高三上学期联考(数学文)

2023届新高考基地学校高三第三次大联考文科数学试题一、单选题1．已知复数i z =，则1z zz z +=⋅+（ ） A ．1i 2B．C ．i - D． 【答案】B【分析】若i z a b =+，则2z z a +=，222z z z a b ⋅==+.【详解】i z =，则(i)+(i)=z z +=-(i)(i)3z z ⋅==，故1z z z z +==⋅+. 故选：B.2．已知集合{}20A x x =-，集合{}0,1,2,3B =，集合{}11C x x =-<<，则()A B C =（ ） A ．(]1,1- B ．(]{}1,12-⋃ C ．(]1,2- D ．{}0【答案】B【分析】求出集合A ，然后根据交集、并集的定义求解即可．【详解】{2}A xx =∣，所以{0,1,2}A B ⋂=，所以()(1,1]{2}A B C ⋂⋃=-⋃． 故选：B ．3．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差不为0的等差数列，且满足32a b =，64a b =，则4132a ab b -=-（ ） A ．2 B ．1C ．32D ．3【答案】A【分析】根据等差数列性质：()m n a a m n d -=-，运算求解. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ∵32a b =，64a b =，则6432a b a b =-- ∴1232d d =，则41123222322a a d d b b d d -===- 故选：A.4．函数()()22241x x x x f x -+=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再确定0x >时函数值的正负，利用排除法得正确结论．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222(2)2(2)()()4114x x x xx x x x f x f x ---+-+-===---，函数为奇函数，排除A ，0x >时，410->x ，20x >，2221722()024x x x x x -+=-+=-+>，所以()0f x >，排除CD ．故选：B ．5．若x ，y 满足约束条件37,321,321,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为（ ）A ．4311-B ．32-C ．－1D ．3111-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ， 故选：C6．记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由{}n a 为各项均为正数的等比数列，且378S =，312a =,设数列公比为0q > ,可得211178a a q a q ++= ，且2112a q =，则1138a a q +=，解得112,8q a == ，故451228a =⨯= ,故选：D.7．在ABC 中，点F 为AB 的中点，2,AE EC BE =与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．47C ．34D ．23【答案】C【分析】把AP 用,AF AC 表示，然后由,,F P C 三点共线定理得出结论． 【详解】由题意()(1)AP AB BP AB BE AB AE AB AB AEλλλ=+=+=+-=-+22(1)2(22)33AF AC AF AC λλλλ=-⋅+⋅=-+，因为,,F P C 三点共线，所以22213λλ-+=，解得34λ=．故选：C ．8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e ，如果你想要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i ，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：()i e e cos isin x y x y y +=+，令0x =，πy =，则i πe 1=-，令0x =，πy n ，则i πe cos πisin πn n n =+，若数列{}n a 满足i πe n n a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的个数是（ ）①{}n a 是等比数列 ②22n n a a = ③211S = ④2n n a a +=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据题意可知1,1n n a n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数，进而即可根据所给式子逐一判断.【详解】i π1,e cos πisin π=cos π=1n n n a n n n n ⎧==+⎨-⎩为偶数，为奇数，故{}n a 是公比为1-的等比数列，A 正确，2222=1=1n n n n a a a a ，，∴=，B 正确，2111S a ==-，故C 错误，由{}n a 的定义可知2n n a a +=，故D 正确， 故选：C9．已知点O 为ABC 的外心，2340,OA OB OC ABC ++=的外接圆的半径为1，则OA 与OB 的夹角的正弦值为（ ）A B ．14C ．14-D 【答案】A【分析】由已知可得：234OA OB OC +=-，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OA OB OC ===，即可得出结果；【详解】2340OA OB OC ++=，∴234OA OB OC +=-， ∴222164912OC OA OB OA OB =++⋅，又1OA OB OC ===，164912cos ,OA OB ∴=++，∴1cos ,4OA OB =， 而[],0,πOA OB ∈，故sin ,415OA OB =故选：A10．已知函数()32f x x x =-，若过点()2,A a 能作三条直线与()f x 的图像相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[)4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()4,4-【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到a 的取值范围.【详解】由已知：()32f x x x =-，故()232f x x '=-，设切点为()3,2m m m -所以切线斜率为2=32k m -，切线方程为()()()32232y m m m x m --=--,将A 点坐标代入切线方程可得()()()322322a m m m m --=--化简可得 ()()32322322=264a m m m m m m =-----+-即函数()g x a =与函数32264y m m =-+-有三个不同的交点. 故2612y m m '=-+，当(),0m -∞时，0'<y ，函数y 单调递减 当()0,2m 时，0'>y ，函数y 单调递增 当()2,m +∞时，0'<y ，函数y 单调递减 且0m =时，4y =-,，且2m =时，4y = 所以a 的取值范围为()4,4a ∈- 故选：D11．设2021202220231ln ,,e 20222022a b c -===，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【分析】构造两个函数()ln(1)f x x x =-+，01x <<，与1()e x g x x -=-，01x <<，利用导数确定单调性后可得．【详解】设()ln(1)f x x x =-+，01x <<，则1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)0f x f >=，ln(1)x x >+，1012022<<，所以112023ln(1)ln 202220222022>+=， 设1()e x g x x -=-，01x <<，则1()e 10x g x -'=-<，()g x 在(0,1)上递减， ()(1)0g x g >=，1ex x ->，1120221e2022->，即202120221e 2022->， 所以c b a >>． 故选：D ．12．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()1y f x =+的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由函数(1)y f x =+与()y f x =的关系得其最小正周期，判断B ，利用周期性与奇偶性求得(1)f -和(1)f 判断C ，假若A 成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A ，利用周期性与奇偶性得出1()2f 与3()2f 的关系判断D ．【详解】(1)y f x =+的最小正周期是2，则()y f x =的最小正周期是2，B 错； ∴(1)(1)f f -=-又(1)(1)f f -=，∴(1)(1)0f f =-=，C 正确；若()()11f x f x +=-+，又(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x -=-+，令1x t -=，则有()()f t f t =-，因此()f x 是偶函数，与题意不符，A 错；311()()()222f f f =-=-，∴31()()022f f +=，D 错． 故选：C ．二、填空题13．若向量,a b 满足2,21,b a b a =+=与a b +垂直，则a =__________．【分析】由向量垂直得22a b a a ⋅=-=-，然后由已知模等式21a b +=平方后可得． 【详解】a 与a b +垂直，则2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，22a b a a ⋅=-=-， 22222(2)441a b a b a a b b +=+=+⋅+=，即2224421a a -+⨯=，5a =，14．若πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到cos 2y x =的图象，则ϕ的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）【答案】π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，再根据0ϕ>，取合适的一个ϕ的值即可.【详解】解：πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>后得到的函数为()ππcos 2cos 22cos 233y x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，解得ππ,Z 6k k ϕ=-∈，又0ϕ> 所以ϕ的值可以是当0k =时，π6ϕ=. 故答案为：π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）15．已知点P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，当1m >时，2m ＋n 的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解最小值. 【详解】P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，所以1111n mm n，因为1m >，所以0n >，所以122=212222m n nn nn，当且仅当n =故2m n +的最小值为2.故答案为：216．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A +=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________． 【答案】32【分析】已知条件113tan tan sin B C bc A+=⋅，利用切化弦，两角和的正弦公式，正弦定理化简可得23a =，已知条件()1sin sin 2C B A -=，利用和差角的正弦公式和正弦定理，解得43cos ab C =，最后用余弦定理解得22c b -. 【详解】ABC 中，1cos tan sin B B B =，1cos tan sin CC C=，sin cos cos sin sin()sin(π)sin C B C B C B A A +=+=-=，由正弦定理有sin sin A B ba=，sin sin c A a C =， 由113tan tan sin B C bc A +=⋅，得cos cos 3sin sin sin B C B C bc A +=⋅， 有sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A +=⋅，即sin 3sin sin sin A B C bc A=⋅，3sin sin a b C ba C=，得23a =， 由()1sin sin 2C B A -=，可得2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B -=+，即sin cos 3cos sin C B C B =，代入sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A+=⋅，得4cos 33sin sin sin C C bc A ab C ==⋅，∴43cos ab C =， 由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-22332c b =+-，得2232c b -=，故答案为：32三、解答题17．已知公比的绝对值大于1的等比数列{}n a 中的前三项恰为32,2,3,8--中的三个数，n S 为数列(){}21nn a +的前n 项和．(1)求n a ； (2)求n S ．【答案】(1)()2112nn n a -=-⋅； (2)()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-.【分析】（1）根据题意确定前三项，结合等比数列通项公式可得结果； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意可知，1232,8,32a a a =-==-， 所以公比214a q a ==-，所以()()()112112412n n n n n a a q ---==--=-⋅； （2）由（1）知，()2112nn n a -=-⋅，()()()21212112n n nn b n a n -=+=+-⋅⋅，所以()()135213*********nn n n S -=-⨯+⨯-⨯+-⋅+⋅+， 所以()()51213732527214122n n n n S ++=⨯-⨯+⨯+-⋅+⋅+-，所以()()()1135212153222222122112nn n n n S n +-+=-⨯+⨯-⨯++-⋅-+⋅-⋅，()()()12116142112614n n n n -+⎡⎤--⎣⎦=++⋅-⋅-+ ()()()212121412211255n nn n n ++=⋅-⋅++⋅-⋅- ()21107141255nn n ++=-⋅⋅-， 所以()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-. 18．已知()()22662,2cos ,cos sin ,sin ,3,422a b c θθθθ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭． (1)若a 与c 的夹角为钝角,()0,θπ∈,求cos θ的取值范围；(2)若函数()1f a b θ=⋅-在[]0,m θ∈上有10个零点,求m 的取值范围． 【答案】(1)1,⎛⎛-⋃ ⎝⎭⎝⎭(2)5921124ππ≤<m【分析】(1)根据a 与c 的夹角为钝角,可得a 与c 数量积小于零,且a 与c 不共线,化简求出cos θ范围即可.(2)根据()1f a b θ=⋅-的解析式及[]0,m θ∈进行换元,转化为2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出m的取值范围.【详解】（1）解:由题知,a 与c 的夹角为钝角,所以0a c ⋅<且a 与c 不共线,则有()()2,2cos 3,48cos 0,cos θθθ⋅=⋅-=-<a c 且6cos 0,cos θθ≠≠因为()0,θπ∈,故222232cos 1,,338θ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （2）由题知,()2213cos 3sin 2cos sin 12sin(2)13πθθθθθθ=⋅-=-+-=+-f a b ,令2,,2333πππθ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦t t m , 则()f θ在[]0,m θ∈上有10个零点,即2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点,画出2sin 1=-y t 的图像如下所示故只需61652636πππ≤+<m ,解得5921124ππ≤<m , 故5921124ππ≤<m . 19．已知数列{}n a 满足11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数时为偶数时，11a =(1)若数列{}n b 为数列{}n a 的奇数项组成的数列，{}n c 为数列{}n a 的偶数项组成的数列，求出123,,c c c ，并证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的前10项和． 【答案】(1)答案见解析； (2)105S =-．【分析】（1）由已知递推关系求出数列{}n a 前几项，易得123,,c c c ，利用已知递推关系得出21n a +与21n a -的关系即得1n b +与n b 的关系，从而证明{}n b 是等差数列； （2）用分组求和法求10S ．【详解】（1）由定义，11a =，22a =，30a =，41a =，51a =-，60a =，72a =-，81a =-，93a =-，102a =-，所以12c =，21c =，30c =，1212212121211n n n n n n b a a a a b ++--==-=+-=-=-，所以11n n b b ，所以{}n b 是等差数列，公差为1-；（2）由（1）1n n c b =+，111b a ==，1255451(1)52b b b ⨯+++=⨯+⨯-=-， 10125125()()S b b b c c c =+++++++1252()52(5)55b b b =++++=⨯-+=-．20．如图，ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CD AB BC =．(1)证明：sin sin BAC DAC ∠∠=；(2)若2,1,7AB AC BC ===ABD △的面积．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为AD CD AB BC =，所以BC CD AB AD =， 在ABC 中，由正弦定理有：sin sin BAC C BC AB ∠=， 在ACD 中，由正弦定理有：sin sin DAC C DC AD ∠=， 所以sin sin sin sin BC CD AB A BAC C C CD DA ==∠=∠， 所以sin sin ∠=∠BAC DAC ，而BAC DAC ∠≠∠，所以πBAC DAC ∠+∠=，所以sin sin BAC DAC ∠∠=.（2）因为2,1,7AB AC BC ===ABC 中，由余弦定理有：222222171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯， 因为BAC ∠是三角形的内角，所以2π3BAC ∠=， 由（1）有：πBAC DAC ∠+∠=，所以π3DAC ∠=， 所以AD 是BAC ∠的角平分线，所以21BD AB DC AC ==，所以BD CD ==，又AD CD AB BC =，所以23AD =，所以112sin 2223ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=. 21．已知函数()()2e 24x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦有两个极值点()1212,x x x x <．(1)若120x x <<，求a 的取值范围；(2)当4a 时，求()()12f x f x ⋅的最大值．【答案】(1)a >(2)4e -．【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '=有两个不等正根（转化为一元二次方程有两个不等正根）可得参数范围；（2）由（1）得出极值点12,x x 满足12x x a +=，122x x =，计算12()()f x f x 化为a 的函数，然后引入新函数，利用导数求得其最大值．【详解】（1）2()e (2)x f x x ax '=-+，由题意220x ax -+=有两个不等的正根，所以21212Δ80020a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得a >（2）由（1）知12x x a +=，122x x =，1222121122()()e [(2)4]e [(2)4]x x f x f x x a x x a x =-++⋅-++12e [x x +=22222121212121212(2)16(2)()4()4(2)()]x x a x x a x x x x x x a x x +++-++++-++ 22e [42(2)162(2)4(4)4(2)a a a a a a a =+++-++--+]4e (3)a a =--，设()e (3),4x g x x x =--≥，则()e (2)x g x x '=--，4x ≥时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以4()(4)e g x g ≤=-，从而412()()e f x f x ≤-，所以12()()f x f x 的最大值是4e -．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值点问题，求与极值点有关的最值．解题关键是理解极值点的定义，第一小问极值点的存在性转化为一元二次方程有两个不等的正根，由此可得参数范围，第二小问求二元函数的最值，关键是利用极值点与参数a 的关系把二元函数转化为一元函数，从而再利用导数求最值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为5cos 2sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程；(2)若A B ， 分别为曲线1C ，曲线2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】(1)1C 的普通方程为21,(0)y x x =-≥，曲线2C 的极坐标方程为210cos 4sin 280ρθθ-++=.(2)1.【分析】（1）根据消参法可求得1C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）设1),0A t t -≥，求得其与点(5,2)P -距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得AB 的最小值．【详解】（1）由题意曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）。

