第六讲立体的投影

7
8
棱柱表面上取点
C’
C’’
(b’) a
b’’
a
b C
a
9
10
二、棱锥 1、 棱锥的组成
由一个底面和几个 侧棱面组成。侧棱线交 于有限远的一点——锥 顶。
11
2、 棱锥的三视图投影
Z
V
s'
如图3-3所示为一正 三棱锥，锥顶为S，其 底面为△ABC，呈水平 位置，水平投影△abc 反映实形。
的三面投影。如图所示。
Z
s’
s”
a’
X
a
b’ c’ O a”(b”)
b s
c
YH 正三棱锥的三面投影图
c” VYW s'
a' b'
X
A
a
Z
S s" W
Ca" c" s Bc b"
b
14
Y
15
3、三棱锥表面上取点1
作图步骤如下：
s’
Z
s”
m’
a’
X
2’ c’
a
s
2m
m” b’
a”(b”) b
c
YH 正三棱锥的三面投影图
m”
b’
过m’s’作圆锥表面
d” a’(b’)1” c” 上的素线，延长交底
圆为1’。
a
s
b
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。
求出M点的水平投 影和侧面投影。
31
方法二：辅助圆法
过M点作一平行与底面
的水平辅助圆，该圆的正
面投影为过m’且平行于 V

