第十章 群与环

群与环的基本概念与性质群与环是数学中重要的代数结构，它们具有丰富的性质和应用。

本文将介绍群与环的基本概念，并探讨它们的性质。

一、群的基本概念与性质群是一种包含了代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，它们的运算结果仍然在群中。

2. 结合律：群中的代数运算满足结合律，即对于群元素a、b和c，(a•b)•c = a•(b•c)。

3. 单位元：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 逆元：对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a•b = b•a = e，其中e为单位元。

元素b称为元素a的逆元。

群的性质还包括以下几个重要的特点：1. 唯一性：群中的单位元是唯一的，对于任意元素a，它的逆元也是唯一的。

2. 消去律：对于群中的任意三个元素a、b和c，如果a•b = a•c，那么b = c。

类似地，如果b•a = c•a，那么b = c。

3. 关于单位元的运算规则：对于群中的任意元素a，a•e = e•a = a。

4. 子群：如果一个集合在同一运算下构成一个群，并且它是原群的子集，则称这个集合为原群的子群。

二、环的基本概念与性质环是一种包含了两种代数运算的集合，它满足以下几个条件：1. 封闭性：对于环中的任意两个元素，它们的加法和乘法结果仍然在环中。

2. 加法结合律和乘法结合律：环中的加法和乘法满足结合律，即对于环元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)，(a*b)*c = a*(b*c)。

3. 加法单位元：环中存在一个特殊的元素0，称为加法单位元，对于环中的任意元素a，a+0 = 0+a = a。

4. 加法逆元：对于环中的任意元素a，存在一个元素-b，使得a+b = b+a = 0。

元素-b称为元素a的加法逆元。

5. 乘法单位元：环中存在一个特殊的元素1，称为乘法单位元，对于环中的任意元素a，a\*1 = 1\*a = a。

离散数学--第⼗章群，环，域群基本定义设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为⼆元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群（代数系统的前提不要忘，详情可看第九章）如果半群中有单位元==> 含⼳半群|独异点含⼳半群还有逆元==>群通常记作G群中的⼆元运算可交换==>交换群|阿贝尔群Klein四元群特征：1. 满⾜交换律2. 每个元素都是⾃⼰的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素平凡群只有单位元有限群群中元素有限⼦群如果把群看成集合，⼦群就是⼦集中能满⾜群定义的⼀个集合（可以有多个集合）群是代数系统，最基本要满⾜封闭性！真⼦群就类似真⼦集⼦群判定定理：设G为群，H是G的⾮空⼦集. H是G的⼦群当且仅当∀a,b∈H 有ab−1∈H（感觉很懵逼）证必要性显然. 只证充分性. 因为H⾮空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利⽤给定条件得a(b−1)−1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的⼦群.⽣成⼦群：设G为群，a∈G，令H={a k| k∈Z}，则H是G的⼦群，称为由 a ⽣成的⼦群，记作<a>例如：Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有⽣成⼦群是：<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.则偏序集< L(G), ⊆ >称为G的⼦群格就相当于⼦群先变成偏序集然后就满⾜了格的定义？因为是⼦群所以叫⼦群格？右（左）陪集设H是G的⼦群，a∈G.令Ha={ha | h∈H}称Ha是⼦群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.相当于右（左）乘a所得的集合？循环群设G是群，若在G中存在⼀个元素a,使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，元素a为循环群G的⽣成元。

第十章生物与环境第一节生物与环境的相互关系【知识概要】一、生态因素对生物的影响1．生态因素的概念环境中影响生物的形态、生理和分布等的因素叫做生态因素。

生态因素包括非生物因素和生物因素。

2．非生物因素对生物的影响（1）阳光①阳光是绿色植物进行光合作用的必要条件。

②光照强度影响植物的生长。

③不同波长的光对植物的意义不同。

波长0.4μm～0.7μm的光是绿色植物的光合作用能够吸收的光波范围，也是一般动物视觉器官所能感受的光波范围。

波长0.7μm以上的红外光能够产生热量，以提高环境的温度。

波长0.4μm以下的紫外光对生物具有杀伤作用，并可诱发突变和畸形。

但紫外光是动物和人合成维生素D的动力。

④日照时间的长短能够影响动物的繁殖活动和生活节律。

（2）温度生物体的新陈代谢需要在适宜的温度范围内进行；极端温度对生物的分布有着重要影响；极端温度能够影响生物的生长和发育；生命所能忍受的温度范围：有些原生动物能够忍受－190℃的低温，有些细菌和蓝绿藻能抵抗100℃的高温，北极鱼能终年在l℃～2℃冰水中生活。

温度系数（Q10定律）动物的新陈代谢（生化反应）速度，随温度上升而加快，这种温度与反应速度的关系称做温度系数，它可以用下面的公式来表示：Q10＝（V2/V1）10/（tQ10即温度系数，表示温度每增高10℃，反应速度增加的倍数。

