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2013年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3． 已知等比数列{an }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ）A. 20B. 22C. 24D. 25,7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4B. 6C. 7 D 88. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.9. 设函数2()(1)(f x x x x =--(y f =） A.0x = B. 1x = C. 3x = 10. 已知(),(),()f x g x h x 1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩A.1()2h x x =- B.C.1()2h x x =-+ D.()2h x x =+正视图：正方形 2二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）11. 若1tan tan 2,sin sin 3x y x y ==，则x y -=________________。
2012 年高考浙江卷数学答案1. 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)．【答案】A 2. 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i2＝1＋2i ． 【答案】D3. 【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A4. 【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5. 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立． 【答案】C6. 【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C =种；4个都是奇数：455C =种．∴不同的取法共有66种． 【答案】D7. 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立． 【答案】C 8. 【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣bc．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c c b y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c c b y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣b c (x －ac c a -+)，令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322c c a -，解之得：2232a c e a ==，即e． 【答案】B9. 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A10. 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的． 【答案】C 11. 略 12. 略13. 【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】3214. 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++ 两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015. 【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝ACcos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916. 【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-=另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '==⇒=． 【答案】7417. 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =18. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)19. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)9121．20. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：球的表面积公式S＝4πR2球的体积公式V＝43πR3其中R表示球的半径锥体的体积公式V＝13 Sh其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式V＝Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式V＝13h(S1＋12S S＋S2)其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积．h表示台体的高如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n(k)＝C k n P k(1－P)n－k(k＝0,1,2，…，n)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(U Q)＝() A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}2．已知i是虚数单位，则3i1i+-()A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i3．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积是()A．1 cm3B．2 cm3C．3 cm3D．6 cm34．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l是直线，α，β是两个不同的平面，()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是() 7．设a，b是两个非零向量，()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3 B．2 C D9．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5 D．610．设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞bB．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＜bC．若e a－2a＝e b－3b，则a＞bD．若e a－2a＝e b－3b，则a＜b非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为__________．12．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为2的概率是__________．13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．14．设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足10,20,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z 的取值范围是__________．