2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。

绝密★启用前2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考 文科数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,3,5,7,9,{25}M N xx ==-<<∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,3 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4 D.{}1,2,5,7,9 2.设()12i 2i a b ++=-，其中,a b 为实数，则（ ） A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-=- D.1,1a b =-=3.2022年5月，居民消费价格走势为113.52点，同比增长率为2.01%，增速高于平均值1.105%，增速乐观.下表统计了近6年的消费价格走势，令2015年12月时，0x =；2016年6月时，1x =，依次类推，得到x与居民消费价格y （点）的线性回归方程为ˆ99.5 1.1yx =+.由此可估计，2022年6月份的消费价格约为（ ）A.113.5点B.113.8点C.117.3点D.119.1点 4.设向量,a b的夹角的余弦值为4，且2,25a b ==，则()2a b b -⋅=（ ） A.3 B.4 C.10- D.6 5.函数()22sin x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像大致为（ ） A. B.C. D.6.若曲线()()2cos f x x k x =+在点()()π,πf 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k =（）B.± C.2±D.2π7.已知数列{}n a 中，12a =，()*122n n n a a n a +=∈+N ，则数列1n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和10S =（ ）A.1611 B.1811C.2011 D.28.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.463 B.212 C.493D.129.已知椭圆222:1(0)4x y C b b +=>，直线:l y x =+C 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 D.210.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知17AA =，点O 在棱1AA 上，且4AO =，则正方体表面上到点O 距离为5的点的轨迹的总长度为（ ）A.15π2 B.(4π+ C.17π2D.(4π+ 11.已知函数()()πcos 2sin 206f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A.25,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C.17,66⎛⎫ ⎪⎝⎭D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四而体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm 的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为（ ）3 3 3 3 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2,2,24,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩则3z x y =-的最大值是__________.14.设点M 在直线10x y +-=上，M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，则M 的半径为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a n =+-，则5a =__________.16.已知直线l 经过双曲线22:13y C x -=的右焦点F ，并与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且2FA FB =.若点A 关于原点的对称点为P ，则PAB 的面积为__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）国内某奶茶店以茶饮和甜品为主打，运用复合创新思维顺势推出最新一代立体复合型餐饮业态，在武汉､重庆､南京都有分布，该公司现对两款畅销茶饮进行推广调查，得到下面的列联表；（1）根据上表，分别估计男､女购买这款茶饮，选购A 款的概率； （2）能否有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关？参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：)2n k0.152.07218.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知122AD AA AB ===，E 为BC 中点，连接1D E ，F 为线段1D E 上的一点，且12D F EF =.（1）证明：DF ⊥平面1AD E ； （2）求三棱锥1D ADD F -的体积. 19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 1cos b B a A+=. （1）证明：2B A =； （2）若3(02),22b a ac =<<=，求,a b 的值. 20.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x a x ax =+.其中0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，如果对任意的1x ，()20,x ∈+∞，()()12122f x f x x x -≥-，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过动点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线的两条切线，切点为,P Q ，直线PQ 交x 轴于点A ，且当0m =时，2PA =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）证明：点A 为定点，并求出其坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 分别交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()261f x x x =---. （1）求不等式()f x x ≥的解集；（2）若函数()31y f x x =+-的最小值为m ，正实数a ，b 满足12m a b+=，求2a b +的最小值. 2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考·文科数学 参考答案､提示及评分细则1.【答案】A 【解析】{}{1,3,5,7,9},{|25},1,3M N x x M N ==-<<∴⋂=.故选A.2.【答案】D【解析】()0,12i 2i,22,a b a b a +=⎧++=-∴⎨=-⎩解得1,1.a b =-⎧⎨=⎩故选D.3.【答案】B【解析】把13x =代入，得99.5 1.113113.8y =+⨯=.故选B. 4.【答案】C【解析】由题意可得()2252255,20,22104a b b a b b a b b ⋅=⨯>==∴-⋅=⋅-=-.故选C. 5.【答案】A【解析】由()()22sin xxf x x -=-，可知()()()()()22sin 22sin xx x x f x x x f x ---=--=-=，函数是偶函数，排除选项C.又()00f =，ππ22π2202f -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除选项B ，D.故A.6.【答案】B【解析】∵()()2cos f x x k x =+，∵()()2cos 2sin f x x x k x '=-+，∵()π2f '=-. ∵()()π2πf k =-+，∵切线方程为()()2π2πy k x ++=--，可化为2y x k =--. 令0x =，得y k =-；令0y =，得2k x =-.∵1222k k ⨯-⨯-=，解得k =±.故选B. 7.【答案】C 【解析】∵122n n n a a a +=+，∵1211122n n n n a a a a ++==+，∵11112n n a a +-=. ∵数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列，∵()1111222n n n a =+-⨯=，∵2na n =. ∵()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， ∵数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和1011111202122223101111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C. 8.【答案】D【解析】由三视图还原该几何体，得几何体如图所示.则该几何体的体积为1422421122⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选D.9.【答案】B【解析】联立2221,4x y b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22242840b x b +++-=.()422Δ16470b b b ∴=+-=，即22223. 1.b c a b =∴=-=∴离心率为12c a =.故选B. 10.【答案】C【解析】依题意，∵4OA =，17AA =，5OE OF ==，∵13AE OA ==，14A F OA ==， 且OE OF ⊥.在平面11AA B B 内满足条件的点的轨迹为EF ，长度为5π2； 同理，在平面11AA D D 内满足条件的点轨迹长度为5π2； 在平面1111A B C D 内满足条件的点的轨迹为以1A 为圆心，1A F 为半径的圆弧，长度为2π； 同理，在平面ABCD 内满足条件的点的轨迹为以A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为3π2. 故轨迹的总长度为17π2.故选C. 11.【答案】D【解析】()πππcos 2sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin 666f x x x x x x ωωωω⎛⎫=-+=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭1cos 222x x ωω= πcos 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.∵()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，∵ππ3ππ232ω≤+<，∵1766ω≤<.故选D. 12.【答案】C【解析】如图，设该圆柱的底面半径为r BE =，高2h BC =. 由题可知，2CD =，AD =AC =又AB BEAC CD=，2hr =，)2h r =-. ∵圆柱的体积()22V π2r h rr ==⋅-，()243V r r '=-.可知，当40,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>；当4,23r ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，V 0'<. ∵当43r =时，max 27V =. 故选：C13.【答案】2【解析】作出可行域如图所示，则由图可知，当(),x y 取点()2,0时，z 取最大值为2.14.【答案】1或5【解析】由点M 在直线10x y +-=上，设(),1M a a -. 又M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，∴半径r a ==0a <.解得1a =-或5a =-.则M 的半径为1或5.15.【答案】33 【解析】1124,23n n n n S a n S a n ++=+-∴=+-.两式相减，得111221,12n n n n n a a a a a +++=-+∴+=.()111121, 2.1n n n n a a a a ++-∴-=-∴=-又当1n =时，1123a a =-，即112,a -=∴数列{}1n a -是以2为首项，2为公比的等比数列.12n n a ∴-=，即552 1.2133n n a a =+∴=+=.16.【解析】设直线l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+.联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩化简，得()22121222129311290.,1331m m y my y y y y m m -++=∴+==--. 2FA FB =，即122y y =-，则22222129,21313m y y m m -==--，即222212912,131335m m m m⎛⎫=∴= ⎪--⎝⎭.12222134PAB OABSSy y m ∴==-===-17.【答案】（1）男性：45；女性：35（2）有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关 【解析】（1）男性中，购买A 款茶饮的概率为80480205=+，.女性中，购买A 款茶饮的概率为60360405=+；（2）由题意，得22200(80402060)2009.52381406010010021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，9.52386.635,>∴有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关.18.【答案】（1）略（2）49【解析】（1）证明：连接DE .依题意，可知DE AE ==∵222AD DE AE =+，即AE DE ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∵1D D AE ⊥.又1D D DE D ⋂=，∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，AE ⊥平面1D DE . ∵DF ⊂平面1D DE ，∵AE DF ⊥，同理，可知1D E ==EF =， ∵1ED ED EF ED=，即1DEF D ED △∽△，∵190DFE D DE ∠=∠=︒.∵1DF D E ⊥. ∵AE ⊂平面1AD E ，1D E ⊂平面1AD E ，且1AE D E E ⋂=，∵DF ⊥平面1AD E ；（2）由题可知111-? 2 3D AD FF ADD E ADD V V V --===三椎三椎三椎棱棱棱 21142213329⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭19.【答案】（1）略（2）812,55a b == 【解析】（1）证明：由正弦定理有sin cos 1sin cos B B A A +=， 可得sin cos sin cos sin B A A B A -=，.可得()sin sin B A A -=，又由0,0A B ππ<<<<，可得B A ππ-<-<，由sin 0A >，可得0B A ->，有0B A π<-<，可得B A A -=或B A A π-+=（舍去），可得2B A =；（2）由2B A =，有sin sin2B A =，可得sin 2sin cos B A A =，有2cos b a A =，又由32b a =，可得3cos 4A =， 在ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，有2299442a a a =+-，解得85a =或2a =（舍去）， 可得8,512.5ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20.【答案】（1）详解见解析（2）(],1-∞-【解析】（1）()()21a x a f x ax x x+'=+=，当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）假设12x x ≥，而0a <，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递减，∵()()12f x f x ≤， ∵()()12122f x f x x x -≥-化简为()()112222f x x f x x +≤+， 令()()2g x f x x =+，则()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()20a g x ax x '=++≤，即()22222121211111x x x x a x x x--+-≤=-=-+++， ∵1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-.21.【答案】（1）24y x =（2）点A 为定点，其坐标为()1,0，证明略 【解析】（1）设过点P 且与抛物线相切的直线为():2p l x k y m =--， 联立()22,,2y px p x k y m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩化简得22220y pky pkm p -++=， ()22Δ(2)420pk pkm p ∴=-⨯+=，化简得220pk km p --=， 当0m =时，1k =±.此时， 2.1,22p PA MA PB p ===∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PM 的斜率为PM k ，直线QM 的斜率为QM k ， 由（1）可知，122,2,,1PM QM PM QM PM QM y k y k k k m k k ==+=⋅=-，∴直线PQ 的方程为112121y y x x y y x x --=--.令0y =，得211222121444y x y y y y y --=--， 整理得1222144PM QM k k y y x ⋅=-=-=.故点A 为定点，坐标为()1,0.22.【答案】（1）直线l：10x -=；曲线C ：22430x y y +--=（2）2【解析】（1）∵π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∵cos sin 10ρθθ--=， ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∵直线l的直角坐标方程为10x --=， ∵曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ，得()2227x y +-=. ∵曲线C 的普通方程为22430x y y +--=；（2）在直线10x -=中，令0y =，得()1,0P ，可设直线l的参数方程为1,2,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22430x y y +--=中，代简，整理可得)2220t t +-=，则)2280∆=+>， 令方程的两个根为1t ，2t ，∵122t t =-，∵122PA PB t t ⋅==. 23.【答案】（1）74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（2）94【解析】（1）()()5,1,26137,13,5, 3.x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=---=-+<<⎨⎪-≥⎩当()f x x ≥时，1,5x x x ≤⎧⎨-+≥⎩或13,37x x x <<⎧⎨-+≥⎩或3,5,x x x ≥⎧⎨-≥⎩解得74x ≤，则解集为74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； （2）()312621y f x x x x =+-=-+-()262226224x x x x =-+-≥---=，∵4m =，124a b+=，∵a ，b 为正实数，∵()1121229225444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22,124,a b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即3,434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.。

绝密★启用前河南省九师联盟2022届高三毕业班上学期9月教学质量联考检测数学(文)试题2021年9月考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上作答无效．．．．．。

4.本试卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设命题p：∀x>0，x2>0，则¬p为A.∃x0≤0，x02≤0B.∀x≤0，x2>0C.∀x>0，x2≤0D.∃x0>0，x02≤02.已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝A.{0，1，2，3}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{－1，0，1，2}3.函数f(x)x1-＋ln(x＋1)的定义域是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)∪(1，＋∞)D.(0，1)4.“x＋y>>2”是“x1y1>⎧⎨>⎩”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：∃x0>0，lnx0<0；命题q：∀x∈R，e x>1，则下列命题为真命题的是A.¬p∨qB.p∧qC.p∧¬qD.¬(p∨q)6.若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a7.函数f(x)＝x2(2x＋2－x)的图象大致为8.甲、乙、丙、丁四位学生中，其中有一位做了一件好事，但不知道是哪一位学生。

豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。

高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。

2010—2011学年度上学期期末考试高三年级文科数学试卷命现学校：东北育才学校第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.7.设/是虚数单位，则复数等于A. B. C. D.8.已知全集U=R，集合，与B=，则正确表示集合A,B 关系的韦恩（Venn)图是9.已知-7, a1, a2 —1四个实数成等差数列，-4，b1 b2, b3-1五个实数成等比数列，则.等于A. 1B. 2C. -1D. 土 110.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图予可哮为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①②B.②③C. ③④D.①④11.分别在区间和1内任取一个实数，依次记为m和n,则的概率为A. B. C. D.12.若且，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.13.若’在平面区域上取得最小值时的最优解有无穷多个，则Z的最小值是A. -1B. 1C. OD.8 圆.关于直线，成轴对称图形，则a -b的取值范围是A. B. C. D.9.已知，记.，要得到函数的图像，只需将函数.的图像A.向左平移个单位长度B.向右平移.个单位长度C-向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度10.矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折起，使面面DAC，则四面体的外接球的体积为A. B. C. D.11.若<，则方程.在上恰有A. 0个根B. 1个根C. 2个根D.3个根12.已知点P是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为A. 5B.4C.3D. 2第II卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22—24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定义某种运算，运算原理如图所示，则式子：的值是______14.己知抛物线“的焦点为F，准线与X轴的交点为M,N为抛物线上的一点，且满足，则=______15. 若数列满足为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则=__________________16. 设为钝角三角形的三条边，那么实数G 的取值范围是__________________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本题满分12分）己知函数的部分图象如图所示.A. 求函数.的解析式；B. 若，求的值.18. (本小题满分12分）甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的数学科目成绩，釆用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：(规定考试成绩在内为优秀）甲校.乙校：(A) 计算x,y 的值，并分别估计两上学校数学成绩的优秀率； (B)由以上统计数据填写下面2X2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.19(本小题满分12分) 已知斜三棱柱的底面是直角三角形，点B 1在底面上射影D落在BC 上.A. 求证：平面；B. 若，且，求证.B. (本小题满分12分）已知椭圆C 过点，两个焦点为.、B (1, 0) ,O 为坐标原点. (I )求椭圆C 的方程；(I I )直线/过点J (一 1, 0),且与椭圆C 交于尸两点，求的内切圆面积的最大值.B. (本题满分12分）己知函数 (I )求函数的图像在处的切线方程；(II )求的最大值；(III)设实数a>0，求函数在上的最小值.请考生在第（22〉、（23)、（24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足23z z +=-（i 为虚数单位），则z =（）．A.1+B.1C.1-D.1-2.已知向量()2,1a = ，()2,b m m =- ，若a b ∥ ，则m =（）．A.4- B.2- C.2D.43.在等比数列{}n a 中，若23138a a a =，则48a a =（）．A.2B. C.4D.84.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则“a β⊥”是“a b ⊥r r”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合()(){},ln 1A x y y x ==+，(){}22,1B x y xy =+=，则A B ⋂中的元素个数为（）．A.1B.2C.3D.46.22π7πsinsin 1212-=（）．A.2B.12C.12-D.2-7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为23，45，34，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（）．A.1013B.23 C.713D.7308.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的垂线l ，直线l 与C交于A ，B 两点，若ABF △的面积为3，则C 的离心率为（）．A.3B.C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个10.若01a b <<<，则（）．A.a b +>+B.cos sin a b >C .log a bb a>D.ln ln a b a b-<-11.在四棱锥S ABCD -中，已知底面ABCD 为梯形，2222AD AB BC CD SD =====，AS =，则下列说法正确的是（）．A.四边形ABCD 的面积为4B.棱SB 的长度可能为C.若SD AB ⊥，则点A 到平面SBD 的距离为1D.若SD AB ⊥，则四棱锥S ABCD -外接球的半径为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．13.已知函数()()cos f x x ωϕ=+在区间24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且42233f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f =__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．17.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，过点F 且互相垂直的两条动直线分别与E 交于点A ，B和点C ，D ，当AB CD =时，8AB =．（1）求E 的方程；（2）设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，若直线AB 的斜率为正，且18FN FM=，求直线AB 和CD 的方程．18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：对无人驾驶的态度支持中立反对频数483216用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．（3）从该校任选n 名学生，其中得分为5的学生人数为X ，若30.944nn P X ⎛⎫≤≤≥ ⎪⎝⎭，利用下面所给的两个结论，求正整数n 的最小值．结论一：若随机变量(),B n p ξ ，则随机变量η=近似服从正态分布()0,1N ；结论二：若随机变量()0,1N ξ ，则()1.280.9P ξ≤≈，()1.650.95P ξ≤≈．19.已知函数()221ln 11x x f x x x x -=--+-．（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数；（3）设10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()()()22211111nk k k k k k -+++<+-L ．附：()()2222211ln 111x x x x x x x '⎛⎫-+= ⎪+--+-⎝⎭，()()22212ln 111x x x x x x x x '--⎛⎫= ⎪+--+-⎝⎭．2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】18【13题答案】【答案】12##0.5【14题答案】【答案】24e 1+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明见详解（2）5【16题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【17题答案】【答案】（1）24y x=（2）:210AB x y --=，:220CD x y +-=【18题答案】【答案】（1）1118（2）772（3）11【19题答案】【答案】（1）(),111122,,⎛⎛⎫+-∞--+∞ ⎝⎭⎝⎭（2）1（3）证明见解析。

皖江名校联盟2021届高三上学期第三次联考数学(文科)本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|y 2＝2x －4，x ∈R ，y ∈R}，B ＝{x|x 2－2x<15}，则A ∩B ＝ A.(－3，2] B.[2，5) C.(－5，2] D.[2，3)2.复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z ＋z ；②z －z ；③z ·z ；④z z其结果一定是实数的是A.①②B.②④C.②③D.①③3.若两条直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a ，b 不相交”是“α//β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)＝21xx e e 的图象大致为5.已知函数f(x)的导函数y ＝f'(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是A.f(－1)＝f(3)B.f(－1)<f(3)C.f(3)<f(5)D.f(－1)>f(5)6.某城镇为改善当地生态环境，2016年初投入资金120万元，以后每年投入资金比上一年增加10万元，从2020年初开始每年投入资金比上一年增加10%，到2025年底该城镇生态环境建设共投资大约为A.1600万元B.1660万元C.1700万元D.1810万元7.已知等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T n 的最大值为 A.215 B.214 C.213 D.212 8.已知将向量a ＝(123)绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b ＝62-62+ 62+62-) 26-26+ 26+26-) 9.已知实数a ，b 满足lna ＋lnb ＝ln(a ＋b ＋3)，则a ＋b 的最小值为 3 B.4 5 D.610.已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数与偶函数，若f(x)＝g(x)＋cos(x ＋3π)，则 A.x ＝2π时，f(x)取最大值 B.x ＝2π时，g(x)取最大值 C.f(x)在(0，2π)上单调递减 D.g(x)在(0，2π)上单调递减 11.已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足3PA 2PB PC 0++=，则|PA |＝A.797 7 712.已知关于x 的方程e x ＝ax 2有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是A.(12e ，＋∞) B.(2e 4，＋∞) C.(e ，＋∞) D.(e 2，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年湖北六校新高考联盟学校高三年级11月联考数学评分细则选择题：题号123456789101112答案ADCBCBABACBCDABCBCD填空题：13.()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤14.2-15.(],e -∞16．3，,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩1.20231=1z i i =+-，z i 在复平面上对应的点为（1,1），该点在第一象限,故选A.2.{}()()21,13,A x x A =->=-∞+∞ ，，()0,2B =，所以(0,1)A B = ，故选D.3.sin cos 2cos 2,22k k k Z ππααπαπ⎛⎫⎛⎫=-+=-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222k k ππβαπαπ∴-+-+或.选C4.因为33x y >，所以x y >，故1133xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B .5.3126a a d π-==,202312023202266a a ππ=+⋅=，202320231sin sinsin(337)sin 6662a ππππ==+=-=-,故选C.6.由余弦定理得2222cos 22a cb a bc B c ac +-+==⨯，21c a b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选B ．7.由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+2cos sin 22=-+=αα．故选A.8．因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令4x πθ=+,则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-令()0f θ'=，得cos 1θ=-或1cos 2θ=当11cos 2θ-<<，即5(2,2)33k k ππθππ∈++，k Z ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减；当1cos 12θ<<，即(2,2)33k k ππθππ∈-++，k Z ∈时，()0f θ'>,()f θ单调递增；又()f θ周期为2π，所以=23k k Z πθπ+∈，时，()f θ取得最大值，所以()max33133222222f x =⨯+⨯=,故选B.9．因为(1,3),(,2)a b x =-=，所以()212,1a b x -=--- ，10．对于选项A，令t =，则3t ≥，则()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()(3)3g t g ==，即A 错误；对于选项B，当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞，故()f x 在(,2)-∞上最小值为2．对于选项C，()()141143()=15156152f x x x x x x x ⎛⎫=++++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭，当且仅当1x =时取等对选项D，112224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤.故选BCD.11．当0x ≤时，()()'1xf x x e =+，当1x <-时，()'0f x <，故()f x 在(),1-∞-上为减函数，当10x -<<时，()'0f x >，故()f x 在()1,0-上为增函数，所以当0x ≤时，()f x 的最小值为()11f e-=-.又在R 上，()f x 的图像如图所示：因为()g x 有两个不同的零点，所以方程()f x m =有两个不同的解，即直线y m =与()y f x =有两个不同交点且交点的横坐标分别为12,x x ，故12m <<或0m =或1m e=-.若12m <<，则122x x +=；若0m =，则123x x +=；若1m e =-，则1211132x x e e+=-++=+.综上，选ABC.12．因为111ln(1)1x x x <+<+，令7x =，1118ln(1)ln 17877=<+=+，则188e 7<，故A 错误；因为111ln(1lnx x x x ++=<，则2ln 11<，31ln 22<，…，81ln 77<，以上各式相加有11ln 8127<+++ ，B 正确；因为111ln 1ln 1x x x x +⎛⎫<+= ⎪+⎝⎭，则12ln 21<，13ln 32<，…，18ln 87<，以上各式相加有111ln 8238+++< ，C 正确；由11ln(1x x +<得，1ln(11x x +<，即1ln(1)1xx+<，1(1e x x +<，因此0188888018C C C 1(1)e 8888+++=+< ，所以D 正确．故选：BCD13.“()0,x ∀∈+∞，2230x x -->”的否定是“()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤”.14.因为()()()sin ,02,0x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，所以13322sin f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()3122f f f ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，15.由()ln f x mx x ≤，得()e ln 0x m x x x--≥，即()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，令()ln F x x x =-，则()111x F x x x-'=-=，所以当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()11F x F ≥=．令ln t x x =-，则[)1,t ∈+∞，则()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，等价于e 0t mt -≥对任意的1t ≥恒成立，等价于et m t ≤对任意的1t ≥恒成立，即mine t m t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．令()()1e t h t t t =≥，则()()22e 1e e 0tt t t t h t t t--'==≥，所以()h t 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1e h t h ≥=，所以e m ≤，所以实数m 的取值范围为(],e -∞．16.(1)当1n =时,2311a a =,由10a ≠得11a =.当2n =时,2322(1)1a a +=+,由20a ≠得22a =或21a =-，当3n =时,2332323(1)1.a a a a ++=++若22a =得33a =或32a =-;若21a =-得31a =;综上,满足条件的三项数列有三个:3,2,1或2,2,1-或1,1,1-(2)令12,n n S a a a =+++ 则233312()n n S a a a n N *=+++∈ ，从而233331121().n n n n S a a a a a +++=++++ 两式相减,结合10n a +≠得2112n n n S a a ++=-当1n =时,由(1)知11a =;当2n ≥时,2211122()()(),n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---即11()(1)0,n n n n a a a a +++--=所以1n n a a +=-或11n n a a +=+又120231,2022,a a ==-所以,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩.17.（10分）解：（1）[]3,4A =-,当5m =时，{}[]2650=1,5B x x x =-+≤，[]=1,4A B ∴ ………………5分（2）由题得B 是A 的真子集，不等式()210x m x m -++≤等价于()()10x x m --≤当1m =时，{}1B =，满足题意；当1m >时，[]1,B m =，则14m <≤；当1m <时，[],1B m =，31m -<<；综上所述，[]3,4m ∈-………………10分18.（12分）解：（1）()2cos cos f x a b x x x =⋅=+111sin2cos2sin222262x x xπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以()f x的周期22Tππ==,令2()6x k k Zππ+=∈，得(),122kx k Zππ=-+∈所以()f x的对称中心1).1222k k Zππ-+∈（，）(………………6分（2）令222262k x kπππππ-≤+≤+（k Z∈）解得36k x kππππ-≤≤+（k Z∈），由于[]0,xπ∈，所以当0k=或1时，得函数()f x的单调递增区间为06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分19.（12分）解：（1）由1121S a=-得：11a=，因为()()1122(1)n n n nS S a n a n---=----(2)n≥，所以121n na a-=+，从而由()1121n na a-+=+得112(2)1nna na-+=≥+，所以{}1na+是以2为首项，2为公比的等比数列.………………6分（2）由（1）得21nna=-，所以13521na a a a+++++()321222(1)n n+=+++-+()1214(1)14nn+-=-+-232353n n+--=.………………12分20.（12分）解：（1）由题得()sin sin()a c C c B C-=-,即(sin sin)sin sin sin()A C C CB C-=-，由于sin0C≠，则有sin sin sin()A CB C-=-，即sin()sin sin()B C C B C+-=-,即2cos sin sin0B C C-=，由于sin0C≠，则有2cos=1B，即1cos=2B，又(0,)2Bπ∈，故3Bπ=.………………6分（2）设ABC∆外接圆半径为R，则ABC∆的周长为222sin 2sin =2+(sin sin )=2+sin sin C a b c R B R C B C A A++=+++)3(1cos )33=2+33sin sin tan 2A A A A A π++=+=+,由于ABC ∆为锐角三角形，所以(,),,,tan (26221242A AA ππππ⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭所以6a b c <++<+即ABC ∆周长的取值范围是+………………12分21.（12分）解：（1）因为()1sin ()x f x e a x a R =--∈，所以()cos '=-x f x e a x ，设()(),()sin x h x f x h x e a x +=''=，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[]0,,sin 0π∈≥x x ，所以sin 0-≥a x ，而10x e -≥，所以1sin 0--≥x e a x ，即f (x )≥0恒成立，当01a <≤时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而(0)10'=-≥f a ，所以()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 在[0，π]上递增，即()(0)0f x f ≥=成立，当1a >时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而2(0)10,()02ππ''=-<=>f a f e ，所以存在[]00,x π∈，有()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当0x x π<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ，而0()(0)0f x f <=，不成立.综上：实数a 的取值范围(,1]-∞.………………6分（2）因为a =1，所以()()1sin ,0,1=--∈xf x e x x ，令()()1sin =-=---x g x f x x e x x ，所以()cos 1'=--x g x e x ，设()()u x g x ='，所以0n (i )s x u x e x +'=≥，所以()g x '在()0,1上递增，而(0)10,(1)cos110''=-<=-->g g e ，所以存在()10,1x ∈，()10g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当11x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，而(0)0,(1)1sin1120.840==---≈--<g g e e ，所以()0<g x ，即当()0,1x ∈时，()f x x <，而()10+-=-<n n n n a a f a a ，1n n a a +<，所以{a n }是递减数列.………………12分22.（12分）解：（1）由题知()f x a =有两个实数根，令()()g x f x a =-，即()ln g x x x a =--，则()g x 有两个零点，因为'1()=x g x x-，令'()=0g x 得1x =，所以在(0,1)上'()0g x <，()g x 单调递减；在(1,)+∞上'()0g x >，()g x 单调递增.故min ()(1)1g x g a ==-，则须有10a -<，即1a >.又()0aag ee--=>，22()212(1)0a a g e e a a a a =->+-=-≥，所以在(0,1)上存在1x 使得1()0g x =；在(1,)+∞上存在2x 使得2()0g x =，即1a >时，()g x 有两个零点，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.………………6分（2）由题知1122ln =ln x x x x --，要证明123x x +>，只需证2112213ln ln x x x x x x -+>⋅-设120x x <<，令21(1)x t t x =>，则只需证1113(1)(1)ln t x t x t-+>只需证3(1)1ln t t t -++>，其中1t >，只需证ln t >，其中1t >，方法一：易证明1t >时，ln>，证明如下：设2(1)()ln ,11x h x x x x -=->+，则2'2214(1)()0,1(1)(1)x h x x x x x x -=-=>>++所以()(1,)h x +∞在上单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以2(1)1ln ,1x x x x ->>+当时，所以1t >时，ln>1t >时，ln t >，>，其中1t >>1t >，只需证2441)t ++>，其中1t >，只需证10t -+>，只需证21)0>，其中1t >，显然成立，故123x x ++>得证.………………12分x =，即2,1t x x =>，，故只需证223(1)2ln ,11x x x x x ->>++设223(1)()2ln ,11x h x x x x x-=->++，则()'2224322222221(252)23(41)262()0(1)(1)(1)x x x x x x x x x h x x x x x x x x x x -+++++-++=-==>++++++()h x ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，223(1)2ln ,11x x x x x -∴>>++，即不等式3(1)1ln t t t-++>（1t >）成立所以123x x +>。

