浙江省东阳中学2021届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

浙江省东阳中学高三上学期期中考试（数学理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合}32|{<<-=x x M ，}1|{>=x x N ，则)(N M C R ⋂= （ ）A ．}31|{≥-≤x x x 或B ．}31|{<<x xC ．}31|{≥≤x x x 或D ．∅ 2. 设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为 （ ） A. 37 B. 13 C. 5D. 13．若22)sin(2cos -=-παα，则ααcos sin +的值为 ( ) A ．- B ． 12- C ． 12 D 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．84C ．90D ．1895.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线离心率是 ( )A.C.D.26． 若l 为一直线,γβα,,为三个互不重合的平面,给出三命题: ① βαγβγα⊥⇒⊥⊥, ② βγα,⊥∥βαγ⊥⇒③ l ∥βαβα⊥⇒⊥l , . 其中正确的命题有（ ） A .0个 B .1个 C .2个 D .3个7．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的 ( ) Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件8．函数()10<<=a xxa y x的图象的大致形状是（ ）9．设函数52 , -2x 0()()log (2x f x g x x ⎧≤<=⎨-+≤⎩，若()f x 是奇函数，则当x (0,2]∈时，()g x 的最大值是 （ ） A ．14 B ．34- C ．34D ．14-俯视图侧视图主视图10．设1a >，定义()111122f n n n n=+++++，如果对2n ∀≥，不等式 ()127log a f n b +>17log 7a b ++恒成立，则实数b 的取值范围是 （ ）A.292,17⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()0,4D. ()1,+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 12.抛物线x y 162=上一点P 到x 轴的距离为12,则点P 与焦点F 间的距离|PF|=_______ 13. 将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再 向左平移6π个单位，所得函数的解析式为_________________________ 14．如上右图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为15．已知圆O ：225x y +=和点A （1，2），过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 16.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和,若nn n n n a 212)2)(1(1-+++=,则n S =__________17.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b +的最小值为______________三解答题（本大题共5小题，共72分）18. }{n a 是首项为4,公差0≠d 的等差数列,记前n 项和为n S ,若331S 和441S 的等比中项为551S . (1)求}{n a 的通项公式n a ; (2)求使0>n S 的最大n 值.19．已知向量.3sin 2)(),3sin ,3(cos ),1,3(x x f x x n m n m ⋅=-==记 （1）若)(],,0[x f x 求函数π∈的值域；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ac b C f sin ,,1)(2求且==的值。

2020-2021学年金华市东阳中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，集合B=Z，则(∁R A)∩B=()A. {−3,−2,−1,0，1}B. {−1,0，1，2，3}C. {0,1，2}D. {−2,−1,0}2.已知ABCD是四面体，且O为△BCD内一点，则是O为△BCD的重心的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.如图所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为()A. √33B. 13C. √24D. 3√244.设函数f(x)=4x2e|x|，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.5.来晋江旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去五店市游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去五店市游览的概率为()A. 36125B. 44125C. 54125D. 981256.已知α为第三象限的角，cos2α=−35，则tan(π4+2α)=( )A. −16B. −17C. 14D. 157.已知数列等于( )A. 2B. —2C. —3D. 38.正方形ABCD 边长为2，E ，F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为( )A. √22B. 1C. √32D. 129.函数f(x)=(a 2−3a +3)a x 是指数函数，则a 的值为( )A. 1B. 3C. 2D. 1或310. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，b ⃗ =(1,1)，a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，则<a ⃗ ，a ⃗ +b ⃗ >=( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2√3.则双曲线C 的方程为______ 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =kx +1与曲线y =|x +1x |−|x −1x |有四个公共点，则实数k 的取值范围是______ ．13. 已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ= ______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 复数z =21−i (i 为虚数单位)的共轭复数z −= (1) ，|z|= (2) ．15. 在(2√x −1√x )6的展开式中，各项系数的和是 (1) ，二项式系数最大的项是 (2) ．16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =13,∠B =π4,b =5，则sinC = ，△ABC 的面积S = ．17. 袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为 (1) ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ． (1)求函数f(x)的单调递减区间．(2)将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象．求g(x)在[0,π4]上的值域．19. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证： (1)C 1O//面A 1B 1D 1； (2)A 1C ⊥面AB 1D 1；(3)求直线AC 与平面AB 1D 1所成角的正切值．20. 已知数列中，且点在直线上。

卜人入州八九几市潮王学校2021届第一高三〔上〕期中数学试题本卷须知：2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题1．集合A ={x|0<x <3}，集合B ={x|x <1}，那么A ∪B =A ．(−∞,3)B ．(−∞,1)C ．(0,1)D ．(0,3)2．假设复数z 是纯虚数，且(1+2i)z =a +i(a ∈R,i 是虚数单位)，那么a =A ．−2B ．−1C ．1D ．23．《九章算术》第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十丙持钱二百一十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？〞其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了210钱，三人一起出关，一共需要交关税100钱，按照钱的多少按比例出钱〞，那么乙应出(所得结果四舍五入，保存整数)A ．50B ．32C ．31D ．194．过抛物线x 2=2py(p >0)的焦点的弦长最小值为4，那么p 的值是A ．1B ．2C ．4D ．85．定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x ≥0时f(x)={2−2x ,x ≥1−x 2+1,0≤x<1，那么f(−2)的值是A ．−3B ．−2C ．2D ．36．向量a⃗=(1,1)，b⃗=(2,−1)，假设(a⃗+b⃗)//(2a⃗−t b⃗)，那么t =A ．0B ．1C ．−2D ．27．假设函数f(x)=Asin(ωx +φ)，(A >0,ω>0)的局部图象如下列图，图中的点M ，N ，P 在同一条直线上，那么y =f(x)的一条对称轴为A ．x =−π12B ．x =−π6C ．x =π12D ．x =7π68．设m ，n 是两条不同的直线，α，βA ．假设α⊥β，m ⊥α，那么m//βB ．假设m//α，n//α，那么m//nC ．假设m//α，m ⊥n ，那么n ⊥αD ．假设α∩β=m ，n//α，n//β，那么m//n9．某四棱锥的三视图如下列图，那么该四棱锥的体积等于A ．32B ．23C ．12D ．1310．双曲线C 的中心在坐标原点O ，右顶点A 2，虚轴的上端点B 2，虚轴下端点B 1，左右焦点分别为F 1、F 2，直线B 1F 2与直线A 2B 2交于P 点，假设∠B 2PF 2为锐角，那么双曲线C 的离心率的取值范围为A ．(−1+√52,+∞)B ．(1,1+√52)C ．(1+√52,+∞)D ．(3+√52,+∞)11．如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a 1，a 2，a 3，……，a 20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是A ．12B ．8C ．9D ．1112．函数f(x)=2lnx(e −1≤x ≤e 2)，g(x)=kx +1，假设f(x)与g(x)的图象上存在关于直线y =1对称的点，那么实数k 的取值范围是A ．[−e−1,2e−1]B ．[−3e−2,3e−1]C ．[−2e −32,3e]D ．[−e −2,3e −1]二、填空题13．函数f(x)=1ga+x 1−x，是奇函数，那么数a 的值是______．此卷只装订不密封班级准考证号考场号座位号14．在可行域{x −y −1≤0x +y ≤3x >0，内任取一点M(x,y)，那么满足2x −y >0的概率是______．15．假设a =∫x 22−1dx ，在(x √x )6的展开式中x 3的系数为______． 三、解答题16．{a n }是等比数列，{b n }满足b 1=2，b 2=8，且a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n =(2n −1)⋅3n −1．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n 的表达式； (2)求数列{b n }的通项公式．17．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，ΔABC 和ΔAA 1C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .〔1〕证明：A 1O ⊥平面ABC ；〔2〕求直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值.18．为响应绿色出行，某在：推出“一共亨单车〞后，又推出“新能源分时租赁汽车〞，其中一款新能源分吋租赁汽车详细收费HY 为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时，孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间是，在各时间是段内的频数分布情况如表所示：将各时间是段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间是视为用车时间是，范围为(20,70]分钟．(1)假设孙先生一次开车时间是不超过40分钟为“路段畅通〞，设X 表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通〞的次数，求X 的分布列和期望；(2)假设公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表)．19．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=l(a >b >0)过点(√3,√32)，且两个焦点的坐标分别为(−1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)假设A ，B ，M 为椭圆C 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗+OB⃗⃗⃗⃗⃗，求四边形OAMB 的面积．20．函数f (x )=lnx ， g (x )=x e x −x −1.〔1〕假设关于x 的方程f (x )=x 2−73x +m 在区间[1 ， 3]上有解，务实数m 的取值范围；〔2〕假设g (x )−a ≥f (x )对∀x ∈(0 ， +∞)恒成立，务实数a 的取值范围.21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22t y =−1+√22t(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2acos(θ+π4)，(a >56).(1)分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；、(2)点P(2,−1)，直线写曲线C 相交于M ，N 两点，假设|MN|2=5|PM|⋅|PN|，务实数a 的值．22．函数f(x)=|x −2a +1|+|x +2|，g(x)=3x +1．(1)当a =0时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；(2)当x ∈[−1,a)，f(x)≥g(x)恒成立，务实数a 的取值范围．2021届第一高三〔上〕期中数学试题数学答案参考答案 1．A 【解析】 【分析】利用并集定义直接求解即可. 【详解】∵集合A ={x|0<x <3}，集合B ={x|x <1}， ∴A ∪B ={x|x <3}=(−∞,3)． 应选：A ． 【点睛】此题考察并集的求法，考察并集的定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题． 2．A 【解析】 【分析】由设z =bi(b ≠0)，代入(1+2i)z =(1+2i)bi =a +i ，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】设z =bi(b ≠0，b ∈R)， 由(1+2i)z =(1+2i)bi =a +i ， 得−2b +bi =a +i ， ∴{b =1−2b=a，那么a =−2．应选：A ． 【点睛】此题考察复数的根本概念，考察复数相等的条件，是根底题．一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为一共轭复数，复数z 的一共轭复数记作z ．3．C 【解析】 【分析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值． 【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为：100560+350+210=556，所以乙应交关税为350×556≈31(钱)．应选：C ． 【点睛】此题考察了分层抽样方法的应用问题，是根底题． 4．B 【解析】 【分析】直接利用抛物线的性质，判断弦长最小值为4的位置，然后求解p 的值． 【详解】过抛物线x 2=2py(p >0)的焦点的弦长最小值为4，可知弦长的最小值是经过抛物线的焦点坐标与抛物线的对称轴垂直的弦长，即2p =4， 解得p =2． 应选：B ． 【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，是根本知识的考察．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

浙江省东阳中学高三上学期期中考试（数学文）一、选择题1．设====A C B B A U U 则},4,3,2{},5,2,1{},5,4,3,2,1{ ( ) A. Φ B. }2{ C. }4,3{ D. }5,4,3,1{ 2．的是且"3""21">+>>y x y x ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 3．由1,2,3三个数字组成的无重复数字的两位数字中，任取一个数，则恰为 奇数的概率是 （ ） A.61 B. 31 C. 21 D. 324．若复数21221)()1(1,54Z Z i i Z i Z -+=-=，则为虚数单位其中 在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5．函数52)(-+=x e x f x的零点个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D.3 6．若yx xy y x 112,0,0+=>>，则的最小值是 ( ) A.2 B.23C.2D. 22 7．若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则双曲线的渐近线方程是 ( ) A. 02=±y x B. 02=±y x C. 03=±y x D.03=±y x8．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A. βαβα//,//,,则若n m n m ⊥⊥B. n m n m //,//,//,//则若βαβαC. n m n m ⊥⊥则若,//,//,αββαD. βαβα//,//,//,//则若n m n m 9．已知, 为两个非零向量，则下列命题不正确的是 ( )A.若b t a t 00,=∃=⋅使得实数则B.,00bt a t ==∃使得实数若C. t t 00,=∃+=+使得实数则D. t t +=+=∃使得实数若,,0010．已知数列32}{-=n a a n n 的通项公式为，将数列中的各项进行分组如下：第1组：1a ；第二组：32,a a ；第三组：654,,a a a ；如此继续，如果第k 组的最后一个数字为m a ;那么第1+k 组的1+k 个数依次排列为：⋅⋅⋅++,,21m m a a .则第10组的第一个数是 ( )A.91B.89C. 17D. 15 一、填空题11．某高中共有1000名学生，采用分层抽样的方法， 分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本， 其中在高一、高二年级中分别抽取30，35名学生，则该校高三年级有 名学生. 12．已知m 为非零实数.若函数)11ln(--=x my 的图像关于原点成中心对称，则m= 。

