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晶体结构与倒格子基础知识

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固体物理第二章第四节 倒格子

固体物理第二章第四节 倒格子

1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e


A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0

e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。

固体物理第一章 晶体结构4-5

固体物理第一章 晶体结构4-5

—— 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象
—— 立方晶体的光学性质则是各向同性的 ——已知晶体的对称性，可以简化物理常数的测量
20
固体物理
固体物理学
晶体宏观对称性的描述
列举晶体的全部对称操作：
对称操作是指能使晶体自身重合的动作。 与晶体宏观对称性相对应的是点对称操作 （操作过程中保持空间中至少有一个不动点的 对称操作），包括旋转、中心反演，镜面反映
及它们的联合操作。
对称操作的数目越多，晶体的对称性越高。
21
固体物理
固体物理学 举例：立方晶体的对称操作
绕三个立方轴转 3 , ,
2 2
绕6条面对角线转
绕4条体对角线转
2 4 , 3 3

共9个对称操作
共6个对称操作
共8个对称操作
另外，“不动”也是1个对称操作。以上24个对称以操作 加中心反演仍是对称操作，立方晶体共有48个对称操作。
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量 具有相同的量纲。
7
固体物理
固体物理学
2.3位矢之间关系
正格矢： 倒格矢： 二者的关系：
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
G h Rl 2n (n为整数)；
11
固体物理
固体物理学
2 d 晶面族(h1h2h3)的面间距d为 Gh
(2)
证明：由前面的证明可知，原点 到面ABC的距离即为所求面间距 (设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh

1-2倒格子空间

1-2倒格子空间
1
4.正格子和倒格子互为正倒格子










证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。

固体01-04倒格子

固体01-04倒格子
a 1 ⋅ b1 = 2π a1 ⋅ b2 = 0
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。

第4讲、倒格子和晶体的对称性

第4讲、倒格子和晶体的对称性
由于晶格满足平移对 称性，所以，不存在 5重轴。
29
四、基本的点对称操作
第一章 晶体结构
1、E (不变) 对应n=1，即没有操作
2、Cn (n度轴转动)
n： 2 3 4 6 C2 C3 C4 C6
(熊夫利符号)
3、i (中心反演)
4、Cn(n度旋转轴，作n度旋转后再作中心反映)
C2 (m) C4 (S4)
r 1
A(Gn )

F
(rr
)
r exp(iGn

rr
)drr
5
根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
r b1

2
ar1ar2ar2 ar3ar3
r b2

2
ar1ar3ar2 ar1ar3
r b3

2
ar1ar1ar2 ar2ar3
以
为基矢构成一个倒格子
v uuur Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
9
3）倒格子矢量 晶面方程
为晶面
各晶面到原点的距离
面间距 即：
d v 2v v
h1b1 h2b2 h3b3
的法线方向
ai
bj

2
ij
10
——倒格子的物理意义
原点O引晶面簇ABC的法线 ON
在 法 线 上 截 取 一 段 ρ=OP ， 使 ρd=2π
最基本的点对称操作：E、C2、C3、C4、C6、i、m、S4
共8种
(形成32种点群)
30
Cn (n度轴转动)
n： 2
3
C2
C3
（轴 的 符号）
第一章 晶体结构

固体物理 倒格子详细介绍

固体物理 倒格子详细介绍
h1 , h2 , h3
h1 h2 h3 为整数
Vh1 , h2 , h3 = ∫ dξ1 ∫ dξ 2 ∫ dξ 3 e 2πi ( h1ξ1 + h2ξ 2 + h3ξ 3 )V (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )
0 0 0
1
1
1
01_04_倒格子 —— 晶体结构
05 /10
V (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) =
01_04 倒格子 晶格具有周期性 —— 一些物理量具有周期性
v v v v v 势能函数 VA ( x ) = VA′ ( x + l1a1 + l2 a2 + l3a3 )
v v v 势能函数是以 a1 a2 a3
为周期的三维周期函数
01_04_倒格子 —— 晶体结构
01/10
定义倒格子基矢量
uuu r v Gh1h2h3 CB = 0 可以证明 v uur Gh1h2h3 CA = 0
01_04_倒格子 —— 晶体结构
v v ai族正交
3）倒格子矢量的长度反比于晶面族面间距
v 倒格子矢量 Gh1h2h3 为晶面 ( h1h2 h3 ) 的法线方向 v v v v 晶面方程 ( h1b1 + h2b2 + h3b3 ) x = 2πn
e
2πi ( h1ξ1 + h2ξ 2 + h3ξ 3 )
v v bi x = 2πξi i = 1, 2, 3
v v ai b j = 2πδ ij v v v v x = ξ1a1 + ξ2 a2 + ξ3a3
01_04_倒格子 —— 晶体结构
1 v v ξ1 = 2π b1 x 1 v v b2 x ξ2 = 2π 1 v v ξ3 = 2π b3 x

