北邮概率统计课件2.3随机变量的分布函数

P { 0 X 2} 2 2 k ,
但已知P{0 X 2} 1, 故得 k 1 4 , 即
x2 P {0 X x } 4
于是
2 x F ( x ) P { X x } P { X 0} P {0 X x } . 4
2019/2/22
1 1 1 P( X ) F ( ) 2 2 3
P ( X xk ) 0 这与后面介绍的连续型随机变量中的情形是有区 别的。在连续型随机变量中： P( X xk ) 0
概率统计
二. 离散型随机变量的分布函数 一般: 若离散型随机变量X的分布律为:
P( X xk ) pk
1 F ( x ) P{ X x } P { X 0} pi ; 8 xi 0 当1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P { X 0} P { X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 x i 1
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概率统计
北邮概率统计课件
当 2 x 3时,
o

1

2

3

x
F ( x ) P{ X x }
P { X 0} P { X 1} P { X 2} 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,
p
xi 2
i
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P { X 2} P { X 3} pi 1.
0
1 3
1
1 6
2
1 2
求: (1) X的分布函数 解:
1 3 3 (2) P ( X ), P (1 X ), P (1 X ) 2 2 2

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

解：设X表示被盗索赔的人数，则X～B（90，0.1） 由于p 相对n 较小，用泊松定理计算
n p9 00.19
P (X 5 ) 1 P ( 0 X 5 )
1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 ) P (X 3 ) P (X 4 )查泊松分布表
1 0 .00 0 .0 01 0 0 2 .1 03 1 0 0 1 .4 11 9 4 0 .0 9 93 8 9
0.5065
4. 超几何分布
离散型随机变量X的概率分布为：
P (Xk)C M kC C N n N n k M (k0,1,,n)
则称X服从参数为N，M，n的超几何分布。
[注]（1）当 nM或 nNM时，随机变量X
取值另论； (2)组合的性质
n
C C k nk M NM
CNn
k0Βιβλιοθήκη （3） kn 0P (Xk)kn 0C M kC C N n N n k MC C N N n n1
定理2 超几何分布以二项分布为极限。
即，固定 n，当N, Mp 时，有 N CM kC C N n N n kM N Cn kpk(1p)nk
[注] 对于超几何分布，当N较大，而 n相对于
N较小时，常用二项分布来逼近超几何分布。
例3 一大批种子的发芽率为90%，从中任取 10粒，求播种后恰好有8粒种子发芽的概率。
解：设X表示发芽的种子数， 则X服从超几何分布。
由于大批种子N相对抽取的种子数n较大，则 X 近似服从二项分布B（10，0.9），
P (X 8 )C 1 80 0 .9 8 0 .1 2 0.1937
§2.3 随机变量的分布函数
一、基本概念
定义1 设 X 是一个 随机变量，如果对于xR

4 5 4 5 5 5 0
0.98
2013-8-9
概率统计
北邮概率统计课件
(2). 二项分布 若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数， 它的分布 律为：
k Pn (k) Cn pk(1 p n k )
k ,2 0,1
n
则称 X 服从参数为 n, p (0<p<1) 的二项分布，
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概率统计
北邮概率统计课件
2 贝努利概型: 设随机试验 E 只有两种可能的结果
P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1)
且在每次试验中 A与A 出现的概率 为：
0 .
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型. 例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
Pk
0
...
n=10,p=0.7
n
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当(n+1)p为整数时 概率P(X=k) 在k=(n +1)p 和 k=(n+1)p-1处 达到最大值.
Pk
.. 0
.. n
n=13,p=0.5
当 (n+1)p 不为整数时，概率 P(X=k) 在 k=[(n+1)p] 达到最大值
p p p (1 p)(1 p) (1 p) p (1 p)
k k n k
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n k
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由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
k Cn 种不同的发生方式. 在哪 k 次发生,所以它应有