东阳中学2020年下学期期中考试卷（高三数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,3,5,7,9,11}U=，{1,3}A=，{9,11}B=，则()UA B=（）A．∅B．{1,3} C．{9,11} D．{5,7,9,11}2．设,a b R∈，则“21a bab+>⎧⎨>⎩”是“1a>且1b>”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．40 B．403C．48 D．164．函数cos e xy x=⋅ (其中e为自然对数的底数)的图象可能是（ ）A B CD5．孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔子的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔子的概率约为 （ ） 【参考数据：3600.990.03≈ ，3600.010≈，30.970.912673≈】A ．0B ．0.0027%C ．91.2673%D ．99.9973% 6．已知tan()23πα+=，则sin(2)6πα+=（ ）A ．35- B ．35 C ．310 D ．310- 7．实数a ,b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+列（ ）A ．可能是等差数列，但不可能是等比数列B ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列8．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝AA 1＝2，点E ，O 分别是线段C 1C ，BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角F －OB 1－E ，F －OE －B 1，F －EB 1－O 的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ） A ．γβα>> B ．αβγ>> C ．γαβ>> D ．αγβ>> 9．已知,a t 为正实数，函数()22f x xx a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a≤成立．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B，则下列关系正确的是（ ）A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉ 10．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >．已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||22AB =+，则这样的点A 个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知i 为虚数单位，复数z 满足2( 11)i z i -＋＝，则z 的虚部为 ，|z|= ．12．在3()(11)x a x x+-+的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a 的值为________． X 0 1 2P12p - 12 2p 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABC S ∆=________．14．已知01p <<，随机变量X 的分布列如右图．若13p =时，()E X = ；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______．15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(,)x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”．若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 ． 17．已知()1212,,,,,*k a a b b b k ∈N 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈（其中1,2,1,2,,i j k ==）则k 的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数()sin (0)f x x =>ωω．（1）求()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集； （2）若1=ω，2()()3()()2g x f x f x f x =+--π，[0,]4x ∈π，求()g x 的值域． 19．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3． （1）证明：AC ⊥BF ；（2）求直线BC 与平面PAC 所成角的正切值． 20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =．i)求{}n a 通项公式；ii)求证：122421111n nb a b a b a +++<． 21．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点P 在抛物线2C ：2y x h =+上，抛物线2C 在点P 处的切线与椭圆1C 交于点M,N ，当线段AP 的中点与MN 的中点Q 的横坐标相等时，求h 的最小值．22．已知函数2()ln f x x ax x =-+． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围．高三数学期中考试参考答案： 1~10 CBACD BACAD11. 32 12. 4 －4 13. 111614. 56，215.16. [3 17. 618.解：（1）12=ω， …………………………………………2分5{|44,}33x x k k k ππ=+π+π∈Z 或；………………………………6分（2）1()sin(2)26g x x π=-+， …………………………………………10分值域为1[,0]2-． …………………………………………14分19.解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF. 因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF. ……………………………………… 6分 (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以FA 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ，由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面PAC ，则∠BCP 为直线BC 与平面PAC 所成的角．…………………10分如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则14PMBM PB EFBE BF ===，所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32，所以CN52=，PC=在Rt △BCP 中，tan ∠BCP＝BPPC =故直线BC 与平面PAC所成角的正切值为. ………………………………………15分20.解：（1）由题意知，121()33n n a -=⋅，21(1())1331()1313n n n S -==--，所以3131n n n b -=+. …………………………5分（2）由题意知，2(2)n n S a n =+， ①， 当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，② 则①-②得 1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+， 得12(1)2n n n a na n a -=--+， ③112(1)2n n n a n a na ++=+-+， ④④-③得11122(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+， 所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=，所以1n a n =+. …………………………10分 ii ）令2112211(21)2(21)(21)(21)2121n n n c b a n n n n n n n n ===<=-++-+-+ (13)分122421111111111+=11335212121n n n T b a b a b a n n n =+++<-+-+--<-++…………………………15分21.解：（I ）由题意得212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y x +=.………4分（II ）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=， 直线MN的方程为22y tx t h =-+， (6)分将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=， 即()22222414()()40txt t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+， …………………8分 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=， …………………10分由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-； …………………12分当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1．………… ………15分 22.解：（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x =<（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x 在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在)+∞单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在单调递增，()f x 在)+∞单调递减． ………………………………6分（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解， 即2ln x ax x k x-+=； 令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e = 所以'()h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e+∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a a e e -==-=-- 当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0x ax x →-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,x ax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k R ∈； 当3102a e -<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x -→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x -→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞， 所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax x k x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <， 又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x x ϕ-=<，所以()x ϕ在32(,)e +∞递减， 且x →+∞时，2ln 1()11x x x ϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e e e ϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥. ………………………………15分。

2021-2022学年金华市东阳中学高三上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U ={x ∈Z|0≤x ≤5}，集合A ={3,1}，B ={y|y =log 3x,x ∈A}，则∁U (A ∪B)=( )A. {0,4，5，2}B. {0,4，5}C. {4,5}D. {4,5，2} 2. 设i 是虚数单位，若复数(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( )．A. −3B. −1C. 1D. 3 3. 下列命题正确的是( )A. b ⊂αa//b }⇒a//αB. b ⊂αa//α}⇒a//bC. a//αa//b }⇒b ⊂αD. a//b b ⊂αa ⊄α}⇒a//α 4. 已知等式x 4=(x +1)4+b 1(x +1)3+b 2(x +1)2+b 3(x +1)+b 4，则b 1，b 2，b 3，b 4的值分别为( )A. 0，0，0，0B. −4，6，−3，0C. 4，−6，4，−1D. −4，6，−4，1 5. 某射手有4发子弹，射击一次命中目标的概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，用ξ表示用的子弹数，则P(ξ=4)等于( )A. 0.0009B. 0.001C. 0.009D. 以上都不对 6. 如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA =1，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −1B. −18C. −14D. −12 7. 函数y =cos(2x −π6)在[0,π2]上的单调递减区间及最小值为( ) A. [π3,π2]，−12B. [π12,π2]，−12 C. [π3,π2]，−√32 D. [π12,π2]，−√328. 下列说法不正确的是( )A. 根据通项公式可以求出数列的任何一项B. 任何数列都有通项公式C. 一个数列可能有几个不同形式的通项公式D. 有些数列可能不存在最大项9. 已知函数f(x)=|xe x |，方程f 2(x)−tf(x)+1=0(t ∈R)有四个实数根，则t 的取值范围为( )A. (e 2+1e ,+∞)B. (−∞,−e 2+1e )C. (−e2+1e ,−2) D. (2,e2+1e ) 10. 已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 1⋅a 20的最大值是( )A. 50B. 25C. 100D. 2√20二、单空题（本大题共5小题，共30.0分）11. 设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，若目标函数z =ax +by ，(a >0,b >0)的最大值为12，则ab 的最大值为______ ．12. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰三角形，则该几何体的体积是______ cm 3，侧面积是______ cm 2．13. 已知α，β∈(0,π2)，且cosα=513，sin(α−β)=45，则sinβ= ______ ．14. 若x ∈(0,+∞)，则x +4x 的取值范围是______．15. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则至少选中一名男生的选法种数是______．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）16. 椭圆E 的方程为x 24+y 22=1，则它的离心率= (1) ，直线y =−x 交椭圆于A ，B 两点，AB = (2) ． 17. 已知函数f(x)={(12)x −2,x ≤−1(2−x)(x +1),x >−1，则f(−2)= (1) ，若f (t)≥2，则t 的取取值范围是 (2)四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.若向量m =(2,0)与n =(sinB,1−cosB)所成的角为．求角B 的大小．若b =，求a +c 的最大值．19. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面ABB 1A 1，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，侧面ABB 1A 1为菱形且ABAA 1=60°，D 为A 1B 1的中点．(Ⅰ)记平面BCD ∩平面A 1C 1CA =l ，在图中作出l ，并说明画法(不用说明理由)；(Ⅱ)求直线l 与平面B 1C 1CB 所成角的正弦值．20. 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知若a 1=12，S n =n 2a n −n(n −1)(n ∈N ∗)(Ⅰ)求a 2，a 3；(Ⅱ)求数列{a n }的通项；(Ⅲ)设b n =1Sn S n+1，数列{b n }的前n 项的和为T n ，证明：T n <52(n ∈N ∗)21. 已知抛物线C ：y 2=2px 焦点为F(2,0)，且P(m,0)，Q(−m,n)，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．(Ⅰ)若m =k =2，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求n ； (Ⅱ)若O 为坐标原点，m 为定值，当k 变化时，始终有OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求定值m 的大小； (Ⅲ)若k =1，n =0，m <0，当m 改变时，求三角形QAB 的面积的最大值．22.已知函数f(x)=xlnx．(1)求f(x)的最小值．(2)讨论关于x的方程f(x)−m=0(m∈R)的解的个数．【答案与解析】1.答案：D解析：解：全集U={x∈Z|0≤x≤5}={0,1，2，3，4，5}，集合A={3,1}，B={y|y=log3x,x∈A}={0,1}，∴A∪B={0,1，3}∁U(A∪B)={2,4，5}．故选：D．由题意求出U，B，然后求解∁U(A∪B)即可．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.答案：D解析：由已知，得=a−3−i，∵复数为纯虚数，∴a−3=0，即a=3．3.答案：D解析：解：对于A，若a⊂α，显然结论错误，故A错误；对B，由a//α可知α内存在直线a′，使得a//a′，若b与a′相交，则a与b为异面直线，故B错误；对于C，当b⊄α时，b//α，故C错误；对于D，由线与面平行的定义知D正确．故选D．根据空间线面位置关系的定义，性质或判定定理进行判断．本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．。

