杆及杆系的内力及内力图

内力仍可按变形前的原始尺寸来计算。这就是所谓的原始尺寸原理。
end
图中的坐标原点为截面形心, x轴沿杆的轴线并和截面的外向法线同 向，y轴和z轴则分别是截面的形心主惯轴。 内力：
N 引起拉伸或压缩变形,称轴力; Mn 引起扭转变形,称扭矩; Qy和Qz 引起剪切变形,称剪力; My和Mz引起弯曲变形,称弯矩。
0 x1 a 0 x1 a a x2 l
a x2 l
(3)按上述表达式在x 的定义域内作图，即得所求的剪力图和弯矩图，如 图(c)所示。
end
需要指出的是：按照某些工程习惯，常要求弯矩图画在 梁的受拉一侧，以提醒某些脆性材料性材料的梁(如混凝土梁) 常因受拉破坏而需在该侧配置钢筋。
Q2 RA m / l
(a x1 l)
M2 RA x2
m / l x2 m
a x2 l
end
例4-3 作图示的简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。
解：
q
1 Q1 RA qx 2 ql qx
A x
B
l
(0 x l)
M
RAx
1 2
qx2
ql 2
1 qlx 1 qx2 (0 x l)
(M
dM
)
0
在上式中略去二阶微量后，得：dM Qdx
所以 dM / dx Q
(4-5)
d 2M / dx2 q
(4-6)
q(x)
P
m
x
dx
(a)
q(x)
M
M+dM
Q
Q+dQ
dx
(b)
以上三式即为梁核所作的Q 、M 图是否正确；
熟练地掌握后，也可在求出反力后，直接利用此关系方便地作出梁的 内力图来。
目的：研究杆及杆系在外力作用下杆截面内力大小及其 沿杆轴的变化规律，由此作出其内力图。
要求：掌握内力图的特性，并能利用内力间的微分关系， 正确而熟练地作出固定荷载作用下的内力图；了解 在移动荷载作用下杆的某截面上内力的变化规律, 为以后的强度和刚度计算作准备。
退出
4-1 作用于杆件横截面上的内力·截面法·杆的基本变形形式 4-2 直梁平面弯曲时的内力及其符号规定 4-3 剪力图和弯矩图弯矩 、剪力 、荷载集度间的微分关系 4-4 叠加法作内力图 4-5 刚架的内力图 * 4-6 三铰拱的内力及其合理轴线 4-7 轴的扭矩图·功率N、转速n和外力偶矩m间的关系 *4-8 杆件系统在空间受力时的内力 *4-9 移动荷载下的内力计算 • 影响线 • 包络图
l/2
ql
22
2
1 ql2 8
end
2.弯矩M 、剪力Q 、荷载集度q 间的微分关系
任取一梁，受载如图a所示。设x 轴指向右为正，q(x) 向下为正。
由微段的平衡可得：
Y 0 Q qdx (Q dQ) 0
所以 m 0,
dQ qdx
(4-4)
dQ / dx q
M
Qdx
1 2
q(dx)2
如按截面的右段来算，
Q’ =－RB ＋P=P/3
(c)
M’ =RB∙3a/2－P(3a/2－a)=Pa/2 (d)
end
由此可见：如果截面上的内力按大小相等、方向相反成对地加予 假定，则不论从截面的左边算，还是从截面的右边算，结果都是一样 的，即不但内力的数值相等，而且符号也相同。
为了便于以后的分析、计算和作图，今后我们对内力的符号也就成 对地加予规定，通常是按其所引起的变形方式来规定
而按前述梁的弯矩符号规定是：使梁的下侧纤维受拉的 弯矩为正，所以考虑到上面的习惯后，梁的正弯矩就应画在 梁轴线的下侧，亦即弯矩图中的纵坐标是以向下者为正。
end
例4-2 试作图示的梁在集中力偶m 作用下的剪力图和弯矩图。
解：
Q1 RA m / l
(0 x1 a)
M1 RA x1 m / l x 0 x1 a
退出
4-1 作用于杆件横截面上的内力·截面法·杆的基本变形形式
为显示并计算杆中的内力，可用截面法，其步骤为： (1)在欲求内力处假想地用一截面将杆切开，分为两部分，并丢去
其中的一部分； (2)将丢去部分对留下部分的作用，用一组内力来代替； (3)对留下部分建立平衡方程，即可由已知的外力求出欲求的内力。 需要指出的是：在一般工程中，杆的变形常极微小，所以，杆的
由此求得的内力将分别对应于 杆的某一种基本变形：
拉伸、压缩、剪切、扭矩、弯曲
end
4-2直梁平面弯曲时的内力及其符号规定
试求图所示梁中C 截面处的内力。 由梁的平衡得：RA=P/3 ; RB =2P/3 由梁的左段平衡得：
Q=RA =P/3
(a)
M=RA∙3a/2=Pa/2
(b)
受力平面和变形平面相重合的 弯曲，称为平面弯曲
回到求梁内剪力和弯矩的表达式(a)，(b)，(c)，(d)中来，我们 可看到，所列表达式表明： 截面上的剪力即等于截面一边所有外力在垂直于梁轴方向投影的代数和； 截面上的弯矩即等于截面一边所有外力或外力偶对截面形心的力矩的代数和。
end
表达式内各项前的正、负号，可根据各外力或外力偶矩所引起的 变形，参照图(b)，图(c)来决定。
当杆内有轴力时，则截面上的轴力N ，也可用类似的方式写出为：
N=∑Pix
(4-3)
即 截面上的轴力等于截面一边所有外力在轴线方向投影的代数和。
end
4-3 剪力图和弯矩图 弯矩M 、剪力Q 、荷载集度q间的微分关系 1.剪力图和弯矩图 内力沿长度变化的图形即称内力图。对平面弯 曲的梁来说，主要的就是剪力图和弯矩图。 下面就来说明其作法，并由此可看出其若干特点。
上述两句话，也可简单地用式子表达如下：
Q=∑Pi y
(4-1)
M=∑mc(Py)
(4-2)
式中i为截面一边的外力(或外力偶)数，Pi 代表广义力,它既可以 是集中力P，也可以是分布荷载q或集中力偶m。
这样，今后我们求任一截面上的内力时，就可直接由截面一边上 的外载按上式写出，而不必再用原始的截面法了。
end
例4-1 试作图a所示简支梁的剪力图和弯矩图。
解： (1)求反力，得： RA Pb / l RB Pa / l
(2) 分段列出梁的剪力和弯矩表达式：
Q1 RA Pb / l
M1 RAx Pb / l x
Q2 RA P Pa / l
M 2 RAx2 Px2 a Pb / lx2 Px2 a