V1、V2为反应速度，t1、t2为相对温度。

（3）水①水是一切生命活动和生化过程的基本物质。

②水分多或少都会对生物的生长发育有明显的影响。

③在一定地区，一年中的降水总量和雨季的分布，是限制陆地生物分布的主要因素。

④湿度常用的三种指标。

绝对湿度：在单位体积容器中，水蒸气所含的实际量。

通常用g/rn3表示。

相对湿度：容器中水蒸气的实际含量和同一湿度下饱和含量之比。

通常用百分率来表示。

饱和差：某一温度下的饱和湿度和实际的绝对湿度之差。

3．生物因素对生物的影响（1）种内关系：同种生物的不同个体或群体之间的关系。

第十章 群、环和域简介10.1 群1． 判断以下集合对于所给的运算来说哪些作成群,哪些不作成群： (1) 某一数域F 上全体n n ⨯矩阵的加法； (2) 全体正整数对于数的乘法；(3) {}2xx Z ∈对于数的乘法；(4){}01x R x ∈<≤对于数的乘法；(5) {}1,1-对于数的乘法． 解：(1) 设数域F 上全体n n ⨯矩阵的集合为()n M F ，对于矩阵的加法来说()n M F 作成一个加群．因为对任意,,()n A B C M F ∈，有1°()A B C ++=()A B C ++(加法结合律)2°()n M F 中存在零矩阵O ，使得对任意的A ∈()n M F ，有A O O A A +=+=3°对于A ∈()n M F ，有A -∈()n M F ．使得()()A A A A O +-=-+=4°对于,A B ∈()n M F ，有A B B A +=+． (2) 全体正整数对于数的乘法不作成群．因为对于数的乘法来说，单位元是1，但是对于正整数a =2来说不存在正整数b 使得a ×b =1．(3) 集合{}2x M x Z =∈对于数的乘法作成阿贝尔群．因为1°对于12x ，22x，32x ∈M ，123,,x x x Z ∈，有312(22)2x x x ⨯⨯=1232x x x ++=3122(22)x x x ⨯⨯2°在M 中有021=，使得2x M ∈，有022x ⨯=022x ⨯=2x ．3°对于2x M ∈，存在2xM -∈使得22x x -⨯=22x x -⨯=02=14°对于2,2x y M ∈，有22x y =2x y +=22y x．(4) 集合{}101M x R x =∈<≤对于数的乘法来说不作成群．因为1M 中的单位元是1，而对于12a =不存在1b M ∈，使得1a b ⨯=．(5) 集合{}1,1G =-对于数的乘法作成群〔阿贝尔群〕．因为对于G 任三个元素来说，结合律显然成立．再者G 有单位元1．对于G 中元素来说1(1)⨯-=(1)1-⨯=1-，并且1的逆元是1，1-的逆元是1-．2． 证明群中的指数规那么〔1〕、〔2〕．证明：设G 是一个群，a G ∈，那么1a G -∈，对于,m n ∈Z,如果0(0)m n <<或，设m m '=-， ()n n '=-或，并且注意当0n <时，对于a G ∈，有1()n na a '-=．于是1°当0,0m n >>时，mnm na a aa aa ==m n a +；2°当0,0m n >=时，0mmn a a aa a ==m a e =m a =m n a +，当0,0m n =>时，同理可证．；3°当0,0m n ><时，11n mm na a aa a a '--==111,,()(()),m n m n n mm n m n m n a a m n a a a a m n '-+'''------+'⎧=≥⎨'===<⎩； 4°当0,0m n <<时，1111m n m n a a a a a a ''----==1()m n a ''-+=11(())m n a --+=m na +．所以对任意,m n ∈Z ,a G ∈都有m na a =m n a +,即〔1〕式成立．其次我们先证对于任意的m ∈Z ，a G ∈，都有1()m a -=1()ma -．∵1()m m a a -=1()m a a -=0()m a =m e =e再由定义1()m m a a -=e ，根据G 中每一个元素的逆元的唯一性，∴1()m a -=1()ma -．以下证明等式〔2〕成立．1°当0,0m n >>时，()m n a =()()()nmmma a a a a a =mn a2°当0,0m n ><时，()m n a =1[()]m n a '-=1[()]m n a '-=1()mn a '-=11[()]mn a --=mn a当0,0m n <>时，()m n a =1[()]m n a '-=1()m n a '-=11[()]mn a --=mn a ．3°当0,0m n <<时，()m n a =1[()]m n a '-=11{[()]}m n a ''--=()m n a ''=m n a ''=mn a ．综上所述所证，群G 中指数规那么〔1〕、〔2〕成立． 3． 设{,,}G a b c =，G 的乘法由下面的表给出：ab c a a b c b b c a c cab证明G 对于所给的乘法作成一个群．证明：根据G 的乘法表可知ab b ba ==，ac c ca ==，bc a cb ==，所以G 的乘法是可换的，以下证明G 对于乘法作成一个群．1°结合律成立．由于G 对于所给的乘法是可换的，对于结合律我们只要验证也容易验证以下的情况即可．()()ab c a bc =；()()aa b a ab =；()()aa c a ac =； ()()bb a b ba =；()()bb c b bc =；()()cc a c ca =； ()()cc b c cb =．其它情况由G 的乘法可换性，立即可以证得．2°G 中有单位元a ，使得对于G 中任意元素,,a b c ，都有aa a =，ab ba b ==，ac ca c ==3°G 中每一个元素都有逆元，a 的逆元是a ，〔因为aa a =〕，而b 的逆元是c ，c 的逆元是b ，〔因为bc cb a ==〕．所以G 对于所给的乘法作成一个〔可换〕群．4． 证明，一个群G 是阿贝尔群的充要条件是：对任意的,a b G ∈和任意的整数n ，都有()n n n ab a b =． 证明：必要性，群G 对乘法运算可换，且对结合律成立．设,a b G ∈，而n 是任意的整数，因为G 对指数规那么〔1〕、〔2〕成立．故有()n ab =()()()ab ab ab =abab ab =22a b ab ab =…=n n a b ．充分性，设,a b G ∈，而n 是整数，有()n n n ab a b =，令2n =，那么有222()ab a b =，即()()ab ab =()a ba b =()()aa bb =()a ab b ，所以()a ba b =()a ab b ，在此等式两边左乘1a -以并右乘以1b -，得11()()()a a ba bb --=11()()()a a ab bb --，所以 ()e ba e =()e ab e ，即 ba =ab ． 所以G 是一个阿贝尔群．5． 证明，群G 的两个子群的交还是G 的一个子群． 证明：设1H ，2H 是群G 的两个子群，那么12H H ≠∅〔至少有一个单位元e 〕．1°对于12,a b H H ∈那么1,a b H ∈且2,a b H ∈，因为1H ，2H 是子群，所以1ab H ∈且2ab H ∈，所以12ab H H ∈；2°设12c H H ∈，那么1c H ∈且2c H ∈因为1H ，2H 是子群，所以11c H -∈且12c H -∈，所以112c H H -∈，所以，由子群的定义可知，12H H 是G 的一个子群．6． 