初中数学知识归纳立体形的投影和表面积初中数学知识归纳：立体形的投影和表面积在初中数学中，我们学习了许多有关几何形状的知识，其中包括立体形的投影和表面积计算。

掌握这些知识对于解决与空间有关的问题至关重要。

本文将对立体形的投影和表面积进行归纳总结，方便大家理解和记忆。

一、投影1. 平行投影平行投影是指在平行于某一方向的平面上，将一个立体形所出现的投影。

平行投影的结果是立体形在该平面上的一个简化形状。

当我们面对一个立方体或长方体时，我们可以明显地看到其平行投影是一个相同形状的图形。

2. 正交投影正交投影是指在垂直于某一方向的平面上，将一个立体形所出现的投影。

正交投影的结果是立体形在该平面上的一个简化形状。

常见的正交投影有正视图、俯视图和侧视图。

通过这三个视图，我们可以全面地了解立体形的形状和尺寸。

二、表面积1. 立方体的表面积立方体是指六个面都是正方形的立体形状。

计算立方体的表面积可以通过以下公式得出：表面积 = 6 × a²，其中a代表正方形的边长。

2. 长方体的表面积长方体是指六个面中，有两个面是正方形，其余四个面是矩形的立体形状。

计算长方体的表面积可以通过以下公式得出：表面积 = 2 ×(lw + lh + wh)，其中l、w、h分别代表长方体的长、宽和高。

3. 圆柱体的表面积圆柱体是指由一个圆和与其平行的两个相交圆周上两个点之间的曲线围成的面积与两个相交圆周所夹部分的面积共同构成的立体形状。

计算圆柱体的表面积可以通过以下公式得出：表面积= 2πr² + 2πrh，其中r代表圆柱体的底面半径，h代表圆柱体的高。

4. 圆锥体的表面积圆锥体是指由一个圆和通过圆上各点并交于一点的一系列射线围成的面积与这些射线所围空间共同构成的立体形状。

计算圆锥体的表面积可以通过以下公式得出：表面积= πr² + πrl，其中r代表圆锥体的底面半径，l代表圆锥体的斜高。

三等关系
长对正 高平齐 宽相等
主视图
Z
左视图
X
俯视图
O YW
YH
3.三视图之间的方位对应关系 3.三视图之间的方位对应关系
上 左 下 后 左 前 右 右 后 下 左 下 上 前 后 上 右 前
•主视图反映：上、下 主视图反映： 俯视图反映： •俯视图反映：前、后 •左视图反映：上、下 左视图反映：
空间分析 多个平面截切平面立体 三个平面截切棱台， 1、三个平面截切棱台，分 别为水平面和两侧平面。 别为水平面和两侧平面。 多个平面截切立体时， (c") (b") 2、多个平面截切立体时， a" 截平面之间在立体内部产生 d" 交线。 交线。 作 图 c d 假想水平面将棱台 1、先假想水平面将棱台 完全截开，求得水平投影， 完全截开，求得水平投影， 再在其上确定真正截到的 部分。 部分。 a b 补出侧面投影， 2、补出侧面投影，求出 侧面投影的截交线。 侧面投影的截交线。 补全并加深所有棱线 所有棱线。 3、补全并加深所有棱线。
求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 例1: 求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
(4′) ′ 3′ ′ 1′ ′ 2′ ′ 4″ ″
● ●
1″ ″
●
Ⅳ
2″ ″
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
●
3″ ″
4 3
●
●
●
1
●
2
交线的形状？ 交线的形状？ 截交线水平、 截交线水平、 截平面与体的 ★ 侧面投影上的 求截交线 几个棱面相交？ 几个棱面相交？ 形状？ 形状？ ★ 分析棱线的投影
• 用以截切立体的平面——截平面。 • 截平面与立体表面的交线——截交线。

制图-立体的投影-三视图教材课件
目录
• 立体投影与三视图概述 • 立体几何基础知识 • 正投影法与三视图形成原理 • 三视图绘制方法与步骤 • 三视图识读技巧与实例分析 • 计算机辅助设计软件在三视图应用 • 课程总结与拓展延伸
01 立体投影与三视图概述
立体投影基本概念
投影法
投影线
投影面
投影
用光线照射物体，在预 设的面上得到图形的方
轴测图表达复杂形体 轴测图的形成原理及种类 轴测图在表达复杂形体中的优势与局限性
拓展延伸：复杂形体表达方式探讨
01
透视图表达复杂形体
02
透视图的基本概念及种类
透视图在表达复杂形体中的效果与特点
03
拓展延伸：复杂形体表达方式探讨
01
02
03
计算机辅助设计（CAD） 在复杂形体表达中的应用
CAD技术的发展现状与 趋势
还培养了空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。同时，我也意识 到自己在学习过程中存在一些不足，如缺乏主动性和创新性等。 • 改进措施：在今后的学习中，我将更加积极主动地参与课堂讨论和实践 活动，注重培养自己的创新意识和实践能力。同时，我也会加强与同学 之间的交流和合作，共同提高学习效果。
拓展延伸：复杂形体表达方式探讨
06 计算机辅助设计软件在三 视图应用
AutoCAD等CAD软件简介
AutoCAD
AutoCAD是一款广泛应用于各个 行业的计算机辅助设计软件，具 有强大的二维和三维设计功能， 支持多种文件格式，适用于 Windows和Mac操作系统。
SolidWorks
SolidWorks是一款专注于三维设 计的CAD软件，具有直观易用的 界面和强大的建模功能，广泛应 用于机械设计、工业设计等领域。

《立体的投影》PPT课件
这个PPT课件将带您深入了解立体投影并揭示其潜在的应用领域。让我们开 始探寻令人惊叹的立体视觉世界！
引言
投影技术的前沿探索。从平面投影到立体投影，探讨技术背后的理论和应用。
平面与空间的关系
平面投影
二维空间中的投影技术，奠定了立体投影技术的基础。
立体投影的原理
立体投影基于透视原理，通过光线和材料的相互作用创造出立体效果。
探索商业界如何利用立体投影技术吸引客户，增加销售和提升品牌形象。
2
娱乐领域中的立体投影应用
介绍立体投影在电影、游戏和演艺等娱乐领域中的创新应用。
3
学术领域中的立体投影应用
展示立体投影如何促进学术研究、教育和科学发现的发展。
总结与展望பைடு நூலகம்
立体投影的未来发展趋势
展示立体投影技术的前景和未来可能的突破。
立体投影在各行业中的潜在价值
探讨立体投影在各行业中的实际应用和潜在利益。
参考文献
1 相关论文、专利和书籍
深入了解立体投影技术的研究成果和实践经验。
立体投影的种类
从体感投影到全息投影，探索不同类型的立体投影展示方式。
实用技能
拍照时的角度与光线
学会选择合适的角度和光线， 以捕捉立体投影的魅力。
选择最佳拍摄工具
挑选适合立体投影拍摄的摄影 设备和器材。
制作立体投影的工具与 方法
了解制作令人惊叹的立体投影 的工具和技巧。
应用案例
1
商业领域中的立体投影应用

⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
⑷ 圆锥面上取点
辅助直线法
辅助圆法
s●′
●s″
zk′(nz′)
n● s
zk
●(n″)kz″
3.圆球 ⑴ 圆球的形成：圆母线以它的直径为轴旋转而成。
辅助圆法
⑵ 圆球的三视图
z
⑶ 轮廓线的投影与曲面可见性的判断
k′
zk″
⑷ 圆球面上取点
kz
6.3 简单组合体的三视图
例：画出所给叠加组合体的三视图。 肋板
立板
分解形体 叠加方式
底板
投影作图 • 分块画图 ①底板
②立板
③肋板
6.3.3 、已知两视图，求作第三视图。 ⒈ 分析投影，想象出物体的形状。 ⒉ 根据投影规律及“三等”关系，画出第三视图 圆柱轮廓素线
㈠ 投影分析
⒈ 视图上图线的意义 ① 一个平面的投影 ② 面与面的交线 ③ 回转体轮廓素线的投影
1）.视图的概念
视图就是将物体向投影面投射所得的图形。 主视图 —— 体的正面投影 俯视图 —— 体的水平投影 左视图 —— 体的侧面投影
2）.三视图之间的度量对应关系（三等关系）
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
宽 高
长
宽
长对正 高平齐 宽相等
3）.三视图之间的方位对应关系 上
6.3.1 、组合体的基本形式及投影特点
重点分析以下几个问题： • 组合体的组成——由哪些基本体组成 • 这些基本体的形状和位置 • 基本体之间的叠加形式
6.3.2 、组合体的画图 形体分析法： 根据叠加体的形状，将其分解成若干部分，弄清各部分的形状和它们的相对位
置及组合形式，分别画出各部分的投影。

a' X
S
s"
棱面△SAB、 △SBC源自棱锥处于图示位W置时，是其一底般面位置平面，它们
b' A a
ABC是水平面，在俯视图的上各反个映投影均为类似形。 实两形个s。侧侧 棱棱面B Cc面为ca""S一A般bC"为位侧置垂平其为面。棱侧一，面面直另△投线S影。AsC”a为”c侧”重垂影面，
b
Y
正三棱锥的投影
a’b’的直线2’3’，它
们的水平投影为一直径等
于2’3’的圆，m在圆周
上，由此求出m及m”。
a’
X
Z
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
圆锥的三面投影图
32
s’
2’ m’ a’
3’
b’ d”
a2
s 3b
m
s” 已知圆锥面上M点
的水平投影m，求出 其m’和m”。 m”
（3）圆环表面取点
k’’ k’ k
41
m'
（n'）
（n）
m
42
43
连接s’m’并延长， 与a’c’交于2’，
在投影ac上求出 Ⅱ点的水平投影2。
c”
连接s2，即求出
YW 直线SⅡ的水平投影。
根据在直线上的 点的投影规律，求出 M点的水平投影m。
再根据知二求三 的方法，求出m”。
16
作图步骤如下：
s’
s”
1’ m’ a’
c’ a
1
s m
b’ a”(b”)

S
c C
1、在棱锥表面取点
例1 已知点K及无名点的正面投影，求其余两面投影。
s' s”
作图： (1)求取过K 直线SM 的投影 ;
k” ( )
k'
n'
(2)按投影规律找到k 和k” ;
b”
a' m' a
b' s n
a” c' (c”)
c
(3)过无名点正面投影做一 平行线，并求取其水平投影； (4)根据投影规律找到无名 点的水平投影和侧面投影； (5)第二种可能性。
(4)求点Ⅰ和点Ⅱ的水平投影；
a g f 1 s 3 b h 2 c
(5)判断可见性并连线。
三、平面与平面立体表面的交线 概述：
截交线：平面与立体表面的交线。 截平面：用于截切立体的平面。 截断面（断面）：由截交线围成 的平面图形。 截交线的性质： 1.闭合性 2.共有性
Ⅲ Ⅰ Ⅱ
截平面 截交线
截断面
2017/9/27
作业