浙江省东阳中学2021-2021学年高一数学上学期期中试题一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--，那么AB = 〔 〕A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}-- 2．以下函数为同一函数的是 〔 〕 A ．2(1)y x =+ 与1y x =+ B ．22y x x =- 与22y t t =- C ．0y x = 与1y = D ．2lg y x = 与2lg y x =3．设0.40.466log 6log 0.4a b c ===，0.，，那么c b a ,,的大小关系为 〔 〕 A ．b c a << B ．a c b << C ．a b c << D ． c a b << 4．以下函数在定义域内是奇函数且单调函数的为 〔 〕 A ．1y x =-B ．2y x = C ．1y x x=+ D ．||y x x =-5．222x x -+=，那么1x x -+的值为 〔 〕 A ．2± B ．1± C ．1 D ．2 6．定义在R 上的偶函数()y f x x =+，满足(1)3f =，那么(1)f -= 〔 〕 A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．函数()f x ax b =+的图象如下图，那么函数()x b f x a -+=的图象为 〔 〕A ．B ．C ．D ．8．[x ]表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，那么0()g x 等于 〔 〕 A ．4 B ．3 C ．2 D ．19．函数122()log (23)f x x ax =-+在(,1)-∞上为增函数，那么实数a 的取值范围为 〔 〕A ．(2,)+∞B ．(1,2)C ．[1,)+∞D ．[1,2)10．函数2(4)log a y x bx x =+-〔a ＞0且a ≠1〕假设对任意0x >，恒有0y ≤，那么a b 的取值范围是 〔 〕 A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(3,)+∞ D ．(2,4) 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．幂函数()f x的图象过点，那么(4)f = ，2(2)y f x =-的定义域为 ．12．()10.53208920.2274925π--⎛⎫⎛⎫-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()2439log 3log 3log 8log 4=-+ ． 13．函数2244,2()log (2),2x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，那么((2))f f = ，()f x 的最小值是 ． 14．假设函数2()2f x x x t =--在[1,2]-上有且只有1个零点，那么t 的取值范围为 ；假设|()|y f x =在[1,2]-上的值域为[0,2]，那么=t _________．15．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=且在[0,)+∞上单调递增，那么使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 ． 16．函数()bf x x=，()1g x x =-，假设对任意12,[1,2]x x ∈，当12x x <时都有1212()()()()f x f x g x g x -<-，那么实数b 的取值范围为 ．17．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，那么31,[0,1]()|25|1,(1,)x x f x x x ⎧-∈=⎨--∈+∞⎩，那么关于x的函数()()1F x f x =-的所有零点之和为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．集合{|213}A x a x a =-<<+，}03|{2<-∈=x x R x B ． 〔1〕假设1a =，求A B ，()R AC B ；〔2〕假设AB B =，务实数a 的取值范围．19.函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++〔0a >且1a ≠〕． 〔1〕求函数()f x 的定义域；〔2〕假设函数()f x 的最小值为－2，务实数a 的值． 20．函数2()2xf x x =+．〔1〕判断并证明()f x 在[0,1]上的单调性； 〔2〕假设[1,2]x ∈-，求()f x 的值域．21．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足当0x ≥时，()1xf x x =+， 〔1〕求()f x 在R 上的解析式；〔2〕当[1,0]x ∈-时，方程12220(2)x xx m f +--=有解，试务实数m 的取值范围．22．函数2()23f x x ax =--．〔1〕当[1,1]x ∈-时，假设()4f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围； 〔2〕当[1,2]x ∈时，假设|()|2f x x ≤恒成立，求a 的取值范围． 东阳中学2021年下学期期中考试卷高一数学参考答案 1~10 ABCDA BACDB11. 2，[ 12. 2,23- 13. 1，0 14. 03t <≤或1t =-，1t =15. 1(,1)316. (,1]-∞ 17. 35log 22+18. 解：〔1〕∵当1a =时，{|14}A x x =<<， 又{|03}B x x =<< ∴{|04},(){|34}R AB x x AC B x x =<<=≤< ………………………7分〔2〕∵AB B =只需满足21033a a -≤⎧⎨+≥⎩即102a ≤≤. …………………………14分19. 解：〔1〕要使函数有意义，必有2040x x ->⎧⎨+>⎩得42x -<<所以()f x 定义域为{|42}x x -<<. ………………………7分 〔2〕()log [(2)(4)]a f x x x =-+min ()log 92a f x ∴==-即29a -=13a ∴=或13a =-又0a >且1a ≠13a ∴=. ……………………… 15分20. 解：〔1〕)(x f 在[0,1]上单调递增函数，证明如下：任取1201x x ≤<≤，那么22121221121212222222121212(2)(2)(2)()()()22(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++ 因为1201x x ≤<≤，所以120x x -<，1201x x ≤≤，1220x x ->， 221220,20x x +>+>)(x f ∴在[0,1]上是增函数. ……………………… 7分因为21x x <，所以，0)()(21<-∴x f x f ，)(x f ∴在[0,1]上是增函数. 〔2〕[1,2]x ∈-，又)(x f在[-上递增，在上递减)(x f ∴的值域为1[3-． ………………………15分 21. 解：〔1〕设0x <时，那么0x ->，,()1xf x x --=-+， ∵)(x f 是奇函数，()()f x f x ∴-=-()1xf x x ∴=-+ ,01(),01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+∴=⎨⎪<⎪-+⎩……………………………… 6分〔2〕[1,0]x ∈-，12[,1]2x ∴∈2(2)21xxxf ∴=+，又12220(2)x x xm f +--=， 22(21)20x x m ∴+--=即222222(21)3x x x m =-+⋅+=--+12[,1]2x ∈, 11[,3]4m ∴∈ ……………………………… 15分22. 解：〔1〕2210x ax a -+-≥对任意[1,1]x ∈-恒成立，令2()21g x x ax a =-+-对[1,1]x ∈-都有0)(≥x g ，对称轴x a =，当1a ≤-时，)(x g 在[1,1]-单调递增，min ()(1)1210g x g a a =-=++-≥，2a ∴≥- 当1a ≥时，)(x g 在[1,1]-单调递减，min ()(1)1210g x g a a ==-+-≥， 23a ∴≤〔舍去〕 当11a -<<时，)(x g 在[1,)a -递减，在(,1]a 递增，2min ()()10g x ga a a ∴==--≥a≤≤， 综上所述，实数a 的取值范围为： 2a -≤≤ …………………………7分 〔2〕[1,2]x ∈∴2|23|2x ax x --≤，那么22232x x ax x -≤--≤，∴33222x a x x x --≤≤-+对[1,2]x ∈恒成立， 即max min 33(2)2(2)x a x x x--≤≤-+ 令3()g x x x=-，那么()g x 在[1,2]递增，∴122222a -≤≤-+即304a -≤≤． ………………………………15分。

