当前位置：文档之家 › 晶体的宏观对称 点群 对称型 ppt课件

晶体的宏观对称 点群 对称型 ppt课件

  • 格式：ppt
  • 大小：7.06 MB
  • 文档页数：39

下载文档原格式

  / 39

合集下载

晶体的对称ppt课件

晶体的对称ppt课件
5、最小内能：在相同的热力学条件下晶体与同种物质的 非晶质体、液体、气体相比较，其内能最小。
6、稳定性：由于晶体具有最小内能，因而结晶状态是一 个相对稳定的状态，质点只在其平衡位置上振动。 ◆非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。 ◆晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。
39
● 晶体的多面体形态，是其格子构造在外形上的直接 反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列 及结点相对应。
37
2、均一性：由于晶体是具有格子构造的固体，在同一晶
体的各个不同部分，质点的分布一样，故晶体的各部
分的物理化学性质相同。
注意：非晶体也具有均一性。但是非晶体不具格子构造其 均一性是统计的、平均近似的均一，称为统计均一 性；而晶体均一性取决于格子构造，称为结晶均一 性。两者有本质区别。
15
❖ 对称中心以字母C表示, 图示符号为“o”或 “C”表示。
❖ 晶体中可以有对称中心，也可以没有对称 中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体 的几何中心。
❖ 晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必 然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
16
4、旋转反伸轴（Lin）
• 旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体 围绕此直线旋转一定角度后，再对此直 线上的一个点进行反伸，才能使晶体上 的相等部分重复。
6
对称面的投影 对称面是通过晶体中心的平面，在球面投影中它与投影球 面的交线为一大圆。 ◆ 水平对称面的投影为基圆； ◆ 直立对称面投影为基圆的直径线； ◆ 倾斜对称面投影为以基圆直径为弦的大圆弧。
作图时对称面用实线表示。
右图为立方体的九个对称面的极 射赤平投影图
7
2、对称轴（Ln）
• 对称轴是通过晶体中心的一根假想直线， 晶体围绕此直线旋转一定角度后，相同的 晶面、晶棱、角顶能重复出现。

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性
L2n + P = L2n PC L2 • P = C
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i

材料物理课件12晶体的宏观对称性

材料物理课件12晶体的宏观对称性

对称性与物理性质的关系
对称性与物理性质密切相关， 不同对称性的晶体表现出不同 的物理性质。
点对称性决定了晶体的光学、 电磁学等性质，镜面对称性则 影响晶体的热学、力学等性质 。
对称性越高，晶体的物理性质 越稳定，对称性破缺可能导致 某些物理性质的变化或异常。
02
晶体宏观对称性的表现形式
晶体宏观对称操作的种类
02
在晶体中，对称性表现为晶体在 不同方向上具有相同的晶格结构 和物理性质。
对称性的分类
晶体宏观对称性分为点对称性和 镜面对称性两类。
点对称性是指晶体在三维空间中 具有旋转、反演、倒转等对称元 素，如立方晶系的旋转轴、四方
晶系的四重轴等。
镜面对称性是指晶体在某一方向 上具有对称的平面，如单斜晶系
的b轴和c轴构成的平面。
理论计算方法
密度泛函理论
通过计算电子密度分布，推导出晶体的电子结构 和对称性。
分子力学计算
基于分子力学的原理，模拟晶体分子在平衡状态 下的构型和对称性。
群论分析方法
利用群论的原理，对晶体对称性进行分类和描述 。
计算机模拟方法
分子动力学模拟
通过模拟大量原子或分子的运动，预测晶体的结构和对称性。
蒙特卡洛模拟
材料物理课件12晶体的宏观对称 性
contents
目录
• 晶体宏观对称性的基本概念 • 晶体宏观对称性的表现形式 • 晶体宏观对称性的应用 • 晶体宏观对称性的研究方法 • 晶体宏观对称性的未来发展
01
晶体宏观对称性的基本概念
对称性的定义
01
对称性是指一个物体或系统在不 同方向上保持相同或相似形态的 性质。
对称性破缺会导致晶体物理性质的变 化，例如光学、电学、热学等方面的 性质改变。