15．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r__________．16．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈［0,1］时，f (x )＝x ＋1，则3()2f =__________． 17．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin Aa cos B ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n＋3，n ∈N *．(1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．20．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB，AB =，AD =2，BC =4，AA 1=2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0．22．如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线的距离为54．点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．(1)求p，t的值；(2)求△ABP面积的最大值．【自选模块】3．“数学史与不等式选讲”模块(10分)已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A．(1)若a＝1，求A；(2)若A＝R，求a的取值范围．4．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cos 3sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝＋(t 为参数)与曲线C ：2cos sin x y θθ⎧⎨⎩＝，＝(θ为参数)相交于不同两点A ，B ． (1)若π3α=，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．1． D 由已知得，U Q ＝{1,2,6}，所以P ∩(U Q )＝{1,2}．2．D ∵23i (3i)(1i)3+3i+i+i 24i12i 1i (1i)(1i)22++++====+--+， ∴选D ．3．A 由三视图得，该三棱锥底面面积S ＝12×2×1＝1(cm 2)，高为3 cm ，由体积公式，得V ＝13Sh ＝13×1×3＝1(cm 3)． 4． A l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．5．B A 项中由l ∥α，l ∥β不能确定α与β的位置关系，C 项中由α⊥β，l ⊥α可推出l ∥β或l β，D 项由α⊥β，l ∥α不能确定l 与β的位置关系．6． A y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项．7． C 由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方可得，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即a 与b 反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b ＝λa ．8． B 由题意可知椭圆的长轴长2a 1是双曲线实轴长2a 2的2倍，即a 1＝2a 2，而椭圆与双曲线有相同的焦点．故离心率之比为21212c a a c a a ==． 9． C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴13155y x+=． ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )1355y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3941213555555x y y x +++≥+=， 当且仅当31255x y y x =，即x ＝1，12y =时等号成立． 10． A 函数y ＝e x ＋2x 为单调增函数，若e a ＋2a ＝e b ＋2b ，则a ＝b ；若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，∴a ＞b ．故选A ．11．答案：160解析：根据分层抽样的特点，此样本中男生人数为560280160560420⨯=+．12．答案：25解析：五点中任取两点的不同取法共有25C 10＝种，而两点之间距离为2的情况有4种，故概率为42105=． 13．答案：1120解析：当i ＝1时，T ＝11＝1，当i ＝2时，12T =，当i ＝3时，11236T ==，当i ＝4时，116424T ==，当i ＝5时，11245120T ==，当i ＝6时，结束循环，输出1120T =．14．答案：［0，72］解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分，结合图象知，O 点，C 点分别使目标函数取得最小值、最大值，代入得最小值为0，最大值为72．15．答案：－16解析：AB u u u r ·AC u u u r ＝(AM u u u u r ＋MB u u u r )·(AM u u u u r ＋MC u u u u r )＝2AM uuuu r ＋AM u u u u r ·MC u u u u r ＋AM u u u u r ·MB u u u r＋MB u u u r ·MC u u u u r ＝|AM u u u u r |2＋(MB u u u r ＋MC u u u u r )·AM u u u u r ＋|MB u u u r ||MC u u uu r |cosπ＝9－25＝－16． 16．答案：32解析：331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=．17．答案：94解析：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x=，所以y ＝x 2＋a 到y ＝x 的，而与y ＝x 的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得94a =．18．解：(1)由b sin A cos B 及正弦定理sin sin a bA B=，得sin B B ，所以tan B π3B =．(2)由sin C ＝2sin A 及sin sin a cA C=，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac ．所以a =c =．19．解：(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1． 所以a n ＝4n －1，n ∈N *．由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *．(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *．所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n －1,2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ，所以2T n －T n ＝(4n －1)2n －［3＋4(2＋22＋…＋2n －1)］＝(4n －5)2n ＋5． 故T n ＝(4n －5)2n ＋5，n ∈N *．20． (1)证明：①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1平面ADD 1A 1， 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA ．又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA =EF ， 所以C 1B 1∥EF ，所以A 1D 1∥EF ．②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1． 又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以B 1C 1⊥BA 1．在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22，即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ．所以BA 1⊥平面B 1C 1EF ．(2)解：设BA 1与B 1F 交点为H ，连结C 1H ．由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角． 在矩形AA 1B 1B 中，2AB =AA 1=2，得6BH =． 在直角△BHC 1中，125BC =，6BH =， 得1130sin BH BC H BC ∠==所以BC 1与平面B 1C 1EF 30． 21． (1)解：由题意得f ′(x )＝12x 2－2a ．当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，f ′(x )＝12(x 6a x 6a ， 此时函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，6a 6a)．单调递减区间为［．(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2．当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6(x－3)(x＋3)，于是所以，g(x)39所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0．故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0．22．解：(1)由题意知21,51,24ptp=⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,21.pt⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x－y=0，所以设线段AB的中点为Q(m，m)．由题意，设直线AB的斜率为k(k≠0)．由211222,,y xy x⎧=⎨=⎩得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1．所以直线AB方程为y－m＝12m(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0．由22220,,x my m my x⎧-+-=⎨=⎩消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以∆＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m ．从而|AB |·|y 1－y 2| 设点P 到直线AB 的距离为d ， 则2d =． 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2 由∆＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1．令u 0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)． 设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12， 则S ′(u )＝1－6u 2．由S ′(u )＝0，得1(0,)2u =，所以S (u )max ＝S =．故△ABP 【自选模块】3．解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3． 当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0． 当12x >时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2． 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋x ＋3＝|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或13a x -≤， 所以a ＋1≤－2或113a a -+≤，得a ≤－2． 综上，a 的取值范围为a ≤－2．4．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2．将曲线C 的参数方程化为普通方程24x ＋y 2＝1． (1)当π3α=时，设点M 对应参数为t 0．直线l方程为12,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 则12028213t t t +==-，所以，点M 的坐标为(1213，-． (2)将=2+cos sin x t y t αα⎧⎪⎨⎪⎩，代入曲线C 的普通方程24x ＋y 2＝1，得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝2212cos 4sin αα+，|OP |2＝7， 所以22127cosα=+，得25tan 16α=． 由于∆＝32cos α(α－cos α)＞0， 故tan α=． 所以直线l。
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+〔0x >〕的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．假设正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．假设对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．〔用最简分数表示〕二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.〔本小题总分值16分〕已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ 〔1〕假设对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； 〔2〕假设2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.〔本小题总分值20分〕已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++〔1〕当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;〔2〕是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-假设存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由．11.〔本小题总分值20分〕如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．〔1〕求证：||||OA OC ⋅为定值；〔2〕当点A 在半圆22(2)4x y -+=〔24x ≤≤〕上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、〔此题总分值40分〕如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（每题5分，共50分）1．已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。
