n
与δ(n)的关系 的关系
δ ( n ) = u ( n ) = u ( n ) u ( n 1)
0, n < 0 u ( n ) = ∑ δ (i) = i = ∞ 1 , n ≥ 0
n
0, n < 0 u (n) = ∑ δ (n m ) = m =0 1, n ≥ 0
∞
h ( n ) = g ( n ); g(n)
2 x(n)=[x(n)]=[x(n+1)-x(n)] =x(n+2)2x(n+1)+x(n)
后向 右移)差分 x(n)=x(n)-x(n-1) 后向(右移 差分 右移 差分:
2x(n)=[x(n)]= x(n)- x(n-1) =x(n)-2x(n-1)+x(n-2)
3 2
序列x(n)累加: 累加: 序列 累加
3. 常用典型序列及其特性
1 , ⑴ 单位脉冲序列: δ ( n ) = 0 , 单位脉冲序列: 1 , δ (n m ) = 0 , δ(n) δ(n-m) n = 0 n ≠ 0 n = m n ≠ m
m
①取样特性
∞
x(n)δ(nm) = x(m)δ(nm)
n = ∞
∑ x ( n )δ ( n m ) = x ( m )
⑵序列的相加与相乘:同序号的数值相 序列的相加与相乘: 加或相乘 ⑶序列的时间尺度变换
– x(an)表示 表示x(n)的时间尺度被缩放,注意变量 的时间尺度被缩放, 表示 的时间尺度被缩放 应为整数
例 已知序列 x(n)如图示,求x(2n)和x(n/2) 如图示, 如图示 和 的波形 x (n) 2 1 n
连续与离散时间系统的比较
连续时间系统 微分方程描述; 微分方程描述; 微分(积分 , 微分 积分), 积分 乘系数,相加; 乘系数,相加; R,L,C 元件连 , , 离散时间系统 差分方程描述; 差分方程描述; 延时(移位 , 延时 移位), 移位 乘系数,相加; 乘系数,相加; D × ∑ 部件
-3
1
z (n) =
K = ∞
∑ x(k )
n
-2 2
3
序列x(n)的能量: 序列x(n)的能量: 的能量
E =
n = ∞
∑
∞
x(n)
2
-2
-3
⑸ 序列的分解 ① 分解为偶序列和奇序列 x(n)= xe(n)+ xo(n) 其中 xe(n)=(1/2){x(n)+x(-n)} xo(n)=(1/2){x(n)-x(-n)} ②分解为实序列和虚序列 x(n)= xR(n)+ jxI(n)
已知离散时间系统如图示, 例2 已知离散时间系统如图示,写出 系统的差分方程. 系统的差分方程.
y(n+1 =ayn)+x(n) x(n) ) (
∑ a
D
y(n)
1 y (n ) = [ y ( n + 1 ) x ( n )] a
– 一阶前向差分方程;可利用迭代方法求解 一阶前向差分方程;
已知梯形网络电阻为R, 例3 已知梯形网络电阻为 ,结点电压为 v(n), n=0, 1, …,N,试写出第 个结点电压 , ,试写出第n个结点电压 v(n)的差分方程. 的差分方程. 的差分方程 V(N-1) v(N)
③分解为延迟的单位脉冲信号加权和
x(n) =
m = ∞
∑
∞
x ( m )δ ( n m )
x ( n ), m = n ∵ x ( m )δ ( n m ) = 0 , m ≠ n x ( n ) = { 1 , 0 , 1 , 2 ,1 , 3 }
n=0
x(n) = δ (n + 3) δ (n + 1) + 2δ (n) + δ (n 1) + 3δ (n 2)
=
i = ∞
∑
n
h (i)
⑶指数序列
x(n)=anu(n): |a|>1时,序列发散, |a|<1时, 序列收敛,a>0, 序列取正值, a<0, 序列 在正,负摆动
anu(n) a>1 anu(n) 0<a<1
anu(n)
a<-1
anu(n)
-1<a<0
4. 正弦序列
x(n)=sin(nω0)
i=∞
∑x(i)u(n i) = ∑x(i)
i=∞
n
n
典型序列的求和
i = ∞
∑
n
0, n < 0 δ (i) = = u (n ) 1, n ≥ 0
i = ∞
∑
n
n
u (i) = (n + 1)u (n )
i = ∞
∑
2
1 iu ( i ) = n (n + 1 )u ( n ) 2
1 ∑ i u ( i ) = 6 n (n + 1 )( 2 n + 1 ) u ( n ) i = ∞