2021年高三上学期期中测试数学试题含答案第I卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡．．．上）1．设U={2，5，7，8}，A={2，5，8}，B={2，7，8}，则U（A∪B）等于（）(A) {2，8} (B) (C) {5，7，8} (D) {2，5，7，8}2．是的（）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件3．设命题p：＝0，q：2ÎR，则下列结论正确的是（）(A) 为真 (B) 为真 (C) p为真 (D) 为真4．若是任意实数,且,则（）（A）（B）ba＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）(12)a＜(12)b5．设m= a2＋a－2,n= 2a2－a－1，其中a R，则（）(A)m＞n(B) m≥n (C) m＜n(D) m≤n6．函数f (x)=1x－1＋lg(x＋1)的定义域为( )(A) (－∞，－1) (B) (1，＋∞) (C) (－1，1)∪(1，＋∞) (D) R7．f (x)=2x2－mx＋3,x∈[－2, ＋∞时是增函数,x∈时是减函数, 则f (1)等于（）(A) －3 (B) 13 (C) 7 (D) 由m而定的其它常数8．设f (x)是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，则f (－3)，f (－4)的大小关系是（）(A) f (－3) > f (－4) (B) f (－3) < f (－4) (C) f (－3) ＝f (－4) (D) 无法比较9．在同一坐标系中，当a>1时，函数y＝( 1a)x与y＝log a x的图像是（）(A) (B) (C) (D)10．若2a＝4，则log a 12的值是（）(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 1 211．等比数列中，若a2⋅a6＝8，则log2(a1⋅a7)等于（）(A) 8 (B) 2 (C) 16 (D) 312．如果sin x2·cos x2＝13，那么sin(π－x)的值为（）(A) 23(B) -89(C)89(D) ±2313．已知角α终边经过点P(－5，－12)，则tan α的值是(A) 125(B) －125(C)512(D) －51214．如果sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，那么tanα的值为（）(A)－2 (B)2 (C)2316(D)－231615．设x ∈R，向量→a＝(x，1)，→b=(1，－2 )，且→a⊥→b，则 (→a＋→b)·(→a－→b)的值是（）(A) x (B) 1 (C) 0 (D) －116、如果函数y=2x2+(2a-b)x+b，当y<0时，有1<x<2，则a、b的值为（）(A) a=-1,b=-4 (B) a=-12,b=2 (C) a=-1,b=4 (D)a=1,b=-417、已知，则（）(A) (B) (C) ± (D)± 18.把函数y=sin x 图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变， 再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式是（ ） (A) y=cos 2x (B) y= -sin 2x (C) y=sin(2x-) (D)y=sin(2x+) 19.在△ABC 中，已知AB=AC ，∠B=30°，则∠A=（ ） (A) 45° (B) 15° (C) 45°或135° (D)15°或105° 20、数列满足则（ ） (A) 1 (B) xx (C) 2011 (D)xx 第II 卷（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2021届浙江省金华市东阳中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,9,11U A B ===，则()UA B =A ．∅B ．{}1,3C ．{}9,11D ．{}5,7,9,11【答案】C【分析】可以先通过全集U 和集合A 得出UA 的值，在通过UA 和集合B 得出结果．【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,111,3U A ==，， 所以{}5,7,9,11UA =，因为{}9,11B = 所以(){}9,11UA B ⋂=，故选C ．【点睛】补集是指全集中除去指定集合的其他部分，交集是指两个集合都有的部分．5 2．设,a b ∈R ，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式的性质，利用必要不充分条件的定义判断即可.【详解】根据不等式的性质由1a >且1b >能推出 21a b ab +>⎧⎨>⎩；当1=3a ， 3.3b =时，有1 3.3231.11a b ab ⎧+=+>⎪⎨⎪=>⎩ 而1=13a <， 则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．40B ．403C ．48D ．16【答案】A【分析】根据三视图可画出原来几何体，可得答案.【详解】根据题意得到原图是如图所示的直棱柱1111ABCD A B C D -, 四边形1111A B C D 的面积为(42)31=211022S +⨯+⨯⨯=，所以体积40V S BC =⋅=. 故选：A ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.4．函数cos x y x e =⋅ (其中e 为自然对数的底数)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先通过函数的奇偶性排除部分选项，当0x >时，再利用导数法研究其单调性即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，又()()()cos cos x x f x x ex e f x ---=⋅=-=⋅， 所以()f x 是奇函数，排除AD ，当0x >时，()()cos 1sin xf x e x x '-=，令()1sin 0g x x x =-=，即1sin x x=， 在同一坐标系中，作出函数1sin ,y x y x==的图象，如图所示：由图象知：()g x 在()0,∞+上有多个不等零点， 所以()f x 在()0,∞+上有多个极值点， 所以()f x 在()0,∞+上不单调， 故选：B5．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027% B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%【答案】B【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求.【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==． 故选：B ．【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题. 6．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．35C ．310D ．310-【答案】B【分析】利用换元法结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】令3x πα=+，则3x πα=-且tan 2x =，因此，2sin 2sin 2sin 2cos 22sin 16362x x x x ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22222222sin 2tan 223111sin cos tan 1215x x x x x ⨯=-=-=-=+++. 故选：B.【点睛】在利用二倍角公式求值时，若一些角的关系不易观察时，可利用换元法将所求角进行化简.7．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、2a b+（ ） A ．可能是等差数列，也可能是等比数列 B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列 C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列 D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b+数列时，是否有满足条件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞2a b+ b若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+， 解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=2a b +2a b += 解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，2a ba b +>>>若能构成等差数列，则2a bab b a ++=+，得2ab =3a-b 于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意 但此时ab •b ＜0，a•2a b+＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>【答案】D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,222OE =--，1122(,,)223OF =-，12(1,1,)2EB =，2(1,0,)6EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos ||||m n m n α==，434cos ||||m p m p β==，46cos ||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉【答案】A【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ．22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．10．已知直线1y x =+上有两点()11,A a b ，()22,B a b ,且12a a >，已知若2AB =+且1122,,,a b a b ,满足12122a a b b += A 个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】设OA 和OB 的夹角为θ，由已知条件可得出 3πθ=或23πθ=，由正弦定理可得OABC 到直线1y x =+的距离为d =，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点A ，从而可以求出A 点的个数. 【详解】因为直线1y x =+上有两点()11,A a b ，()22,B a b ，且12a a >，设OA 和OB 的夹角为θ，则()11,OA a b =，()22,OB a b =，1212OA OB a a bb ⋅=+， 1a A O =，2a B O =所以12122a a b b +=2OA OB OA OB ⋅=⨯， 因为22cos OA OB OA OB θ⋅=⨯，所以2cos OA OB OA OB θ⨯=⨯，解得：1cos 2θ=±，因为0θπ≤≤，所以3πθ=或23πθ=， 若2AB =OAB 外接圆的半径为2sin AB AOB=∠ 设OAB外接圆的圆心为C ，则C 到直线1y x =+的距离为d ==， 所以圆心在与直线1y x =+的两条平行直线1y x =+，1y x =+上，且C 到原点O原点O到直线1yx =+的距离为d==>， 所以直线1y x =+上面不存在这样的点C ，原点O到直线1y x=+的距离为d==< ，所以直线1y x=+上存在两个这样的点C一个点C 对应一个点A ，所以这样的点A 有2个， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是12122a a b b +=2OA OB OA OB ⋅=⨯，利用数量积的定义求出OA 和OB 的夹角3πθ=或23πθ=， 弦长2AB =OAB 有确定的外接圆，每一个外接圆对应一个点A ，利用弦心距、弦长的一半、半径满足勾股定理，求出圆心C 到直线1y x =+的距离为d =可以判断圆心在与直线1y x =+的两条平行直线，利用圆心到两条平行线的距离与OA =比较即可确定点C 的个数，进而得点A 的个数，属于难题.二、填空题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABCS=________.【答案】1116 4【分析】利用正弦定理边化角，然后利用诱导公式以及和角公式化简可得16cos sin 11sin 0B C C -=，求出cos B 的值，再正弦定理求出sin 8C =，利用和角公式求出sin A 的值，由三角形面积公式得答案, 【详解】因为16cos 1611b C a c =-， 所以由正弦定理得()16sin cos 16sin 11sin 16sin 11sin B C A C B C C =-=+- 16sin cos 16cos sin 11sin B C B C C =+-所以16cos sin 11sin 0B C C -=， 又sin 0C ≠，所以11cos ,sin 16B B ==， 由正弦定理得sin sin C Bc b=，得sin 8C =，因为c b <，所以7cos 8C =，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+7111681684=+⨯=，11sin 322244ABCSbc A ==⨯⨯=⨯故答案为：1116. 【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(,)x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________.【答案】【分析】求得双曲线的渐近线方程，画出区域Ω，由21133y x y x x --+=-++的几何意义是点(,)x y 与点(3,1)P --的斜率与1的差，结合图象，连接PA ，可得斜率最大，再由双曲线的a ，b ，c 关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，渐近线1l ，2l 与1x =围成区域Ω，如图，21133y x y x x --+=-++的几何意义是点(,)x y 与点(3,1)P --的斜率与1的差，求得(1,)b A a，(1,)bB a -，连接PA ，可得斜率最大为14ba +，由题意可得1104b a +-<，可得3ba<，即3a b >，22229a b c a >=-， 即2210c a <，即有c ．可得1e <<故答案为：．【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解13．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x=+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________. 【答案】[35,2)【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围.【详解】函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ， 2020424454t t t t++≥⋅= ，当5t = 即352a -≤<.故答案为：)35,2⎡-⎣【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a的取值范围.14．已知()*1212,,,,,k a a b b b k ⋯∈N是平面内两两互不相等的向量，满足12||1-=a a 且||{1,2}-∈i j a b （其中1,2,1,2,,i j k ==），则k 的最大值为________．【答案】6【分析】根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，这样由模的几何意义可得满足||1i j a b -=的点(,)x y 所在曲线，满足||2i j a b -=的点(,)x y 所在曲线，两曲线的公共点即为所求，由此可得结论．【详解】根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，{}1,2i j a b -∈，当22111j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为1的圆； 22124j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用实线表示；当()222111j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆；()222214j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为2的圆，如图这两个圆用虚线表示，由条件可知点(),x y 既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k 是最大值是6． 故答案为：6．【点睛】本题考查向量模几何意义，解题关键是用坐标表示向量，通过向量终点所在曲线解决问题．考查了转化与化归思想，逻辑推理能力，属于难题．三、双空题15．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)21i z i +=-，则 z 的虚部为 _______ ，z =________ ．【答案】322【分析】首先化简211i z i-=+，再求虚部和共轭复数的模. 【详解】由条件可知()()()()211211313111222i i i i z i i i i ---+====+++-，z 的虚部为32；1322z i =-，所以z ==.故答案为：3216．在31()1x a x x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+-的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a 的值为________. 【答案】4 －4【分析】先求3(1)x +的通项，根据通项和1x a x ⎛+-⎫ ⎪⎝⎭展开式的乘积可得答案.【详解】因为a =2，所以二项式为31()1x a x x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+-，3(1)x +的展开式的通项为13r r r T C x +=，所以x 项的系数为01233324C C C +-=；令x =1，则所有项的系数之和为a ·23=8a =-32，所以a =4-. 故答案为：①4；②4-.【点睛】本题考查二项式定理，解答本题时，利用二项展开式的通项求展开式中某一项的系数，利用x =1得到所有项的系数之和，建立方程求解a 的值. 17．已知01p <<，随机变量X 的分布列如图.若13p =时，()E X =________；在p的变化过程中，(21)D X +的最大值为______.【答案】562 【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得211()22D X p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，进而可得max ()D X ，结合方差的性质即可得解.【详解】当13p =时，1111533()0122226E X -=⨯+⨯+⨯=； 在p 的变化过程中，111()0122222p p E X p -=⨯+⨯+⨯=+， 则2222111111()0122222224p p D X p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21122p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，max 1()2D X =， 所以max max (21)4()2D X D X +==. 故答案为：56；2.四、解答题18．已知函数()sin f x x ω=，0>ω. （1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域.【答案】（1）12ω=，43x x k ππ⎧=+⎨⎩∣或543x k ππ=+，}k Z ∈；（2）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用正弦函数的性质求出ω的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于x 的等式，解出x 即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简()g x ，结合x 的范围和三角函数的性质，从而求出()g x 的值域.【详解】（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142ωπ==π，所以1()sin 2f x x =.令11sin22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k k Z ππ=+∈，. 故解集为43x x k ππ⎧=+⎨⎩∣或543x k ππ=+，}k Z ∈.（2）由于1ω=，所以()sin f x x =.所以21cos 23()sin 3sin()sin sin 2222xg x x x x x π-⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭3111sin 2cos 2sin 222226x x x π⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭ 由于[0x ∈，4π⎤⎥⎦，所以22663x πππ+. 1sin 2126x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故11sin 262x π⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，故1()02g x -. 所以函数()g x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.19．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3.（1）证明：AC ⊥BF ；（2）求直线BC 与平面PAC 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（27【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明AC ⊥平面ABEF ；（2）由题中所给的长度，证明BP ⊥平面PAC ，即∠BCP 为直线BC 与平面P AC 所成的角，在Rt △BCP 中，求线面角的正切值. 【详解】(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF .因为BF ⊂平面ABEF ，所以AC ⊥BF . (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以F A 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ， 由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面P AC ， 则∠BCP 为直线BC 与平面P AC 所成的角.如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则14PM BM PB EF BE BF ===， 所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN 3AN ＝AB －BN ＝2－12＝32， 所以CN 22AN AC +2235()222+=，PC 22PN NC +2235()()722+在Rt △BCP 中，tan ∠BCP ＝7BP PC =故直线BC 与平面P AC 所成角的正切值为77. 【点睛】方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含以下方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ=/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解.20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =. i ）求{}n a 通项公式； ii ）求证：122421111n nb a b a b a +++<. 【答案】（1）3131n n n b -=+；（2）i ）1n a n =+；ii ）证明见解析.【分析】（1）利用等比数列的通项公式及前n 项和公式可得答案； （2）由2(2)n n S a n =+的递推式可得12(1)2n n n a na n a -=--+，再由12(1)2n n n a na n a -=--+可得数列{}n a 是等差数列及通项公式，由22112(21)(21)(21)2121n c n n n n n n =<=-+-+-+可得答案.【详解】（1）由题意知，12133n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，21133111313nn n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，所以11213231===23121+233n n n n n nn S b a -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭++⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. （2）i ）由题意知，2(2)n n S a n =+， ①， 当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，② 则①-②得 1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+， 得12(1)2n n n a na n a -=--+， ③112(1)2n n n a n a na ++=+-+， ④④-③得11122(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+， 所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=， 所以1n a n =+. ii ）令2112211(21)2(21)(21)(21)2121n n n c b a n n n n n n n n ===<=-++-+-+ 122421111111111+=11335212121n n n T b a b a b a n n n =+++<-+-+--<-++. 【点睛】本题考查了递推关系，等比数列的通项公式及前n 项和公式，如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.21．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点P 在抛物线2C ：2y x h =+上，抛物线2C 在点P 处的切线与椭圆1C 交于点M ，N ，当线段AP 的中点与MN 的中点Q 的横坐标相等时，求h 的最小值.【答案】（1）2214y x +=；（2）1. 【分析】（1）由题意列关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，则椭圆方程可求； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，(P t ，2)(0)t h t +≠，则抛物线2C 在点P 的切线斜率为|2x t y t ='=．写出直线MN 的方程，代入椭圆方程，由判别式大于0得到关于t 的不等式①，利用根与系数的关系求得线段MN 中点横坐标为3x ，再求出线段PA 的中点的纵坐标是4x ．由34x x =，得42(3)0t h t h ++-=，再由判别式大于等于0求得h 范围．然后对h 分类分析，求出使该方程有解且满足判别式①的h 范围即可.【详解】（1）由题意得212,,121b a bb a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y x +=. （2）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h + 则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x ty t ='=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+， 设线段P A 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=， 由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=， 其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-；当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 22．已知函数2()ln f x x ax x =-+. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥. 【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax x k x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax x k x-+=有唯一解，确定k 的取值范围. 【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=> 当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x =<（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x在单调递增，()f x在)+∞单调递减. （2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解， 即2ln x ax x k x-+=； 令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e = 所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min331ln 1'()'()2e h x h e a a e e -==-=-- 当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增， 又当0x →时，ln ,0x ax x →-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,x ax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ； 当3102a e -<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x -→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x -→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax x k x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <， 又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x x ϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1()11x x x ϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e e e ϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.。