证明，n 维欧氏空间V 的全体正交变换作成V 上一般线性群()GL V 的一个子群，这个群称为V 上的正交群，用记号()O V 表示．证明：一般线性群()GL V 是指n 维欧氏空间V 上全体可逆线性变换的集合对V 上的线性变换与线性变换的乘法来说作成的群．因为正交变换是可逆的线性变换，且单位变换也是正交变换．所以()O V 是()GL V 的非空子集．任意两个正交变换的乘积也是正交变换，即乘法封闭． 正交变换的逆变换也是正交变换．所以，n 维欧氏空间V 的全体正交变换的集合()O V 是一般线性群()GL V 的一个子群．7． 令a 是群G 中的一个元素，令{}n a a n 〈〉=∈，证明a 〈〉是G 的一个子群，称为由a生成的循环子群．特别，如果a 〈〉=G ，就称G 是由a 生成的循环子群．试各举出一个无限循环子群和有限循环子群的例子．证明：显然a a ∈〈〉，故a 〈〉非空，设,n m a a a ∈〈〉，,n m Z ∈，那么n m n ma a a a +=∈〈〉；设na ∈a 〈〉，那么11()()n n n a a a a ---==∈〈〉，所以a 〈〉是G 的一个子群．例1：设G Z =，运算是加法运算，那么1G =〈〉是无限循环群． 例2：设{}70,1,2,3,4,5,6G Z ==运算是剩余类的“加法〞，那么1G =〈〉是由1生成的有限循环群，它只有7个元素．8． 令σ=1212n n i ii ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()A Mn F ∈，定义 ()A σ=111222121212n n n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭就是对A 的行作置换σ所得的矩阵，令n ∑={}()n I S σσ∈，其中I 是n n ⨯单位矩阵，证明n∑作成(,)GL n F 的一个与n S 同构的子群． 证明：首先注意以下的几个事实： 1°设1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，……，(0,0,,1)n ε=，由矩阵的乘法可知i jεε'=1,,0,i j i j=⎧⎨≠⎩〔,1,2,,i j n =〕2°集合n ∑={}()n I S σσ∈中的任一元素()I σ都是由n 阶单位矩阵I 的各行所给的假设干次的置换而得到，所以，每一个()I σ的每一行和每一列都是只有一个位置上的元素为1，其余位置上的元素全为0，并且||1I =．而()I σ都是由I 的各行经过对换而得到的所以|()|I σ=1±．3°容易计算，集合n∑={}()n I S σσ∈共有!n 个不同的元素，不妨设为：n∑={}12!,,,n I I I ；所以n ∑是群(,)GL n F 的一个非空子集．现在证明n ∑与n S 同构，由于n S 是一个群，所以n S 是(,)GL n F 的一个子群．(1) 集合n∑对(,)GL n F 的运算〔即矩阵乘法〕是封闭的．设1212n n i i i σ⎛⎫=⎪⎝⎭，1212n n j j j τ⎛⎫=⎪⎝⎭∈nS ，那么()I σ和()I τ是n ∑的两个元素〔矩阵〕．因为I 的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1ε，2ε，…，n ε，所以()I σ的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1i ε，2i ε，…，niε，而()I τ的第1，2，…，n 行分别是n 维向量1jε，2jε，…，njε，由上述的事实2°可知()I τ的各列也是由一些单位向量所组成．设其在第1，2，…，n 列分别是n 维向量1k ε，2k ε，…，nkε，此处1k ，2k ，…，n k 是1，2，…，n 的某一个排列．设()I σ()I τ=A 〔A 是n n ⨯矩阵〕由矩阵的乘法可知A 的第s 行的各个元素分别是1si kεε'，2si kεε'，…，sni kεε'，由上述事实1°可知，这n 个数中只有一个t s k i =时才等于１，其余各数均为0，〔因为s i 是1，2，…，n 的某一个排列〕，这样矩阵A 的第s 行只有一个位置的元素是1，而其余位置的元素均为0，并且当s i 不同时，1的位置不同，令s =1，2，…，n 可知矩阵A 的各行各列的元素都只有一个位置的1，而其余位置的元素均为0，并且||A =|()()|I I στ=1±，所以nA ∈∑，即()I σ()I τn ∈∑．(2) 存在着n ∑到n S 的一个同构映射f ． 如上所述，n ∑={}12!,,,n I I I ，设i I 是n ∑的任意一个矩阵，用i I 右乘n ∑的各个元素，得1i I I ，2i I I ，…，!i n I I ，因为n ∑对乘法是封闭的，所以它们仍是n ∑中!n 个不同的元素〔因为假设i k I I =i i I I ，由i I 的可逆性那么有k I =i I 〕，这样我们得到一个n ∑元素之间的一个置换，i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭，所以我们定义n ∑到n S 的一个映射:ii I f I τ→．a ） f 是n ∑到n S 的一个双射． 它显然是满射，现证是单射．设,i j nI I ∈∑，且i jI I ≠，那么i I τ=12!12!n i i n i I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭≠j I τ=12!12!n j j n j I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为假设i t I I =j tI I ，t =1，2，…，n ，由n ∑中元素的可逆性，那么有i I =jI 这与i jI I ≠矛盾，所以f 是n ∑到n S 的一个一一映射；b ） f 是n ∑到n S 的一个同构映射，设,i j n I I ∈∑，依f 的对应法那么()i f I =i I τ，()j f I =j I τ，设i j kI I I =，那么有：()i j f I I =()k f I =k I τ=12!12!n k k n k I I I I I I I I I ⎛⎫⎪⎝⎭=12!12!n i j j i j n i I I I I I I I I I I I I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=i j I I τ=()i f I ()j f I所以f 是n ∑到n S 的一个同构映射．所以n ∑和n S 同构，又由于n S 是群，因而n ∑也是群．且n ∑⊆(,)GL n F ． 9． 设G 是一个群，a G ∈，映射:a x ax λ，x G ∈叫做G 的一个左平移．证明：(1) 左平移是G 到自身的一个双射；(2) 设,a b G ∈，定义a b a b λλλλ=〔映射的合成〕，那么G 的全体左平移{}a a G λ∈对于这样的定义的乘法作成一个群G '；(3) G G '≅． 证明：(1) :a xax λ，x G ∈是G 到G 的一个双射．首先a λ是一个满射，因为对于任意的y G ∈，总存在一个1x a y G -=∈，使得ax y =，其次a λ的一个单射，因为12,x x G ∈，并且12x x ≠那么12ax ax ≠．(2) G '是一个群．因为G '对映射的乘法是封闭的，且G '对映射的乘法满足结合律．另外，设e 是G 的单位元，那么e λ是G '的单位元，对于a G λ'∈都有a λe λ=e λa λ=a λ．