体P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ＝a ，PB ⊥AB ，平面ABCD ⊥平面P AB ，AC ∩BD ＝O ，E 为PD 的中点，G 为平面P AB 内任一点．(1)在平面P AB 内，过G 点是否存在直线l 使OE ∥l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A ，C ，E 三点的平面将几何体P —ABCD 截去三棱锥D —AEC ，求剩余几何体AECBP 的体积．16.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..17.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点2P ⎛ ⎝⎭，动直线l ： y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ， B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点） （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.18.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ， 2x （12x x <），证明122x x a +>. 19.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ： 3,{2x cost y sintαα=+=+（t 为参数， 0a >），在以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ： 4sin ρθ=.（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ， B 两点，求AB . 20.选修4-5：不等式选讲. 已知函数()211f x x x =-++.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++.参考答案1.C【解析】1.由题意可得： ()()113x yi i y x i i ++=-++=-，则：3{11y x -=+=-，解得： 2{3x y =-=-，则5x y +=-.本题选择C 选项. 2.C【解析】2.分析：利用同角三角函数的基本关系式sin(π4+α)的值，再利用两角差的正弦函数公式即可求解sin[(π4+α)−π4]的值.详解：因为cos(π4+α)=13,0<α<π2，则0<π4+α<π2，且sin(π4+α)=√1−cos 2(π4+α)=2√23，则sin[(π4+α)−π4]=sin(π4+α)cos π4−cos(π4+α)sin π4=2√23×√22−13⋅√22=4−√26，故选C. 3.D【解析】3.由题意可得： [][]222222212,4,1,3c b b e a a a==+∈∴∈ ，设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ ，双曲线的渐近线为b y x a =± ，则,46ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合题意相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择D 选项.4.A【解析】4.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥=34×13×πa 2×3=34πa 2,V 三棱锥=12a 2×3×13=12a 2 由题意：34πa 2+12a 2=3π+2,∴a =2 ，据此可知：S 底=2aπ×34+12×2×2=3π+2 ，S 圆锥侧=34π×√13×2=3√132π ，S 棱锥侧=12×2√2×√11=√22 ， 它的表面积是 (3√132+3)π+√22+2.本题选择A 选项.5.A【解析】5.分析：判断f (x )的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算f (1)的值，结合选项即可得出答案. 详解：设f (x )=sinx +ln |x |，当x >0 时，f (x )=sinx +lnx ⇒f ′(x )=cosx +1x，当x∈(0,1)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当x=1时，f (1)=sin1>0，排除D ；因为f (−x )=sin(−x)+ln |−x |=f (x )=−sinx +ln |x |≠±f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，排除C ，故选A. 6.D【解析】6.由题意可得：()()()()()()()32199463211,314,322255f f f f f f f f a ⎛⎫=-===+===-=- ⎪⎝⎭，解得： a =本题选择D 选项. 7.C【解析】7.依据流程图运行程序，首先 初始化数值， 0,1,1x y n === ，进入循环体：1,12y y nx n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行12n n =+= ，进入第二次循环， 32,22y y n x n y +====，时满足条件2y x ≥ ，执行13n n =+= ，进入第三次循环，99,24y y n x n y +====，时不满足条件2y x ≥ ，输出814p xy == .本题选择C 选项.8.C【解析】8.{a n }的通项公式为a n =2n −1，由a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=12n 可得{a n b n}的通项进而求出b n 后可得S 5．因为{a n }为等差数列且a 1=1,d =2，故a n =2n −1．又a nb n={12,n =112n−12n−1,n ≥2，也就是a nb n={12,n =1−12n ,n ≥2，所以b n ={2,n =1−(2n −1)2n,n ≥2， S 5=2−12−40−112−288=−450，故选C ．9.A【解析】9.很明显0m ≥，且()'20mf x x m x=+-≥恒成立，即： min2,2m m m x m x x x ⎛⎫≤+∴≤+ ⎪⎝⎭由均值不等式的结论： 2mx x+≥，据此有： 28m m ≤，解得： 08m ≤≤. 本题选择A 选项. 10.C【解析】10.根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确． 