1.5 晶体的宏观对称性

1.5 晶体的宏观对称性
都不能能够保持不变 考查图形在旋转中的变化可以显示(a)(b)(c)的差别
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
进一步考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化
圆形对任意的直径做反射都不改变； 正方形只有对于对边中心的连线以及对角线作反射才
保持不变； 等腰梯形只有对两底中心连线反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右对称的线
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则 —— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
在正立方体的24个纯转动对称操作中， 正四面体保留了其中12个
中心反演不再是正四面体 的对称操作
去掉的12个转动操作, 即绕 立方轴转π/2, 3π/2; 绕面对角 线转π，加上中心反演后是
正四面体的对称操作
正四面体共有24个对称操作
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
③ 正六角柱
1) 绕中心轴线转动
—— 5个
2) 绕对棱中点连线转动 —— 3个
3) 绕相对面中心连线转动
—— 3个
4) 正交变换
—— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
1.5 晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
4 对称素 “对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性 对称素 —— 一个物体的旋转轴、旋转－反演轴

《晶体的宏观对称性》PPT课件

《晶体的宏观对称性》PPT课件
第二节：晶体的宏观对称性
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。
• 对称：symmetry • Latin symmetria
• 拉丁语 symmetria
• from Greek summetria
• 源自 希腊语 summetria
• from summetros [of like measure]
• 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。
为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。
但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。
• 受晶体对称定律（law of crystal symmetry）限 制。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五 次及高于六次的对称轴。
精选ppt
Hbqref@
材料科学基础
• （4）倒转轴（rotoinversion axis, 符号Lni）：亦称旋 转反伸轴，又称反轴或反演轴（inversion axis）等。 是一种复合的对称要素。它的辅助几何要素有两个： 一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称 变换就是围绕此直线旋转一定的角度及对于此定点的 倒反（反伸）。
精选ppt
Hbqref@
自然界一些对称现象－植物 材料科学基础
•
木槿花
精选ppt
Hbqref@
毛茛
人为的对称图形
材料科学基础
精选ppt
Hbqref@
雪花
材料科学基础

晶体学课件 第四章 微观对称性

晶体学课件 第四章 微观对称性

第章第四章晶体的微观对称性原子或原子团位置的对称性叫做微观对称性宏观对称性微观对称性晶体3微观对称性和宏观对称性的主要区别微观对称性和宏观对称性的主要区别：1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中宏观对称性对称元素必须相交一点微观对称性中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。

2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需要考虑对称元素的相互位置关系。

性中需要考虑对称元素的相互位置关系4点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平移复原的特性。

对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量：个阵点的位置矢量R= ma+ nb+ pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。

R可使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复以定义为晶体微观结构平移的方向矢量以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。

微观对称元素= 宏观对称元素+ )平移(平移轴、螺旋轴、滑移面)5平移对称性;平移轴;平移群;I P6F C (A, B)14个布喇菲点阵→ 14个平移群三斜晶系: 简单布喇菲点阵:单斜晶系：简单布喇菲点阵，底心布喇菲点阵7a'=a b'=a'=a b'=bb c'=a +c bb c'=（a +c ）/2正交晶系简单体心面心和底心点阵正交晶系：简单、体心、面心和底心点阵四方晶系：体心和简单四方点阵三角晶系：简单三角点阵8六角晶系：简单六角点阵立方晶系：简单、面心和体心立方点阵2、螺旋对称轴A: 4; B: 4金刚石0,10,10.50751;30.50.250.75B0.50.250.75A 0,10,10,10.59n=3s=0,τ=0,3次旋转轴s=0=0s=1, τ=T/3, 3,次螺旋轴,右螺旋;,,1s=2, τ=T/3, 3次螺旋轴，左螺旋。

,,次螺旋轴螺旋215n 4次旋转轴n=4s=0，4次旋转轴；11/4T s=1, τ=1/4T ，右螺旋轴41；22/4T 双螺旋轴s=2, τ=2/4T ，中性螺旋轴42，双螺旋轴；s=3左螺旋轴s=3, τ=3/4T ，左螺旋轴43。