则满足不等式|S n -n-6|<1251的最小整数n 是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．82．设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面QPS 无关的常数3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx=（ ）A ．1B ．-1C ．2+3D ．-2+34．已知=(cos32π, sin 32π), -=, +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．21C ．2D ．23 5．过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程log bx=log b (4x-4)的根，则△ABC （ ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） A. 3x >或2x < B. 2x >或1x < C. 3x >或1x < D. 13x <<二、填空题（每题7分.共49分）11．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.12．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.13．设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于14．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________.15．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为__________.16．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。
2012年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题 工科类 一：计算题（每小题14分，共70分）1：计算：()+lim log +a ba n x x →∞2设函数f ：R R →可导，且,x y R ∀∈，满足：()()+++f x y f x y xy ≥，求()f x 的表达式。
3计算： 0sin ,n x xdx n Z π*∈⎰4计算：{}-min ,2Dx y x y dxdy ⎰⎰，其中D 是2=y x 和2=x y 所围成的封闭区域。
5求曲线{33=cos =sin x a y a θθ()0,>0a θπ≤≤的形心。
二：（本题满分20分）证明：=111+ln <<1+ln ,ni n n n Z n i *∈∑三：（本题满分20分）设2:u RR →，且u 具有二阶连续偏导，求证当u 可以表示成：()()(),=u x y f x f y 的充分必要条件是：2=u u uu x y y y∂∂∂∂∂∂∂ 。
四：（本题满分20分）在空旷的草地上有一个地面半径为3的圆柱体，在墙角栓有一头山羊，其绳长为π，求山羊能吃到草地的面积。
五：（本题满分20分）求证：()-1=1=111-1C =,k nn k nk k n Z k k*∈∑∑参考答案一、计算题1、若a b ≥ l i m l o g(a bx x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab ax xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b <时，lim log ()a b x x x x →+∞+b =， 所以lim log ()a bx x x x →+∞+max(,)a b =2、解：由假设，0y ∀>，有()()1f x y f x x y+-≥+ f 可导()1f x x +'⇒≥+同理()1()1f x x f x x -''≤+⇒=+ 2()/2f x x x c =++ 3、解：sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解：(){}(){}12,1,,/2,01/2D x y x y x D x y x y x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤(){}(){}2234,,1/21,,/2,01/2D x y xy x x D x y xy x x =≤≤≤≤=≤≤≤≤原积分12()d d ()d d D D y x x x y x y x x y =-+-⎰⎰⎰⎰34()d d ()d d D D x y x x y x y y x y +-+-⎰⎰⎰⎰211102d )d d ()d xxxx y x x y x x y x y =-+-⎰⎰⎰21112221002d ()d d ()2d xx xx x y x x y x x y y y +-+-⎰⎰⎰⎰11341456142210021211111()678851232x x x x x x x =-++-++146720112()24621x x x +-+111124724532245=++⨯⨯⨯⨯112533216642117920++=⨯⨯ 5、解：/0c LLx xds ds ==⎰⎰，d /d c LLy y s s =⎰⎰而d 3sin cos d s a θθθθ== 2d 3sin cos d sin cos 3Ls a ba d a ππθθθθθθ/===⎰⎰⎰/2324206d sin 3sin cos d 6sin cos d 5Ly s a x a a a ππθθθθθθθ===⎰⎰⎰0c x ∴= 25c y a =二、证明：显然11111d d j j jj x x x jx +-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、证明：()()u f x g y =时，显然有xy x y uu u u = 反之，若xy x y uu u u =成立，即有2()/()0xxy x y y u uu u u u u-== 1/()x u u f x ⇒= 也即1121ln ()d ()()()u f x x g y f x g y =+=+⎰ ()()u f x g y ∴=四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x 轴上3x =点，则羊跑最远的曲线在3x <的区域内是渐开线 即 3(cos (/3)sin )x t t t π=-- 3(sin (/3)cos )y t t t π=+- 记在3x <山羊能吃到草的草地面积为1S3/30213/2/32d 29sin d 2(3sin (3)cos )(3)cos d S y x t t t t t t t t ππππ=-=+--⎰⎰⎰/32029sin d t t π-⎰/32223(3)sin cos (3)cos d t t t t t t πππ⎡⎤=-+-⎣⎦⎰/32029sin d t t π-⎰/322013(3)sin (3)(sin 2)2t t t t t πππ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦/32016(3)(sin 2)9sin d 2t t t t t ππ⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦⎰()/3/3/322000191133cos 2sin 29cos 2d 2222t t t t t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰33/319sin 2349t t ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭所以山羊能吃到草的草地面积333119218S πππ=+= (方法二) 山羊能吃到草的草地面积S 可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积1S 和 绳子绕向房子时转过θ∆ 其扫过的面积可近似为扇形22r θ∆()2/33103/9S d ππθθπ=-=⎰所以311/18S π=五、证明：111110011111(1)(1)d (1)d nn n k k k k k k k knn n k k k C C t t C t t k t ---===--=-=-∑∑∑⎰⎰ 1100(1)11(1)d d n n t t t t t t ----==⎰⎰101d 1nx x x -=-⎰ 而11100111d d 1nnn k k k t t t t k t -==1-==-∑∑⎰⎰ ∴等式成立。