最后，设a G λ'∈，因为a G ∈，1a G -∈，所以存在一个映射1a G λ-'∈，使a λ1a λ-＝1a λ-a λ=e λ，即G '中每一个元素a λ都有逆元1aλ-，所以G '是一个群．(3) G G '≅，作G 到G 的一个映射f ：a a λ．容易证明f 是双射．且假设,a b G ∈，()f ab =ab λ=a λb λ=a b λλ=()f a ()f b ．所以f 是G 到G 的一个同构映射，即G G '≅．10． 找出三次对称群3S 的一切子群．〔注意：要求证明你找出3S 的子群已经穷尽了的一切子群〕解：三次对称群3S ={}(1),(12),(13),(23),(123),(132)共六个元素．现在设H 是3S 的一个非空子集，如果H 要做3S 的子群，那么H 必须对3S 的运算是封闭的；同时H 有(1)作为单位元，并且假设a H ∈那么1a H -∈，而(1,2)的逆元是(1,2)，(1,3)的逆元是(1,3)，(2,3)的逆元是(2,3)，(1,2,3)的逆元是(1,3,2)．在3S 的一切非空子集中，可能构成3S 的子群的非空子集只有以下情况：1H ={}(1),2H =3S ,3H ={}(1),(12),4H ={}(1),(13),5H ={}(1),(23),6H ={}(1),(123),(132),7H ={}(1),(12),(123),(132),8H ={}(1),(13),(123),(132),9H ={}(1),(23),(123),(132),10H ={}(1),(12),(13),(123),(132),11H ={}(1),(12),(23),(123),(132), 12H ={}(1),(13),(23),(123),(132),13H ={}(1),(12),(13),14H ={}(1),(12),(23),15H ={}(1),(23),(13),16H ={}(1),(12),(13),(23),经检验，除1H ,2H ,3H ,4H ,5H ,6H ,可构成3S 的子群外，其余的子集都对乘法不封闭，所以不构成3S 的子群．10.2 剩余类加群1． 写出6Z 的加法表．解：略．2． 证明：n Z 是循环群，并与n 次单位根群n U 同构．证明：设{},n Z +是模n 的剩余类加群，其元素有n 个：0,1,2,,,,1k n -，因为1111k k =+++=，这就是说n Z 中任意元k 皆是1的倍数，所以n Z 可由1生成，即n Z =1〈〉，故n Z 是循环群．又设n U 是n 次单位根群，那么n U 是n 阶群，以ε表示n U 的一个单位原根，那么n U ε=〈〉={}0121,,,,n εεεε-，作n Z 到n U 的一个映射:k f k ε，那么f 显然是n Z 到n U 的一个双射．并且对于,n k l Z ∈都有()()()f k l f k f l +=+．1°假设k l n +<，那么()()f k l f k l +=+=k l ε+=k lεε=()()f k f l ；2°假设k l n +≥，那么(0)k l n s s n +=+≤≤，故有()()f k l f k l +=+=()f s =s ε=1s ε=n s εε=n s ε+=()()f k f l ．所以f 是n Z 到n U 的一个同构映射，即n Z 与n U 同构． 3． 找到6Z 的所有子群． 解：{}60,1,2,3,4,5Z =，依习题10.1习题10的方法，在加群6Z 中，0是单位元，1与5互为逆元，2与4互为逆元，3与3互为逆元．所以，可能构成6Z 的子群的集合有以下几个：{}10H =，2H =6Z ，{}30,3H =，{}40,2,4H =，{}50,2,3,4H =，{}60,1,5H =，{}70,1,3,5H =，经检验，1H ，2H ，3H ，4H 是6Z 的子群，其余子集均对运算不封闭，不能构成子群．因此，6Z 的一切子群有{}10H =，2H =6Z ，{}30,3H =，{}40,2,4H =．4． 证明，每一个有限群含有一个子群与某一个n Z 同构．证明：设G 是n 元有限群，e 是G 的单位元，a e ≠是G 中任意的元，作元素a 的非负整数幂：e =012,,,,,,,n k a a a a a ,因为G 是群，故上列这些元均是G 中的元素，又因为G是n 阶群，故上列元必有相同的．设s ka a =,且s k ≠，不妨设k s >，而k s m -=，所以0k s a a -==e ,即m a e =．我们把满足这一条件的最小正整数m 称为元a 的阶，显然，假设a的周期为m ，那么m n ≤，〔否那么G 有多于n 个元素，这与G 是n 阶群〕．令{}2,,,m H a a a e ==，因为m n ≤，所以H 是群G 的非空子集，现证H 是G 的子群，且m H Z ≅．1°H 是G 的子群．首先H 的元互不相同．因为假设1,l t m ≤≤，且l t ≠那么l ta a ≠，〔假设l ta a =，设l t >，那么l t a e -=，而l t m -<．这与m 是a 的阶矛盾〕．同时，H 对G 的乘法封闭．设,i j a a H ∈那么有i j i j a a a +=，假设i j m +≤，那么i j i j a a a H +=∈，假设i j m +>，那么i j m p +=+，0p m <≤，那么i j i j a a a +=m pp aa +==H ∈，其次H 有单位元m a e =，最后设k a H ∈，那么1k m ≤≤．那么必有正整数m k -，使得m ka H -∈，这时k m k m a a a e -==．所以H 中任意一元k a H ∈都有逆元m k a H -∈．2°m H Z ≅．为了方便我们记0m a e a ==．作H 到n Z 的一个映射:k f ka ，显然f 是双射．设,m k l Z ∈，假设k l m +≤，那么 ()()()()k l k lf k l f k l a a a f k f l ++=+===，假设k l m +>那么设(0)k l m r r m +=+<<，那么()()()r rf k l f k l f r a e a +=+===()()m r k l a a a f k f l +===所以f 是H 到n Z 的一个同构映射，即m H Z ≅．5． 设G 、H 是群，在{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈中定义乘法：(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=，(,),(,)g h g h G H ''∈⨯．证明，G H ⨯按照这样的乘法来说作成一个群．证明：因为{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈，G 、H 是两个群．1°G H ⨯对乘法封闭．设(,),(,)g h g h G H ''∈⨯，因G 、H 是群，故gg G '∈，hh H '∈，故(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=G H ∈⨯2°G H ⨯的乘法适合结合律，设11(,)g h G H ∈⨯，22(,)g h G H ∈⨯，33(,)g h G H ∈⨯，那么123g g g G ∈，123h h h H ∈，又G 、H 是群,故123g g g G ∈，123h h h H ∈适合结合律．