晶体的宏观对称 点群 对称型

晶体的宏观对称 点群 对称型

晶体学
由于1=Li1=C，2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心。m代表2。 • 所谓的相同对称要素，并不仅仅指同种对称要素，而且必须是 能够借助于对称型中其他对称要素的变换作用而相互重复的同 种对称要素。 • 例如：3m（L33P）对称型中的三个P全部是相同对称要素；但 在4/mmm（L44L25PC）对称型中，垂直于L4的P与其它4P都 不相同，而且剩下的4个P之中，只有相互垂直的两个P才构成 一组相同对称要素，而以45°交角相邻的任二P都不是相同的 对称要素。
晶族
晶系 三 斜 单 斜 正 交 斜 方 三
对 无
称
特
点
无 L2 和 P L2 和 P 均 高 不多于一 个 次 2 L 和P的 轴 总数不少 于三个 所有的对称要素 必定相互垂直或 平行
低
级
对 称 型 对称要素总和 L1 **C L2 P **L2PC 3L2 L22P **3L23PC L3 *L3C *L33L2 L33P **L33L23PC L4 L4i *L4PC L44L2 L44P L4i2L22P **L44L25PC L6 +L6I *L6PC L66L2 L66P L6i3L23P **L66L27PC 3L24L3 *3L24L33PC 3L44L36L2 *3L44L36P **3L44L36L29PC
国际符号 1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm 3 3 32 3m 3m 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm 23 m3 432 43m m3m
晶体实例 高岭石 钙长石 镁铅矾 斜晶石 石膏 泻利盐 异极矿 重晶石 细硫砷铅矿 白云石 а -石英 电气石 方解石 彩钼铅矿 砷硼钙石 白镥矿 镍矾 羟铜铅矿 黄铜矿 锆石 霞石 磷酸氢二银 磷灰石 β -石英 红锌矿 蓝锥矿 绿柱石 香花石 黄铁矿 赤铜矿(？) 黝铜矿 方铅矿

晶体的宏观对称 点群 对称型 ppt课件

晶体的宏观对称 点群 对称型 ppt课件
定理1：Ln P// LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）
逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。
2思020/考10/1:5 两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴? 5
晶体学
对称要素的组合
2020/10/15
6
晶体学
对称要素组合定理：
钙长石 镁铅矾 斜晶石 石膏 泻利盐 异极矿 重晶石
L3
3
细硫砷铅矿
三
*L3C
中方
唯一的高 次轴为三
*L33L2 L33P
次轴 必
**L33L23PC
定
L4
四有
除高次轴外如有 L4i
方 （ 正 方
且 唯一的高 只 次轴为四 有 次轴 一
其他对称要素存 在时，它们必定 与唯一的高次轴 垂直或平行
*L4PC L44L2 L44P L4i2L22P
• 例如：3m（L33P）对称型中的三个P全部是相同对称要素；但 在4/mmm（L44L25PC）对称型中，垂直于L4的P与其它4P都 不相同，而且剩下的4个P之中，只有相互垂直的两个P才构成 一组相同对称要素，而以45°交角相邻的任二P都不是相同的 对称要素。
2020/10/15
23
晶体学
对称型的国际符号
2020/10/15
15
晶体学
2. B类对称型（高次轴多于一个）
5个B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
多个高次轴的组合。
1·原始式：四面体的对称轴 3L24L3 2·中心式：原始式与对称中心组合3L24L33PC 3·轴式：原始式与对称轴的组合3L44L36L2 4·面式：原始式与对称面的组合3Li44L36P 5·轴面式：轴式的基础上加对称面 3L44L36L29PC