习题集：4-1（5）、4-1（7）
YH
(5)画后棱面△SAC 的三投影。
2.投影分析
s'
Z
s”
(1)底面△ABC ：一个三角形、 两条直线。(水平面) (2)左棱面△SAB ：三个三角 形。(一般位置平面)
a' X a s b
b'
c' c
a” O (c”)
b” YW
(3)右棱面△SBC ：三个三角 形。(一般位置平面) (4)后棱面△SAC ：两个三角 形、一条直线。 (侧垂面) 注意： 一个粗实线封闭的线框，表 示一个面的投影，通常又是多个 表面的重影。
平面立体：表面全是平面的立体。 曲面立体：表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体。

数学知识点归纳立体形的投影与视数学知识点归纳——立体形的投影与视在空间几何中，立体形是三维物体的统称，它可以通过投影与视的方式来呈现在二维平面上。

本文将对立体形的投影与视这一数学知识点进行归纳与探讨。

1、立体形的投影立体形的投影是指将三维物体在某个方向上的投射到二维平面上形成的图像。

投影的方式有平行投影和透视投影两种。

1.1 平行投影平行投影是指沿着平行于某个方向的光线，将立体形的各个顶点投影到一个平行于该方向的平面上。

它主要包括正交投影和斜投影两种形式。

1.1.1 正交投影正交投影是指光线与投影面成直角，投影的结果是各个边在投影面上的长度等于在立体形上的长度。

常见的正交投影有平行线投影和垂直投影。

1.1.2 斜投影斜投影是指光线与投影面不成直角，投影的结果会造成边在投影面上的长度与在立体形上的长度不一致的情况。

斜投影可以通过旋转、倾斜等方式来实现。

1.2 透视投影透视投影是指从视点出发，通过透视原理将立体形的各个顶点投影到视平面上形成的图像。

透视投影呈现出的图像更符合我们在现实世界中的视觉感受，在绘画、建筑等领域中得到广泛应用。

2、立体形的视立体形的视是指我们观察三维物体时，从不同的方位和角度所产生的视觉效果。

在数学中，常用的视包括俯视和仰视。

2.1 俯视俯视是指我们从物体上方往下看的视角。

在俯视下，上部分的面积变小，下部分的面积变大，物体的高度相对较小。

这种视角常用于描述建筑物的平面布局、地图等。

2.2 仰视仰视是指我们从物体下方往上看的视角。

在仰视下，上部分的面积变大，下部分的面积变小，物体的高度相对较大。

这种视角常用于描述建筑物的立面图、人物的立绘等。

3、应用举例立体形的投影与视在现实生活中应用广泛，以下举几个例子来说明：3.1 建筑设计在建筑设计中，通过对建筑物的投影与视进行分析与规划，可以帮助设计师更好地把握建筑物的形态、比例和空间布局，提高设计质量和效果。

3.2 工程制图在工程制图中，通过对工件的各个侧面进行投影与视的呈现，可以清晰地展示工件的结构、尺寸和特征，有助于制造工艺的分析与评估。

如图所示 , 四棱柱中间的切槽是由两个侧平面和 一个水平面切割而成。 一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面 它与四棱 平面Ⅰ为侧平面,它与四棱 柱侧面的交线为两条铅垂线 AA1,BB1。 。 平面Ⅱ为一水平面,它与 平面Ⅱ为一水平面 它与 四棱柱侧面和侧平面的交线共 同围成一六边形。 同围成一六边形。 作图时 , 先作反映切口特 征且具有积聚性的正面投影 , 然后补画其它两面投影。 然后补画其它两面投影。
作图: 作图
1
a) 直观图
b) 投影图
(2) 棱柱表面上点的投影
由于棱柱的表面都是平面， 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在 表面都是平面 平面上取点的方法相同 的方法相同。 平面上取点的方法相同。
A M D
B
C
a) 直观图 图 正六棱柱表面取点
已知六棱柱表面上点M的正面投影 的正面投影m'，求其另两面投影， 例1 已知六棱柱表面上点 的正面投影 ，求其另两面投影， 并判别可见性。 并判别可见性。
采用什么 方法？ 方法？ 平面上作辅助线
作图方法1 作图方法
n″ N a' n′
s' m″ a" (c")
s"
n′
(m′) ′ b' c'
n″ b"
a n
m s n b
c
a) 直观图
b) 投影图 图 三棱锥表面取点
作图方法2: 作图方法
s' n′ n′ n″ N a' b' c' a" (c") n″ b" s"
四棱锥被正垂面切割， 四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条线， 一条线，水平投影侧面 投影小于实形的类似形 四棱锥被水平面切割， 四棱锥被水平面切割，截 交线应是平面多边形， 交线应是平面多边形，其 水平投影反映实形。 水平投影反映实形。侧面 投影是一条线。 投影是一条线。