2012年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（50分） 1．已知i 是虚数单位，则复数122ii +-=（ ） Ai B i - C 4355i -- D 4355i -+2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x =3．已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->是命题5:[,)26q ππθ∈的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件 4．已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+，若PM P =，则实数a 的取值范围是（ ） A(,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞5．函数3sin()cos()226y x x ππ=++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132D 136．如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A AB SA ⊥ B BC 平面SADC BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成的角DSA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角7．程序框图如图所示，若22(),()log f x x g x x ==，输入x 的值为0.25，则输出的结果是（ ） A0.24 B 2- C 2 D 0.25-8．设,i j 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且25a i a j -+-=，则2a i+的取值范围是（ ）AB[5 CD[59．已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左右焦点，点A的坐标为9(,22，则12F AF ∠的平分线与轴的交点M 的坐标为（ ） A(2,0) B (2,0)- C (4,0) D (4,0)-10．设2()f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则方程(())f f x x =（ ）A 有四个相异实根B 有两个相异实根C 有一个实根D 无实数根 二、填空题（共49分）11．设直线4y ax =-与直线8y x b =-关于直线yx =对称，则___,____.a b ==12．已知1cos sin 1cos xx x-=+，则_______.x = 13．已知x R ∈+的值为_______.14．已知实数,,,a b c d 满足221ab c d =+=，则22()()a c b d -+-的最小值为_______. 15．设数列{}n a 为等比数列，且每项都大于1，则201112012111lg lg lg lg i i i a a a a =+∑的值为_______.16．设0x >，则44433311()()()11()()x x x x f x x x x x+-+=+-+的最小值为_______. 17．如图是一个残缺的33⨯幻方，此幻方每一行每一列及每一条对角线上得三个数之和有相等的值，则x 的值为_______.三、解答题（每题17分，共51分） 18．已知实数1210,,,x x x 满足101011|1|4,|2|6i i i i x x ==-≤-≤∑∑，求1210,,,x x x 的平均值.19．设P 为椭圆2212516x y +=长轴上一个动点，过点P 斜率为k 直线交椭圆于两点。
2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b Cc B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2012年高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1A二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．参考答案：1 2、92 3、11 4、(){},04-∞ 526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥，解得（结合1x >） 11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=-- ，由于12221n n +->-，故()2B f n =+． 又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21n n n n n B A =---- ，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<- ， 所以{}21,2,,21n B ⊆- ，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得≤++≤+++f f f(100)(50)501(25)25151≤+++≤+++f f(12)12377(6)6192≤+++=．…………………（16分）(3)3199108f。
2012年浙江省高中数学竞赛试题说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题,3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20道题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题一、选择题（本大题共有10小题，每小题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号内，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知i 为虚数单位，则复数122ii +=-（ ） （A ）i（B ）i -（C ）4355i -- （D ）4355i -+2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为（ ）（A ）2y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）3y x x =+（D ）tan y x = 3.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,则命题:||1p a b ->,是命题5:[,)26q ππθ∈的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件 4.已知集合{|12},{|21}P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+,若P M P =,则实数a 的的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞（B ）[1,)+∞（C ）[1,1]-（D ）[1,)-+∞5.函数)cos()26y x x ππ=++-的最大值为（ ）（A ）134（B （C （D 6.