单边序列: N1≤ n≤N2 单边序列: – 右边序列:n≥N1, x(n)有值 n<N1 ,x(n)=0 右边序列: 有值, 有值 – 左边序列:n≤N2 , x(n)有值 n>N2 ,x(n)=0 左边序列: 有值, 有值 – 因果序列: N1≥0的单边序列 因果序列: 的单边序列 – 反因果序列: N2 ≤ 0的单边序列 反因果序列: 的单边序列
例2 已知 已知y(1)=1,y(2)=1,求解方程 求解方程 y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 解: 对于一般 N 对于一般 a k y (n 齐次方程 k=0 其齐次解为
∑
k) = 0
N n i
C α + C 2α + + C N α = ∑ Ciα
离散序列所描述的事物: 离散序列所描述的事物:
– 离散事件 – 模拟抽样
2. 序列的变换和运算
⑴ 序列的位移与翻转
– x(n±m):表示序列左右位移 ± : – x(-n):表示 :表示x(n)相对于纵轴翻转 相对于纵轴翻转 – x(-n±m):表示x(n)相对于纵轴翻转后位移 ± :表示 相对于纵轴翻转后位移
为激励, 为响应, 例 设x(n)为激励 y(n)为响应 判断下面 为激励 为响应 的激励与响应是否为线性和时不变? 的激励与响应是否为线性和时不变
(1) y(n)=2x(n)+3 在y(n)中, yzi(n)=3, yzs(n)=2x(n),只有 中 , 零状态响应y 与输入有关. 零状态响应 zs(n)与输入有关. 与输入有关 当激励为 1(n)+bx2(n)时,响应为 当激励为ax 时 2[ax1(n)+bx2(n)]= ay1(n)+by2(n); 当激励为 当激励为x(n-n0)时,响应为 时 2 x(n-n0) +3=y (n-n0) . 故是线性时不变的. 故是线性时不变的.
6.差分方程的求解 6.差分方程的求解
1. 差分方程:常系数线性差分方程 差分方程:
∑ a y(n k ) = ∑b x(n r)
k =0 k r =0 r
N
M
式中:a, b—常系数, M, N—移位与方 式中: 常系数, 移位与方 常系数 移位与 程阶次
2. 求解差分方程的方法 ⑴ 迭代法:概念清楚,计算简便,但无 迭代法:概念清楚,计算简便, 闭式解答; 闭式解答; ⑵ 时域经典法:先求齐次解和特解,再 时域经典法:先求齐次解和特解, 代入求系数,物理概念清楚,但烦琐; 代入求系数,物理概念清楚,但烦琐; ⑶ 零输入与零状态法:由求齐次解 零 零输入与零状态法:由求齐次解→零 输入响应,卷积和→零状态响应 零状态响应; 输入响应,卷积和 零状态响应; ⑷ z 变换法:简便而有效; 变换法:简便而有效;
第三章 离散时间系统的 时域分析
要点: 要点: 离散时间信号的时域分析 离散时间系统的时域分析 离散系统的数 离散时间系统的时域分析—离散系统的数 学模型与差分方程求解, 学模型与差分方程求解,单位序列响应 卷积和与去卷积(解卷积) 卷积和与去卷积(解卷积)
§3.1. 离散时间信号的时域分析 1. 离散时间信号的时域描述
包络是周期正弦, 序列本身未必周期 判断周期性:
1 s in (n ω ) 0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
- 0 .2
- 0 .4
- 0 .6
- 0 .8
-1 -6
-4
-2
0
2
4
6
sin(nω0)= sin(ω0(n+N)), 只有当 ω0N =2πm时 或者N=(2π/ω0)m为整数 (即2π/ω0为整数) 时, sin(nω0)才是周期序列.选择m使N取最 小整数即为基波周期
-4 -2 0 2 4
x (2n) 2 1 n
-2 0 2 -6 -4 -2 0
x (n/2)
2 1
2 4 -6
⑷ 序列的差分与累加:差分 微分,累加 序列的差分与累加:差分→微分 微分, →积分, 积分, 积分 前向 左移 差分 前向(左移 差分:x(n)=x(n+1)-x(n) 左移)差分
已知离散时间系统如图示, 例1 已知离散时间系统如图示,写出 系统的差分方程. 系统的差分方程.
∑ x(n) a
D
y(n)
y(n) = ay(n 1) + x(n) y(n) ay(n 1) = x(n)
– 常系数线性差分方程 递归关系式 常系数线性差分方程(递归关系式 递归关系式) – 后向(或右移 差分方程;前向 或左移) 差分方程 后向 或右移) 差分方程 前向(或左移 或右移 前向 或左移
3. 举例 例1 已知 x(n)=δ(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程: 用迭代法解方程: δ