因此112233(,)[(,)(,)]g h g h g h=112323(,)(,)g h g g h h =123123(,)g g g h h h =121233(,)(,)g g h h g h =112233[(,)(,)](,)g h g h g h3°G H ⨯中有单位元12(,)e e ，其中设1e ，2e 分别是G 、H 的单位元．因为对于(,)g h G H ∈⨯，12(,)e e (,)g h •=12(,)e g e h =(,)g h ，12(,)(,)g h e e =12(,)ge he =(,)g h ．4°G H ⨯中每个元(,)g h 都有逆元11(,)g h --，其中1g -，1h -分别是g G ∈，h H ∈的逆元．因为(,)g h 11(,)g h --=11(,)gg hh --= 12(,)e e ，11(,)g h --(,)g h =11(,)g g h h --=12(,)e e 综上所证，{}(,),G H g h g G h H ⨯=∈∈对所定义的乘法(,)(,)(,)g h g h gg hh ''''=作成一个群．6． 写出22Z Z ⨯和23Z Z ⨯，证明，23Z Z ⨯6Z ≅ 证明：{}20,1Z =，{}30,1,2Z =，{}60,1,2,3,4,5Z =，22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，23Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)．以下证明23Z Z ⨯6Z ≅，因为6Z 是一个6阶循环群，而元素1的阶是6，故1可作为6Z 的生成元，在23Z Z ⨯中(1,1)的阶也是6，故(1,1)可以作为23Z Z ⨯的生成元，即23Z Z ⨯=(1,1)〈〉．所以23Z Z ⨯是6阶循环群．作6Z 到23Z Z ⨯的映射：:1(1,1)0,1,2,3,4,5f k k k =，那么在f 下，我们有:f 1(1,1)，2(0,2)，3(1,0)，4(0,1)，5(1,2)，60(0,0)=，显然f 是双射．再对f 的(66)2⨯÷=16种情况逐一验证，知f 是一个同态映射，因而f 是6Z 到23Z Z ⨯同构映射，即23Z Z ⨯6Z ≅．7． 任何一个四阶循环群或者与4Z 同构，或者与22Z Z ⨯同构． 证明：设G 是任一四阶群，以下分两种情况讨论：(1) 假设G 是任一四阶循环群，那么{}023,,,G a a e a a a =〈〉==，而{}40,1,2,3Z =．做4Z 到G 的映射:0,1,2,3kf ka k =，显然f 是双射，现设0,3k l ≤≤，假设3k l +≤，那么()f k l +=()f k l +=k l a +=k l a a =()f k ()f l ，假设4k l +≥，那么4(04)k l r r +=+≤<，那么 ()f k l +=()f k l +=()f r =r a =r e a =4r a a =4r a +=k l a +=k la a =()f k ()f l ．所以f是同构映射，即4G Z ≅(2) 假设{},,,G e a b c =不是循环群，那么G 作为一个群，其乘法表为e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e显然，{},,,G e a b c =非循环群，G 的非单位元的阶都是2，即2a e =，2b e =，2c e =，而22Z Z ⨯={}(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，由2Z的运算性质可知，22Z Z ⨯的每个非单位元的阶也都是2．做G 到22Z Z ⨯的映射:(0,0)e ϕ，(0,1)a ，(1,0)b ，(1,1)c ，容易看出，映射ϕ是双射，再对ϕ的(44)2⨯÷=8种情况逐一验证，知ϕ是一个同态映射，所以映射ϕ是同构映射，即22G Z Z ≅⨯．10.3 环和域1． 证明，在一个交换环R 里，二项式定理()n a b +=11222n n n n n n a C a b C a b b --++++对于任意的,a b R ∈和正整数n 成立．证明：设,a b R ∈，我们对于正整数n 用数学归纳法来证明1°当n=1时，1()a b +=a b +，命题成立；2°当n=2时，2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ab b +++=222a ab b ++,命题成立；3°假定当n=k 时，命题成立，即有()k a b +=11222k k k k k k a C a b C a b b --++++成立，对于n=k+1时，我们有：1()k a b ++=()()k a b a b ++=11222()()k k k k k k a C a b C a b b a b --+++++=11212()k k k k k k a C a b C a b ab +-++++1122231()k k k k k k a b C a b C a b b --++++++=11212111()k k k k k k a C a b C ab b +-+++++++,故结论成立．2． 设R 是一个环，并且对于加法来说R 作成一个循环群，证明R 是一个交换环． 证明：由题设存在元a 生成，使得{}R a na n Z =〈〉=∈．设12,a a R ∈，那么11a n a =，22a n a =，12,n n Z ∈，有12a a =1()n a 2()n a =212n n a ，21a a =2()n a 1()n a =212n n a所以12a a =21a a ，即R 对乘法满足交换律，故R 是一个交换环．3． 证明，对于有单位元的环来说，加法适合交换律是环定义里其它条件是结果．〔提示：用两种方式展示()(11)a b ++〕证明：R 是一个有单位元1环，那么由环定义中条件〔3〕可知()(11)a b ++=()1()1a b a b +++=a b a b +++=()a b a b+++，而()(11)a b ++=(11)(11)a b +++=a ab b+++=()a a b b+++，因此()a b a b +++=()a a b b +++，所以 b a +=a b +．4． 写出2Z 和7Z 的加法和乘法表． 解：略．5． 设R 是一个只有有限多个元的交换环，且R 没有零因子，证明R 是一个域． 证明：因为R 是一个只有有限多个元素的交换环，故可设12,,,n a a a R ∈是R 的全部非零元，这意味着这n 个元互不相同．设i a 是{}12,,,n G a a a =中之一，以i a 乘以{}12,,,n G a a a =的所有元得12,,,i i i n a a a a a a ，由于R 没有零因子，故这n 个元素仍是R 的非零元，且各不相同〔因为假设()i s i k a a a a s k =≠，由于R 没有零因子，故消去律成立，得到s k a a =与{}12,,,n G a a a =元素各不相同矛盾〕，所以12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同．因此，对于这个i a ，必有一个k 存在〔1k n ≤≤〕使i k i a a a =〔因为如果不是这样，那么12,,,i i i n a a a a a a 中没有一个等于i a ，这与12,,,i i i n a a a a a a 与12,,,n a a a 完全相同矛盾〕，因为R 是一个交换环，所以k i i k i a a a a a ==．1°以下我们证明k a 是单位元．