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题（答案在最后）命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}(){}3390,lg 3A x x x B x y x =+-≤=∈=-N ∣∣，则集合A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.8D.162.若复数z 满足1i34i z-=+，则z =（）A.5B.25C.5D.23.在ABC V 中，G 为ABC V 的重心，设,BA a BC b == ，则CG =（）A.1233a b - B.2133a b-+C.1233a b -+D.2133a b - 4.已知集合()(){}210,21102x A xB x x a x a a x ⎧⎫-=≤=-+++≤⎨⎬+⎩⎭∣，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A.3a ≤-或1a ≥B.3a ≤-或1a >C.3a <-或1a ≥ D.3a <-或1a >5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.4mg /mL .如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg20.3010≈）A.5B.4C.3D.26.已知实数(),1,0a b ∈-，且满足cos πcos πa b >，则下列一定正确的是（）A.sin sin a b <B.3355ab-->C.sin sin a a b b->- D.4433a b<7.已知函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，则下列一定正确的是（）A.()20221f =B.()()2f x f x =+C.()3f x +为奇函数D.()2024f x +为奇函数8.在ABC V 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222c a b ab =++，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，且12CD =，则49a b +的最小值为（）A.252B.25C.254D.24二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量)(),0,1a m b ==，则下列说法正确的是（）A.若2= a ，则1a b ⋅= B.不存在实数m ，使得a∥bC.若向量()4a a b ⊥-，则1m =或3m =D.若向量a 在b 向量上的投影向量为b - ，则,a b的夹角为2π310.已知函数()π3πsin cos 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图像可由y x =的图像向左平移π4个单位得到B.()f x 图像关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在[]0,π上值域为[]1,1-D.若()π,0,5cos22f ααα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，则2cos275α=11.已知函数()ln ,()e ln x f x x x g x a x a =-=-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 有极大值为1-B.()0g x ≥对于x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是12[e ,)-+∞C.当1a =时，过原点与曲线()()1y g x f x =--相切的直线有2条D.若关于x 的方程()()f x g x =有两个不等实根，则实数a 的取值范围是1(0,)e三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()sin2g x x =，若()()2lg 1f x g x a x ⎛⎫=⋅+⎪-⎝⎭为偶函数，则实数a =__________.13.已知ABC V 的外心为O ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且::5:6:5a b c =.若7BA BC ⋅=，则BO BA ⋅=__________.14.定义：如果集合A 存在一组两两不交（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2m A A A m m ∈≥N ，且12m A A A A ⋃⋃⋃= ，那么称无序子集组12,,,m A A A 构成集合A 的一个m 划分.若使函数()()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个零点的ω的取值集合为A ，则集合A 的所有划分的个数为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量,a b，定义新运算：2a b a b b ⋅⊕= .（1）若向量()()1,5,3,4a b =-=，求()2a b b -⊕ ；（2）若两个单位向量,a b 满足()()5323a b a b +⊕-=- ，求a b + 与b夹角的余弦值.16.已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若1a =，点D 满足2AD DB =，且3CD =，求ABC V 的面积；17.已知函数()2ln f x x ax a =-+.（1）若1x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）若存在()1,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数a 的取值范围.18.已知函数()()()2log 20,1a f x x x a a =++>≠在1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，集合()[]{}1,0,2A y y f x x ==+∈∣.（1）求a 的值，并用区间的形式表示集合A ；（2）若()()221xx x x g x a a m a a --=+-++，对1x A ∀∈，都[]20,1x ∃∈，使得()12x g x =，求实数m 的值.19.（1）当[]0,πx ∈时，求证：（i ）sin x x ≥；（ii ）21e 12xx x ≥++（2）已知函数()e sin 1xf x mx x x =+--.（i ）当1m =时，求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（ii ）讨论函数()y f x =在[]0,π上的零点个数.湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题命题学校：一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】252【14题答案】【答案】14四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）925（2）10【16题答案】【答案】（1）23π（2）334【17题答案】【答案】（1）12a =，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【18题答案】【答案】（1）2，[]2,4A =（2）12.【19题答案】【答案】（1）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；（2）（i ）0y =；（ii ）答案见解析。

