从集合观点理解充要条件
充分
必要
充分不必要 必要不充分
充要 既不充分 也不必要
传递性．若AB，BC，CD，则AD， 即A是D的充分条件， 利用这一结论可研究多个命题之间的关系． 例如：若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件， r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则 (1)s是P的什么条件? (2)r是q的什么条件?
例3 已知c>0，设p：函数y=cx。在R上递减； q：不等式x+Ix-2cI>1的解集为R，如果 “p V q’’为真，且“p∧q”为假，求c的取值范围· 解：
例3 已知c>0，设p：函数y=cx。在R上递减； q：不等式x+Ix-2cI>1的解集为R，如果 “p V q’’为真，且“p∧q”为假，求c的取值范围·
四种命题以及它们之间的关系
在判断它们之间的关系时，首先要注意分清命题的 条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的 关系．
Hale Waihona Puke 2．充要条件 如果pq，那么就说p是q的充分条件，q是p的必要条件 如果pq，那么就说p是q的充要条件． 3．逻辑联结词 “且”、“或”、“非”这些词叫做逻辑联结词，分 别用 符号“∧”、“V”、“¬”表示． 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题； 当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 假命题； 当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pVq是 真命题； 当p，q两个命题都是假命题时，pVq是假命题． 若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，
解：①逆命题：当a>b>0，x>0，y>0时， 若ax>yb，则x>y”此命题为假．举出反例即可证明， 例如取a=3，b=1，x=2，y=4， 则满足a>b>0，x>0，y>0，ax>by，但x<y ②否命题：当a>b>0，x>0，y>0时， 若x≤Y，则 ax≤by．此命题为假． 因为它的真假与逆命题的真假相同．
【例1】 设原命题是“当a>b>0，x>0，y>0时，若 x>y则ax>by”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并分 别证明它们的真假． ③逆否命题：当a>b>0，x>0，y>0时， 若设ax≤by，则x≤y此命题为真． 证明可以用反证法 假设x≤y不成立，则x>y， ∵a>0, ∴ax>ay． 又a>b且y>0．∴ay>by，∴ax>by， 这与已知条件 ax≤by矛盾，∴x≤y成立． 【点评】 若一个命题有大前提条件，则写其他命题时应 该保留．证明一个命题为假时，只须用特殊值法，举出反 例即可．证明一个命题为真时，必须严格推理，有时可以 用反证法，或者利用原命题与逆否命题等价．本题证明逆 否命题为真时，可以先证原命题为真．
(2)b=0y=kx的图象过原点，所以p是q的充分条件， q是p的必要条件． 反过来，函数y=kx+b的图象过原点0=k· 0+bb=0 所以q也是p的充分条件，p也是q的必要条件． 即p是q的充要条件
【例2】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件， q是p的什么条件· (3)p：x1+x2>6且x1x2>9,q：x1>3且x2>3· 【3】 ∵x1=2，x2=5时适合p，但不满足q，即pq． 所以p是q的不充分条件，q是p的不必要条件． 反过来，若x1>3且x2>3，则有x1+x2>6且x1· x2>9， 所以q是p的充分条件，p是q的必要条件． 故p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
1.3常用逻辑用语
一、知识要点
1．四种命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 叫做命题． 命题有原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种形式． 其表示形式如下： 原命题：若p则q；逆命题：若q则p； 否命题：若¬ p则¬ q；逆否命题：若¬q则¬p． 一个命题与它的逆否命题是等价的，它们同为真命题 或同为假命题，因此我们常常用反证法来证明命题．
常用的 正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于 至多有 一个 至少有 两个
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的
不都是 至多有n 个 任意 两个
否定
某个
某些
至少有n 某两个 ＋1个
说明： “命题的否定”与“否命题”是两个截然
4．全称量词与存在量词 命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量 词，用符号“”表示． “存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符 号“”表示． 含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题： “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)． 特称命题：“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符 号简记为x∈M，p(x)． 全称命题p： x∈M，p(x)，它的否定 ┐p： x∈M， ┐p(x)，是特称命题． 特称命题p： x∈M，p(x)，它的否定 ┐P： x∈M， ┐p(x)，是全称命题．
配套练习 1.
2.
a≤0或1<a<5或a≥6
【例2】 指出下列各组命题中，p是q的什么条件， q是p的什么条件· (1)p：a<b<0，q：a2>b2； (2)p：b=0，q：函数y=kx+b的图象过原点； (3)p：x1+x2>6且x1x2>9,q：x1>3且x2>3· 解：(1)a<b<0-a>-b>0a2>b2 即pq，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 反过来，a2>b2a<b<0，所以q是p的不充分条件， p是q的不必要条件．
不同的概念：对于命题“若p,则q” 否命题是“若p，则q” 否定是“若p，则q” 例如： 命题p：若函数y=sinx，则函数是周期函数； 真命题 则否命题是：若函数y≠sinx，则函数不是周期函数； 假命题
假命题 ﹃p是：若函数y=sinx，则函数不是周期函数；
【例1】 设原命题是“当a>b>0，x>0，y>0时，若 x>y则ax>by”写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并分 别证明它们的真假．
【点评】 有关充分条件，必要条件，充要条件的判 定，关键要根据定义进行判断
配套练习 1. 必要 必要
