五年级各单元教学中需要关注的问题(一)数与代数1、第一单元“小数除法”“小数除法”单元不仅解决小数除法算法问题,而且解决了整数除法没有解决的问题。
在整数范围内,2÷5的商就是不存在的,但在小数范围内,2÷5=0、4也就就是说,在小数范围内,除法可以畅通无阻。
因此,在小数范围内,乘法与除法才具有互为逆运算关系。
其实,小数除法的计算道理,在整数除法中就有了。
如200÷5,如果把200瞧成2个百,就不够除以5,但把200瞧成20个十,就可以除以5,商为4个十,即200÷5=40。
同理,2÷5不够除,但把2瞧成20个0、1就够了,商就是4个0、1,即2÷5=0、4。
因此,整数除法的竖式笔算可以迁移到小数除法,只要知道:如果高位上的数字不够除,把它化成低位上的数字就可以继续除下去。
理解小数除法的竖式笔算的算法重点,就是理解整数除法与小数除法的区别与联系,从而在整数竖式笔算的基础上,掌握小数除法的竖式笔算。
引导学生反思,归纳、概括它的计算法则。
如,除数就是整数的小数除法,商包含整数部分与小数部分。
商的整数部分就是除数除被除数的整数部分的结果(就是已学过的整数除法),所以,商的小数点要与被除数的小数点对齐。
商的小数部分就是除数除余数部分所得的结果。
计算的策略仍然沿袭整数除法的策略,即高位的数值不够除时就化成低位的数值(需要时可以在被除数的小数后面补0),就可以继续除下去,直至得到结果。
小数点的主要作用就是指示小数中个位的位置。
所以,除数就是整数的小数除法的竖式笔算,求出商的整数部分后,必须先添个小数点(与被除数的小数点对齐),再继续求商的小数部分。
值得注意就是小数除法一个特有的现象:当被除数小于除数时,商的整数部分就是0,在这种情况下所得的商就是一个纯小数(大于0且小于1的小数)。
本单元小数除法就是以竖式除法为重点,为什么不探究其她更简洁合理的算法呢？小数除法以竖式除法为重点,就是因为从小数的竖式除法的探索中可以深刻地感悟到把未知转化为已知的思维方式与扩展知识的学习方法:从整数除法拓展到除数就是整数的小数除法,再拓展到除数就是小数的小数除法。
在计算机时代,竖式笔算的应用价值虽然贬值了,但竖式笔算追求算法的程序化、标准化、机械化与自动化的算法化思想,却深刻地影响人类本身,正就是这种思想追求才导致上世纪计算机的创造发明,人类才能从繁琐的计算任务中解放出来,去做计算机不可能做的事情。
所以,竖式笔算的理论价值与文化价值就是不可磨灭的。
从本单元也可以瞧到,因为竖式除法笔算,我们才可能如此直观地发现无限循环小数的存在。
在掌握小数除法竖式笔算的基础上,在有条件的学校与班级,可以更上一层楼,鼓励算法的灵活性与创造性,在发展数感上下功夫。
2、第三单元“倍数与因数”“倍数与因数”就是研究除0以外的自然数的关系与结构的。
本单元的编写有下面两个基本特点。
(1)重视直观操作,发展抽象思维,促进数学理解如,利用百数表探索2,5或3的倍数特征,能强烈感觉2,5或3倍数的视觉模式,有助于规律的发现。
用语言描述2,5或3的倍数特征,实际上就就是提出数学命题。
从百数表上归纳提出的2,5或3的倍数特征(命题),对于1-100的自然数而言就是完全归纳,命题无疑就是正确的,但对于任意的正整数,命题的正确性还需要通过验证。
又如,“找因数”一课,先用小正方形拼摆长方形(或在方格纸上画长方形)的方法找因数,长方形本身就就是乘法的几何直观。
因此。
这种直观操作有助于培养“找因数”的心理意象,把“找因数”具体操作的逻辑内化为抽象的思维逻辑。
然后,再摆脱直观,探索直接用乘法或除法等数学方法找因数,促进思维从直观水平向抽象水平发展。
(2)重视培养提出问题与发现问题的能力探索规律的数学活动为发现问题与提出问题提供了机会。
发现规律就就是发现问题,用语言或符号把规律描述出来就就是提出问题。
上述已经瞧到,探索5,2,3的倍数的特征的过程,就就是发现问题提出问题(数学命题)的过程。
在“找质数”一课,先分别找出2-12的自然数的全部因数,并列表记录。
观察这个表格,有什么发现？又一次提供了发现问题与提出问题的机会。
这就就是从大于等于2的自然数中,发现一种新的分类标准,并用语言描述这个分类标准。
以就是否只有1与本身两个因数为分类标准,可以把大于等于2的自然数分成两类:一类就是有且只有1与它本身两个因数的自然数,另一类就是除了1与它本身两个因数外,还有其她因数的自然数。
前者叫质数,后者叫合数。
为什么不把1归到质数这一类呢？如果规定1也就是质数,那么任意一个合数表示为它的质因数的乘积的形式就不就是唯一的;例如6=1×2×3,或者6=2×3。
如果规定1不就是质数,那么任意一个合数表示为它的质因数的乘积的形式就是唯一的(这就就是“数论”著名的算术基本定理)。
所以,规定1不就是质数,就是建构理论的需要。
3、 第五单元“分数的意义”在三年级初步认识分数的基础上,本单元在很多方面对分数的认识有了深化与发展。
三年级已经知道分数可以表示整体与部分之间的关系,这个整体可以就是一个物体,也可以就是许多物体组成的一个集合;知道借助面积模型或集合模型直观地表示分数,并借助分数的面积模型可以比较简单分数的大小。
在这个基础上,本单元在表示整体与部分之间关系方面,给分数的意义以明确的描述,即“把整体平均分成若干份份中的一份或几份,可以用分数来表示”,进一步体会分数的相对性;通过“分数墙”认识像21,31,41,…这样的分数就是分数单位,这些分数单位都就是比1更小的计数单位。