设．j a是G 的任一元，由以上证明知12,,,i i i n a a a a a a 除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同，所以必有i s a a =j a ，k j a a =k a ()i s a a =i s a a =j a ,再由R是一个交换环，知j k ja a a =，所以k a 是G 的单位元，记为k e a =是G 的单位元．2°以下证明G 中的元素都有逆元，为此我们对G 重新排序记为{}121,,,,n G e a a a -=，设r a 是G 任意元，以r a 乘以{}121,,,,n G e a a a -=中每一个元，得121,,,,r r r r n a e a a a a a a -，那么由以上证明知121,,,,r r r r n a e a a a a a a -除去次序不同和12,,,n a a a 必完全相同，因而必有r t t r a a e a a ==．所以G 是一个可换群，所以R 是一个域．6． 设R 是一个环,a R ∈，如果存在一个正整数n ，使得0na =，就说a 是一个幂零元．证明，在一个交换环里，两个幂零元的和还是幂零元．证明：设,a b R ∈是两个幂零元，那么有n,m 是正整数，使得0n a =，0ma =，由本习题1，在交换环中二项式定理成立，故有()n m a b ++=11222n m n m n m n m n m n m a C a b C ab b ++-+-+++++++因为00n k n k k a a a a +===,00s m s m sb b b b +===,所以()n ma b ++=0，所以a b +是幂零元．7． 证明，在一个环R 中，以下两个条件等价： （i ） R 没有非零的幂零元；（ii ）如果a R ∈，且20a =那么0a =．证明：设〔ⅰ〕成立我们证明〔ⅱ〕成立．因为20a =，但是R 中没有非零幂零元，所以0a =．反之，设〔ⅱ〕成立我们证明〔ⅰ〕成立．设a R ∈是任一幂零元，那么存在一个正整数n,使得0na =，以下证明0a =，假设0a ≠，由〔ⅱ〕成立，那么有20a ≠〔否那么由假设20a =那么0a =，矛盾〕，同理22()0a ≠，即40a ≠，如此继续下去，那么有20ka ≠，1,2,k =，而当2k n >时，由有220kknn a aa -==，矛盾．所以，假设不成立，即〔ⅰ〕成立．8． 设R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，证明， （i ） {}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环； （ii ）{}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环，并且对任意的r R ∈，a I ∈都有ra I ∈，如果R 与R '都有单位元，能不能断定(1)R f 是R '的单位元1R '？当f 是满射时，(1)R f 是R '的单位元1R '？证明：(i) 因为R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，所以(0)0f '=〔此处0是R 的零元，0'是R '的零元〕，所以0Im()f '∈，又Im()()f f R R '=⊆，即Im()f 是R '的非空子集．所以对于(),()Im()f a f b f ∈，,a b R ∈，有()()()f a f b f a b -=-∈ Im()f ．〔因为R 是环，,a b R ∈，所以a b R -∈〕，并且()()()Im()f a f b f ab f =∈．所以{}Im()()()f f R f a a R ==∈是R '的一个子环；(ii) 因为R 与R '是环，:f R R '→是一个同态映射，所以(0)0f R ''=∈，所以()Ker f ≠∅，设,()a b Ker f ∈，那么()()0f a f b '==，于是()()()000f a b f a f b '''-=-=-=，所以()a b Ker f -∈，且()()()000f ab f a f b '''===，故()ab Ker f ∈，因此，{}()()0I Ker f a R f a ==∈=是R 的一个子环．对于r R ∈，a I ∈()Ker f =，那么()()()()00f ra f r f a f r ''===，所以ra I ∈ ()Ker f =．如果R 与R '都有单位元，:f R R'→是一个同态映射，那么(1)R f 不一定是R '的单位元1R '，例如{}20,1R Z ==，{}20,1R Z '==，作R R '→的映射:00,10f ，那么显然:f R R '→是一个同态映射，但(1)0f =不是R '的单位元．如果f 是满射，(1)R f 是R '的单位元1R '．9． 设F 和F '是域，:f F F '→是同态映射，证明，或者()0f F =，或者f 是个单射，〔提示：利用第8题〔ⅱ〕证明()Ker f 或者等于零，或者等于F 〕．证明：因为F 和F '是域，:f F F '→是同态映射，所以F 和F '是环，由上题〔ⅱ〕知{}()()0Ker f a R f a =∈=是F 的一个子环〔域〕，以下分两种情况讨论：（i ） 假设{}()0Ker f =，那么对于任意的,()a b Ker f ∈，有()()0f a f b '==，于是 ()()()000f a b f a f b '''-=-=-=，所以()a b Ker f -∈，但{}()0Ker f =，所以a b =，所以f 是个单射；（ii ）假设{}()0Ker f ≠，那么()Ker f 必有非零元素，设()a Ker f ∈并且0a ≠，又因为F 是域，所以a 在F 中必有逆元1a F -∈，由上题〔ⅱ〕知1()a a Ker f -∈，即1()e a a Ker f -=∈，设x 是F 中任意元素，再由〔ⅱ〕的结果可知：()xe x Ker f =∈，所以()F Ker f ⊆，而()Ker f F ⊆，所以()Ker f F =，当()Ker f F =时，Im()()0f f F ==．10． 证明，2阶实矩阵2()M R 的子集F =,a b a b R b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎩⎭作成一个与复数域同构的域．证明：首先证明F 是环2()M R 的一个子域．设a b A b a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，c d B d c ⎛⎫=⎪-⎝⎭是F 任意两个元素，其中a,b,c,d R ∈,那么a b cd A B b a d c ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=a c b d b d a c --⎛⎫ ⎪-+-⎝⎭F ∈,又当0B ≠时，c,d 不全为零，那么22cd B c d dc ==+-0≠，所以1B -存在，且11cd B d c B --⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1B F -∈，于是11a b c d AB b a d c B--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=1ac bd bc ad ad bc ac bd B+-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭F ∈,所以F 是环2()M R 的一个子域，现在作复数域{}2,,1C a bi a b R i =+∈=-到F 的一个映射:a b f a bib a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，显然，f 是C 到F 的一个双射．