重庆大学《841信号与系统》Chapter 2
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重庆大学《841信号与系统》通原思考题简
思考题第1章1. 如何评价模拟通信系统及数字通信系统的有效性和可靠性?1-2 通信系统是如何分类的？1-3 何谓数字通信？数字通信的优缺点是什么？1-5 试画出数字通信系统的一般模型，并简要说明各部分的作用。
1-6 衡量通信系统的主要性能指标是什么？对于数字通信具体用什么来表述？1-7 何谓码元速率?何谓信息速率?它们之间的关系如何?第3章2.1 判断一个随机过程是广义平稳的条件？2.2 平稳随机过程的自相关函数具有什么特点？2.3 窄带高斯噪声的三种表示方式是什么？2.4 窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”、“白”的含义各是什么？2.5 高斯过程通过线性系统时，输出过程的一维概率密度函数如何？输出过程和输入过程的数字期望及功率谱密度之间有什么关系？3-1 什么是高斯型白噪声？它的概率密度函数，功率谱密度函数如何表示？3-2 什么是窄带高斯噪声？它在波形上有什么特点？它的包络和相位各服从什么分布？3-3 窄带高斯噪声的同相分量和正交分量各具有什么样的统计特性？3-4 正弦波加窄带高斯噪声的合成波包络服从什么概率分布？第4章4-1 什么是狭义信道？什么是广义信道？4-2 在广义信道中，什么是调制信道？什么是编码信道？4-3 信道无失真传输的条件是什么？4-4 恒参信道的主要特性有哪些？对所传信号有何影响？4-5 随参信道的主要特性有哪些？对所传信号有何影响？4-6 什么是相关带宽？相关带宽对于随参信道信号传输具有什么意义？4-7 信道容量是如何定义的？香农公式有何意义？第5章1、什么是门限效应？哪些模拟调制在什么情况下会出现门限效应？2. 若宽带调频信号的基带信号最高频率增大一倍，则调频信号带宽增大多少3. 试用香农公式说明FM 系统的抗噪能力优于AM 系统。
FM 信号带宽B FM =2(Δf+f H )远大于AM 信号带宽B AM =2f H ，根据香农公式C=Blog 2)1(0Bn S ，当0n S 0相同时，信道容量C 随信号带宽B 的增大而增大。
信号与系统2-2
试求其冲激响应h(t)。 试求其冲激响应 。 先求出方程的特征根： 解：先求出方程的特征根：λ1 = −1, λ2 = −2 冲激响应的形式为： 冲激响应的形式为：
′(t ) + B0δ (t ) + (C1e − t + C2 e −2 t )ε (t ) h(t ) = B1δ
对上式求导， 对上式求导，得：
长江大学电信学院
第二章第2讲
11
Signals And systems
例 2.8
方法二： 方法二：用间接求解法
根据系统的非时变性质，系统的冲激响应为： 根据系统的非时变性质，系统的冲激响应为：
′ ′ h(t ) = h0′′(t ) + 4h0′(t ) − 5h0 (t )
= −5(e − e )ε (t ) + 4(e − 4e )ε (t ) + 4δ (t ) + δ ′(t )
− a0 t
第二章第2讲
长江大学电信学院
2
Signals And systems
冲激响应
直接求解法
若一阶系统为
y′(t ) + a0 y (t ) = b1δ ′(t ) + b0δ (t )
冲激响应为： 冲激响应为：
h(t ) = Bδ (t ) + C e ε (t )
− a0 t
′(t ) + C e − a0 tδ (t ) − Ca0 e − a0 t ε (t ) + a0 Bδ (t ) + a0C e − a0 t ε (t ) Bδ = b1δ ′(t ) + b0δ (t )
−t −2 t −t −2 t
此例说明了用间接法的步骤： − 3δ (此例说明了用间接法的步骤： t ) + (−e −t + 8e −2 t )ε (t )
′(t ) + B0δ (t ) + (C1e − t + C2 e −2 t )ε (t ) h(t ) = B1δ
对上式求导， 对上式求导，得：
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第二章第2讲
11
Signals And systems
例 2.8
方法二： 方法二：用间接求解法
根据系统的非时变性质，系统的冲激响应为： 根据系统的非时变性质，系统的冲激响应为：
′ ′ h(t ) = h0′′(t ) + 4h0′(t ) − 5h0 (t )
= −5(e − e )ε (t ) + 4(e − 4e )ε (t ) + 4δ (t ) + δ ′(t )
− a0 t
第二章第2讲
长江大学电信学院
2
Signals And systems
冲激响应