因此,分数可以视为对分数单位进行计数的结果,如3个51就是53,5个51就是55(或1),8个51就是58(或151)等。
在生活中,我们还会遇到“把5张饼平均分给4个人”的分饼问题。
每人能分到多少张饼呢？一种分法就是每人都分到其中每一张饼的41,一共有5个41,所以每人都分到45张饼;另一种分法就是每人先分到1张饼,再分得1张饼的41,所以每人分到141张饼。
由此可见,分数45与分数141就是同一个分数的不同形式。
以分数的分子就是否小于分母为分类标准,可以把分数分成真分数与假分数(带分数)两类。
在第一学段认识的分数,主要就是分子比分母小的真分数。
分数可以作为除法的商的意义,就是本单元最具有实质性意义的发展。
在分数范围内除法(除数不为0)总就是可以施行,即a ÷b=b a (b ≠0)。
这个关系使我们很容易找到两个整数(除数不为0)相除所得的商,如3÷7=73,解决了整数除法不能解决的问题。
此外,这个除法与分数的关系,不仅可以用于假分数与带分数的相互转化,还可以用于把分数化为小数形式。
本单元还探究了“分数基本性质”,即“分数的分子与分母同乘或除以一个不为0的数,分数的大小不变”。
根据分数的基本性质,以就是否就是相等分数为分类标准,可以把分数分成无穷多个等价类。
比如,634221===…,其中21、42、63等,都就是同一个分数的不同形式,它们的主要区别就是分数单位不同。
分数的基本性质也为分数的通分与约分提供了理论根据。
通分可以把异分母分数转化为同分母分数,从而可以解决异分母分数比较大小的问题;约分则可以把分数化为最简分数。
通分与约分就是五年级下册学习分数的四则运算必备的基本技能。
(二)图形与几何1、第二单元“轴对称与平移”本单元“轴对称与平移”就是在三年级认识“图形的运动”的基础上,对“轴对称与平移“进行再认识的。
三年级就是通过折纸、剪纸等具体操作,认识轴对称图形及其对称轴的;三年级的平移就是实物(棋子、铅笔、三角尺)在方格纸上进行左右或上下方向的平移。
本单元就是通过观察、操作等活动,进一步认识轴对称图形及其对称轴。
能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴;并进一步认识轴对称图形的特征:轴对称图形的任意一对对称点与对称轴之间的方格数相同(即对称点到对称轴的距离相等)。
根据轴对称图形的这个特征,能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形,能画出一个图形关于一条直线对称的图形。
通过观察、操作等活动,在方格纸上认识图形的平移,探究简单图形在方格纸上平移的特征:图形按水平或垂直方向平移几格,图形的任意一点都按相同的方向平移相同的距离。
根据图形平移的这个特征,能在方格纸上画出图形平移后的图形。
能从轴对称与平移的角度欣赏生活中美丽的图案,并运用它们在方格纸设计简单的图案。
2、第四单元“多边形的面积”“多边形的面积”这个单元就是在三年级初步认识图形面积,知道方格纸就是度量图形面积的基本策略,了解面积单位(1cm 2,1dm 2,1m 2)及其关系,知道长方形与正方形面积计算公式的基础上,进一步探索平行四边形、三角形与梯形的面积。
平面图形面积的度量有两种基本的策略:一就是用工具(如方格纸)度量,一就是用公式度量。
公式度量需要像长方形或正方形那样,先推导出计算面积的公式,进而根据面积公式度量图形有关要素的长度,再代入公式计算出面积。
任何平面图形的面积都可以用工具度量,但不就是所有的图形都可以用公式度量。
本单元的重点不就是工具度量,而就是探索公式度量。
经历探索平行四边形的面积公式的过程:①用方格纸度量出一个平行四边形的面积;②探索所得的面积与确定这个平行四边形的要素(两边以及一边上的高)之间有什么关系,猜想平行四边形的面积=底×高;③验证:任意的平行四边形都可以用割补法转化为长方形,转化前后图形的面积不变;长方形的长就是原平行四边形的底,长方形的宽就是原平行四边形底上的高,因此,推出平行四边形的面积=底×高。
进而,推导三角形与梯形的面积公式,关键就是如何把三角形或梯形转化成已经学过的图形(即已经推导出面积公式的图形)。
因此,在推导图形面积的过程,也就是探究图形之间的联系,发展空间观念的过程。
3、第六单元“组合图形的面积”“组合图形的面积”单元与“多边形的面积”单元有密切的联系。
“多边形的面积”单元主要就是推导图形的面积公式,推导的关键就是把多边形转化为已学过的图形(已有面积公式的图形)。
“组合图形的面积”就是探究求组合图形或不规则图形面积的方法,关键也就是把组合图形或不规则图形转化为已知图形,应用已知图形的面积公式求解。
所以,这两个单元解决问题的基本思路就是一脉相承。
多边形与组合图形之间没有明确的分界。
梯形就是多边形,但梯形也可以视为组合图形。
所以,组合图形不下定义,在解决问题的过程中,可以体验把图形视为组合图形就是一种解决问题的策略。
至于组合图形就是由那些基本图形组合而成,可以仁者见仁,智者见智,与学习者个人的图形经验有关。
探究“组合图形的面积”,就就是要积累这方面的图形经验。
教学时,要注意转化方法本身的合理性与简洁性。