01_04_倒格子


v v v v 2 .对晶格常数为 的SC晶体 求与正格矢 R = ai + 2aj + 2ak 对晶格常数为a的 晶体 晶体,求与正格矢 对晶格常数为 v v v (i , j , k 为单位矢量)正交的倒格子空间中晶面族的面指数及 为单位矢量)正交的倒格子空间中晶面族的面指数及
其面间距。 其面间距。 提示： 提示：倒格矢 勒指数为( 勒指数为( 反之， 反之，正格矢 晶面指数为（ 晶面指数为（ ）的晶面。 的晶面。 ）的晶面; 的晶面; 垂直于倒格矢空间的 垂直于正格子空间密
晶体结构0104倒格子概念的引入晶格周期性物理性质周期性正交0104倒格子晶格具有周期性一些物理量具有周期性势能函数势能函数是以为周期的三维周期函数1913年ppewald为解释x射线单晶衍射的结果引进了倒易点阵和倒易空间的概念
01_04 倒格子
1. 倒格子概念的引入 晶格周期性,物理性质周期性 晶格周期性 物理性质周期性 2. 倒格子与正格子的关系 • 倒易空间 倒格矢基矢与正格基矢的关系 倒格子原胞体积与正格子原胞体积的关系
和
正交
v v ai ⋅ b j = 2πδ ij
—— 可以证明
uur v Gh1h2h3 ⋅ CA = 0
uuu r v Gh1h2h3 ⋅ CB = 0
为晶面
与晶面族正交 的法线方向
或者说： 或者说：倒格子矢量
01_04_倒格子 —— 晶体结构
5) 倒格子矢量
与晶面
间距的关系
v v Gh ⋅ Rl = 2π n
e
=1
∑∑∑
h 1 h2 h3
01_04_倒格子 —— 晶体结构
v 定义： 定义：对布喇维格子中所有格矢 R ，满足 l

倒格子——精选推荐

a
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。

固体物理学：关于几个结构的倒格子

注意：晶向指数和晶面指数都依赖于晶轴的选取。
(010)
从晶面指数的图可以看出，密勒指数简单的晶面， 如（100）（110）等，它们的面密度较大，面间距d也 较大，因为单位体积中原子数目是一定的。
结束
例：简单立方晶格的倒格子
例：体心立方(bcc)晶格的倒格子 体心立方晶格的初基平移矢量
其原胞的体积
例：面心立方(fcc)晶格的倒格子 面心立方晶格的初基平移矢量
总结倒格子基矢的性质
1、正倒格子基矢的关系 bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3
倍。
* (2 )3
倍，这个矢量一定是倒格矢。
2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
5.晶面指数和面间距 在一组（或一族）平行的晶面中，两相邻
晶面间的距离称为面间距。
通常把米勒指数为（hkl）的一组晶面的 面间距记为dhkl，对于不同晶系，可以求得米 勒指数与面间距的关系式。
( * b1 (b2 b3 ) 为倒格子原胞体积。）
3、倒格矢 K h 是晶面指数为（h1，h2，h3）所对应的
晶面族的法线。
4、倒格矢 K h 于晶面间距 d h1h2h3
关系为 Kh
2
d h1h2h3
5、正格矢 Rl 与倒格矢 K h 的关系 Rl Kh 2 m
（m为整数）
理解： 1、如果有一矢与正格矢点乘后等于2π的整数