湖北省黄冈中学、黄石二中2011届上学期11月高三联考（数学文）数学试题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若A = {2，3，4}，B = {x | x = n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则n m等于 （ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．213．为了得到函数sin 2y x =的图象，可以将函数sin(2)6y x π=-的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位4．已知条件{}:|231p x x ->， 条件{}2:|60q x x x +->，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且17611,35S S S 则+=的值为 （ ）A ．117B ．118C ．119D ．1206．已知x >0，y >0，x +3y =1，则yx 311+的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．4D ．327．在ABC ∆中,3,AB BC ABC ⋅=∆ 的面积33[,]22ABC S ∆∈,则AB 与BC 夹角的取值范围是 （ ）A ．[,]43ππB ．[,]64ππC ． [,]63ππD ． [,]32ππ8．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin2t（其中0≤t ≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（ ）A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]9．已知{}n a 是等比数列，41,252==a a ，则()*+∈+⋅⋅⋅++N n a a a a a a n n 13221的取值范围是（ ）A ．[)16,12B ．[)16,8C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,8 D ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡332,31610．已知函数3(0)()(1)(0)x a x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩ 若关于x 的方程()f x x =有且仅有二个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．（,2-∞）C ．[2,3)D ．（-3，-2]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数22()21f x x ax a =-+-的定义域为A , 2A ∉,则a 的取值范围是 ；12．函数1x y e +=的反函数是 ．13．已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ的比为 ．14．若βαβαβαtan tan 53)cos(51)cos(⋅=-=+，则，= ． 15．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（n N *∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且1220200x x x +++= ，则120x x += ，若5165160,0,x x x x >>⋅则的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知2()2cos 23sin cos f x x x x a =++，a 为实常数。