如图,四棱锥S-ABCD 的地面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下了结论中不正确的是（ ）（A ）AB ⊥SA（B ）BC ∥平面SAD（C ）BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成单调角（D ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角7.程序框图如图所示,若22(),()log f x x g x x ==,输入x 的值为0.25,则输出结果为（ ） （A ）0.24（B ）－2（C ）2（D ）－0.258.设,i j 分别为平面直角坐标系x ,y 轴上的单位向量,且|||2|5a i a j -+-=,则|2|a i +取值范围为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ） 9.已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A 的坐 标为9(,)22,则的平分线与x 轴交点M 的坐标为（ ） （A ）(2,0)（B ）(2,0)-（C ）(4,0)（D ）(4,0)-10.设2()f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根,则(())f f x x =方程（ ）（A ）有四个相异实根（B ）有两个相异实根（C ）有一个实根（D ）无实数根二、填空题(本大题共有7个小题,将正确的答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分) 11.设直线4y ax =-与8y x b =-关于直线y x =对称,则_____,_______.a b ==12.已知1|cos |sin 1|cos |x x x -=+,则________x =.13.已知x R ∈,的值为__________. 14.已知实数,,,a b c c 满足22()()a c b d -+-,则的最小值为__________.15.设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则201112012111lg lg log lg i i i a a a a =+∑的值为_______. 16.设0x >,则44433311()()()11()()x x x x f x x x x x+-+=+-+的最小值为__________. 17.如图是一个33⨯残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和有相等的值,则x 的值为_____三、解答题(本大题共3小题,每小题17分,共计51分)18.已知实数12310,,,...x x x x 满足101011|1|4,|2|6iii i x x ==-≤-≤∑∑,求12310,,,...x x x x的平均值x .19.设P 为椭圆2212516x y +=长轴上一个动点,过P 点斜率为k 的直线交椭圆与A ,B 两点.若2||PA +2||PB 的值仅依赖于k 而与P 无关,求k 的值.20.设,p q Z +∈,且2q p ≤.试证对n Z +∈,存在N Z +∈,使(n p N =且(n p N +=+2012年浙江省高中数学竞赛试题解答。
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年浙江省高中数学竞赛试题说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题,3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20道题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题一、选择题（本大题共有10小题，每小题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号内，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.已知i 为虚数单位，则复数122ii +=-（ ） （A ）i（B ）i -（C ）4355i -- （D ）4355i -+2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为（ ）（A ）2y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）3y x x =+（D ）tan y x = 3.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,则命题:||1p a b ->,是命题5:[,)26q ππθ∈的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件4.已知集合{|12},{|21}P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+,若P M P =,则实数a 的的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞（B ）[1,)+∞（C ）[1,1]-（D ）[1,)-+∞5.函数3)cos()26y x x ππ=++-的最大值为（ ） （A ）134（B 13（C 13（D 136.如图,四棱锥S-ABCD 的地面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下了结论中不正确的是（ ）（A ）AB ⊥SA（B ）BC ∥平面SAD（C ）BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成单调角（D ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角7.程序框图如图所示,若22(),()log f x x g x x ==,输入x 的值为0.25,则输出结果为（ ） （A ）0.24（B ）－2（C ）2（D ）－0.258.设,i j 分别为平面直角坐标系x ,y 轴上的单位向量,且|||2|5a i a j -+-=,则|2|a i +取值范围为（ ）（A ）[22,3]（B ）65[,22]5（C ）5,4]（D ）5[59.已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A 的坐 标为9135()2,则的平分线与x 轴交点M 的坐标为（ ） （A ）(2,0)（B ）(2,0)-（C ）(4,0)（D ）(4,0)-10.设2()f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根,则(())f f x x =方程（ ）（A ）有四个相异实根（B ）有两个相异实根（C ）有一个实根（D ）无实数根二、填空题(本大题共有7个小题,将正确的答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分) 11.设直线4y ax =-与8y x b =-关于直线y x =对称,则_____,_______.a b ==12.已知1|cos |sin 1|cos |x x x -=+,则________x =.13.已知x R ∈,2(1)1x x x x +++的值为__________. 14.已知实数,,,a b c c 满足22()()a c b d -+-,则的最小值为__________.15.设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则201112012111lg lg log lg i i i a a a a =+∑的值为_______. 16.设0x >,则44433311()()()11()()x x x x f x x x x x+-+=+-+的最小值为__________. 17.如图是一个33⨯残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和有相等的值,则x 的值为_____三、解答题(本大题共3小题,每小题17分,共计51分)18.已知实数12310,,,...x x x x 满足101011|1|4,|2|6iii i x x ==-≤-≤∑∑,求12310,,,...x x x x的平均值x .19.设P 为椭圆2212516x y +=长轴上一个动点,过P 点斜率为k 的直线交椭圆与A ,B 两点.若2||PA +2||PB 的值仅依赖于k 而与P 无关,求k 的值.20.设,p q Z +∈,且2q p ≤.试证对n Z +∈,存在N Z +∈,使22()n n p p q N N q -=-且22(n n p p q N N q +-=+-2012年浙江省高中数学竞赛试题解答。