材料物理课件 Chapter 1.2 晶体的宏观对称性

材料物理课件 Chapter 1.2 晶体的宏观对称性

xz=1,c6zxz=2,c62zxz=3,
c63zxz=yz=4,c46zxz=5,c56zxz=5,E}
2020/12/16
C6v群中由C6群的元与组合的五个元均为在垂直镜面
C6v 上的反射，分别记作2,3 ,4 ,5及6 ,其镜面与xz平
面的夹角分别为(n-1)h/6。
16
32类点群(4)
4时类群. ，群都S2与的是m群C群阿n元贝h群都尔这等是群类价旋。群。转仅所反包以射含这操n类次作群反(S只轴2m有，)n三，且个其n=中：2mS12。、n当S24nm及为。S奇6这。数类这
S6 17
32类点群(5)
5所. 以D这n群类群D的n群阶包为含2n有。一由个于n二次次轴轴及的n个存与在之，垂使直n次的轴二成次为轴双，
向轴。
D3由、于DD4 、1群D与6 C。2群是等价的，因此Dn群有四个：D 2 、
18) D2={c2z,c2x,c2y,E}
D2
19) D3={c3z,c2x,c3zc2x=c2’,c3z,2c3zc22x=c2’’,E}
32类点群(2)
2成. 的Cn。h群因此这这类类群群是包由含Cnn群个与转水动平及反n个映旋面转h反组射合，而
故群共有2n个群元。这类群共有五个。
+
+
6) C1h={h,E}
+
C1h
7) C2h={C2,h,C2h, E}
C2h
++
8) C3h={C3,C3,2h, C3 h, C3 2h, E} 9) C4h={C4,C4=2 C2 ,C4 ,3h ,
15) S2={s2=hc2z=c2zh=I,E}
S2
16) S4={s4=xyc4z=c4zxy,s24=c2z s34, E}

晶体的宏观对称

晶体的宏观对称

360° 180° 120° 90°
L1
L2
L3
L4
1234
60°
L6
C
6
1
L1i
°或C
P
m L2I 双线或粗线
倒转轴
三次 四次 六次
直线和直线上的定点
绕直线旋转及点的倒
反
120° 90° 60°
L3I
L4i
L6i
346
L3+C
L3+P
2021/2/4
88
晶体对称定律
• 只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可 能存在五次及高于六次的对称轴 轴次 n 的确定: n = 360 /a
2021/2/4
66
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。
• 对称元素种类
– 对称中心(center of symmetry) – 对称面(symmetry plane) – 对称轴(symmetry axis) – 倒转轴(rotoinversion axis) – 映转轴(rotoreflection axis)
• some acts that reproduce the motif to create the pattern
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
• Step 1: rotate 360o/1
(identity)?
2021/2/4
29 29

晶体学基础第二章-宏观对称元素组合及点群

晶体学基础第二章-宏观对称元素组合及点群

定理三
¾ 1个对称面垂直于偶次Ln对称轴必有对称中心C； Ln · P ⊥ →LnP ⊥ C (n为偶数)。
定理三的逆定理
Ln · P ⊥ →LnP ⊥ C (n为偶数)。
Ln · C → LnP ⊥ C (n为偶数) P · C → LnP ⊥ C (n为偶数)
¾ 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个 可以产生第三者。因为偶次轴包含L2 。
点群(对称型)
• 点：所有对称元素相交于晶体的中心，有一个公 共点，在对称操作中始终不动。
• 各种对称操作构成的集合符合数学中的群的概念， 所以宏观对称元素的组合也叫点群（point group)， 也称对称型。
• 群：一组对称元素或对称操作的集合。
群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G ≡ {E, A ,B, C, D ……} ，
晶体对称元素可能组合:对称轴+对称轴
第一种情况： Ln · L2(⊥) → Ln nL2 可以推到出4个新组合。
第二种情况： z Lni · L2(⊥) → Ln i nL2 nP (n =奇数) z Lni · L2(⊥) → Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数)
可以推到出3个新组合。
四次轴(L4)+对称面(P)
•Step 1: reflect •Step 2: rotate 1 •Step 3: rotate 2 •Step 4: rotate 3
四次轴(L4)+对称面(P)
增加2个对称面
L4 + P = L4 4P
三次轴(L3)+对称面(P)
L3 + P = L3 3P
定理四
• 1个L2垂直于Lni 对称轴或1个P包含于Lni 对称轴，n为奇数