kx 1, f (x) 0,
0 x 2, 其他,
求系数k及分布函数F(x),并计算P(0.5<X<2).
解： f (x)dx 1 k 1
2
0,
x 0,
F ( x)
x2 4
x,
0 x 2,
1,
x 2;
79
P(0.5 2021/3/12
X
2)
F(2)
F (0.5)
1 16
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31
例11. 设测量某一目标的距离时发生的误差 X(米)的概率密度为
f (x)
1
( x20)2
e 3200 , ( x )
40 2
求三次测量中至少有一次误差的绝对值 不超过30米的概率。
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32
解：X~N(20,402)
P( X 30) (30 20) ( 30 20)
16
解：(1)
x
Ce 100dx
0
x
[100Ce 100 ]
0
100C
1
C 0.01, X ~ E(0.01)
(2) P( X 100) 1 F(100) 1 (1 e0.01100)
e1 0.3679
(3) P( X 300 X 200) P( X 300, X 200)
0.6853
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30
例10. 设X～N(μ, σ2),求:
P( X k )
P( k X k )
P( X k) P( X k)
(k) (k) 2(k) 1
P( X ) 0.6826
P( X 2 ) 0.9544
P( X 3 ) 0.9974 ——3σ原则

4
(1, 5)
0 其它
求 X 的分布函数
y
解 当x1时
x
F (x) f (x)dx
0 1 2345 x x
当1 < x 5 时F (x)
x
f (x)dx
1
f (x)dx
x
f (x)dx


1
0 x 1 dx 1 (x 1)
14
（2)X 的密度函数
(1) P(0.3 X 0.7) F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
（2）密度函数为
f
(x)

F(x)


2x 0
0 x 1 otherwise
例：已知密度函数求分布函数
已知连续型随机变量X的概率密度为
1
f
(
x)

随机变量的分布函数
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F(x) P(X x)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个
普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
解
X的概率密度
3 e3x x 0 f (x)
0 x 0
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
P(X 1)

f (x)dx
3e3xdx e3
1
1

表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32

抛硬币实验
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为

离散型随机变量的定义与性质
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内取有限个值的随机变量，通常用X表示。
离散型随机变量的性质
离散型随机变量具有可数性、可加性和可逆性等性质。
常见的离散型随机变量及其分布函数
二项分布
如果一个随机试验只有两种可能的结果，并且这两种结果发生的概率是已知的，那么这种 随机试验的结果就是一个二项随机变量。其分布函数为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)， 其中n是试验次数，k是成功的次数，p是成功的概率。
PART 03
连续型随机变量及其分布 函数
连续型随机变量的定义与性质
连续型随机变量的定义
如果一个随机变量X的所有可能取值是实 数轴上的一个区间或几个互不相交的区 间，则称X为连续型随机变量。
VS
连续型随机变量的性质
连续型随机变量具有连续性、可加性、可 数性和独立性等性质。
常见的连续型随机变量及其分布函数
PART 04
随机变量的函数及其分布
随机变量的函数的定义与性质
定义
随机变量的函数是指对随机变量进行某种运 算后得到的新随机变量。
性质
随机变量的函数具有一些重要的性质，如线 性性质、单调性、可逆性等，这些性质在概
率论与数理统计中有着广泛的应用。
随机变量的函数的期望与方差
要点一
期望
要点二
方差
随机变量的函数的期望是指该函数取值的平均值，计算公 式为E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx（X为随机变量，f(x)为概率密度 函数）。
性质
分布函数具有非负性、规范性（即F(x)>=0,且F(+∞)=1）、单调不减性（即对于任意x1<x2，有F(x1)<=F(x2)） 。

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即
0, 1 , 3 F ( x) 1 , 2 1,
x0 0 x 1 1 x 2 x2
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X≤x} ( -∞< x <∞ )
为随机变量X的分布函数。 利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率
P{X≤b}=F(b) P{X>a}=1- P{X≤a}=1-F(a)
P{a X b} P{X b} - P{X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }
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结束
作业： 50页
3, 8
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§2.3
随机变量的分布函数
二、性质 设随机变量X的分布函数为F(x), 则
（1）0≤F(x)≤1 ( 2 ) F (-) lim F ( x) 0,
x -
F () lim F ( x) 1
x
（3）F(x)是x的单调的不减函数； （4）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续函数。 例1. 设X的分布函数为F ( x) A B arctan x (- x ) 求（1）常数A、B；（2） P{ X 0}, P{ X 1}, P{0 X 1} 解； （1）由分布函数的性质知 (-) 0, F () 1 得 F . A - B 2 0 解得 : A 1 , B 1 2 A B 1 2