根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的图象知，A ＝2，T 4=2π3−π6=π2，∴T ＝2π，ω=2πT=1；根据五点法画图知， 当x =π6时，ωx +φ=π6+φ=π2，∴φ=π3，∴f （x ）＝2sin （x +π3）； ∴f ′（x ）＝2cos （x +π3），∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ） ＝2sin （x +π3）+2cos （x +π3）＝2√2sin （x +π3+π4）＝2√2sin （x +7π12）；令x +7π12=π2+k π，k ∈Z，解得x =−π12+k π，k ∈Z，∴函数g （x ）的对称轴方程为x =−π12+k π，k ∈Z，A 正确；当x +7π12=π2+2k π，k ∈Z 时，函数g （x ）取得最大值2√2，B 正确；g ′（x ）＝2√2cos （x +7π12），假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行，则k ＝g ′（x 0）＝2√2cos （x 0+7π12）＝3，解得cos （x 0+7π12）=2√21，显然不成立，所以假设错误，即C 错误； 方程g （x ）＝2，则2√2sin （x +7π12）＝2，∴sin（x +7π12）=√22，∴x +7π12=π4+2k π或x +7π12=3π4+2k π，k ∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x 1，x 2时， |x 1﹣x 2|的最小值为π2，D 正确． 故选：C ． 11.-8【解析】11.由题意可得： ()22,4a b ==- 或()22,4a b =-=- ， 则： ()248mn =-⨯=- 或()248mn =⨯-=- . 12.16【解析】12.圆的方程即： ()()2243x y m -+-=，设圆上的点P 的坐标为()2cos ,3sin P m m θθ++，则：()()5cos ,3sin ,3,3PA m m PB θθθθ=----=----，计算可得： ()()240PA PB m θϕ⋅=+++=，()sinθϕ+= 11-≤≤， 求解关于实数m 的不等式可得： 1636m ≤≤， 则m 的最小值为16.13. 【解析】13.由题意可设：BC DE a== ，则：()211189222244ABCDE S a a a a ⎡=⨯⨯+⨯⨯=-∈⎣ ，则：当a = 时，面积由最大值 ；当a =时，面积由最大值；结合二次函数的性质可得： BC 的取值范围为.14.（1）6C π∠=.（2）CM =.【解析】14.试题分析：(1)利用题意结合余弦定理首先求得cos C =.则6C π∠=.(2)利用题意首先求得4a =，然后结合余弦定理可得CM =.试题解析：（1）由22cos cos B C -= 2sin sin A A B ，得22sin sin C B -= 2sin sin A A B .由正弦定理，得222c b a -=-，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-= == 因为0C π<∠<，所以6C π∠=.（2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故21sin 2ABCSa B ==2=，所以4a =. 在MBC 中，由余弦定理，得222CM MB BC =+- 2cos MB BC B ⋅= 4162++⨯ 124282⨯⨯=.解得CM =.15.（1）过G 点存在直线l 使OE ∥l ，详见解析（2）38a 3【解析】15.（1）先根据三角形中位线性质得OE ∥PB ，再在平面P AB 内，过G 点作PB 平行线即可，注意讨论点G 在直线PB 上情况，（2）先根据面面垂直性质定理得PB ⊥平面ABCD 以及OE ⊥平面ACD ，再根据锥体体积公式得V 四棱锥P —ABCD 以及V 三棱锥D —AEC ，相减可得结果. (1)过G 点存在直线l 使OE ∥l ，理由如下： 由题意知O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以在△PBD 中，OE ∥PB .若点G 在直线PB 上，则直线PB 即为所求的直线l ， 所以有OE ∥l ；若点G 不在直线PB 上，在平面P AB 内，过点G 作直线l ，使l ∥PB ， 又OE ∥PB ，所以OE ∥l ， 即过G 点存在直线l 使OE ∥l .(2)连接EA ，EC ，则平面ACE 将几何体分成两部分： 三棱锥D —AEC 与几何体AECBP (如图所示)．因为平面ABCD ⊥平面P AB ，且交线为AB ， 又PB ⊥AB ，PB ⊂平面P AB ， 所以PB ⊥平面ABCD .故PB 为几何体P —ABCD 的高． 又四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ，所以S 四边形ABCD ＝22，所以V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PB ＝132＝12a 3.又OE ∥12PB 且OE =12PB ，所以OE ⊥平面ACD ， 所以V 三棱锥D —AEC ＝V 三棱锥E —ACD ＝13S △ACD ·EO ＝14V 四棱锥P —ABCD ＝18a 3， 所以几何体AECBP 的体积V ＝V 四棱锥P —ABCD －V 三棱锥D —EAC ＝12a 3－18a 3＝38a 3.16.（1）448.（2）见解析;（3）12P =.【解析】16.试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为B 的概率，然后求解人数约为448人； (2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为12. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=.（2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ， 3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ， 2ab ， 3ab ， 12b b ， 13b b ， 23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ， 2ab ， 3ab ，共3种情况，故所求概率12P =.17.（1）2212x y +=；（2）22322m k -=.【解析】17.试题分析：(1)由题意求得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. (2)联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系结合题意可证得22322m k -=为定值.