2023届河南省郑州外国语学校高三上学期名校联考备考卷数学（文）试题一、单选题1．设集合， 若， 则实数的取值范围是{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣A B A ⋃=m （ ）A ．B ．C ．D ．∅[3,1]--(1,3)-[1,3]-【答案】D【分析】由题意可得，求出集合B ，则可得，从而可求出实数的取值范围.B A ⊆30264m m -≤⎧⎨+≥⎩m 【详解】因为，所以．A B A ⋃=B A ⊆则由，{|04}B x x =<<可得，30264m m -≤⎧⇒⎨+≥⎩13m -≤≤故选：D ．2．下列各命题中正确命题的序号是① “若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“不是偶数，则都不是奇数”；,a b a b +a b +,a b ② 命题“”的否定是“” ；2,13x R x x ∃∈+>2,13x R x x ∀∈+≤③ “函数的最小正周期为” 是“”的必要不充分条件；22()cos sin f x ax ax =-π1a =④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”a b 0a b ⋅<A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④【答案】C【分析】依次判断每个选项的正误，再对应结论得到答案.【详解】① “若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“不是偶数，则不都是奇数”；,a b a b +a b +,a b 错误② 命题“”的否定是“” ；根据命题否定的规则判断：正确2,13x R x x ∃∈+>2,13x R x x ∀∈+≤③ “函数的最小正周期为” 是“”的必要不充分条件；22()cos sin f x ax ax =-π1a =函数的最小正周期为 ，是“”的必要不充分22()cos sin cos 2f x ax ax ax =-=π1a ⇒=±1a ⇒=±1a =条件，正确④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“，可能夹角为，错误.a b 0a b ⋅< 0a b ⋅< 180︒故答案选C【点睛】本题考查了逆否命题，命题的否定，最小正周期，充分必要条件，向量夹角，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若，c ＝3．且该三角形有两解，则6C π=a 的值可以为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】根据正弦定理可求出，再依据该三角形有两解可知，，即得角A 的取值范围，依a a c >据正弦函数的图象即可求出的取值范围，从而得解．a 【详解】由正弦定理得，且，所以，即．sin sin a c A C =6sin ,a A =a c >566A ππ<<1sin ,12A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦因为该三角形有两个解，当时只有一解，所以．sin 1A =36a <<故选：B.4．已知函数是定义域为R 的奇函数，且 ，当 时，，()f x ()()4f x f x =-20x -≤<()1f x x =则等于（ ）167()2f A ．－2B ．2C ．D ．－2727【答案】B【分析】根据奇函数性质和条件，求得函数的周期为8，再化简即可.()()4f x f x =-167()2f 【详解】函数是定义域为R 的奇函数，则有：()f x ()()f x f x =--又，则()()4f x f x =-()()4f x f x -=+则有：()()4f x f x =-+可得：()()48f x f x +=-+故，即的周期为()()8f x f x =+()f x 8则有：()()()()1677(80 3.54 3.50.50.5222f f f f f f ⎛⎫=+==-==--= ⎪⎝⎭故选：B5．已知实数满足，且，则的大小关系是,,a b c 13220a b +⨯-=()()22log 2a c x x x =+-+∈R ,,a b c （ ）A ．B ．a b c >>b a c >>C ．D ．a c b >>c b a>>【答案】B【分析】根据指数、对数函数的性质以及作差法判断即可.【详解】解：因为，所以，所以，则，即，13220a b +⨯-=123b a -+=11b a -+>0b a ->b a >又因为，()22log 2a c x x =+-+所以，所以，()22222177log 2log log 0244a c x x x ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+≥>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦a c >所以.b a c >>故选：B.6．如图所示，，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的ABC 2,60AB ABC =∠=︒中点，若，则的值为（ ）AM AB AC λμ=+ 2λμ+A ．B ．C ．D ．23-122353【答案】C【分析】根据三角形的面积公式可求得，再根据AD 为BC 边上的高，求出，从而可得出点BC BD 的位置，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理求出，D AM ,AB AC ,λμ即可得解.【详解】解：，1cos 2ABC S AB BC ABC BC =⋅⋅∠== 所以，3BC =因为AD 为BC 边上的高，所以，1sin 13BD AB ABC BC=∠==因为M 为AD 的中点，所以()11112223AM AD AB BD AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ，()11112336AB AC AB AB AC ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦又因为，AM AB AC λμ=+所以，11,36λμ==所以.223λμ+=故选：C.7．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）4y x m =+313y x nx =-+22ln y x x =+n m -=A ．11B ．12C ．D ．8-7-【答案】A【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线4y x m =+22ln y x x =+3m =-与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相43y x =-313y x nx =-+等列式求解n ，则答案可求．【详解】解：由，得，由，解得，22ln y x x =+22y x x '=+224x x +=()10x x =>则直线与曲线相切于点，4y x m =+22ln y x x =+()1,4m +∴，得，412ln11m +=+=3m =-∴直线是曲线的切线，43y x =-313y x nx =-+由，得，设切点为，313y x nx =-+23y x n '=-()3,13t t nt -+则，且，联立可得，234t n -=31343t nt t -+=-2216344t t t --+=解得，所以．2t =8n =∴．()8311n m -=--=故选：A ．8．中，内角所对的边分别为.若则的面积为ABC ,,A B C ,,a b c ()226,c a b =-+,3C π=ABC （ ）A ．BCD ．3【答案】C【分析】由已知求出，即得解.6ab =【详解】因为()226,c a b =-+所以，22222226,26c a b ab ab a b c =+-+∴=+-+所以，22cos6,63ab ab ab π=+∴=所以的面积ABC 1sin 323S ab π===故选：C 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）()()2sin f x x ωϕ=+A ．函数的周期为()f x 4πB ．对任意的，都有x ∈R ()2π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．函数在区间上恰好有三个零点()f x []0,5πD ．函数是偶函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的周期性可判断A 选项；利用正弦型()f x 函数的最值可判断B 选项；在时，解方程可判断C 选项；利用正弦型函数的奇[]0,5πx ∈()0f x =偶性可判断D 选项.【详解】因为，可得，()02sin 1f ϕ==1sin 2ϕ=因为函数在处附近单调递增，所以，，()f x 0x =()π2πZ 6k k ϕ=+∈，()ππ2sin 2π2sin 66f x x k x ωω⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，则，3π3ππ2sin 1226f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ππ1sin 262ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为函数在处附近单调递减，且在时在处第一次取值为，()f x 3π2x =()f x 0x >3π2x =12-所以，，可得，3ππ7π266ω+=23ω=.()2π2sin 36x f x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭对于A 选项，函数的最小正周期为，A 错；()f x 2π3π23T ==对于B 选项，，2π4ππ2sin 2396f ⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不是函数的最大值，B 错；2π3⎛⎫⎪⎝⎭f ()f x 对于C 选项，当时，，05πx ≤≤π2π7π6362x ≤+≤由可得，可得，()0f x ={}2ππ,2π,3π36x +∈5π11π17π,,444x ⎧⎫∈⎨⎩⎭所以，函数在区间上恰好有三个零点，C 对；()f x []0,5π对于D 选项，，π2ππ22sin 2sin43463x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故函数是奇函数，D 错.π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C.10．已知函数，对于实数a ，使成立的一个必要不()32e 1,023,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩()23(2)(0)f a f a f -->充分条件是（ ）A ．B ．31a -<<10a -<<C ．D ．或31a -≤≤1a <-3a >【答案】C 【分析】先求得使成立的的实数a 的取值范围，再去选择使其成立的一个()23(2)(0)f a f a f -->必要不充分条件即可.【详解】当时，，则，则是增函数，0x <32()23f x x x =-()6(1)0f x x x -'=>()f x 当时，，则是增函数，又，0x ≥()e 1x f x =-()f x 0e 01-=322030⨯-⨯=∴函数在R 上是增函数，3223,0()e 1,0xx x x f x x ⎧-<=⎨-≥⎩∵，()23(2)(0)0f a f a f -->=∴，则，()23(2)f a f a ->232a a ->即，解得，2230a a +-<31a -<<则成立的充要条件是()23(2)(0)f a f a f -->31a -<<∴使成立的一个必要不充分条件的a 的范围对应的集合应真包含，故()23(2)(0)f a f a f -->()3,1-排除ABD ，选C.故选：C ．11．若，则（ ）1πsin 2,ππ,Z tan tan 2k k k ααβαβαβ⎛⎫=≠+≠±∈ ⎪-⎝⎭，且cos(2)αβ-=A ．B ．C ．D ．12-0121【答案】B【分析】根据题意进行三角恒等变换，把整理到一边切化弦，通分利用二倍角公式，再把分式化α为整式，逆用两角和的余弦公式即可得到答案.【详解】由于，因为，且，()1sin 2sin 20tan tan αααβ=≠-π,π2k αβ≠+π,Z k k αβ≠±∈整理得，1tan tan sin 2αβα-=故，2sin 12sin 1cos2sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2cos αααβααααααβ---===整理得：，cos2cos sin 2sin 0αβαβ+=故．cos(2)cos2cos sin 2sin 0αβαβαβ-=+=故选：B ．12．设函数=sin （）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：()f x 5x ωπ+ω()f x []0,2π①在（）有且仅有3个极大值点()f x 0,2π②在（）有且仅有2个极小值点()f x 0,2π③在（）单调递增()f x 0,10π④的取值范围是[)ω1229510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦5265πππωπ≤+<函数的图像分析得出答案．【详解】当时，，[0,2]x πÎ,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦∵f （x ）在有且仅有5个零点，[0,2]π∴，5265πππωπ≤+<∴，故④正确，1229510ω≤<由，知时，5265πππωπ≤+<,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦令时取得极大值，①正确；59,,5222x ππππω+=极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦若f （x ）在单调递增，0,10π⎛⎫⎪⎝⎭则 ，即 ，(2)102ωππ+<<3ϖ∵，故③正确．1229510ω≤<故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题13．已知点是角终边上一点，，则__________．()2,P y -θsin θ=且y =【答案】4-【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可.【详解】因为是角终边上一点，，()2,P y -θsinθ=且，0)y =<解得（舍去），或，4y =4y =-故答案为：4-14．已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为a b 2a b = ()()3a b a b +⊥- a b ___________.【答案】##0.2514【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】由题意得，所以()()2222232342320a b a b a a b b b a b b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-⋅=，212a b b⋅= 所以.22112cos ,42ba b a b a b b⋅===⨯ 故答案为：1415．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体1θ℃0θ℃min t 的温度（单位：）可由公式求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情θ℃()010e ktθθθθ-=+-况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要63℃15℃39℃使物体的温度变为，还要经过__________分钟．21℃【答案】120【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式63℃15℃39℃，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可()010e ktθθθθ-=+-21℃求得要使物体的温度变为，还要经过的时间.21℃【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，63℃15℃39℃∴，即①，6015(6315)e39-+-=k601e 2-=k 要使物体的温度变为，则，即②，21℃1548e 21-+=kt1e 8-=kt 联立①②，，解得，601e 21e 8k kt --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩180t =故还要经过分钟．18060120-=故答案为：120．16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若1x x =2x x =2()2e x f x a x =-0a >1a ≠，则a 的取值范围是____________．12x x <【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数2ln 2e 0xa a x ⋅-=12,x x ln xy a a =⋅的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到e y x =()ln xg x a a =⋅的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.()g x 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为，所以方程的两个根为，()2ln 2e x f x a a x'=⋅-2ln 2e 0xa a x ⋅-=12,x x 即方程的两个根为，ln e xa a x ⋅=12,x x 即函数与函数的图象有两个不同的交点，ln xy a a =⋅e y x =因为分别是函数的极小值点和极大值点，12,x x ()22e xf x a x=-所以函数在和上递减，在上递增，()f x ()1,x -∞()2,x +∞()12,x x 所以当时，，即图象在上方()1,x -∞()2,x +∞()0f x '<e y x =ln x y a a =⋅当时，，即图象在下方()12,x x x ∈()0f x ¢>e y x =ln xy a a =⋅，图象显然不符合题意，所以．1a >01a <<令，则，()ln xg x a a =⋅()2ln ,01x g x a a a '=⋅<<设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，()y g x =()0,ln x x a a ⋅则切线的斜率为，故切线方程为，()020ln x g x a a '=⋅()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-则有，解得，则切线的斜率为，20ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅01ln x a =122ln ln eln a a a a ⋅=因为函数与函数的图象有两个不同的交点，ln xy a a =⋅e y x =所以，解得，又，所以，2eln e a <1e e a <<01a <<11e a <<综上所述，的取值范围为．