2021届浙江省金华市东阳中学高三上学期10月阶段考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,4,5}A =-，{2,3,4}B =，{02}C x R x =∈<<∣，则()AC B =（ ） A ．{4} B ．{2,3}C ．{1,2,3,5}-D ．{1,2,3,4}【答案】D【分析】先根据交集定义计算A C ，再由并集定义求()A C B ．【详解】由题知，{1}A C =，∴(){1,2,3,4}A C B =．故选：D .【点睛】本题考查集合交、并运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 2．已知复数3i z =+（i 为虚数单位），则2z =（ ） A ．106i - B ．106i +C ．86i -D ．86i +【答案】D【分析】利用复数的乘法计算即可.【详解】因为3i z =+，故229686z i i i =++=+， 故选：D.【点睛】本题考查复数的乘法（或乘方），注意在计算的过程中，可以把i 看成字母参与运算，再利用21i =-来化简即可，本题属于容易题. 3．已知x 是实数，则“45x x+>”是“4x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】利用两个条件对应的集合的包含关系可判断两者之间的条件关系.【详解】45x x +>等价于2540x x x-+>，解得01x <<或4x >.记集合()()0,14,A =⋃+∞，()4,B =+∞，因为B A，所以“45xx+>”是“4x>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．4．若实数x，y满足条件20x yx yx+-≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=-（）A．有最小值，无最大值B．有最小值，有最大值C．无最小值，有最大值D．无最小值，无最大值【答案】C【分析】首先画出不等式表示的可行域，平移目标函数表示的直线，由图象确定2z x y=-是否有最值.【详解】画出不等式表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y=-表示斜率为12的直线，当直线2z x y=-经过点B时，直线2z x y=-在y轴的截距最小，此时z最大，如图可行域向上无边界，所以直线2z x y=-在y轴的截距没有最大值，所以z没有最小值.故选：C【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题型，本题的关键是正确画出可行域. 5．设函数()()21ln11f x xx=+-+,则使()()21f x f x>-成立的x的取值范围是（）A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立，∴，∴，∴的范围为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为A. 【考点】抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21f x f x >-可转化为，解绝对值不等式即可．6．在同一个直角坐标系中，函数a y x =，log a y x b =+（0a >且1a ≠）的图象如图，则a ，b 的取值可能是（ ）A ．1,1a b >>B ．01,01a b <<<<C ．01,1a b <<>D ．1,01a b ><<【答案】B【分析】直接观察图像可得a 的值，特殊值代入可确定b 的范围. 【详解】设()af x x =，()log a g x x b =+，由图像观察，01a <<，()11f =，()1g 1lo a g b b =+=，则01b <<； 故选：B.【点睛】本题主要考查了对数函数以及幂函数的图像问题.属于容易题. 7．已知函数()f x 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ⋅⋅⋅则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．10B ．10-C ．5D ．20【答案】A【分析】由题设条件，可得()()2f x f x +-=，可得()f x 关于点()0,1对称，根据对称性，可得解.【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=- 即为()()2f x f x +-= 可得()f x 关于点()0,1对称 又函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点， 同理若()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点， ……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()11221010...x y x y x y ++++++=()()()()()()111122221010101012+2+...+22x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++-+-++-+-++-+-⎣⎦10=故选：A.【点睛】本题考查了函数对称性的综合应用，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.8．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个【答案】C【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇制胜的效果．9．已知x ∈R ，若函数()2f x x x a =--有4个零点，则方程210ax x ++=的实数根个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．与a 的取值有关 【答案】C【分析】由()0f x =可得出2x x a =-，将问题转化为曲线2yx 与曲线y x a =-有4个交点，数形结合可求得实数a 的取值范围，进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数.【详解】由()0f x =可得出2x x a =-，作出函数2yx 与函数y x a =-的图象如下图所示：,,x a x a y x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩，若使得函数()2f x x x a =--有4个零点，则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2yx 的图象有两个交点，联立2y x a y x=-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=，1140a ∆=->，解得14a <， 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩可得20x x a +-=，2140a ∆=+>，解得14a >-， 当0a =时，则()()21f x x x xx =-=-，令()0f x =，可得0x =或1x =±，此时，函数()y f x =只有3个零点，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于二次方程210ax x ++=，140a ∆=->， 因此，关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选：C.【点睛】本题考查二次方程根的个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．设函数2,11()2,11x k x x f x kx x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，2()g x kx bx c =++，,,k b c 为实数，则（ ）A ．若[()]f g x 的值域为[0,)+∞，则13k ≤-；B ．若[()]f g x 的值域为[1,)-+∞，则0k ≥；C ．若1k，则[()]f g x 的值域可能为[0,)+∞；D ．若0k ≤，则[()]f g x 的值域可能为(,0]-∞. 【答案】C【分析】根据题中条件，分别讨论1k，0k =，k 0<三种情况，结合二次函数的性质，以及复合函数的单调性，确定值域的大致范围，结合选项进行判断，即可得出结果.【详解】因为2,11()2,11x k x x f x kx x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，①若1k，则21k k ≥+，当()1,1x ∈-时，()()2,2f x k k ∈-；当(][),11,x ∈-∞-+∞时，由二次函数单调性，易知：[)()1,f x k ∈++∞； 所以()()2,f x k ∈-+∞； 又1k时，2()g x kx bx c =++是开口向上的二次函数，有最小值；当min ()0g x =时，即可满足[()]f g x 的值域为[0,)+∞；因此A 错，C 正确；②若0k =，则2,11()0,11x x x f x x ⎧≤-≥=⎨-<<⎩或，易知[){}()1,0f x ∈+∞⋃，不能满足[()]f g x 的值域为[1,)-+∞，故B 错；③由②知，0k =时，不能满足[()]f g x 的值域为(,0]-∞；若k 0<，则2()g x kx bx c =++是开口向下的二次函数，有最大值，无最小值； 令2()t g x kx bx c ==++，则存在m R ∈，使得(],t m ∈-∞，又函数()f x 在1x ≤-时，单调递减，()()11f x f k ≥-=+；由于对称的关系，()f x 在1≥x 上单调电子能，且()()11f x f k ≥=+；当11x -<<时，()f x 单调递减，且2()2k f x k -<<；所以()[)()2,21,f x k k k ∈-⋃++∞，因此()f t 的值域只能是()[)2,21,k k k -⋃++∞的子集，故0k ≤时， [()]f g x 的值域不可能为(,0]-∞，D 错. 故选：C.【点睛】本题主要考查复合函数值域的判定，考查分段函数的性质，考查二次函数的性质，以及复合函数单调性的判定，属于中档题.二、填空题11．有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本，现随机拿出2本.两本书不同类的概率为__________. 【答案】1318【分析】求出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再用古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】从9本不同的书中随机拿出2本，共有29983621C ⨯==⨯种，其中两本书不同类的有111111232434681226C C C C C C ++=++=种，所以所求事件的概率为26133618=. 故答案为：1318. 【点睛】本题考查了组合数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.12．把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______(用数字作答)．【答案】36【分析】根据题意，先将卡分为符合题意要求的3份，可以转化为将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，用插空法易得其情况数目，再将分好的3份对应到3个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【详解】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有246C =种情况，再对应到3个人，有336A =种情况，则共有6618⨯=种情况．故答案为36【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意将分卡的问题转化为将1，2，3，4，5这5个数用2个板子隔开，分为3部分的问题，用插空法进行解决． 13．已知实数0,0a b >>，且1112a b+=，则89211a ba b +--的最小值为__________. 【答案】25【分析】利用89891121121a b a b a b+=+----，又1112a b +=，得21112,12b a b a =--=，代入利用基本不等式即可得出结果. 【详解】由0,0a b >>，得89891121121a b a b a b+=+----， 又1112a b +=， 得21112,12b a b a =--=， 则8989891841121211212a b a ba b a b b a+=+=+=+----， ()11218218184941313252b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当2183b ab a a b=⇒=时取等号. 故答案为：25.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用.属于中档题. 14．若函数()xxaf x e e =+在区间(0,1)上存在最小值，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()()221,,1ee ⋃--【分析】通过换元，令()1,xe t e =∈，将问题转化为()ag t t t=+在()1,t e ∈上存在最小值，讨论a 的取值范围，根据函数的单调性，求a 的取值范围.【详解】设()1,xe t e =∈，则()ag t t t=+在()1,t e ∈上存在最小值， 当0a <时，ay t t =+在()1,e 上是增函数，若函数存在最小值，令0a t t+=，解得：t =当1e <<时，解得：21e a -<<-；当0a >时，ay t t=+()1,e ， 即21a e <<，当0a =时，(),1,y t t t e ==是增函数，无最小值，故不成立，综上可知，a 的取值范围是()()221,,1e e ⋃--.故答案为：()()221,,1ee ⋃--【点睛】本题考查了函数的最值问题，考查换元思想，分类讨论思想，属于中档题型，本题的关键是讨论a 的取值范围，根据不同函数的单调性，讨论函数是否存在最小值.三、双空题15．已知函数2log ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；若1()2f x =，则x =______.【答案】12-【分析】根据自变量范围代入分段函数对应解析式，计算求解即可；根据分段函数解析式列方程组，解得结果. 【详解】12111log (1)21222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201()12log 2x f x x >⎧⎪=∴⎨=⎪⎩或1212x x ≤⎧⎪⎨-=⎪⎩所以0x x >⎧⎪⎨=⎪⎩203log 02x x ≤⎧⎪⎨=>⎪⎩，即x = 故答案为：12-【点睛】本题考查根据分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.16．在62123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式的中，常数项是________，其二项式系数之和为________. 【答案】202764 【分析】（1）先写出二项展开式的通项公式，求r 后，得到常数项；（2）根据二项式系数和的公式，直接求解.【详解】（1）展开式的通项公式()626123166112233r rrr rr r r T C xC x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1230r -=，解得：4r =，所以常数项是44261202327C ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭; （2）二项式系数和为6264=. 故答案为：2027；64 【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数和，重点考查灵活应用公式，属于基础题型. 17．已知函数2()(3)1f x ax a x =+-+.若()f x 在区间上[1,)-+∞递减，则实数a 的取值范围是_________；若函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值为2，则a 的值为__________. 【答案】[3,0]- 2【分析】（1）首先根据函数的单调性，分0,0,0a a a =<>三种情况，讨论函数的单调性，求a 的取值范围；（2）分0,0,0a a a =<>三种情况讨论函数，再与对称轴比较，判断函数的单调性和最小值，求实数a 的值.【详解】（1）函数()()231f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞递减，当0a =时，()31f x x =-+，函数在R 上单调递减，所以满足条件， 当0a <时，函数开口向下，若函数在区间[)1,-+∞单调递减，只需满足312a a--≤-，解得30a -≤<，当0a >时，开口向上，在对称轴右侧，函数单调递增，不满足条件， 综上可知实数a 的取值范围是[]3,0-；（2）当0a =时，函数()31f x x =-+单调递减，函数的最小值()252f =-≠，所以不成立，当0a <时，函数的对称轴302a x a-=-<，函数在区间[]1,2单调递减，函数的最小值是()242612f a a =+-+=，得76a =，不成立； 当0a >时，312a x a-=-≤时，1a ≥，此时函数在区间[]1,2单调递增，函数的最小值()1312f a a =+-+=，解得：2a =成立，当322a x a-=-≥时，305a <≤，此时函数在区间[]1,2单调递减，函数的最小值()22f =，76a =，不成立，当3122a a-<-<时，315a <<，此时函数的最小值()2433224a a a f a a ---⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得2290a a -+=，∆<0，无解.综上可知2a =. 故答案为：[]3,0-；2【点睛】本题考查根据二次函数的单调性和最值，求参数，重点考查分类讨论思想，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.四、解答题18．已知函数()sin (sin )f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间. 【答案】（1）最小正周期为π；（2）单调增区间为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期； （2）根据正弦函数性质求单调区间，再取对应区间即得结果.【详解】（1）211()sin cos 2cos 2222f x x x x x ==-+ 1sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== （2）由222262k x k πππππ-≤-≤+得63k xk ππππ，k Z ∈ 又[0,]x π∈，得03x π≤≤或56x ππ≤≤ 所以()f x 的单调增区间为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，122PA PB AD CD BC =====，//AD BC ，AD CD ⊥，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD .（1）证明：PB CE ⊥；（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）69【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，先得到AC ⊥平面PAB ，推出AC PB ⊥；再由勾股定理，推出PB PA ⊥，根据线面垂直的判定定理，得到PB ⊥平面PAC ，进而可到线线垂直；（2）先由（1），根据面面垂直的判定定理，得到平面PBC ⊥平面PAC ；根据线面角的概念，得到PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成的角，根据题中条件，得到23PC =1PE =，3CE =，由余弦定理，求出cos PCE ∠，进而可得正弦值.【详解】（1）由已知可得在直角梯形ABCD 中，122AD CD BC ===，所以2222AC AD CD =+=4BC =，()2222AB CD BC AB =+-=，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥；又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以AC ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以AC PB ⊥；又2PA PB ==，22AB =222PA PB AB +=，所以PB PA ⊥； 因为PAAC A =，且PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，又CE ⊂平面PAC ，所以PB CE ⊥；（2）由（1）得PB ⊥平面PAC ，因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ； 所以直线CE 在平面PBC 中的射影为直线PC ， 故PCE ∠即为直线CE 与平面PBC 所成的角，由PB ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，可得PB PC ⊥， 所以2223PC BC PB -=，又由AC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，可得AC PA ⊥，所以3CE ==；在PCE中，PC =1PE =，3CE =，所以222cos 29PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅，故sin 9PCE∠=； 即直线CE 与平面PBC所成的角的正弦值为9. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，考查求线面角的正弦值，熟记线面、面面垂直的判定定理和性质，以及线面角的概念即可，属于常考题型.20．等差数列{}n a 满足13a =，21a +，51a +，95a +成等比数列，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）数列1n n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明1n T <.【答案】（Ⅰ）21n a n =+；2n b n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由等比数列的性质求得公差d 可得通项公式n a ，利用累加法可求得通项公式n b ；（Ⅱ）用裂项相消法求得和n T 后可证得不等式成立．【详解】（Ⅰ）由题意得()()()22295151(4)(88)(44)a a a d d d ++=+⇒++=+1d ⇒=-（不符）或2d =，所以21n a n =+.则当2n ≥时()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-21121135(21)n b a a a n n -=++++=++++-=.当1n =时符合，所以2n b n =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知222212111(1)(1)n n n a n b b n n n n ++==-⋅++，所以2222221111111223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦2111(1)n =-<+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和．本题属于中档题．21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l 的距离为d =.【详解】（1）∵直线30x y -+=与x 轴的交点为()，∴c =∴2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得2y ==，即AM =，所以3S PM AM =⋅==； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程， 整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.22．已知函数2()ln ()2af x a x x ax a R =+-+∈. （Ⅰ）当9a =时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值点1x 与极小值点2x ，当21x x -≥()()12(3ln6)f x f x λ+≤-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（Ⅰ）3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）12λ≥-.【分析】（Ⅰ）求出导函数，由()0f x '<确定减区间；（Ⅱ）求出()'f x ，由()0f x '=确定12,x x 与a 的关系（用韦达定理确定），同时判别式0>，同时利用已知条件21x x -≥a 的取值范围，计算12()()f x f x +并变形后化为a 的函数，求出此关于a 的函数的最大值，解相应不等式可得λ的范围．【详解】解：（Ⅰ）29299'()290(0)x x f x x x x x-+=+-=<>，解得332x <<，所以()f x 单调递减区间为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）22'()2a x ax a f x x a x x -+=+-=，设()22g x x ax a =-+，则1x ，2x 是220x ax a -+=两根，所以280a a a >⎧⎨->⎩，从而8a >.因为122ax x +=，122a x x =，所以2112x x a -=≥≥. ()()()()2212121212ln ln f x f x a x x x x a x x a +=+++-++()()22212121212ln 2ln 242a a a a x x x x x x a x x a a a =++--+=+--+2ln 24a a a =-.令()()212()ln (12)24a a g a f x f x a a =+=-≥.则'()ln1022a ag a =-+<，所以()g a 在[)12,+∞上面递减， 所以max ()(12)12ln 636(3ln 6)g a g λ==-≤-恒成立，则12λ≥-.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究与极值点有关不等式恒成立问题，求解时根据极值的定义得出极值点与参数的关系，然后利用这个关系把含有极值点12,x x 和参数的代数式进行消元要么消去参数，要么消去极值点12,x x 得关于参数的函数，再利用函数的知识求解（用导数求最值等待）．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，转化与化归思想，属于难题．。