直接求解法
若一阶系统为
y′(t ) + a0 y (t ) = b1δ ′(t ) + b0δ (t )
冲激响应为： 冲激响应为：
h(t ) = Bδ (t ) + C e ε (t )
− a0 t
′(t ) + C e − a0 tδ (t ) − Ca0 e − a0 t ε (t ) + a0 Bδ (t ) + a0C e − a0 t ε (t ) Bδ = b1δ ′(t ) + b0δ (t )
−t −2 t −t −2 t
此例说明了用间接法的步骤： − 3δ (此例说明了用间接法的步骤： t ) + (−e −t + 8e −2 t )ε (t )
重庆大学信号与系统实验(附标准答案)
即这时正弦序列为周期序列，并且N=2π/ω就是最小周期。
2.当2π/ω为有理数时，则有2π/ω=N/M，这里N和M均为正整数，令N=2πM/ω，则
sinω(n+N)= sinω(n+ M2π/ω)= sin(ωn+ 2πM)= sinωn。
即这时正弦序列也是周期序列，且序列的最小周期为N=2πM/ω。
平移：将函数 沿横坐标平移 就得到函数
相乘：将 与 相乘，得到 。两波形重叠部分相乘有值，不重叠部分乘积为零
积分： 曲线下的面积即为 时刻的卷积。
2.2离散信号卷积和
输入为 ，输出为 的离散时间线性时不变系统的作用是用卷积求和来描述的：
信号 是系统对于单位冲激输入的响应。其计算步骤为：
横坐标 换成
翻转：将函数 以纵坐标为轴翻转，得到其对称函数
问题1：详细说明正弦离散时间信号的周期性与信号频率的关系，为什么？
答：根据周期序列的定义来讨论正弦离散时间信号的周期性，根据其周期性来找出其与信号频率
的关系。即找到一个正整数N使得恒等式sin(ωn)=sinω(n+N)成立。
分为几种情况讨论：
1.当2π/ω为整数时，令N=2π/ω，则
sinω(n+N)= sinω(n+2π/ω)= sin(ωn+2π)= sinωn。
12电科02班
姓名
艾渝
成绩
课程
名称
信号与系统（双语）
实验项目
名称
信号的时域表示、变换、采样及系统的时域特性
指导教师
文静
教师评语
（）深入理解了实验原理，完成了实验步骤，实验过程原始记录翔实、清晰、准确，实验结果正确，分析透彻，很好地达到了实验目的。
2.当2π/ω为有理数时，则有2π/ω=N/M，这里N和M均为正整数，令N=2πM/ω，则
sinω(n+N)= sinω(n+ M2π/ω)= sin(ωn+ 2πM)= sinωn。
即这时正弦序列也是周期序列，且序列的最小周期为N=2πM/ω。
平移：将函数 沿横坐标平移 就得到函数
相乘：将 与 相乘，得到 。两波形重叠部分相乘有值，不重叠部分乘积为零
积分： 曲线下的面积即为 时刻的卷积。
2.2离散信号卷积和
输入为 ，输出为 的离散时间线性时不变系统的作用是用卷积求和来描述的：
信号 是系统对于单位冲激输入的响应。其计算步骤为：
横坐标 换成
翻转：将函数 以纵坐标为轴翻转，得到其对称函数
问题1：详细说明正弦离散时间信号的周期性与信号频率的关系，为什么？
答：根据周期序列的定义来讨论正弦离散时间信号的周期性，根据其周期性来找出其与信号频率
的关系。即找到一个正整数N使得恒等式sin(ωn)=sinω(n+N)成立。
分为几种情况讨论：
1.当2π/ω为整数时，令N=2π/ω，则
sinω(n+N)= sinω(n+2π/ω)= sin(ωn+2π)= sinωn。
12电科02班
姓名
艾渝
成绩
课程
名称
信号与系统（双语）
实验项目
名称
信号的时域表示、变换、采样及系统的时域特性
指导教师
文静
教师评语
（）深入理解了实验原理，完成了实验步骤，实验过程原始记录翔实、清晰、准确，实验结果正确，分析透彻，很好地达到了实验目的。
(完整版)重庆邮电大学信号与系统杨晓非版课件
描述某离散系统的差分方程为：
已知：
, 试求其零状态响应。
3、经典法求全响应
n
n
n
其中，
Ci
k i
Cxi
k i
C
fi
k i
i 1
i 1
i 1
自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同； Cxi仅由初始状态所决定； Cfi仅由输入激励f(t)所决定， Ci是由起始状态和激励共同决定。
2.5 卷积积分
本节解决几个问题： LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分 卷积的求取方法 卷积的存在性 卷积的性质 利用卷积求yf(t)
一、LTI连续系统的零状态响应表示为卷积积分 1、卷积积分的定义 （1）任意信号 f(t) 表示为冲激函数的积分
f(t)是其自身与δ(t)的卷积积分
a是r重特征根
P1cos(βk)+P2sin(βk)
所有的特征根均不等于e±jβ
或Pcos(βk−θ) 其中， Pejθ=P2+jP2