现在设()a b f a bi b a ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，()cd f c di dc ⎛⎫+=⎪-⎝⎭，那么[()()]f a bi c di +++=[()()]f a c b d i +++=()a cb d b d ac ++⎛⎫ ⎪-++⎝⎭a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()f a bi f c di +++． 又[()()]f a bi c di ++=[()()]f ac bd ad bc i -++=ac bd bc ad ad bc ac bd +-⎛⎫ ⎪-+⎝⎭ =a b c d b a d c ⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．所以f 是C 到F 的同构映射，即F 作成一个与C 同构的域．11． 令Q 是有理数域，R 是一个环，而f ，g 都是Q 到环R 的环同态，证明，假设对任意整数n ，都有()()f n g n =那么f g =．证明：由，来证明11()()f g nn =，假设11()()f g n n ≠，那么 11()()()()f n f g n g n n ≠这与(1)(1)f g =，所以假设不成立，有11()()f g n n =．再证明f g =．对于任意有理数mQn ∈，我们有 11()()()()()()m mf f m fg m g g n n n n ===，所以f g =．12． 证明，一切形如,,a bi c di a b R c di a bi ++⎛⎫∈ ⎪-+-⎝⎭的二阶复矩阵所成的集合作成一个环K ，这个环的每一个非零元素都有逆元，K 是不是域？证明：1°集合K 对于矩阵的加法和乘法都是封闭的． 设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭，22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈， 那么1212121212121212()()()()()()()()a a b b i c c d d i A B c c d d i a a b b i ++++++⎛⎫+= ⎪-++++-+⎝⎭K ∈，记11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭，22222222a b i c d i B c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=ξηηξ⎛⎫⎪-⎝⎭，那么AB αβξηβαηξ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=αξβηαηβξβξαηβηαξ⎛⎫-+⎪---+⎝⎭=()αξβηαηβξαηβξαξβη⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭K ∈； 2°零矩阵00000000i i O i i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭K ∈，且A O O A A +=+=； 3°设11111111a b i c d i A c d i a b i ++⎛⎫= ⎪-+-⎝⎭=αββα⎛⎫⎪-⎝⎭K ∈，那么有逆元A -=αββα--⎛⎫ ⎪-⎝⎭K∈，且()()A A A A O +-=-+=，4°所以K 作成一个环．且K 有单位元I ．设A =αββα⎛⎫ ⎪-⎝⎭是任何一个非零元，那么A=αββα-=ααββ+=22αβ+0≠．从而1A -=1Aαββα-⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，但矩阵乘法不满足交换律，故K 不是域．13． 在15Z 中，找出适合方程21x =的一切元素．解：在15Z ={}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14中，211(mod15)=，24161(mod15)==， 2111211(mod15)==，2141961(mod15)==．故在15Z 中， 适合方程21x =的元有1,4,11,14．14． 证明，一个特征为0的域一定含有一个与有理数域同构的子域；一个特征为0p >的域一定含有一个与pZ 同构的子域．证明：(i)设F 是特征为0的域，那么F 含有单位元e ，所以对于任意整数n 来说，都有ne F ∈，令1{|}F ne n Z =∈,因为当且仅当0n =时,0ne =，所以,:n Z nne σ∀∈是Z 到1F 的双射,且显然是同构映射,令12{()()|,,0}F me ne m n Z n -=∈≠,那么12F F F ⊆⊆.对mQ n ∀∈,规定1:()()m me ne nτ-,那么τ是Q 到2F 的双射,且1212,m m Q n n ∀∈,1212()m m n n τ+=121212()m n n m n n τ+=1121212()()m n n m e n n e -+111122()()()()m e n e m e n e --=+=11()m n τ+22()mn τ11212121212121112112212()()()()()()()()()()m m m mm m e n n e n n n n m m m e n e m e n e n n ττττ---====所以2Q F ≅,所以2F 是域,且是F 的子域.(ii)设F 是一个特征为p >0的域, e 是F 的单位元,令1{0F =,,2,,(1)},ppe e e p e i Z =-∀∈,规定:iie σ,且是p Z 到的一个双射. ,p i j Z ∀∈且,0,,0j i kp r r p ij lp s s p +=+≤<=+≤<,故,i j r ij s +==那么()()()i j r re kpe re i j e ie je σσ+==+=+=+()()()()ij s se lpe se ije ie je σσ===+==.所以,σ是pZ 到1F 的同构映射.因为p 是素数,pZ 是域,所以1F 是的一个F 与pZ 同构的子域.15. 令2F Z =是仅含两个元素的域.[]F x 是F 上一元多项式环.(i)证明,21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约多项式.(ii)找出[]F x 中一切三次不可约多项式.解: (i)在[]F x 中二次多项式有222,1,x x x x ++,21x x ++,其中前三个多项式可约.因为0,1不是21x x ++的根,所以21x x ++是[]F x 中唯一的二次不可约.(ii) []F x 中三次多项式有3323332,,,1,x x x x x x x x x +++++,323321,1,1x x x x x x x +++++++.其中不可约多项式只有321x x ++和31x x ++。