第三章--晶体对称PPT课件

第三章--晶体对称PPT课件

对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
.
12
晶体外形上可能出现的对称轴如图 I－4－I所列。
.
13
一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋 转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴， 称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2 L3 L4和L6。
.
14
注意
晶体中不可能出现五次或高于六次的对称 轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。 在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存 在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应 法符合于该面网上结点所围成的网孔。
第三章 晶体对称
.
1
对称性
对称是一个很常见的现象。在自然界我们可 观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣的水仙花、 雪花、松树叶沿枝干两侧对称，槐树叶、榕树 叶又是另一种对称……在人工建筑中，北京的 古皇城是中轴线对称，在化学中，我们研究的 分子、晶体等也有各种对称性，有时会感觉这 个分子对称性比那个分子高，如何表达、衡量 各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些 对称。
称为晶体的对称定律。
.
17
在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对 称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。 如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。
在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、 晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。
.
18
3．对称中心(C)
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。 如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端，必定可以找到 对应点。
个。它们是属于低级晶族的三斜晶系不多于一个)和斜方
晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 晶体的宏观对称
对称的概念
晶体对称的特点
对称要素和对称操作
晶体的对称定律
对称要素的组合
点群和对称型的概念及其推导
晶体的分类
对称型的国际符号和圣佛利斯符
号 2020/10/15
1
晶体学
2.5 对称要素的组合
任意两个对称要素同时存在一个晶体上时，将 产生新的对称要素，且产生的个数一定。
例：四方四面体
Li42L2 2P
2020/10/15
黄铜矿
Li4+
L2⊥(或P//)
=
Li4
10
2L22P
晶体学
五、32个对称型及其推导
晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶 体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称 要素时称对称型，强调对称操作时称点群。
为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构 成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时 有一点不动，所以称为点群。
晶体学
对称要素的组合
2020/10/15
8
晶体学
对称要素组合定理：
定理3：Ln P LnP C （n为偶数） 逆定理： Ln C LnP C （n为偶数）
P C LnP C （n为偶数） 这一定理说明了Ln、P、C三者中任两个可以 产生第三者。
2020/10/15
正长石：
L2+P⊥
=
2020/10/15
14
晶体学
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组 合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的 对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当 n 为 偶 数 时 Lin(n/2)L2(n/2)P 可 能 的 对 称 型 为 ： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
2020/10/15
15
晶体学
2. B类对称型（高次轴多于一个）
5个B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。
多个高次轴的组合。
1·原始式：四面体的对称轴 3L24L3 2·中心式：原始式与对称中心组合3L24L33PC 3·轴式：原始式与对称轴的组合3L44L36L2 4·面式：原始式与对称面的组合3Li44L36P 5·轴面式：轴式的基础上加对称面 3L44L36L29PC
3L23PC
定理2：LnL2LnnL2 （相邻L2的夹角是Ln基转角的一半） 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
思202考0/10:/1两5 个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴? 7
2020/10/15
16
晶体学
• 这样推导出来的对称型共有32个，见下表。
原 始 轴式 式
共同式 Ln LnnL2
L1
A L2Байду номын сангаас3L2
L3 L33L2 L4 L44L2
类 L6 L66L2
面式
中心 式
Ln P(C) LnnP
L2PC
L4PC L6PC
L22P L33P L44P
L66P
轴面式
Ln nL2 (n+1)P(C)
定理1：Ln P// LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）
逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。
2思020/考10/1:5 两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴? 5
晶体学
对称要素的组合
2020/10/15
6
晶体学
对称要素组合定理：
2020/10/15
12
晶体学
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到 组合规律Ln（偶次）P⊥→Ln（偶次）PC，则可能的对 称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC； L6PC。
4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合 规律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
立方体上 3L44L36L29PC
2020/10/15
L66L27PC（绿柱石）
2
精品资料
晶体学
四、对称要素的组合
从上面的结果可以看出什么规律？
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对 称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
2020/10/15
4
晶体学
对称要素组合定理：
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出 晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32 个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
2020/10/15
11
晶体学
1. A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3； L4；L6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直 它 的 L2 的 组 合 。 根 据 上 节 所 述 对 称 要 素 组 合 规 律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类了。
9
L2
PC
晶体学
对称要素的组合
定理4： Lin L2 = Lin P// Lin n/2 L2 n/2 P// （n为偶数）
Linn L2 nP//（n为奇数） 逆定理：如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为δ，则 平行P且垂直于L2的直线必为一n次旋转反伸轴Lni，n＝ 360°/2δ。
2020/10/15
13
晶体学
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导
5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂 直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥ L2⊥ =LnnL2（n + 1）P（C）（C只在有偶 次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为： （ L1L22P=L22P ） ； L22L23PC=3L23PC; （ L33L24P=Li63L23P ） ; L44L25PC; L66L27PC。