k[P1cos(βk)+P2sin(βk)] 当特征根均等于e±jβ
3、差分方程的完全解
LTI差分方程的完全解： y(k) yh (k) yp (k) 已知某离散时间系统的差分方程为：
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk) ] 或Aρkcos(βk-θ) Aejθ=C+jD
重庆大学《841信号与系统》习题库
值：
1 F ω
ω0
2
F ωdω
f t
1
1 O 1
t
4. 已知F1ω F f1t,利用傅里叶变换的性质, 求F2ω F f16 2t。
5.
已知升余弦信号 f
t
E 2
1
cos
πt τ
0 t ,
利用频移性质求其频谱 密度函数，并与矩形脉 冲信号
f1 (t )
E
u
t
τ 2
u
t
τ 2
（4）求系统的单位冲激响应h(t)。
4. 在图a所示电路中，以yt 为响应变量。
(a)求电路的状态方程与输出方程；
(b)分析系统可控性与可观测性的条件。
f t
yt
C
R1
iL t
+ vC
t
L
-
R2
(a)
1.粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2
t
d dt
et cos tut
2. 求下列函数值
(1) f t
d dt
et t
(2) f t t e3 τ d τ
3. 已知信号 f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。
(1) f (6 2t)
x3t
1
o 123 t
3. 电路如图 4-5（a）所示 （1）求系统的冲激响应。
（2）求系统的起始状态 iL 0 、vC 0 , 使系统的零输入响应等于冲激响应
（3）求系统的起始状态，使系统对 ut 的激励时的完 全响应仍为 ut。
2Ω 1H
iL 0
e t
1F
重庆大学《841信号与系统》2
• 对于线性时不变系统，该式为一非齐次的常系 数线性微分方程式
依据
系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的
特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微
分方程的列写依据是VAR，KCL和KVL三条规律。
a.电阻:
R u(t) i (t )
p
ui
i2
R
u2
R
b.电容:
C
q(t) u(t)
ic
(t
第二章 连续时间系统的时域分析
• 微分方程的建立与求解 • 零输入响应和零状态响应 • 冲击响应与阶跃响应 • 卷积及其性质
§2.1微分方程的建立与求解 1. 微分方程的建立
• 设系统的激励信号为 e(t) ，响应为 r(t) ，则
系统的特性可用一微分方程来描述
C0r(n) (t) C1r(n1) (t) Cn1r(1) (t) Cnr(t) E0e(m) (t) E1e(m1) (t) Eme(t)
齐次解+特解，由初始条件定出齐次解A系k 数 Ak 。
（一）、微分方程的齐次解
齐次方程：
C0
d nr t
dtn
L
Cn1
dr t
dt
Cnr
t
0
特征方程：
C0n C1n1 L Cn1 Cn 0
特征方程的 n 个根称为特征根：i i 1,2, ,n
微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。
描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常 微分方程，一般形式如下：
C0
d nr t
dtn L
Cn1
dr t
dt
Cnr
t
E0
d me t
dtm L
依据
系统微分方程的建立依据是构成系统的各部件的
特性以及各部件之间的连接方式。具体到电路中，微
分方程的列写依据是VAR，KCL和KVL三条规律。
a.电阻:
R u(t) i (t )
p
ui
i2
R
u2
R
b.电容:
C
q(t) u(t)
ic
(t
第二章 连续时间系统的时域分析
• 微分方程的建立与求解 • 零输入响应和零状态响应 • 冲击响应与阶跃响应 • 卷积及其性质
§2.1微分方程的建立与求解 1. 微分方程的建立
• 设系统的激励信号为 e(t) ，响应为 r(t) ，则
系统的特性可用一微分方程来描述
C0r(n) (t) C1r(n1) (t) Cn1r(1) (t) Cnr(t) E0e(m) (t) E1e(m1) (t) Eme(t)
齐次解+特解，由初始条件定出齐次解A系k 数 Ak 。
（一）、微分方程的齐次解
齐次方程：
C0
d nr t
dtn
L
Cn1
dr t
dt
Cnr
t
0
特征方程：
C0n C1n1 L Cn1 Cn 0
特征方程的 n 个根称为特征根：i i 1,2, ,n
