静力学中的动态平衡问题

动态平衡问题的几种解法在有关物体平衡的问题中,有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力,力的大小和方向均要发生变化,故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动"化为“静”，“静"中求“动”。

下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。

方法一:图解法(三角形法则)原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零,三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1：如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态.今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。

挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动,F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。

由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

点评:三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变(通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

方法二：解析法原理：物体处于动态平衡状态时,对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例题2：如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）A. 绳子的拉力F不断增大B. 绳子的拉力F不变C. 船所受的浮力不断减小 D。

力学动态平衡问题归类剖析作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2023年第09期动态平衡指的是因为某种物理量的改变，物体所处的状态缓慢变化，而在这个缓慢变化的过程中，物体一直处于平衡状态。

当物体处于动态平衡状态时，所受的外力会发生变化，但是所受合外力会一直等于零。

因此解决这类问题最重要的是在变化中寻找到不变，利用不变的量确定变量的变化规律。

下面归纳总结了求解力学动态平衡问题的几种常见方法，供同学们参考。

一、动态图解法原理：对物体在状态变化过程中的多种平衡状态进行受力分析，以某一参量的变化为基础，在同一图中作出物体在多种平衡状态下的受力示意图（力的平行四边形），根据动态的力的平行四边形各边长度和角度的变化，确定力的大小及方向的变化情况。

适用条件：物体受到三个共点力作用处于动态平衡状态，其中一个力是大小和方向均不变的恒力;另外一个力的方向不变，大小变化;第三个力的大小和方向都变化。

例1 如图1 所示，用细绳系住小球放在倾角为θ 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，小球对细绳的拉力T和对斜面的压力N 的变化情况是（）。

A.T 逐渐增大，N 逐渐减小B.T 逐渐减小，N 逐渐增大C.T 先增大后减小，N 逐渐减小D.T 先减小后增大，N 逐渐减小解析：对小球进行受力分析，小球受到重力mg（大小和方向均不变的恒力）、斜面的支持力N'（方向不变，大小变化）和细绳的拉力T'三个力的作用。

在同一个图中作出细绳由水平方向逐渐向上偏移的过程中多个平衡状态下小球的受力示意图，如图2所示。

根据图像可知，随着细绳由水平方向向上偏移，细绳的拉力T'先减小后增大，斜面的支持力N'逐渐减小。

根据牛顿第三定律可知，小球对细绳的拉力T 先减小后增大，小球对斜面的压力N 逐渐减小。

答案：D二、正交分解法原理：当物体处于动态平衡状态时，先对物体进行正确的受力分析，再建立平面直角坐標系，将不在坐标轴上的力正交分解，以具体情况为依据，引入参数，构建平衡方程，得出因变参数与自变参数之间的一般函数关系，然后以自变量的变化为依据确定因变量的变化，进而判断力的大小变化规律。

第03讲解决动态平衡问题的五种方法通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。

解决此类问题的基本思路是化“动”为“静”，“静”中求“动”，具体有以下三种方法：(一)解析法对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。

(二)结论法若合力不变，两等大分力夹角变大，则分力变大.若分力大小不变，两等大分力夹角变大，则合力变小.1、粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间。

由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是( )A．冬季，电线对电线杆的拉力较大B．夏季，电线对电线杆的拉力较大C．夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大D．夏季，电线杆对地面的压力较大2、如图所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环（图甲），然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力FT（两个拉力大小相等）及它们的合力F的大小变化情况为（）A．FT 减小，F不变B．FT增大，F不变C．FT 增大，F减小D．FT增大，F增大3、如图所示，硬杆BC一端固定在墙上的B点，另一端装有滑轮C，重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点。

若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A点稍向下移，则在移动过程中( )A.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大B.绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大C.绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大D.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变(三)图解法此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。

一般按照以下流程解题。

1、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大2、半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN．在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是（）A．MN对Q的弹力逐渐减小B．P对Q的弹力逐渐增大C．地面对P的摩擦力逐渐增大D．Q所受的合力逐渐增大3、如图所示，挡板固定在斜面上，滑块m在斜面上，上表面呈弧形且左端最薄，球M搁在挡板与弧形滑块上，一切摩擦均不计，用平行于斜面的拉力F拉住弧形滑块，使球与滑块均静止。

力学动态平衡专题一、矢量三角形法特点：物体受三个力作用，一为恒力，大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力）；一为定力，方向不变，大小变化；一为变力，大小、方向均发生变化。