识图立体的投影教案教案标题：识图立体的投影教案目标：1. 学生能够理解和应用识图立体的投影概念。

2. 学生能够通过练习和实践，熟练地绘制和解读识图立体的投影。

教案步骤：引入：1. 通过展示一些日常生活中的立体物体的图片，引起学生对于立体物体的注意和兴趣。

2. 引导学生思考和讨论，立体物体在平面上的投影是什么样的形状。

讲解：1. 介绍识图立体的投影的概念和意义，解释立体物体在平面上的投影是其在平行于平面的投影面上的映射。

2. 解释不同角度和位置观察立体物体所得到的投影形状会有所不同。

3. 通过示例和图示，讲解正交投影和斜投影两种常见的投影方法。

练习：1. 分发练习题，要求学生根据给定的立体物体图形，绘制其在平面上的投影。

2. 引导学生观察和分析不同角度和位置观察立体物体所得到的投影形状的变化规律。

3. 组织学生进行小组讨论，分享彼此的投影绘制方法和经验。

拓展：1. 引导学生思考和讨论，立体物体的投影在实际生活中的应用，如建筑设计、工程制图等领域。

2. 鼓励学生自主探索和研究其他投影方法，如透视投影等。

总结：1. 总结识图立体的投影的概念和方法。

2. 强调练习和实践的重要性，通过不断绘制和解读投影图形，提高学生的技能和理解能力。

教学资源：1. 立体物体的图片和模型。

2. 投影练习题。

3. 投影绘制工具，如铅笔、直尺、量角器等。

评估方式：1. 观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 检查学生完成的练习题，评估其对于识图立体的投影的理解和应用能力。

教案扩展：1. 将识图立体的投影与其他几何概念结合，如平行投影、相似性等。

2. 引导学生应用识图立体的投影概念，解决实际问题，如计算建筑物的投影面积、体积等。

其实质是求其公共点。
求平面与回转体截交线的一般步骤：
⒈ 空间及投影分析
分析回转体的形状以及截平面与回转体轴 线的相对位置，以便确定截交线的形状。
分析截平面与投影面的相对位置，明确截 交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
判断可见性
［例2］求铅垂线AB与圆锥的贯穿点 。
判断可见性
3.2 利用辅助平面法பைடு நூலகம்贯穿点
［例1］直线AB 与三棱锥相交， 试求其贯穿点。
判断可见性
［例2］直线AB与圆球相交，试求贯穿点。
判断可见性
[例3］直线AB与圆锥相交，求其贯穿点。
判断可见性
［例4］直线AB与斜椭圆柱相交，求其贯穿点。
［例３］已知斜三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ投影。
［例４］已知正三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ、Ｗ投影 。
1.2 立体表面上的点、线
［例５］试求三棱
锥ＳＡＢＣ所属点 Ｋ（ｋ′已知）的
水平投影 。
已知：立体表面上的点A（a′已知）、B（b′已知）
求：其余两投影。
［例６］已知位于三棱锥表面上的线的水平投影为
直线段ｍｎ，试求其正面投影。
* 先找特殊点，补充中间点。
* 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。
2.2.1 利用积聚性求截交线
［例１］试求平面λ与圆柱的截交线。
截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线的 W投影为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而
变化。
［例２］圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ投 影，试求Ｈ、Ｗ投影 。
［
例
２
］
圆若试
解题步骤