微分方程的齐次解的形式取决于特征根的不同情况。
描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常 微分方程，一般形式如下：
C0
d nr t
dtn L
Cn1
dr t
dt
Cnr
t
E0
d me t
dtm L
重庆大学硕士研究生入学考试自命题参考书目
重庆大学2013年硕士研究生入学考试自命题参考书目考试科目及参考书目111 单独考试思想政治理论《政治经济学》曾国平编重庆大学出版社 2003年版《邓小平理论》贺荣伟编重庆大学出版社 2003年版242 俄语（二外）《大学俄语简明教程》（第二外语用）张宝钤 钱晓慧 高教出版社243 日语（二外）《标准日本语》（新版）初级1、2册，中级第1册（前15课）人民教育出版社244 德语（二外）《德语》（上下）吴永岸华宗德上海外语教育出版社245 法语（二外）《简明法语教程》（上下）孙辉331 社会工作原理1、王思斌主编，《社会工作概论》（第二版），高等教育出版社2006年版。
2、关信平主编，《社会政策概论》，高等教育出版社2009年版。
3、赵泽洪：《现代社会学》第2版重庆大学出版社334 新闻与传播专业综合能力《中国新闻传播史》，方汉奇，中国人民大学出版社，2002年《外国新闻传播史纲要》，陈力丹、王辰瑶，中国人民大学出版社，2008年；新闻学导论》李良荣著，高等教育出版社，1999年；《传播学教程》郭庆光编，中国人民大学出版社，1999年338生物化学此科目为全国统考科目，建议参考王镜岩主编《生物化学》（第3版）等进行复习346 体育综合《学校体育学》李祥主编高等教育出版社 2003年9月《运动训练学》田麦久编人民体育出版社 2000年《运动生理学》人民体育出版社（体育院校通用教材）2002年9月354 汉语基础《现代汉语》（增订本）黄伯荣、廖序东主编，高等教育出版社；《古代汉语》王力主编，中华书局；《语言学纲要》，叶蜚声、徐通锵著，北京大学出版社。
357 英语翻译基础《实用翻译教程》（第3版）冯庆华编著上海外语教育出版社 2010年2月；《英译中国现代散文选》（1-3册）张培基译注上海外语教育出版社2007年11月；《当代英国翻译理论》廖七一等编著，湖北教育出版社，2001年3月；《西方翻译理论精选》申雨平编，外语教学与研究出版社，2002年4月；《非文学翻译理论与实践》李长栓中国对外翻译出版公司 2005年6月。
重庆大学信号与系统作业答案
第一章答案1-5以下各式表示的信号哪些是周期信号？若是，求出最小周期。
① nj e n x 10)(= ② nen x π2)(=③ n j n j e e n x ππ+=5)( ④ n j n j e e n x +=5)( 解：①10=ω，52πωπ=为无理数，所以序列是非周期的。
② )(n x 是单调增长的指数序列，所以是非周期的。
③ πω51=，5221=ωπ为有理数，该项序列周期为2，πω=2，222=ωπ为整数，该项周期为2，综合起来，该序列周期为2。
④ 51=ω，5221πωπ=为无理数，12=ω，πωπ222=为无理数，所以该序列是非周期的。
1-6 已知系统具有初始值)(0t y ，试判别以下给定系统中哪些是线性系统。
⑤ )()()(20t bx t ay t y +=是非线性的⑥ dt t dx t x t y t y )()()()(0+=是非线性的⑦ )(3)()(302t x t t y t y +=是非线性的 ⑧ )()5sin()()(0t tx t t y t y +=线性系统⑨ )1()()(t x t x t y -+= 线性系统解：一个线性系统，必须零输入响应和零状态响应都满足线性性质，即系统对于零输入响应具有齐次性和叠加性，系统的零状态响应也具有齐次性和叠加性。
根据这些概念来判别所列系统线性特性。
① )()()(20t bx t ay t y +=在零状态下，)()(2t bx t y =，输出是输入的二次函数，显然不满足叠加特性，所以系统是非线性的。
② dt t dx t x t y t y )()()()(0+= 在零状态下，dtt dx t x t y )()()(=，设dt t dx t x t x T t y )()()]([)(1111==dtt dx t x t x T t y )()()]([)(2222==当)()()(21t x t x t x +=时， )]()([)]()([)]()([)(212121t x t x dtdt x t x t x t x T t y ++=+= ])()()][()([2121dtt dx dt t dx t x t x ++= dtt dx t x dt t dx t x dt t dx t x dt t dx t x )()()()()()()()(21122211+++=)()()()()()()()(21211221t y t y dtt dx t x dt t dx t x t y t y +≠+++=系统不满足叠加特性，所以是非线性的。