a 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导=0的两个根为()2ln 2e x f x a a x'=⋅-12,x x 因为分别是函数的极小值点和极大值点，12,x x ()22e xf x a x=-所以函数在和上递减，在上递增，()f x ()1,x -∞()2,x +∞()12,x x 设函数，则，()()()g 2ln x x f x a a ex'==-()()2g 2ln 2xx a a e '=-若，则在上单调递增，此时若，则在1a >()g x 'R ()0g 0x '=()f x '上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数()0-,x ∞()0,x +∞1x x =2x x =且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；()22(0x f x a ex a =->1)a ≠12x x >若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在01a <<()g x 'R ()0g 0x '=()f x '()0,x -∞上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数()0,x +∞()0g 0x '=02(ln )x ea a =1x x =2x x =且的极小值点和极大值点，且，则需满足，()22(0x f x a ex a =->1)a ≠12x x <()00f x '>，即故，所以()()0002ln 20ln x e f x a a ex ex a ⎛⎫'=-=-> ⎪⎝⎭001ln 1ln x x a a <>，()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>.11e a <<【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．三、解答题17．已知集合.{}{}51,2137,7A x B x x C x x a x ⎧⎫=≥=-<=<⎨⎬-⎩⎭(1)求；,()R A B A B (2)若，求a 的取值范围.A C ⋂≠∅【答案】(1)，{}210A B x x ⋃=≤<(){}710R A B x x ⋂=≤< (2)(2,)+∞【分析】（1）先求出集合A 、B ，再求和；（2）由，列不等式，求出aA B ⋃()R A B⋂ A C ⋂≠∅的取值范围.【详解】（1）因为，所以.{}{}27,310A x x B x x =≤<=<<{}210A B x x ⋃=≤<因为，所以或，所以.{}27A x x =≤<{|2R A x x =< }7x ≥(){}710RA B x x ⋂=≤< （2）因为，且，所以，所以a 的取值范围是.{}{}27,A x x C x x a =≤<=<A C ⋂≠∅2a >(2,)+∞18．已知：对任意，都有；：存在，使得．p x R ∈()212102x a x --+>q x R ∈4210x x a -⋅+=(1)若“且”为真，求实数的取值范围；p q a (2)若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．p qp qa 【答案】(1).[)2,3(2).()[)1,23,-⋃+∞【分析】（1）由已知得，均为真命题，分别求得为真命题，为真命题时，实数的取值范p qp qa 围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式组，求解即可.p q【详解】（1）解：因为“且”为真命题，所以，均为真命题．p q p q若为真命题，则，解得；p ()()()214130a a a ∆=--=+-<13a -<<若为真命题，则，当且仅当，即时，等号成立，此时q1222x x a =+≥=122x x =0x =．2a ≥故实数的取值范围是；a [)2,3（2）解：若“或”为真，“且”为假，则，一真一假．p qp qp q当真，假时，则得；当假，真时，则得．p q 13,2,a a -<<⎧⎨<⎩a ∈()1,2-p q 13,2,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或[)3,a ∈+∞故实数的取值范围为．a ()[)1,23,-⋃+∞19．在中，角所对的边分别为，且满足.ABC ,,A B C ,,a b c cos sin 2a C C b c =+(1)求角；A (2)为边上一点，，且，求.D BC DA BA ⊥4BD DC =cos C 【答案】(1)2π3A =【分析】（1，再利用辅助角公式求出；cos 2A A -=2π3A =（2）分别在与中，利用正弦定理得到，再由余弦定理得到，从而求出CAD BAD 2c b ==a .cos C【详解】（1）由，得.sin sin sin a b c A B C ==sin cos sin sin 2sin A C A C B C =+由，()πB A C =-+故()sin cos sin sin 2sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C C A C A C C+=++=++，sin cos sin 2sin A C A C C =+又因为，所以.()0,πC ∈sin 0C ≠cos 2A A -=即，又，所以.π2sin 26A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<2π3A =（2）由（1）知：2π3A =所以.2πππ326CAD ∠=-=在中，；在中，.CAD πsin sin6CD bADC∠=BAD πsin sin 2BD c ADB ∠=又，代入得：.sin sin ,4ADB ADC BD CD ∠∠==2c b =由余弦定理得：，a ==所以222cos 2a b c C ab +-==20．已知，（），函数的周期为，2sin ,2cos22x x a ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,cos 22x x b ωω⎫=⎪⎭ 0ω>()f x a b =⋅ π当时，函数有两个不同的零点，．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()g x f x m =-1x 2x (1)求函数的对称中心的坐标；()f x (2)（i ）实数的取值范围；m （ii ）求的值．()12f x x +【答案】(1)（）,1212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈(2)（i ）；（ii ）2.[)2,3【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及降幂公式、辅助角公式可将化为三角函数的一()f x 般形式，根据周期性求出的值，由三角函数的对称性即可得结果；ω（2）题意转化为的图象与交点的情形，进而得的范围以及的值，2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1y m =-m 12x x +进而可得结果.【详解】（1）由题意()2cos2cos 222xxxf x ωωω=+．cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭因为函数的周期为，所以．所以()f x π2ω=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由，得，26x k ππ+=212k x ππ=-所以的对称中心为（）．()f x ,1212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈（2）由，得，()0g x =2sin 261x m π⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+作出函数在上的图像，如图所示．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（i ）由图可知，，所以的取值范围为112m ≤-<m [)2,3（ii ）由图可知，，所以123x x π+=()122sin 21236f x x ππ⎛⎫+=⨯++= ⎪⎝⎭21．已知函数，.()()e 1x f x x m=--m R ∈(1)若，求曲线在点处的切线方程；1m =-()y f x =()()1,1f (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.x ()2ln f x x+≥()0,∞+m 【答案】(1)()2e 1e 10x y ---+=(2)(],3-∞【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式求出切线方程即可；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出其最小值即可得解.()e 1ln 2x m x x ≤--+【详解】（1）当时，，则，1m =-()()e 11xf x x =-+()1e f =，()()1e 1x f x x '=+-∴，()12e 1f '=-∴曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()1,1f ()()e 2e 11y x -=--即.()2e 1e 10x y ---+=（2）由题意得，.()e 1ln 2x m x x ≤--+令，则.()()()e 1ln 20xF x x x x =--+>()()11e x F x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭令，易得为单调递增函数，且，，()()1e 0x h x x x =->()h x 102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()10h >∴，使得，即，01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =001e x x =∴，00ln x x =-当时，，，当时，，，则在()00,x x ∈()0h x '<()0F x '<()0,x x ∈+∞()0h x '>()0F x '>()F x 上单调递减，在上单调递增，()00,x ()0,x +∞∴，()()()0000000000min e 1ln 2e ln 2123x x F x F x x x x x x x x ==--+=--+=-++=∴的取值范围为.m (],3-∞22．已知函数和有相同的最小值．()xf x e ax =-()lng x ax x =-(1)求a ；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的y b =()y f x =()y g x =三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)1a =(2)见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数1b >e xx b -=ln x x b -=，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直()e ln 2x h x x x =+-()(),f x g x 线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可y b =()y f x =()y g x =b 证明三根成等差数列.【详解】（1）的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e '=-xf x a 若，则，此时无最小值，故.0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而.()ln g x ax x =-()0,∞+11()ax g x a x x '-=-=当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故.()min ()ln ln f x f a a a a==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭故.min 11()1lng x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e xf x ax =-()lng x ax x =-故，整理得到，其中，11lnln a a a a -=-1ln 1a a a -=+0a >设，则，()1ln ,01a g a a a a -=->+()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++故为上的减函数，而，()g a ()0,∞+()10g =故的唯一解为，故的解为.()0g a =1a =1ln 1aa a -=+1a =综上，.1a =（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为.e ()xx f x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数.1b >e xx b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b=--()e 1x S x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0∞-()0,∞+所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b=-设，其中，则，()e 2b u b b =-1b >()e 20b u b '=->故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.()0S b >()e x S x x b=--e xx b -=设，，()ln T x x x b=--()1x T x x -'=当时，，当时，，01x <<()0T x '<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,+∞所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2.()ln T x x x b=--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个解，1b =ln x x b -=e xx b -=当时，由（1）讨论可得、均无根，1b <ln x x b -=e xx b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则.1b >设，其中，故，()e ln 2xh x x x =+-0x >1()e 2x h x x '=+-设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10x s x '=->故在上为增函数，故即，()s x ()0,∞+()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，1()1210h x x x '>+-≥->()h x ()0,∞+而，，(1)e 20h =->31e 333122()e 3e 30e e e h =--<--<故上有且只有一个零点，且：()h x ()0,∞+0x 0311e x <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的根，e x x b -=1010,(0)x x x x <<此时有两个不同的根，ln x x b -=0404,(01)x x x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x bx -=()44e 0x bx b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e x x b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即.0410x x bx x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=[方法二]：由知，，，(1)()xf x e x =-()lng x x x =-且在上单调递减，在上单调递增；()f x (,0)-∞(0,)+∞在上单调递减，在上单调递增，且()g x (0,1)(1,)+∞min min ()() 1.f xg x ==①时，此时，显然与两条曲线和1b <min min ()()1f x g x b ==>y b =()y f x =()y g x =共有0个交点，不符合题意；②时，此时，1b =min min ()()1f x g x b ===故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；y b =()y f x =()y g x =③时，首先，证明与曲线有2个交点，1b >y b =()y f x =即证明有2个零点，，()()F x f x b =-()()1xF x f x e '='=-所以在上单调递减，在上单调递增，()F x (,0)-∞(0,)+∞又因为，，，()0bF b e --=>(0)10F b =-<()20b F b e b =->令，则，(()2b t b e b =-()20b t b e '=->()(1)20)t b t e >=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零()()F x f x b =-(,0)-∞1x (0,)+∞点，设为2.x 其次，证明与曲线和有2个交点，y b =()y g x =即证明有2个零点，，()()G x g x b =-1()()1G x g x x '='=-所以上单调递减，在上单调递增，()(0,1)G x (1,)+∞又因为，，，()0b b G e e --=>()110G b =-<(2)ln 20G b b b =->令，则，(()ln 2b b b μ=-1()10b b μ'=->()(1)1ln 20)b μμ>=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，()()G x g x b =-(0,1)3x (1,)+∞设为4.x 再次，证明存在b ，使得23:x x =因为，所以，23()()0F x G x ==2233ln xb e x x x =-=-若，则，即，23x x =2222ln x e x x x -=-2222ln 0xe x x -+=所以只需证明在上有解即可，2ln 0xe x x -+=(0,1)即在上有零点，()2ln xx e x x ϕ=-+(0,1)因为，，313312(30e e e e ϕ=--<(1)20e ϕ=->所以在上存在零点，取一零点为，令即可，()2ln xx e x x ϕ=-+(0,1)0x 230x x x ==此时取0x b e x =-则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，1402x x x +=因为120304()()()0()()()F x F x F xG x G x G x ======所以，100()()(ln )F x G x F x ==又因为在上单调递减，，即，所以，()F x (,0)-∞10x <001x <<0ln 0x <10ln x x =同理，因为，004()()()x F x G e G x ==又因为在上单调递增，即，，所以，()G x (1,)+∞00x >01x e >11x >04x x e =又因为，所以，0002ln 0x e x x -+=01400ln 2x x x e x x +=+=即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.y b =()y f x =()y g x =【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。