2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）设A={-2.-1.0.2}.B={-1.2.4}.C={x|x＜0}.则（A∪B）∩C=（）A.{-1}B.{-1.-2}C.{-1.-2.0}D.{-2.-1.0.2.4}2.（单选题.4分）设z=i1−i （i为虚数单位）.则1|z|=（）A. √22B. √2C. 12D.23.（单选题.4分）已知m.n是两条不同的直线.α.β是两个不同的平面（）A.若m || α.m || β.则α || βB.若m⊥α.m || β.则α || βC.若m⊥α.n || α.则m || nD.若m⊥α.n⊥α.则m || n4.（单选题.4分）（x2+ 2x）5的展开式中x4的系数为（）A.10B.20C.40D.805.（单选题.4分）已知a＜c.随机变量ξ.η的分布列分别如下：A.E（ξ）＞E（η）.D（ξ）＞D（η）B.E（ξ）＞E（η）.D（ξ）=D（η）C.E（ξ）＜E（η）.D（ξ）＞D（η）D.E（ξ）＜E（η）.D（ξ）=D（η）6.（单选题.4分）已知正六边形OP 1P 2P 3P 4P 5的边长为1.则 OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1，2，3，4，5) 的最大值是（ ） A.1 B. 32 C. √3 D.27.（单选题.4分）已知函数f （x ）=2sin （2x+φ）.其中-π＜φ＜π.若 f (x )≥f (π6) 对x∈R 恒成立.则f （x ）的单调递增区间是（ ） A. [kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z B. [kπ，kπ+π2]，k ∈Z C. [kπ+π6，kπ+2π3]，k ∈ZD. [kπ−π2，kπ]，k ∈Z8.（单选题.4分）已知数列{a n }的通项公式为 a n =25−n .数列{b n }的通项公式为b n =n+k.设 c n ={b n ，a n ≤b na n ，a n ＞b n .若在数列{c n }中.c 5≤c n 对任意n∈N *恒成立.则实数k 的取值范围是（ ）A.-5≤k≤-4B.-4≤k≤-3C.-5≤k≤-3D.k=-49.（单选题.4分）已知f （x ）是定义在R 上的函数.若方程f （f （x ））=x 有且仅有一个实数根.则f （x ）的解析式可能是（ ） A.f （x ）=|2x-1| B.f （x ）=e x C.f （x ）=x 2+x+1 D.f （x ）=sinx10.（单选题.4分）已知P.Q 分别是圆C ：（x-4）2+y 2=8、圆D ：x 2+（y-4）2=1上的动点.O是坐标原点.则 |PQ |+√22|PO | 的最小值是（ ）A. 4√2B. 4√2−1C. 2√5D. 2√5−111.（填空题.6分）若实数x.y 满足约束条件 {x ≤1，x +2y −1≥0，2x −y ≥0，则3x+y 的最大值为___ ．12.（填空题.6分）已知某几何体的三视图如图所示.则该几何体的表面积为___ .体积为___ ．13.（填空题.6分）若A.B 为锐角.且 A +B =π4 .则log 4（1+tanA ）+log 4（1+tanB ）=___ ． 14.（填空题.6分）椭圆 x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形.则此椭圆的离心率e=___ .当此三角形的面积是4 √3 .则b 2=___ ． 15.（填空题.6分）若正数x.y 满足 1x +2y =1 .则 xx−1+4yy−2 的最小值为___ ． 16.（填空题.6分）已知函数 f (x )={log 3(x +8)+1，x ≥1f (x +20)，x ＜1.则f （-21）=___ ；f （x ）在区间（-∞.4）上的最小值是___ ．17.（填空题.6分）设数列{a n }共有8项.且a 1=a 4=a 8=1.对于每个i （1≤i≤7.i∈N ）.均有 a i+1a i∈{12，1，2} .则满足条件的数列的个数是___ ．18.（问答题.0分）已知a.b.c 分别是△ABC 的内角A.B.C 所对的边.向量 m ⃗⃗ =(sinA ，b +c) 与 n ⃗ =(sinC −sinB ，a −b) 满足 m ⃗⃗ ∥n ⃗ ． （1）求角C 的大小；（2）若a+b=kc.求实数k 的取值范围19.（问答题.0分）如图.在三棱锥D-ABC 中.已知△BCD 是正三角形.AB⊥平面BCD.AB=BC=a.E 为BC 的中点.F 在棱AC 上.且AF=3FC ．（Ⅰ）若O 为△BCD 的重心.N 在棱AC 上.且CF=2FN.求证：OF || 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．20.（问答题.0分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .点（a n .S n ）在直线3x-2y-2=0上． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列 b n =a n(an +2)(a n+1+2).其前n 项和为T n .问 4T n +1Sn +2是否为定值？若是.求出定值；若不是.请说明理由．21.（问答题.0分）在平面直角坐标系xoy 中.已知不与坐标轴平行的动直线l ：x-my-1=0过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F.动直线l 交抛物线于A.B 两点．（1）若线段AB 的中垂线l'交x 轴于点M.判断 |AB||FM| 是否为定值.并说明理由；（2）在x 轴上是否存在定点N.使得∠ANF=∠BNF 恒成立？若存在.求出定点N 的坐标；若不存在.请说明理由．22.（问答题.0分）已知函数f （x ）=x 3-3x 2+（2-a ）x.a∈R ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）有三个互不相同的零点0.t 1.t 2.其中t 1＜t 2. ① 若t 2=2t 1.求函数f （x ）在原点处的切线方程； ② 若对任意的x∈[t 1.t 2].都有f （x ）≤16-a 成立.求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）设A={-2.-1.0.2}.B={-1.2.4}.C={x|x＜0}.则（A∪B）∩C=（）A.{-1}B.{-1.-2}C.{-1.-2.0}D.{-2.-1.0.2.4}【正确答案】：B【解析】：进行并集、交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-2.-1.0.2}.B={-1.2.4}.C={x|x＜0}.∴A∪B={-2.-1.0.2.4}.∴（A∪B）∩C={-2.-1}．故选：B．【点评】：本题考查了列举法、描述法的定义.交集和并集的运算.考查了计算能力.属于基础题．2.（单选题.4分）设z=i1−i （i为虚数单位）.则1|z|=（）A. √22B. √2C. 12D.2【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.进一步求出|z|.则1|z|可求．【解答】：解：∵ z=i1−i = i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2.∴|z|= √(−12)2+(12)2=√22.∴ 1|z|= √2．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题．3.（单选题.4分）已知m.n是两条不同的直线.α.β是两个不同的平面（）A.若m || α.m || β.则α || βB.若m⊥α.m || β.则α || βC.若m⊥α.n || α.则m || nD.若m⊥α.n⊥α.则m || n【正确答案】：D【解析】：根据空间中线面、面面平行和垂直的性质与判断定理.对选项中的问题进行分析、判断正误即可．【解答】：解：对于A.m || α.m || β时.α || β或α与β相交.故A错误；对于B.m⊥α.m || β时.α⊥β.故B错误；对于C.m⊥α.n || α时.m⊥n.故C错误；对于D.m⊥α.n⊥α时.m || n.D正确．故选：D．【点评】：本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面之间的位置关系与判断问题.是基础题目．4.（单选题.4分）（x2+ 2x）5的展开式中x4的系数为（）A.10B.20C.40D.80【正确答案】：C【解析】：由二项式定理得（x2+ 2x ）5的展开式的通项为：T r+1= C5r（x2）5-r（2x）r=2r C5r x10−3r .由10-3r=4.解得r=2.由此能求出（x2+ 2x）5的展开式中x4的系数．【解答】：解：由二项式定理得（x2+ 2x）5的展开式的通项为：T r+1= C5r（x2）5-r（2x）r= 2r C5r x10−3r .由10-3r=4.解得r=2.∴（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为 22C 52=40．故选：C ．【点评】：本题考查二项展开式中x 4的系数的求法.考查二项式定理、通项公式等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（单选题.4分）已知a ＜c.随机变量ξ.η的分布列分别如下：A.E （ξ）＞E （η）.D （ξ）＞D （η）B.E （ξ）＞E （η）.D （ξ）=D （η）C.E （ξ）＜E （η）.D （ξ）＞D （η）D.E （ξ）＜E （η）.D （ξ）=D （η） 【正确答案】：B【解析】：根据题意分别计算出ξ.η的期望与方差.比较即可得到结果．【解答】：解：依题意Eξ=c -a ＞0.Eη=a -c ＜0.∴Eξ＞Eη．所以D （ξ）=a （-1-c+a ）2+b （c-a ）2+c （1-c+a ）2=a+c-2ac-a 2-c 2． 同理：D （η）=c （-1+c-a ）2+b （-c+a ）2+a （1+c-a ）2=a+c-2ac-a 2-c 2. ∴D （ξ）=D （η）. 故选：B ．【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列.期望与方差.抓住a+b+c=1.是解决问题的关键.属于中档题．6.（单选题.4分）已知正六边形OP 1P 2P 3P 4P 5的边长为1.则 OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1，2，3，4，5) 的最大值是（ ） A.1 B. 32 C. √3 D.2【正确答案】：B【解析】：利用正六边形边长为1和特殊性.很容易求得各数量积.得到最大值．【解答】：解：当i=1.2.3.4.5时. OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1，2，3，4，5) 的值 依次是 1，32，1，0，−12. 故最大值为 32 ． 故选：B ．【点评】：此题考查了数量积.属容易题．7.（单选题.4分）已知函数f （x ）=2sin （2x+φ）.其中-π＜φ＜π.若 f (x )≥f (π6) 对x∈R 恒成立.则f （x ）的单调递增区间是（ ） A. [kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z B. [kπ，kπ+π2]，k ∈Z C. [kπ+π6，kπ+2π3]，k ∈ZD. [kπ−π2，kπ]，k ∈Z 【正确答案】：C【解析】：由题意可得.当x= π6 时.函数取得最小值.故有 π3 +φ=2kπ- π2 .k∈Z .由此求得φ的值.可得函数的解析式.再根据正弦函数的单调性.求出f （x ）的单调递增区间．【解答】：解：∵函数f （x ）=2sin （2x+φ）.其中-π＜φ＜π.若 f (x )≥f (π6) 对x∈R 恒成立.则x= π6 时.函数取得最小值.故有 π3 +φ=2kπ- π2 .k∈Z . ∴φ=- 5π6 .f （x ）=2sin （2x- π6 ）.令2kπ- π2 ≤2x - 5π6 ≤2kπ+ π2 .求得kπ+ π6 ≤x≤kπ+ 2π3 . 可得f （x ）的单调递增区间为[kπ+ π6 .kπ+ 2π3 ].k∈Z . 故选：C ．【点评】：本题主要考查正弦函数的最小值和单调性.属于基础题．8.（单选题.4分）已知数列{a n }的通项公式为 a n =25−n .数列{b n }的通项公式为b n =n+k.设 c n ={b n ，a n ≤b na n ，a n ＞b n .若在数列{c n }中.c 5≤c n 对任意n∈N *恒成立.则实数k 的取值范围是（ ）A.-5≤k≤-4B.-4≤k≤-3C.-5≤k≤-3D.k=-4【正确答案】：C【解析】：若c5=a5.则b6≥a5.a5＞b5.b6≥a5.由此推导出-5≤k＜-4；若c5=b5.则b5≥a5.b5≥a5.a4≥b5.由此推导出-5≤k≤-3．由此能求出实数k的取值范围【解答】：解：若c5=a5.则a5＞b5.则前面不会有b n的项.∵{b n}递增.{a n}递减.