重庆大学《841信号与系统》第三章 傅里叶变换2012年3月28日稿
第三章 傅里叶变换3.1 周期信号表示为傅里叶级数一、正交函数与正交函数集1、函数正交如果两个函数()t f 1、()t f 2在区间（1t ，2t ）满足()()02121=⎰dt t f t f t t ，则称()t f 1和()t f 2在（1t ，2t ）内正交。
2、正交函数集假设有n 个函数()t g 1，()t g 2， ，()t g n 构成一个函数集，这些函数在区间（1t ，2t ）内满足如下正交特性：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰i t t i t t j iK dt t g ji dt t g t g 212120，i K 为一常数。
则函数集称为正交函数集。
也称()t g 1，()t g 2， ，()t g n 构成一个n 维的正交信号空间。
当1=i K 时，称为归一化正交函数集。
任一函数()t f 在区间（1t ，2t ）内，可以用组成信号空间的n 个正交函数的线性组合来近似地表示为：()()()()()()∑==+++++≈nr r r n n r r t g c t g c t g c t g c t g c t f 12211完备正交函数集：如果在正交函数()t g 1，()t g 2， ，()t g n 之外，不存在函数()t x（()∞<<⎰dt t x t t 2120），满足等式()()021=⎰dt t g t x t t i （i 为任意正整数），则称此函数集为完备正交函数集。
一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。
这样()()()() ++++=t g c t g c t g c t f r r 2211 3、复变函数的正交特性设()t f 1和()t f 2是实变量t 的复变函数，两个函数()t f 1和()t f 2在区间（1t ，2t ）内相互正交的条件是：()()()()021212121==⎰⎰**t t t t dt t f t f dt t f t f复变函数正交函数集：如果在区间（1t ，2t ）内，复变函数集()t g 1，()t g 2， ，()t g n 满足如下关系式：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰⎰**i t t i i t t j iK dt t g t g ji dt t g t g 21210则称此复变函数集为正交函数集。
北京化工大学 843信号与系统大纲及参考书 硕士研究生考研入学考试
北京化工大学
攻读硕士学位研究生入学考试
《信号与系统》大纲及参考书
1、信号与系统的基本概念
信号的描述、分类、运算、分解，典型信号介绍；系统模型及分类；线性时不变系统；系统分析方法；
2、连续时间系统的时域分析
微分方程的建立与求解；起始点的跳变；零输入响应和零状态响应；冲激响应与阶跃响应；卷积；卷积的性质；
3、傅里叶变换
周期信号的傅里叶级数分析；典型周期信号的傅里叶级数；傅里叶变换；典型非周期信号的傅里叶变换；冲激函数与阶跃函数的傅里叶变换；傅里叶变换的性质；卷积定理；周期信号的傅里叶变换；抽样定理；
4、拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
拉普拉斯变换的定义、收敛域；拉普拉斯变换的性质；逆变换；用拉普拉斯变换分析电路；s元件模型；系统函数；由系统函数零极点的分布确定时域和频域特性；线性系统的稳定性；双边拉普拉斯变换；拉普拉斯变换与傅里叶变换的对应关系；
5、傅里叶变换应用于通信系统
利用系统函数求响应；无失真传输；理想低通滤波器；系统的物理可实现性；调制与解调；带通滤波系统；从抽样信号恢复连续信号；
6、离散时间系统的时域分析
差分方程的建立与求解；离散系统求响应；卷积和；
7、Z变换
Z变换定义，Z变换性质，逆Z变换，利用Z变换求离散系统响应，Z域系统函数。
参考书：郑君里等. 信号与系统. 第三版. 北京：高等教育出版社。
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f(t)
× fS(t)
LPF f(t)
δT (t)
Ts
t
重庆大学通信工程学院
h(t)
fS(t)
LPF f(t)
理想低通滤波器的传递函数
H ( f ) = ⎧⎨⎩T0s
f ≤ Fm 其它
冲激响应
∫ h(t) =
1
∞
H ( f ) e jωtdω
2π −∞
=
sin 2π Fmt 2π Fmt