1-2倒格子空间


Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 = = a1 Kh = ⋅ h Kh 1 h Kh 1 2π Kh
O
a1 ⋅ h b1 + h2 b2 + h2 b3 1
第一章晶体结构
倒格子空间
• • • •
引入倒格子的目的 引入倒格子的方法 倒格子的性质 倒格子与正格子之间的关系
§1.5 倒格子 一、倒格子和晶格之间的关系
1.倒格子 倒格子
晶面族： ABC；面间距： ; d 晶面族： ；面间距：
P
C
N
B
ABC法向 ON;O 法向： 晶面族 法向： OP = ρ，使得 ⋅ d＝π ρ 2 A 对于每一族晶面，都有一点P， 对于每一族晶面，都有一点 ，以OP=ρ为周 为周
eiKh⋅Rl = 1 ⇒ Kh ⋅ Rl = 2πµ
Rl = l1a1 + l2a2 + l3a3 → 正格矢 格矢量 ( ) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 Kh = h b1 + h2b2 + h3b3 → 倒格矢 1 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
3.n度旋转对称轴 度旋转对称轴(rotation about an axis) 度旋转对称轴 (1)定义 定义——晶体绕某一固定轴 旋转角度 晶体绕某一固定轴u旋转角度 定义 晶体绕某一固定轴 旋转角度2π/n以 以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 能自身重合，则称 为 度 或 次 旋转对称轴。 旋转对称轴 n只能取 ，2，3，4，6。 只能取1， ， ， ， 。 只能取 晶体不能有5度或 度以上的转轴 晶体不能有 度或6度以上的转轴。 度或 度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 熊夫利 符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 国际符号 表示 1、 2、 3、 4、 6。 、 、 、 、 。
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氦是最不活泼的元素；是唯一不能在标准大气压下固 化的物质。25个大气压下的熔点是-272.2°C（绝对零度 是-273.15°C ）。
几种常见的晶体
范德瓦耳斯相互作用：
假定有两个全同的惰性气体原子，如果认为它们的电 荷分布是“刚性”的，则原子之间的相互作用将是零， 因为球对称分布的电子电荷的静电势与原子核电荷的 静电势相互抵消。这时原子间不存在库仑力，因而不 能聚集在一起。实际上，原子中电子的电荷分布并不 是理想的球对称的，两个原子靠近相互感生偶极矩， 这种感生矩使得原子之间相互吸引，这种作用即为范 德瓦耳斯相互作用。
可以用数学方法得到。
倒格子基础知识
通过表达式
b1=2π（a2×a3）/V b2=2π（a3×a1）/V b3=2π（a1×a2）/V 可以看出， b1、 b2 、 b3具有如下性质
bi ·aj=2πδij 式中当i=j时，有δij=1；当i≠j时，有δij=0。 例b1=2π（a2×a3）/a1 ·（ a2 × a3 ） 则b1 ·a1= 2π（a2×a3） ·a1 /a1 ·（ a2 × a3 ）=2π 而b1 与 a2垂直，所以b1 ·a2 =0。
倒格子基础知识
简单立方晶格的倒格子（初基）： 设初基平移矢量 a1=ax； a2=ay； a3=az， 其中x、y、z是单位矢量。 原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）=a3 ,可得 b1= (2π/a)x；b2= (2π/a)y； b3= (2π/a)z； 因此简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方晶格，晶
倒格子基础知识
基本概念：假定晶格平移矢量a1 、 a2 、 a3定义一 个空间点阵，我们称之为正晶格或正格子。若定义另 一组矢量b1/V b3=2π（a1×a2）/V