∴b i（i=1.2.3.4）＜b5＜a5＜a i（i=1.2.3.4）.∵a n递减.∴当n≥6时.必有c n≠a n.即c n=b n.此时应有b6≥a5.∴a5＞b5.即20＞5+k.得k＜-4.b6≥a5.即6+k≥1.得k≥-5.∴-5≤k＜-4．若c5=b5.则b5≥a5.同理.前面不能有b n项.即a4≥b5＞b4.当n≥6时.∵{b n}递增.{a n}递减.∴b n＞b5≥a5＞a n（n≥6）.∴当n≥6时.c n=b n．由b5≥a5.即5+k≥1.得.k≥-4.由a4≥b5.得2≥5+k.得k≤-3.即-4≤k≤-3．综上得.-5≤k≤-3．∴实数k的取值范围是[-5.-3]．故选：C．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法.综合性强.难度大.解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用9.（单选题.4分）已知f（x）是定义在R上的函数.若方程f（f（x））=x有且仅有一个实数根.则f（x）的解析式可能是（）A.f（x）=|2x-1|B.f（x）=e xC.f（x）=x2+x+1D.f（x）=sinx【正确答案】：D【解析】：对于A.解绝对值的方程可得四个实数解.即可判断；对于B.运用函数y=e x-x的单调性.即可判断；对于C.由方程化简和非负数的概念.即可判断；对于D.由y=sinx-x的单调性.即可判断．【解答】：解：对于A.由f（f（x））=x.即为|2|2x-1|-1|=x.可得x=1或13或15或35.故A不可能；对于B.由（e x-x）′=e x-1.可得y=e x-x的增区间为（0.+∞）.减区间为（-∞.0）.即e x-x的最小值为e0-0=1＞0.即有e x＞x恒成立.则f（f（x））=x无实数解.故B不可能；对于C.f（x）=x2+x+1.f（f（x））=（x2+x+1）2+（x2+x+1）+1=x.即为（x2+x+1）2+x2+2=0无实数解.故C不可能；对于D.由y=sinx-x的导数为y′=cosx-1≤0.可得函数y=sinx-x在R上递减.由x=0时.y=sin0-0=0.可得sin（sin0）=sin0=0.且sin（sinx）-x在R上单调.则f（f（x））=x有且仅有一个实数根0.故D可能．故选：D．【点评】：本题考查函数方程的转化思想的运用.考查函数的单调性和导数的运用.考查运算能力.属于中档题．10.（单选题.4分）已知P.Q分别是圆C：（x-4）2+y2=8、圆D：x2+（y-4）2=1上的动点.O 是坐标原点.则|PQ|+√22|PO|的最小值是（）A. 4√2B. 4√2−1C. 2√5D. 2√5−1【正确答案】：D【解析】：由分析得|PQ|+√22|PO|的最小值等于|PD|-1+ √22|PO|.再由三角形相似得√22|PO|=|PM|.在图象上可得出|PD|+|PC|的最小值．【解答】：解：如图所示取点M （2.0）. 令Z= |PQ |+√22|PO | . 令Z min =|PD|-1+ √22 |PO|. 在△PMC 和△OPC 中. MCPC =PCOC =√22∴△PMC 和△OPC 相似.且相似比为 √2 . ∴ OP =√2PM∴ |PQ |+√22|PO | 的最小值为|PD|-1+ √22 |PO|.即：|PD|+|PC|-1（|PD|+|PC|）min =|MD|= 2√5 所以 |PQ |+√22|PO | 的最小值是 2√5 -1. 故选：D ．【点评】：本题考查当点处于某个位置时线段最短问题.求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．11.（填空题.6分）若实数x.y 满足约束条件 {x ≤1，x +2y −1≥0，2x −y ≥0，则3x+y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：由约束条件作出可行域.化目标函数为直线方程的斜截式.数形结合得到最优解.代入最优解的坐标得答案．【解答】：解：由实数x.y 满足约束条件 {x ≤1，x +2y −1≥0，2x −y ≥0，作出可行域如图.化目标函数z=3x+y 为y=-3x+z.由图可知.当直线y=-3x+z 过A （1.2）时.直线在y 轴上的截距最大. 此时z 有最大值为3×1+2=5． 故答案为：5．【点评】：本题考查简单的线性规划.考查了数形结合的解题思想方法.是中档题．12.（填空题.6分）已知某几何体的三视图如图所示.则该几何体的表面积为___ .体积为___ ．【正确答案】：[1]2+2 √5 ; [2] 23【解析】：如图所示.该几何体为三棱锥.P-ABC.其中PA⊥底面ABC.AC⊥BC.PA=2.AC=1.BC=2．即可得出．【解答】：解：如图所示.该几何体为三棱锥.P-ABC.其中PA⊥底面ABC.AC⊥BC.PA=2.AC=1.BC=2．∴该几何体的表面积S= 12×2×1+12×1×2 + 12×√5×2 + 12×√5×2 =2+2 √5 .体积V= 13×2×12×1×2 = 23．故答案为：2+2 √5 . 23．【点评】：本题考查了三棱锥的三视图、表面积与体积的计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．13.（填空题.6分）若A.B为锐角.且A+B=π4.则log4（1+tanA）+log4（1+tanB）=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：由A+B= π4.利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简tan（A+B）.得到一个关系式.整理后得到tanA+tanB=1-tanAtanB.然后把所求式子利用去括号法则化简后.将得出的关系式tanA+tanB=1-tanAtanB代入.化简后即可求出值．【解答】：解：∵A+B= π4.∴tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB=1.即tanA+tanB=1-tanAtanB.则（1+tanA）（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=1+1-tanAtanB+tanAtanB=2．∴log4（1+tanA）+log4（1+tanB）=log4（1+tanA）（1+tanB）=log42= 12．故答案为：12．【点评】：此题考查了两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.利用了整体代入的思想.熟练掌握公式是解本题的关键.属于基础题．14.（填空题.6分）椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 第一象限上一点与中心、右焦点构成一个正三角形.则此椭圆的离心率e=___ .当此三角形的面积是4 √3 .则b 2=___ ． 【正确答案】：[1] √3−1 ; [2] 8√3【解析】：由题意设出P 的坐标.代入椭圆方程.结合隐含条件求解椭圆的离心率.再由三角形面积列式求得c.则b 2的值可求．【解答】：解：如图.由△OPF 为正三角形.可得P （ c 2 .√32c ）. 代入椭圆方程.可得 c 24a 2+3c 24b 2=1 .又b 2=a 2-c 2. 得（a 2-c 2）c 2+3a 2c 2=4a 2（a 2-c 2）. 解得e= ca =√3−1 ； 若 S △OPF =12×c ×√32c =4√3 .则c=4.a 2=c 2(√3−1)2=164−2√3=16+8√3 .则 b 2=a 2−c 2=8√3 ． 故答案为： √3−1 ； 8√3 ．【点评】：本题考查椭圆的简单性质.考查计算能力.是中档题． 15.（填空题.6分）若正数x.y 满足 1x+2y=1 .则 x x−1+4yy−2的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]9【解析】：由 1x +2y =1 求出x= yy−2 .y= 2xx−1 ；把 xx−1+4yy−2 化为关于y 、x 的表达式.再利用基本不等式求出 xx−1 + 4yy−2 的最小值．【解答】：解：由x ＞0.y ＞0.且 1x +2y =1 . 所以 1x =1- 2y =y−2y.求得x= yy−2 .同理y= 2x x−1 ；所以 xx−1+4yy−2 = 12 y+4x=（ y2 +4x ）（ 1x + 2y ）= y2x + 8xy +1+4≥2 √y2x •8xy+5=2×2+5=9. 当且仅当 y2x = 8xy .即y=4x.即x= 32 、y=6时. xx−1 + 4yy−2 取得最小值为9． 故答案为：9．【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值问题.也考查了转化与计算能力.是基础题． 16.（填空题.6分）已知函数 f (x )={log 3(x +8)+1，x ≥1f (x +20)，x ＜1.则f （-21）=___ ；f （x ）在区间（-∞.4）上的最小值是___ ． 【正确答案】：[1]4; [2]3【解析】：根据已知函数 f (x )={log 3(x +8)+1，x ≥1f (x +20)，x ＜1 .f （-21）=f （-1）=f （19）.代入第一段即可得出结果；根据函数单调性可得在区间[1.4）上的最小值；当x ＜1时.由函数周期变化特点.可求出区间（-∞.1）的最小值.即可得出在区间（-∞.4）的最小值．【解答】：解：由已知函数 f (x )={log 3(x +8)+1，x ≥1f (x +20)，x ＜1 .则f （-21）=f （-21+20）=f （-1）=f （-1+20）=f （19）=log 3（19+8）+1=4； ∵当x≥1时.f （x ）=log 3（x+8）+1.∴f （x ）在[1.+∞）上为增函数. 且在区间[1.4）上.3=f （1）≤f （x ）＜f （4）=log 312+1；∵当x ＜1时.f （x ）=f （x+20）.∴f （x ）在（-∞.1）上为周期为20的周期函数； 且在区间[-19.1）上单调递增.∴在区间（-∞.1）上.f （1）≤f （x ）＜f （21）.即3≤f （x ）＜log 329+1； 综上所述：f （x ）在区间（-∞.4）上的最小值是3． 故答案为：4.3．【点评】：本题考查了分段函数求值问题.周期函数的性质.以及分段函数在区间上求最值问题.属于中档题．17.（填空题.6分）设数列{a n}共有8项.且a1=a4=a8=1.对于每个i（1≤i≤7.i∈N）.均有a i+1a i∈{12，1，2} .则满足条件的数列的个数是___ ．【正确答案】：[1]133【解析】：分成从a1～a4.和a4～a8两段.分别利用分类加法原理计算每一段的方法数.再用分步乘法原理计算即可．【解答】：解：根据题意. a i+1a i ∈{12，1，2} .∴a i+1=a1×k.k∈{ 12.1.2}．a1=a4=a8=1.∴ ① 从a1～a4的三步变化中.k全为1或者三步变化中k互不相同.此时a1～a4共有1+ A33 =7种方法；② 从a4～a8的4步变化中.有以下几种方式：（1）k全为1.有1种.（2）其中两步k为12.另外两步k为2.有C42 =6种.（3）有1步为12.1步为2.其余两步为1.有A42种.故从a4～a8的4步变化中.有1+6+12=19种方法.根据分别乘法原理.满足条件的数列的个数是7×19=133种．故答案为：133．【点评】：本题考查了计数原理.排列组合.主要考查分析和解决问题的能力和计算能力.本题属于中档题．18.（问答题.0分）已知a.b.c分别是△ABC的内角A.B.C所对的边.向量m⃗⃗ =(sinA，b+c)与n⃗=(sinC−sinB，a−b)满足m⃗⃗ ∥n⃗．（1）求角C的大小；（2）若a+b=kc.求实数k的取值范围【正确答案】：【解析】：（1）由向量共线的坐标运算结合正弦定理及余弦定理求解角C 的大小； （2）由角C.可得 B =2π3−A .再由a+b=kc.得到k=a+bc.利用正弦定理化边为角.再由三角函数求最值得答案．【解答】：解：（1） m ⃗⃗ =(sinA ，b +c) . n ⃗ =(sinC −sinB ，a −b) . 由 m ⃗⃗ ∥n ⃗ .得（a-b ）sinA=（b+c ）（sinC-sinB ）． 由正弦定理得（a-b ）a=（b+c ）（c-b ）.即a 2+b 2-c 2=ab. 由余弦定理得 cosC =12 .即 C =π3 ； （2）由C= π3 知. B =2π3−A .则 k =a+bc=sinA+sinB sinC=sinA+sin(2π3−A)sinπ3=√3sinA +cosA =2sin (A +π6) ．∵ 0＜A ＜2π3 .得 π6＜A +π6＜5π6 .∴ 12＜sin (A +π6)≤1 .故k 的取值范围是（1.2]．【点评】：本题考查向量共线的坐标运算.考查三角形的解法.是中档题．19.（问答题.0分）如图.在三棱锥D-ABC 中.已知△BCD 是正三角形.AB⊥平面BCD.AB=BC=a.E 为BC 的中点.F 在棱AC 上.且AF=3FC ．（Ⅰ）若O 为△BCD 的重心.N 在棱AC 上.且CF=2FN.求证：OF || 平面BDN ． （Ⅱ）求直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）过O.F 分别作OM || BC.FH || BC.