分析技巧：正确画出物体所受的三个力，先作出恒力F3，通过受力分析确定定力F1的方向，并通过F3作一条直线，与另一变力F2构成一个闭合三角形。

看这个变力F2在动态平衡中的方向变化，画出其变化平行线，形成动态三角形，三角形长短的变化对应力的变化。

1．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设球对墙面的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2，以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从水平位置开始缓慢地转到图示位置．不计摩擦，在此过程中（）A．N1始终增大，N2始终增大B．N1始终减小，N2始终减小C．N1先增大后减小，N2始终减小D．N1先增大后减小，N2先减小后增大2．如图所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖直位置OC的过程中（）A．OA绳上的拉力减小B．OA绳上的拉力先减小后增大C．OB绳上的拉力减小D．OB绳上的拉力先减小后增大3. 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()A.F逐渐变大，T逐渐变大B. F逐渐变大，T逐渐变小B.F逐渐变小，T逐渐变大 D. F逐渐变小，T逐渐变小4.如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。

现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（）A、FN保持不变，FT不断增大B、FN不断增大，FT不断减小C、FN保持不变，FT先增大后减小D、FN不断增大，FT先减小后增大二、相似三角形法特点：物体所受的三个力中，一为恒力，大小、方向不变（一般是重力），其它两个力的方向均发生变化。

静力学解题方法3——图解法分析动态平衡问题题型特点：（1）物体受三个力。

（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。

解题思路：（1）明确研究对象。

（2）分析物体的受力。

（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。

（4）正确找出力的变化方向。

（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。

注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。

（2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。

（3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。

【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是()A．增大B．先减小，后增大C．减小D．先增大，后减小解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将F AB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：F AB cos 60°＝FB C sin θ，F AB sin 60°＋FB C cos θ＝FB，联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2，显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．答案：B变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是()A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面对球的支持力F N′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝F N″sinθ，则F逐渐增大，水平面对斜面的支持力F N＝G＋F N″·cos θ，故F N逐渐增大．答案：C【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是()A．F N先减小，后增大B．F N始终不变C．F先减小，后增大D．F始终不变解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力F N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F N与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得，F N＝G，F＝G式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知F N不变，F逐渐变小．答案：B变式2－1如图2－4－5所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点O 、A 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2的大小之间的关系为( )A ．F 1>F 2B ．F 1＝F 2C ．F 1<F 2D ．无法确定解析：两球间放劲度系数为k 1的弹簧静止时，小球B 受力如右图所示，弹簧的弹力F 与小球的重力G 的合力与绳的拉力F 1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA 、OB 均恒为L ，因此F 1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k 2的弹簧后绳的拉力F 2＝F 1，B 正确．答案：B【例3】如图1-31所示，竖直墙壁上固定一点电荷Ｑ，一个带同种电荷q 的小球Ｐ，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化?[析与解]：分析小球受力情况，知其受重力G ，线的拉力F T ，点电荷Q 的排斥力F 三力作用而平衡，用三角形定则作其受力图如图，当q 逐渐减小时，斥力逐渐减小，θ角逐渐减小，同时斥力F 的方向也在变化，用图解法不能判断F 的大小变化情况，但注意到G//OQ ，F T //OP ，F 沿QP 方向，所以力三角形跟几何三角形OPQ 相似，由对应边的比例关系有F T /G=OP /OQ ，即F T =OP .G/OQ 因OP 长、OQ 长、重力G 在过程中均不变，得悬线的拉力F T 大小不变。