=
Sa(ωmt)
如果
ω s ≥ 2ωm
即
f s ≥ 2 Fm
也即
Ts
≤
1 2 Fm
H(ω)
LPF FS(ω)
f(w)
收端用一个截止频率为Fm赫兹的低通滤波器，能 从Fs(ω)中取出F(ω)，无失真地恢复原信号
抽样过程的时间函数及对应频谱图
如果 ω s ≤ 2ω m
即
Ts ≥ 1 / 2 Fm
若抽样后信号频谱在相邻周期内发生混叠，则不能 无失真重建原信号
∞
= ∑ f (nTs ) Sa ⎡⎣ωm (t − nTs )⎤⎦
n=−∞
∑ =
∞ n=−∞
f
( nTs
)
sin ωm (t − nTs ωm (t − nTs )
)
抽样函数
内插公式
∑ f
(t)
=
∞ n=−∞
f
( nTs
)
sin ⎡⎣ωm (t − nTs ωm (t − nTs )
)⎤⎦
结论：以奈奎斯特速率抽样的带限信号f(t)可以由其 样值利用内插公式重建
信号重建图
数字通信原理
2.2.1 模拟信号的抽样
主要内容
一、低通抽样定理 二、带通抽样定理 三、实际抽样
重庆大学通信工程学院
数字通信原理
二、带通抽样定理
带通抽样定理 等间隔的带通抽样
重庆大学通信工程学院
带通抽样定理
数字通信原理
提出原因
实际中许多信号是带通型信号
B = fH − fL
带通信号频率 [ fL, fH ]
一个频带限制在（ fL，fH）赫以内的带通信号f(t), 带宽为B＝fH - fL。如果最小抽样速率fs＝2fH /m，m 是一个不超过fH /B的最大整数，那么f(t)可完全由其
抽样值确定。
两种情况
最高频率为频带宽度整数倍 fsmin = 2B
最高频率不是频带宽度整数倍
f s min
=
2
B
⎛ ⎜⎝
数字通信原理
一、低通抽样定理
低通抽样定理证明
低通抽样定理的频域证明 低通抽样定理的时域证明
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低通抽样定理时域证明
数字通信原理
低通抽样定理时域证明
假设采用周期为Ts的冲激函数δTs(t),按抽样 定理描述的抽样间隔对(0,Fm)赫兹内的模拟信号 f(t)进行抽样。
f(t) h(t)
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数字通信原理
一、低通抽样定理
低通抽样定理证明
低通抽样定理的频域证明 低通抽样定理的时域证明
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低通抽样定理频域证明
数字通信原理
低通抽样定理频域证明
假设采用周期为Ts的冲激函数δTs(t),按抽样定 理描述的抽样间隔对(0,Fm)赫兹内的模拟信号f(t) 进行抽样。
H (ω)
f (t)
fs (ω ) 脉冲形 fH (t )
×
成电路
h(t)
δTs (t )
τt
s
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抽样信号
∞
fs (t ) = ∑ f (nTs )δ (t − nTs ) n=−∞
经脉冲形成电路，输入一个冲击信号，输出端产生一个幅度为f(nTs)的矩形脉冲
∞
fH (t ) = ∑ f (nTs ) h (t − nTs ) n=−∞
2.2 模拟信号数字化的基本原理
数字通信原理
模拟信号数字化过程
模拟信号 抽
量
编 数字信号
样
化
码
抽样定理
抽样信号能否重 建原始信号？？
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2.2 模拟信号数字化的基本原理
数字通信原理
1 模拟信号的抽样 2 信号的量化 3 信号的编码
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2.2.1 模拟信号的抽样
2 fH n
=
2(nB + kB) = 2B⎜⎛1+ k ⎟⎞
n
⎝ n⎠
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最高频率不是频带宽度整数倍
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示意图
fs =2B
fs
=
2 fH n
间隔不一致，考 虑等间隔抽样
fH/B为非整数倍时的抽样频谱
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最高频率不是频带宽度整数倍
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fs与fL的关系
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一、低通抽样定理