则由b1、 b2 、 b3所确定的新的点阵即为倒晶格，亦 即倒格子。矢量 b1、 b2 、 b3为倒格子晶轴矢量。 特别地，若a1 、 a2 、 a3为正格子基矢，则b1、 b2 、 b3为倒格子基矢。
格常量与正格子晶格常量乘积为2π。
倒格子基础知识
面心立方晶格的倒格子（初基） ： 设初基平移矢量 a1= (1/2) a(y + z) ； a2= (1/2) a(x + z) ； a3= (1/2) a(x + y) ，
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）= (1/4) a3 ,可得 b1= (2π/a)(-x+y+z) ； b2= (2π/a)(x-y+z) ； b3= (2π/a)(x+y-z) ；
倒格子基础知识
表达式中的V是正格子晶轴矢量a1 、 a2 、 a3所确定 晶胞的体积。V=| a1 ·（ a2 × a3 ）|
V=| a1 ·（ a2 × a3 ）|= |a1（a2 a3sinα）cosβ| V=S×h
晶体结构基本概念
原胞是体积最小的晶胞，它的体积 V=| a1 ·（a2 × a3 ）|
倒格子基础知识
在倒格子中，每个倒格点都可以通过下列一组矢量给 出：
G=v1b1+v2b2+v3b3 其中v1 、 v2 、 v3取整数。具有这样形式的矢量G被
称为倒格矢（注意与倒格子的区别）。
倒格子是与真实空间相联系的傅里叶空间中的晶格。 正格子中的矢量具有长度的量纲，而倒格子空间中的 矢量则具有长度倒数的量纲。
几种常见的晶体
离子晶体 离子晶体是由正离子和负离子通过离子键结合而形成
的晶体。离子晶体一般硬而脆，具有较高的熔沸点， 熔融或溶解时可以导电。
离子晶体有两种常见的晶体结构，氯化钠结构和氯化 铯结构。
几种常见的晶体
基本概念（电离能与内聚能） 以下出现的Na（Cl）原子与离子均为气态。 Na(原子)+5.14eV(电离能)—Na+(离子)+e (电子) e+Cl—Cl- +3.16eV (电子亲和能) Na++Cl-—NaCl (晶体)+7.9eV (内聚能) 内聚能：在绝对零度下将晶体分解为相距无限远的、
金属晶体
金属晶体最大的特点是电导率高，是因为金属晶体中 存在大量的可自由运动的电子（称为传导电子），通 常是金属的价电子。金属倾向于结晶为比较紧密的密 堆积结构，如六角密堆积（hcp）﹑面心立方（fcc） ﹑体心立方（bcc）。
类似地，对于体心立方晶格的倒格子（面心立方晶格） 有十二个最短的G矢量（倒格矢）
倒格子基础知识
第一布里渊区 倒格子的中央晶胞（维格纳-赛茨原胞）称为第一布里
渊区。
几种常见的晶体
惰性气体晶体(He、Ne 、 Ar 、 Kr 、 Xe)
这些晶体是透明的绝缘体，其结合弱、熔点低。惰性 气体原子具有很高的电离能（气态原子失去一个电子 所需要的最小能量称为元素的第一电离能）。其最外 电子壳层被完全填满。在自由原子中电子电荷的分布 是球对称的。
静止的中性自由原子所需要的能量。
几种常见的晶体
共价晶体
共价晶体是由共价键结合而形成的晶体。共价晶体的 一种典型结构是金刚石型结构，每个原子与四个最近 邻原子成键。这种结构的填充率低可占34% ，而密堆 积结构可达到74%。金刚石型结构每个原子有4个最近 邻原子，而密堆积结构有12个。
几种常见的晶体
倒格子基础知识
体心立方晶格的倒格子（初基） ： 设初基平移矢量 a1=(1/2)a(-x+y+z) ； a2=(1/2)a(x-y+z) ； a3=(1/2)a(x+y-z) ，
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）= (1/2) a3 ,可得 b1=(2π/a)(y+z)； b2=(2π/a)(x+z)； b3=(2π/a)(x+y)；
倒格子基础知识
很容易看出面心立方晶格的倒格子是体心立方晶格， 体心立方晶格的倒格子是面心立方晶格。
对于面心立方晶格的倒格子（体心立方晶格）有八个 最短的G矢量（倒格矢）： (2π/a)(±x±y±z)
b1、 b2 、 b3是其中的三个。 实际上八个最短的G矢量即为体心立方晶格原点与最
近邻的八个格点构成的矢量。