浙江省高中数学竞赛试卷详解一、试卷概述本次浙江省高中数学竞赛旨在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
试卷总分为150分，考试时间为3小时。
二、试题特点1、注重基础：试卷中大部分题目涉及的都是高中数学的基础知识，如代数、几何、概率等。
2、突出能力：部分题目难度较大，需要学生具备一定的数学思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3、实际：试卷中的部分题目与实际问题相结合，考查学生的数学应用能力。
三、详细解析1、选择题部分选择题共10题，每题3分，总计30分。
其中，前8题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第9、10题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例1：设a、b为实数，且满足a + b = 2，则a2 + ab + b2的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：本题考查代数式的求值，需要学生运用基本不等式进行计算。
根据题意，我们有a+b=2，需要求a2+ab+b2的最小值。
利用基本不等式，可以得到a2+ab+b2⩾(a+b)2−ab=4−ab。
又因为ab⩽(2a+b21，所以a2+ab+b2⩾4−1=3。
因此，本题答案为B. 3。
2、填空题部分填空题共5题，每题4分，总计20分。
其中，前3题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第4、5题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例2：设函数f(x) = x2 + ax + b(a、b为实数)，且f(f(f(x))) = x3 + ax2 + bx + 2b。
若f(1) = 1，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 7B. 8C. 9D. 10解析：本题考查函数的求值，需要学生运用函数关系式进行计算。
根据题意，我们有f(1)=1和f(2)=4两个条件。
首先代入函数关系式得到：1+a+b=1①,4+2a+b=4②；然后我们求解这两个方程得到a=0,b=0；最后代入到原函数关系式中得到原函数为f(x)=x2从而计算得到f(3)=9；因此本题答案为C. 9。
2012年浙江省高中数学竞赛试题
说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题,3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20道题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号内，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1.已知i 为虚数单位，则复数122
i
i +=-（ ） （A ）i
（B ）i -
（C ）4355i -- （D ）43
55
i -+
2.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的函数为（ ）
（A ）2y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）3y x x =+（D ）tan y x =
3.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,则命题:||1p a b -> ,是命题5:[,)26
q ππ
θ∈的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）非充分非必要条件 4.已知集合{|12},{|21}P x x M x a x a =≤≤=-≤≤+,若P M P = ,则实数a 的的取值范围是（ ）
（A ）(,1]-∞（B ）[1,)+∞（C ）[1,1]-（D ）[1,)-+∞
5.函数)cos()26y x x ππ
=
++-的最大值为（ ）
（A ）134（B ）4（C ）2
（D 6.如图,四棱锥S-ABCD 的地面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下了结论中不正确的是（ ）
（A ）AB ⊥SA
（B ）BC ∥平面SAD
（C ）BC 与SA 所成的角等于AD 与SC 所成单调角
（D ）SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
7.程序框图如图所示,若22(),()log f x x g x x ==,输入x 的值为0.25,则输出结果为（ ） （A ）0.24（B ）－2（C ）2（D ）－0.25
8.设,i j 分别为平面直角坐标系x ,y 轴上的单位向量,且|||2|a i a j -+-= ,则|2|a i +
取值范围为
（ ）
（A ）（B ）[
5（C ）（D ）[5
9.已知12,F F 分别为双曲线22
:
1927
x y C -=的左、右焦点,点A 的坐
标为9(2,则的平分线与x 轴交点M 的坐标为（ ） （A ）(2,0)（B ）(2,0)-（C ）(4,0)（D ）(4,0)-
10.设2
()f x x bx c =++,若方程()f x x =无实根,则(())f f x x =方程（ ）
（A ）有四个相异实根（B ）有两个相异实根（C ）有一个实根（D ）无实数根
二、填空题(本大题共有7个小题,将正确的答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分) 11.设直线4y ax =-与8y x b =-关于直线y x =对称,则_____,_______.a b == 12.已知
1|cos |
sin 1|cos |
x x x -=+,则________x =.
13.已知x R ∈,
+__________.
14.已知实数,,,a b c c 满足22()()a c b d -+-,则的最小值为__________.
15.设{}n a 为等比数列,且每项都大于1,则2011
12012
11
1
lg lg log lg i i i a a a a =+∑的值为_______. 16.设0x >,则44433311
()()
()11()()
x x x x f x x x x x
+-+=
+-+的最小值为__________. 17.如图是一个33⨯残缺的幻方,此幻方每一行及每一条对角线上的三个数之和
有相等的值,则x 的值为_____
三、解答题(本大题共3小题,每小题17分,共计51分)
18.已知实数12310,,,...x x x x 满足1010
11
|1|4,|2|6i
i
i i x x ==-≤-≤∑∑,求12310
,,,...x x x x
的平均值x .
19.设P 为椭圆
22
12516
x y +=长轴上一个动点,过P 点斜率为k 的直线交椭圆与A ,B 两点.若2||PA +2||PB 的值仅依赖于k 而与P 无关,求k 的值.
20.设,p q Z +
∈,且2
q p ≤.试证对n Z +
∈,存在N Z +
∈,
使(n p N -
=-且
(n p N +
=+
2012年浙江省高中数学竞赛试题解答。