2022届三校高三联考卷数学试卷(文科)考试说明：1.考查范围：高考范围。

2.试卷结构：分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)；试卷分值：150分，考试时间：120分钟。

3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，集合B 满足A ∪B ＝A ，则B 可以为A.{x|x ≤2}B.{x|－1≤x ≤2}C.{1，2}D.{－1，0，1，2}2.已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，前n 项和为S n ，下列判断正确的有 A.{n1a }为等差数列 B.{log 2a n }为等差数列 C.{a n ＋a n ＋1}为等比数列 D.若S n ＝3n －1＋r ，则r ＝－133.已知等差数列{a n }中，a 3＝－7，a 11＝11，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 13的值为A.42B.39C.26D.334.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a b a b成立的充分条件是 A.a ＝3b B.a//b C.a ＝－b D.a//b 且|a|＝|b|5.下列命题中正确的是A.因为两个非零向量a ，b 方向相反，则它们是相反向量B.已知c ≠0，且a ·c ＝b ·c ，则a ＝bC.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(sin θ，sin θ－cos θ)，若a//b ，则tan θ＝34D.两个非零向量a ，b ，若|a －b|＝|a|＋|b|，则a 与b 反向6.已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝n n 1a 1a +-(n ∈N *)，若a 1＝14，则T 18为 A.－4 B.－35 C.－53 D.5127.在△ABC 中，由下面的条件能得出△ABC 为钝角三角形的是 A.AB BC 0⋅< B.sinA ＋cosA ＝15 C.cosAcosBcos(A ＋B)<0 D.b ＝3，c ＝B ＝30°8.已知非零向量a ，b 满足|a|＝2|b|，|a ＋b||b|，则向量a ，b 的夹角为 A.56π B.23π C.3π D.6π 9.已知数列{a n }满足a n －a n ＋1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最大值为A.20B.－14C.－814D.－20 10.数列{a n }中的前n 项和S n ＝2n ＋2，数列{log 2a n }的前n 项和为T n ，则T 20＝A.190B.192C.180D.18211.已知D 是△ABC 的边AB 的中点，点M 在DC 上，且满足5AM AB 3AC =+，则△ABC 与△ABM 的面积之比为 A.53 B.25 C.35 D.5412.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足3a 1＋32a 2＋…＋3n a n ＝n(n ∈N *)，若对于任意的x ∈R ，n ∈N *，不等式S n <x 2＋ax ＋2恒成立，则实数a 的取值范围为A.[－2] B.[] C.(]∪，＋∞) D.()第I 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022届红色七校第一次联考数学（文科）试卷（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学） 命题人：任弼时中学 邓青兰 南城一中 刘 杨一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1．设集合(){}{}{}23,log 2,,1A a B a a b A B =-=+⋂=，若，则b 的值为 ( ) A.3-B. 3C.1D.1-2．设复数Z 满足Z （1-2i ）=2+i （其中i 为虚数单位）则z 的模为（ ） A.1 B.2 C.5 D.33.王昌龄《从军行》中的两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”。

其中最终一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分条件D.必要条件 4.已知tan()24x，则Sin2x=( )A.35B. 105C. 35D.1 5. 已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则15923a a a a a +++等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）A.B.C. D.7.设0,3x执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a ，则“a ≤5”的概率为（ ）A. 23B. 56 C. 27 D. 578.某四周体的三视图如图所示，则该四周体的六条棱中最长棱的棱长是（ ） A. 25 B. 27 C. 26 D. 429.若实数a 、b 、0c >，且()()625a c a b +⋅+=-， 则2a b c ++的最小值为（ ）A.51-B.51+C.252+D.252-10.已知圆C ：22222210x y ax by a b （a<0）的圆心在直线330xy 上，且圆C 上的点到直线30xy的距离的最大值为13，则22a b 的值为（ ）A.1B.2C.3D.411.设实数x ，y 满足3010210xy y x x 则y xux y的取值范围为（ ） A. 33[,]22 B. 2[,2]3 C. 23[,]32 D. 1[,2]212.已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则MA MB 的取值范围是（ ） A.[-1，0] B.[-1，2] C. [-1，3] D.[-1，4] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13.函数()sin()f x A x （A>0，>02）的部分图象如图所示，则函数()f x 的单调递增区间为14.某书法社团有男生30名，妇生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生。