分别交BD.BN 于M.H.并连接MH.只需证明四边形OFHM 为平行四边形.从而根据线面平行的判定定理即可得出OF || 平面BDN ； （Ⅱ）取AC 中点G.并连接EG.根据条件可说明EG.EB.ED 两两垂直.从而分别以这三直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.确定图形上一些点的坐标.并设平面DEF 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.根据 {n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即可求出法向量 n ⃗ .可设直线AD 与平面DEF 所成角为θ.则由sinθ= |cos ＜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞| 即可求得sinθ．【解答】：解：（Ⅰ）证明：如图.过O 作OM || BE.并且OM= 23BE =a3 .过F 作FH || BC.且FH= 13BC =a3 ；∴OM || FH .且OM=FH ；∴四边形OMHF 是平行四边形；∴OF || MH .OF⊄平面BDN.MH⊂平面BDN ； ∴OF || 平面BDN ； （Ⅱ）取AC 中点G.连接EG.则EG || AB.AB⊥平面BCD ； ∴EG⊥平面BCD ； 又DE⊥BC ；EG.EB.ED 三直线两两垂直.∴分别以这三直线为x.y.z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则：E （0.0.0）.F （ a 4，−a 4，0 ）.A （a. a2 .0）.D（0.0.√3a2）； ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，−a 2，√3a 2) . ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3a 2) . EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ a 4，−a 4.0）； 设平面DEF 的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) .则： {n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3az2=0n ⃗ •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax 4−ay 4=0 ；∴ {z =0x =y.取y=1.∴ n ⃗ =(1，1，0) ； 设直线AD 与平面DEF 所成角为θ.则sinθ=|cos ＜n ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ |= 3a22a =34 ；∴直线AD 与平面DEF 所成角的正弦值为 34 ．【点评】：考查重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍.相似三角形对应边的比例关系.平行四边形的定义.线面平行的判定定理.以及建立空间直角坐标系.利用空间向量解决线面角问题的方法.能求空间点的坐标.平面法向量的定义及求法.向量夹角余弦的坐标公式． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .点（a n .S n ）在直线3x-2y-2=0上． （1）求{a n }的通项公式； （2）若数列 b n =a n(a n +2)(a n+1+2).其前n 项和为T n .问 4T n +1S n +2是否为定值？若是.求出定值；若不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）点（a n .S n ）在直线3x-2y-2=0上.得到的通项公式.转化求解数列a n =3a n-1.得到数列{a n }是等比数列.然后求解通项公式．（2）通过裂项消项法转化求解数列的和.化简表达式推出结果即可．【解答】：解：（1）因为点（a n .S n ）在直线3x-2y-2=0上. 则 S n =32a n −1 ．当n=1时. S 1=32a 1−1 .解得a 1=2； 当n≥2时.有 S n−1=32a n−1−1 .两式相减得a n=32a n−32a n−1 .即a n=3a n-1.所以数列{a n}是等比数列. 因此有a n=2×3n−1．（2）因为b n=a n(a n+2)(a n+1+2)=2×3n−1(2×3n−1+2)(2×3n+2)=14(13n−1+1−13n+1) .所以T n= 14(12−14+14−110+⋯+13n−1−13n+1)所以T n=14(12−13n+1)．又因为S n=3n−1 .所以4T n+1S n+2=12.即4T n+1S n+2是定值12．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.数列与函数相结合.考查转化思想以及计算能力.是中档题．21.（问答题.0分）在平面直角坐标系xoy中.已知不与坐标轴平行的动直线l：x-my-1=0过抛物线C：y2=2px的焦点F.动直线l交抛物线于A.B两点．（1）若线段AB的中垂线l'交x轴于点M.判断|AB||FM|是否为定值.并说明理由；（2）在x轴上是否存在定点N.使得∠ANF=∠BNF恒成立？若存在.求出定点N的坐标；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先求出抛物线的方程.再将直线方程与抛物线方程联立.根据一元二次方程根与系数关系及抛物线的性质得|AB|.然后求出线段AB的垂直平分线方程.最后得|FM|即可求出|AB||FM|为定值．（2）先假设存在定点N满足题意.再将∠ANF=∠BNF恒成立转化为k AN+k BN=0.最后根据一元二次方程根与系数关系化简即可求解．【解答】：解：（1）抛物线C ：y 2=2px 的焦点F 在x 轴上.焦点F 的坐标为 (p 2，0) . ∵动直线l ：x-my-1=0经过焦点F (p 2，0) .∴p=2.故所求抛物线C 的方程为y 2=4x ．设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）.联立方程得 {x =my +1y 2=4x.得y 2-4my-4=0. 则 {y 1+y 2=4m y 1y 2=−4. 得 x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2 .∴有 |AB |=x 1+x 2+p =4m 2+2+2=4(m 2+1) ．又线段AB 的中点为 (x 1+x 22，y 1+y 22) .即（2m 2+1.2m ）. l′的斜率为-m.则线段AB 的中垂线l′的方程为y-2m=-m （x-2m 2-1）．令y=0.得x=2m 2+3.∴M （2m 2+3.0）.则|FM|=2（m 2+1）.∴有 |AB||FM|=4(m 2+1)2(m 2+1)=2 .是定值．（2）假设在x 轴上存在定点N.使得∠ANF=∠BNF 恒成立.即k AN +k BN =0.设N （a.0）.由（1）知 0=k AN +k BN =y 1x1−a +y 2x 2−a =y 1(x 2−a )+y 2(x 1−a )(x 1−a )(x 2−a ) = y 1(my 2+1−a )+y 2(my 1+1−a )(x 1−a )(x 2−a )=2my 1y 2+(1−a )(y 1+y 2)(x 1−a )(x 2−a ) . 即2my 1y 2+（1-a ）（y 1+y 2）=0.得2m （-4）+（1-a ）•4m=0.解得a=-1.故存在定点N （-1.0）.使得∠ANF=∠BNF 恒成立．【点评】：本题主要考查直线与抛物线的位置关系.直线的方程.定点.定值问题.考查解析几何的基本思想方法和考生的化归与转化能力.运算求解能力．属于难题．22.（问答题.0分）已知函数f （x ）=x 3-3x 2+（2-a ）x.a∈R ．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）有三个互不相同的零点0.t 1.t 2.其中t 1＜t 2. ① 若t 2=2t 1.求函数f （x ）在原点处的切线方程； ② 若对任意的x∈[t 1.t 2].都有f （x ）≤16-a 成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出f′（x）=3x2-6x+（2-a）.通过当a≤-1时.当a＞-1时.判断函数的单调性即可．（2）由方程f（x）=0.得t1.t2是方程x2-3x+（2-a）=0的两实根.故t1+t2=3.t1t2=2-a.且由判别式得a＞−14．通过① 若t2=2t1.求出函数f（x）在原点处的切线方程．② 若对任意的x∈[t1.t2].都有f（x）≤16-a成立.得到f（x）max≤16-a．当0＜t1＜32＜t2时.推出−14＜a＜2；当t1＜0＜t2时.推出2＜a≤11．然后得到a的取值范围．【解答】：解：（1）因为f′（x）=3x2-6x+（2-a）.当a≤-1时.△=12（a+1）≤0.f′（x）≥0恒成立.则f（x）的单调递增区间是（-∞.+∞）．当a＞-1时.f′（x）≥0的解为x≤3−√3a+33或x≥3+√3a+33.则f（x）的单调递增区间是(−∞，3−√3a+33]或[3+√3a+33，+∞)（2）由方程f（x）=0.得t1.t2是方程x2-3x+（2-a）=0的两实根.故t1+t2=3.t1t2=2-a.且由判别式得a＞−14．① 若t2=2t1.得t1=1.t2=2.故t1t2=2-a=2.得a=0．因此k=f′（0）=2.故函数f（x）在原点处的切线方程为y=2x．② 若对任意的x∈[t1.t2].都有f（x）≤16-a成立.所以f（x）max≤16-a．因为t1+t2=3.t1＜t2.所以0＜t1＜32＜t2，或t1＜0＜t2．当0＜t1＜32＜t2时.对x∈[t1.t2]有f（x）≤0.所以0≤16-a.解得a≤16．又因为t1t2=2-a＞0.得a＜2.则有−14＜a＜2；当t1＜0＜t2时.f′（x）=3x2-6x+（2-a）.则存在f（x）的极大值点x1∈（t1.0）.且x1=3−√3a+33.且a=3x12−6x1+2．由题意得f(x1)=x13−3x12+(2−a)x1≤16−a .将a=3x12−6x1+2代入得(x1−1)3≥−8 .得-1≤x1＜0．又因为a=3x12−6x1+2 .得2＜a≤11．综上可知a的取值范围是−14＜a＜2或2＜a≤11．【点评】：本题开学函数的导数的应用.切线方程的求法以及函数的单调性与最值的关系.考查分析问题解决问题的能力.是难题．。

2021年高三上学期期中模拟数学试题（1） Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、设复数z＝（i为虚数单位），则复数z的虚部是 -12、已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则 168 。

3、已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为 1 ．4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝33，则△ABC的面积为36．5.设等差数列的公差为正数，若则105 ．6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果______5_____.7.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围为（0，10）．8．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 a ．9. 已知函数的图像过点，则函数的图像关于轴的对称图形一定过点 （4，－2） ． 10．计算：120lg 5lg 2lg 325log 23-+++= 4511．已知，函数，若正实数、满足 ，则、的大小关系为m>n12．给定函数①，②③④其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号为 ①，② ，③13．已知定义在上的偶函数在上是增函数，且,若对恒成立，则实数的取值范围是 .14、已知函数，，若对，，，则实数的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知向量 ⑴若，试求 ⑵若，且，求的值 解：⑴由得，，（舍）或 ⑵由得，，，又， ，16.在中，的对边分别为且成等差数列。

（1）求的值； (2)求的取值范围。

解⑴由题意得，又，，得，即，在中，， ∴，∴，又，∴。

⑵∵，∴，∴≤， ∴的取值范围是．17．如图：一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O ，半径为100，其与国泰路一边所在直线相切于点M ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作的垂线，垂足为B 。