低通抽样定理两点说明
若f(t)的频谱在某一频率Fm以上为零，则f(t)中 的全部信息完全包含在其时间间隔Ts≤1/2Fm秒的 均匀抽样序列里；
或者说，抽样速率（每秒内的抽样点数） fs≥2Fm。若抽样速率fs <2Fm，则会产生失真， 这种失真叫混叠失真。
自然抽样又称曲顶抽样，它是指抽样后的脉 冲幅度（顶部）随被抽样信号f(t)变化，或者 说保持了f(t)的变化规律。
f (t) fs (t)
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抽样脉冲S(t)：矩形窄脉冲序列（高度为A，宽度为Δt，重复频率为1/Ts）
Δt
…
…
抽样信号 S(t)→S(ω) 抽样信号(频域)
Ts
fs (t) = f (t)⋅S (t)
∑ S (ω)
=
AΔt 2π
Ts
∞
Sa (nΔtωm ) ⋅δ
−∞
(ω
− n2ωm )
Fs
(ω)
=
1
2π
⎡⎣F
(ω)
∗
S
(ω)⎤⎦
∑ =
AΔt Ts
∞ n=−∞
Sa( nΔtωm )
⋅
F
(ω
− n2ωm
)
Fs (ω )
ω
− 2π
0
2π
Δt
Δt
当n＝0时
Fs
(ω )
=
AΔt Ts
F
(ω )
自然抽样和理想抽样的频谱仅差一个系数 AΔt/Ts，通过截止频率等于Fm的理想低通滤 波器，同样可以不失真的恢复原信号。
结论
Ts
=
1 2Fm
最大允许抽样间隔 → 奈奎斯特间隔
fs = 2Fm 最低抽样速率 → 奈奎斯特速率
f(t)
× fS(t)
H(w)
LPF f(w)
δT (t)
f(t)是时间有限的函数，其频谱成分不可能完 全的限制在Fm内，抽样信号的恢复难免有失真— —抽样之前加截止频率为Fm的低通滤波器。
收端的低通滤波器不可能做成理想，为了减弱 因幅度和相位不理想造成的失真，通常选择的抽 样频率略大于2Fm。
f s min
=
2 fH n
=
2(nB + kB) = 2B⎜⎛1+ k ⎟⎞
n
⎝ n⎠
结论1.
f
取值范围[2B
s
∼
4B],当fL
>>
B时,
fs
→
2B
结论2. 带通信号一般为窄带信号,容易满足fL >> B,
因此带通信号通常可按2B速率抽样
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二、带通抽样定理
带通抽样定理 等间隔带通抽样
频域已证明，将Fs(ω)通过截止频率为Fm的低通滤波器便可得到F(ω)
Fs (ω ) H2 fm (ω ) = F (ω)
所以
F (ω ) = Fs (ω ) ⋅ H2ωm (ω )
时域卷积定理
f (t ) = fs (t ) ∗ Sa (ωmt )
重建信号的时域表达式 （内插公式）
∞
f (t ) = ∑ f (nTs )δ (t − nTs ) ∗ Sa[ωmt] n=−∞
数字通信系统传输模拟信号需三个步骤：
模拟信号数字化，即模数转换（A/D） 进行数字方式传输 数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）
模拟信号数字化传输的两大方式
脉冲编码调制（PCM） 增量调制（ΔM）
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数字通信原理
主要内容
2.1 概 述 2.2 模拟信号数字化的基本原理 2.3 脉冲编码调制（PCM） 2.4 增量调制（ΔM）
CCEE
第二章 模拟信号的数字化传输
数字通信原理
数字通信原理
主要内容
2.1 引 言 2.2 模拟信号数字化的基本原理 2.3 脉冲编码调制（PCM） 2.4 增量调制（ΔM）
2.5 数字复接技术
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2.1 引 言
数字通信系统具有许多优点。然而许多信源输 出都是模拟信号。
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三、实际抽样
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理想抽样与实际抽样
理想抽样：抽样脉冲序列是理想冲激脉冲序列 δT(t)
实际抽样：抽样脉冲序列具有一定的持续时间。 分为两种情况
自然抽样：抽样脉冲序列在脉宽期间其幅度可变 平顶抽样：抽样脉冲序列在脉宽期间其幅度不变
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自然抽样
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等间隔带通抽样
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