动态平衡题型
动态平衡题型是指涉及到物体在平衡状态下的动态情况的题目。

在这类题目中，物体可能会受到外力的作用，导致物体发生运动或者改变其平衡状态。

解决这类题目时需要考虑物体受力的平衡条件以及物体的运动方程。

常见的动态平衡题型包括：
1. 弹簧振子问题：求解弹簧振子在受力情况下的运动方程，包括弹簧的劲度系数、质量、初速度等参数。

2. 转动问题：求解物体在受力情况下的转动方程，包括物体的惯性矩、力的杠杆臂等参数。

3. 受力分析问题：求解物体在受多个力作用下的平衡条件，包括物体的质量、受力的大小和方向等参数。

解决动态平衡题型时，需要注意力的平衡条件以及物体的运动方程。

可以运用牛顿定律、动量守恒定律、角动量守恒定律等物理定律来建立方程，并进行求解。

同时，也可以利用能量守恒定律来分析物体的运动情况。

高中物理力学中动态平衡问题的解题探析杜㊀颖(徐州市侯集高级中学ꎬ江苏徐州２２１１２１)摘㊀要:力学作为物理学的基础和重要组成部分ꎬ是物理研究的关键内容.力学问题的解决是实现知识实际应用的有效途径ꎬ也是高考中测试物理知识和力学知识的主要途径.然而ꎬ由于理解力学知识的困难和缺乏科学的解决问题的方法ꎬ许多学生不能灵活地使用力学知识来解决相关的问题ꎬ这使我们的学习效率和解决问题的能力无法得到有效的提高.关键词:高中物理ꎻ力学ꎻ动态平衡中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－０１０７－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:杜颖(１９８１.９－)ꎬ女ꎬ江苏省徐州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀高中物理教学过程中ꎬ教师需要带领学生对力学知识中的动态问题进行学习ꎬ在这之前首先要对静力学进行动态分析ꎬ促使学生能够掌握知识.１静力学动态分析静力学中的动态分析通常是在共点力的作用下而产生的平衡问题.教师需要带领学生明确动态平衡问题的基本内涵ꎬ即通过控制一些物理量使得物体受力情况发生一定的变化ꎬ并在物体受力情况发生变化的过程中物体总是处于一系列的平衡状态中[１].所以ꎬ在解决类似动态问题的过程中ꎬ教师需要引导学生掌握解题的关键:掌握不变量ꎬ并根据不变量对其他量的变化进行确定.图１㊀例１题图例１㊀如图１所示ꎬ已知ＯＡ与ＯＢ的长度相等ꎬ假设Ａ点为固定点ꎬＢ沿着圆弧逐渐向Ｃ移动ꎬ那么在Ｂ点移动的过程中ＯＢ的张力将(㊀㊀).Ａ.先变小后变大㊀㊀㊀Ｂ.先变大后变小Ｃ.由大变小Ｄ.由小变大解析㊀类似于例１的问题中ꎬ往往涉及多个力ꎬ一般情况下３个力是这种问题的基础.因此ꎬ在这种涉及多个力的情况下ꎬ教师需要让学生将多个力合并成一个力进行解题[２].这样ꎬ一个物体等同受多个力作用ꎬ所以可以使用矢量三角形法对问题进行求解.在例１的解答过程中ꎬ需要利用矢量三角形法将Ｂ假设成一个绳子的端点ꎬ如图２所示.图２㊀受力分析及矢量三角形法７０１这时ꎬＯ点受到ＦＴＡ㊁ＦＴＢ㊁ＦＴ三个力共同作用ꎬ并且这三个力保持了相互平衡ꎬ并且构成了一个矢量三角形ꎬ且这个三角形还是首尾相连的ꎬ图中ＦＴＢ它的方向是一直在变化的.其中可以明确的是ＦＴ无论是方向还是大小都是始终不变的ꎬ而ＦＴＡ的方向不发生任何变化ꎬ但是力的大小是改变的.所以当ＦＴＡ与ＦＴＢ呈现垂直方向时ꎬＦＴＢ的值最小ꎬ所以选项Ｄ正确.例２㊀如图３所示ꎬ在一个水平面上固定了一个半球形体ꎬ将一个滑轮安装在半球形的上半部分ꎬ同时一个小球通过细绳在滑轮下方悬挂ꎬ且在半球形的Ｐ点处ꎬ细绳通过滑轮的一端有一个人在拉拽ꎬ从而让小球不断地增加高度ꎬ最终由Ｐ点上升到了Ｑ点.试问整个过程中ꎬ小球所受半球体的支撑力和细绳的拉力是怎样变化的?请对其进行基本的受力分析.图３㊀例２题图解析㊀需要对物体进行基本的受力分析就需要对图形进行基本的绘制.