试题解析：（1）由题意可知2c a =，所以()222222a c a b ==-，即222a b =，①又点P ⎝⎭在椭圆上，所以有2223144a b +=，② 由①②联立，解得21b =， 22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=.联立方程组22,{1,2y kx m x y =++=消去y 化简整理得()222124220k x kmx m +++-=，由()()22221681120k m m k ∆=--+>，得2212km +>，所以122412kmx x k +=-+，21222212m x x k-=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=，整理为()()22121210k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得()22222224101212m km kkm m k k-+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=. 18.（1）见解析;（2）见解析.【解析】18.试题分析：(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：①若0a >，则当()0,x a ∈时，数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时， f 函数()f x 单调递增；②若0a =，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递增.(2)原问题即证明122x x a +>，构造新函数()()g x f x ='=- 22a x a x +-，结合新函数的性质和题意即可证得结论.试题解析： （1）由()22ln f x a x x ax=-+-，可知()2'2a f x x a x=-+-=()()2222x a x a x ax a x x+---=.因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以，①若0a >，则当()0,x a ∈时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =，则当()'20f x x =>在()0,x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()'0f x <，函数()f x 单调递减，当,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0f x >，函数()f x 单调递增. （2）要证122x x a +>，只需证122x x a +>. 设()()g x f x ='=- 22a x a x+-， 因为()2220a g x x+'=>，所以()()g x f x ='为单调递增函数.所以只需证()1202x x f f a +⎛⎫>='⎪⎭'⎝，即证2121220a x x a x x -++->+，只需证122x x -++ ()12210x x a a+->.（*） 又22111ln a x x ax m -+-=， 22222ln a x x ax m -+-=，所以两式相减，并整理，得1212ln ln x x x x --+- ()12210x x a a+-=.把()1221x x a a+-= 1212ln ln x x x x --代入（*）式，得只需证121212ln ln 20x x x x x x --+>+-， 可化为12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-+<+. 令12x t x =，得只需证()21ln 01t t t --+<+. 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-++（01t <<），则()()2411t t t ϕ+'=-+ ()()22101t t t -=>+， 所以()t ϕ在其定义域上为增函数， 所以()()10t ϕϕ<=. 综上得原不等式成立.19.（1）1C ， ()()22232x y a -+-=， 2C ： ()2224x y +-=； []1,5；（2.【解析】19.试题分析：(1)由题意计算可得曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程为()()22232x y a -+-=， ()2224x y +-=； a 的取值范围是[]1,5；(2)首先求解圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长计算公式可得AB =. 试题解析： （1）曲线1C ： 3,{2,x cost y sint αα=+=+消去参数t 可得普通方程为()()22232x y a -+-=.曲线2C ： 4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为()2224x y +-=.把()2224y x -=-代入曲线1C 的普通方程得： ()22234136a x x x =-+-=-，而对2C 有()22224x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[]1,5.（2）当3a =时，曲线1C ： ()()22329x y -+-=，两曲线交点A ， B 所在直线方程为23x =. 曲线()2224x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以3AB ==.20.（1）[1,1-；图见解析（2）见解析.【解析】20.试题分析：(1)将函数写成分段函数的形式解不等式可得解集为[]1,1-.(2)整理题中所给的算式，构造出适合均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论证明题中的不等式即可，注意等号成立的条件. 试题解析：（1）因为()211f x x x =-++= 3,1,1{2,1,213,.2x x x x x x -<--+-≤≤> 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[]1,1-.（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++ ()()22222141171a b a a b ⎛⎫⎡⎤++++= ⎪⎣⎦++⎝⎭()222241215711a b a b ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪++≥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦218577⎡⎢+=⎢⎣. 当且仅当()222241111a b a b ++=++时，等号成立， 即216a =， 243b =时，有最小值，所以221418117a b+≥++得证.。