群与环知识点总结一、群的定义与性质1. 群的定义群是一个集合G以及一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四条性质：封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。

结合律：对于任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

存在单位元：集合G中存在一个元素e，对于任意的a∈G，都有a*e＝e*a＝a。

存在逆元：对于每个a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b＝b*a＝e。

2. 群的性质群的性质有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一单位元：群的单位元是唯一的。

唯一逆元：对于每个元素a∈G，其逆元素是唯一的。

左消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果a*b＝a*c，那么b＝c。

右消去律：对于任意的a、b、c∈G，如果b*a＝c*a，那么b＝c。

以上是群的基本定义和性质，群还有许多重要的定理和结论，如拉格朗日定理、柯西定理等。

这些定理和结论对于群的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

二、环的定义与性质1. 环的定义环是一个集合R以及两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下四条性质：R对于+构成一个交换群。

乘法满足结合律：对于任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c＝a*(b*c)。

分配律成立：对于任意的a、b、c∈R，有a*(b+c)＝a*b+a*c和(b+c)*a＝b*a+c*a。

2. 环的性质环的性质也有许多重要的定理和结论，其中最重要的结论是：唯一加法单位元：环的加法单位元是唯一的。

乘法分配性：环的乘法对加法满足分配律。

交换律：对于环中的任意元素a和b，都有a*b＝b*a。

环还有许多重要的定理和结论，如唯一乘法单位元、素环、主理想环等。

这些定理和结论对于环的研究具有重要意义，并在数学的许多领域中发挥着重要作用。

三、群与环的应用群与环在数学的许多领域中有着广泛的应用，如数论、代数学、几何学等。

具体而言，群与环的应用包括：1. 数论中的应用在数论中，群与环的应用非常广泛，如在模运算、同余方程、数论函数等方面，群与环都有重要的应用。

代数学中的群与环理论代数学中的群与环理论是重要的数学分支，研究对象是代数结构中的群与环。

群与环是代数学中两个基本的抽象代数结构，它们在许多数学领域中都有广泛的应用。

一、群理论群是一种包含了一个或多个运算并满足一定性质的集合。

这个运算可以是加法、乘法或其他二元运算。

群具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。

群论研究群的结构、性质以及群之间的关系。

在群理论中，有一些重要的概念和定理。

例如，Lagrange定理指出，对于一个有限群G的子群H，H的阶数必定整除G的阶数。

这个定理在密码学中有重要的应用。

另外，每个群都可以与一个置换群同构，这个置换群称为群G的对称群。

对称群的研究在组合数学和几何学中有重要的地位。

群论在许多领域中都发挥着重要作用。

在物理学中，群论被用来描述对称性和守恒定律。

在密码学中，群论被用来构建安全的加密算法。

在几何学中，群论被用来研究对称图形和多面体。

二、环理论环是一种包含了两个运算并满足一定性质的代数结构。

这两个运算可以是加法和乘法，也可以是其他符合一定条件的二元运算。

环具有结合律、分配律、单位元等性质。

环论研究环的结构、性质以及环之间的关系。

在环论中，有一些重要的概念和定理。

例如，环的理想是一个特殊的子环，它在乘法下封闭，并且满足一定的性质。

理想在代数学和数论中具有广泛的应用。

另外，每个有限环都可以与一个矩阵环同构，这个矩阵环称为环的矩阵环。

矩阵环的研究在线性代数和图论中有重要的地位。

环论在许多领域中都有广泛的应用。

在代数几何中，环论被用来研究代数曲线和代数多余的结构。

在代数编码理论中，环论被用来构建纠错码和加密算法。

在数论中，环论被用来研究模运算和数的整除性质。

三、群与环的联系群与环之间有着密切的联系。

事实上，环可以看作是群的扩展，即在群的基础上增加了一个乘法运算。

每个环的加法群是一个Abel群，即满足交换律的群。

群与环的联系使得许多群论和环论的定理可以相互借用和推广。

群与环的理论在数学研究和应用中都有着广泛的意义。

近世代数群与环的区别
群是一个可作为元素的最小代数结构，但群并不仅仅是代数结构。

现代数学告诉我们：若群G是有限群，而G中任何两个元素都是有限的，则G中任何两个元素都有有限公因式相乘；这时，群G又称为无限公因式群。

无限公因式群是一种群，在其中可找到某种类型的元素。

这种元素的个数就是群G的元素个数。

1.1群的构成要素
1.2群的子集与闭包群论中研究群的基本问题就是群的子集和闭包。

我们把有限集合称为子集，由有限集合组成的集合叫做子集的闭包，简称子包。

所谓有限群就是由有限集合组成的群。

有限群的子集仍是有限群，它的元素也是有限的，但每个元素所含的项数却可以是无限的。

1.3群的同构系统
1.4群的模空间1.5群的表示1.6群的作用
1.7环的性质
1.8环的特征1.9数域的扩充1.10代数簇1.11代数学上的群和环1.12代数几何学中的群和环1.13环论中的群和环1.14拓扑学中
的群和环1.15代数拓扑学中的群和环1.16代数几何学中的群和环1.17代数拓扑学中的群和环1.18近世代数群与环的区别1.1群的构成要素群的性质不在于群内部各元素之间关系，而在于群的外部，这个外部就是指群G的外部。

若群G是一个有限群，而G中任何两个元素都是有限的，则称G为有限群；如果G中任何两个元素都是有限的，
则称G为有限群；如果G中任何两个元素都有有限公因式相乘，则称G为有限公因式群。

计算机与信息技术学院硕士研究生入学考试自命题科目考试范围一、905 信号与系统1、连续时间信号与系统的时域分析。

（1）信号与系统基本概念；（2）信号的表示与典型信号：信号的表示、指数信号、复指数信号、正弦信号、抽样信号；（3）基本运算与变换：加法和乘法运算、信号的反转、平移与尺度变换；（4）阶跃函数和冲激函数：阶跃函数、冲激函数、冲激偶信号的定义及其关系，冲激函数的性质及运算；（5）信号的分解；（6）线性时不变连续系统：线性时不变系统的判断，线性时不变系统的表示：方框图、常系数微分方程，线性时不变系统的求解：零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、全响应的概念和求解，用卷积积分法求零状态响应，起始点的跳变；（7）单位冲激响应与阶跃响应的定义和计算；（8）卷积的定义、性质和计算，线性时不变连续系统输入输出关系。

2、连续系统的频域分析（傅里叶变换）。

（1）频谱的概念；（2）周期信号的频谱与傅里叶级数分析、函数的对称性与傅里叶系数的关系、典型周期信号的傅里叶级数；（3）非周期信号的频谱：傅里叶变换对和非周期信号频谱的特点、典型非周期信号的频谱；（4）冲激函数与阶跃函数的傅里叶变换；（5）傅里叶变换的性质和应用；（6）卷积定理；（7）周期信号的傅里叶变换；（8）连续系统的频域分析；（9）抽样信号的傅里叶变换；（10）连续时间信号抽样：理想抽样、实际抽样、抽样定理；（11）理想低通滤波器：频域特性与冲激响应、系统的物理可实现性。

3、连续系统的复频域分析（拉普拉斯变换）。

（1）拉普拉斯变换的定义与收敛域；（2）拉普拉斯变换的性质；（3）拉普拉斯反（逆）变换；（4）连续时间系统的复频域分析；（5）系统函数、系统稳定性判断、系统函数决定系统的时域与频域特性；（6）全通函数与最小相移函数；（7）拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。

4、离散时间系统的时域分析。

（1）离散时间信号：常用序列、序列基本运算、周期性等；（2）线性移不变系统：线性、移不变、因果性、稳定性；（3）离散系统的时域分析：常系数差分方程的求解方法、系统零输入响应、零状态响应、自由响应与强迫响应的计算、单位抽样响应的计算、卷积和的计算。

《抽象代数基础》教案一、引言1.1 课程背景抽象代数是数学的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。

抽象代数基础课程旨在帮助学生掌握代数基本概念、理论和方法，为后续高级代数课程打下坚实基础。

1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：理解并运用代数基本概念，如群、环、域等；熟练掌握代数运算和结构性质；运用抽象代数的方法解决实际问题。

二、基本概念2.1 集合与映射集合的基本运算映射的定义和性质2.2 群与环群的定义和性质环的定义和性质2.3 域与域扩张域的定义和性质域扩张的定义和性质三、代数运算3.1 群的运算群的乘法运算群的单位元和逆元3.2 环的运算环的加法运算环的乘法运算3.3 域的运算域的加法运算域的乘法运算四、代数结构4.1 群的结构群的子群和同态群的直积和半直积4.2 环的结构环的子环和同态环的理想和商环4.3 域的结构域的子域和同态域的分裂和扩张五、应用实例5.1 线性代数的应用线性方程组的解矩阵的运算和性质5.2 数理逻辑的应用命题逻辑和谓词逻辑代数逻辑和自动机理论5.3 编码理论的应用线性码和非线性码编码译码算法和性能分析六、线性代数基础6.1 向量空间向量的定义和性质向量空间的基本概念6.2 线性映射线性映射的定义和性质线性映射的图像和核6.3 矩阵矩阵的定义和运算矩阵的行列式和特征值七、群论深入7.1 群的作用群的群作用和群代表群的分类和计数7.2 群表示论群表示的基本概念群表示的构造和性质7.3 群扩张和分类群扩张的性质和分类群的饱和性和分类定理八、环与域的高级主题8.1 非交换环和域非交换环和域的性质非交换环和域的分类8.2 域的扩张和伽罗瓦理论域扩张的伽罗瓦理论伽罗瓦扩张和伽罗瓦群8.3 环和域的代数几何环和域的代数几何基础环和域的代数曲线和曲面九、抽象代数在计算机科学中的应用9.1 密码学密码体制和加密算法公钥密码学和椭圆曲线密码学9.2 计算复杂性计算复杂性的基本概念算法的复杂性和时间复杂度9.3 程序正确性验证程序正确性验证的方法代数方法在程序验证中的应用10.1 抽象代数的主要成就抽象代数的历史和发展抽象代数的重要成就和贡献10.2 抽象代数的未来趋势抽象代数的研究热点抽象代数在数学和应用领域的未来趋势拓展阅读和学习资源推荐重点和难点解析一、集合与映射集合的基本运算：理解集合的并、交、补集等基本运算至关重要。