题中要求我们对半球体对小球的支撑力以及细绳对小球的拉力进行基本的受力分析ꎬ如图３所示ꎬ得到小球刚开始受到重力㊁支持力以及拉力ꎬ并且这三个力还达到了一个平衡状态ꎬ根据矢量三角形的方式ꎬ将细绳的拉力进行延长ꎬ同时与支撑力相结合形成一个矢量三角形ꎬ要始终保持Ｆ合＝０.所以ꎬ就可以得到一个公式ＬＦＴ＝ＲＦＮ＝Ｈ＋ＲＧ.因此ꎬ通过这个公式就能够对小球的受力进行详细的分析ꎬ从而获取到相应的受力状态.２动力学动态分析在高中阶段中ꎬ牛顿运动定律可以说是非常重要的定理ꎬ因为它将运动和力充分地结合起来.对于 控制物体运动 这个专题ꎬ它可以让我们知道力和初始条件能够决定物体的运动ꎬ但是这个定理的应用需要学生去进一步地进行实践学习ꎬ并积极地对所出现的问题进行分析探究ꎬ以此来正确地进行知识内容的学习.牛顿运动定律在应用时有着很多种层次ꎬ像运动的演变等都可以做到详细的说明.因此ꎬ可以说牛顿定律是对整体经典力学研究的核心.例３㊀有一个小球在进行自由落体运动ꎬ最终刚好落在弹簧上ꎬ如图４所示ꎬ在Ａ点小球弹簧相互接触ꎬ但是当小球达到Ｂ点这个位置时ꎬ它的速度刚好变成了０ꎬ并且还被弹回到了空中.根据上述内容ꎬ试分析下列选项哪个正确(㊀㊀).Ａ.小球在自由落体运动中ꎬ通过图中ＡＢ段时ꎬ速度开始逐渐变小Ｂ.小球开始被弹向空中时ꎬ通过图中ＡＢ段时速度逐渐变大Ｃ.下降和上升过程中的ＡＢ段ꎬ小球的速度都是先变大后变小Ｄ.上列说法都不正确图４㊀例３题图解析㊀在这一例题中ꎬ首先ꎬ要先对小球的受力状况和它的运动状态进行分析:刚开始是做自由落体运动ꎬ并且最后与弹簧接触ꎬ如图４中ＯңＡꎬ刚开始的速度是０ꎬ并且只受到重力.当落到Ａ点时ꎬ在这个过程中除了受到重力外ꎬ小球还会受到弹簧的８０１作用力.由于这个过程小球的重力是比弹力要大的ꎬ也就是说它的加速度在逐渐变小.接下来ꎬ对于ＡңＢ段ꎬ当小球处于一种临界点时ꎬ它的速度是最大的ꎬ同时所受到的合力为０ꎬ加速度也是０ꎬ最后ꎬ当弹回Ａ点时ꎬ小球的加速度又变成了最大ꎬ并且重力是要比弹力小的ꎬ所以就出现了加速度变大的减速运动状态.我们在对小球的两个运动状态分析中ꎬ就可以得到一个结论: 物体的运动受到力和初始条件的影响. 所以ꎬ本题Ｃ选项正确.３机动车启动问题机动车启动分为恒定功率启动与恒定加速度启动两种理想形式.针对这一类问题ꎬ我们需要解决问题的关键就是理清加速度ａ㊁牵引力Ｆ以及实际功率Ｐ和瞬时速度ｖ四个物理量之间的关系ꎬ即Ｆ－ｆ＝ｍａꎬＰ＝Ｆｖ.例４㊀一辆汽车在水平直线公路上行驶ꎬ已知额定功率为Ｐｅ＝８０ｋＷꎬ且汽车行驶过程中受到的阻力恒为ｆ＝２.５ˑ１０３Ｎ.汽车的质量Ｍ＝２.０ˑ１０３ｋｇ.假设汽车从静止状态开始做匀加速直线运动ꎬ已知加速度为ａ＝１.０ｍ/ｓ２ꎬ当汽车达到额定功率后ꎬ保持额定功率不变继续行驶.(１)在整个运动中ꎬ汽车的最大速度是多少ꎻ(２)２０ｓ时汽车的瞬时功率是多少ꎻ(３)当速度为５ｍ/ｓ时ꎬ它的瞬时功率是多少ꎻ(４)当速度是２０ｍ/ｓ时ꎬ它的加速度是多少.解析㊀(１)汽车达到最大速度时做匀速运动ꎬ牵引力Ｆ＝ｆꎬ所以ꎬ根据Ｐ＝Ｆｖꎬ可以得到ｖｍ＝Ｐｅｆ＝８０ˑ１０３２.５ˑ１０３ｍ/ｓ＝３２ｍ/ｓ. (２)首先ꎬ判断２０ｓ末汽车的运动状况ꎬ开始时汽车作匀加速运动:Ｆ１－ｆ＝ｍａꎬ从而解得:Ｆ１＝ｆ＋ｍａ＝４.５ˑ１０３Ｎꎬ当Ｐ＝Ｐｅ时ꎬｖ１＝ＰｅＦ１＝８０ˑ１０３４.５ˑ１０３ｍ/ｓ＝１７.８ｍ/ｓꎬ又因为ｔ＝ｖ１ａ＝１７.８ｓ<２０ｓ所以ꎬ汽车不能做匀加速运动ꎬ这时汽车已经达到额定功率ꎬ所以功率Ｐ１＝Ｐｅ＝８０ｋＷ.(３)当ｖ２＝５ｍ/ｓ时ꎬＰ２＝Ｆ１ｖ２＝４.５ˑ１０３ˑ５Ｗ＝２.２５ˑ１０４Ｗ＝２２.５ｋＷ(４)当ｖ３＝２０ｍ/ｓ时ꎬ由于ｖ３>ｖ１ꎬ所以汽车不作匀加速运动ꎬ且功率为额定功率ꎬ由于Ｐｅ＝Ｆ２ｖ３ꎬ所以Ｆ２＝Ｐｅｖ３＝４.０ˑ１０３Ｎ因为Ｆ２－ｆ＝ｍａᶄ求得ａᶄ＝Ｆ２－ｆｍ＝０.７５ｍ/ｓ２总之ꎬ力学是高中物理学学习的重点和难点ꎬ同时也是高考的关键内容.只有掌握科学的力学问题解决方法ꎬ才能快速㊁准确地解决问题.简而言之ꎬ在解决高中物理和力学问题时ꎬ必须仔细解释主题ꎬ明确主题的意义ꎬ选择合适的研究对象并建立模型ꎬ选择合适的解决方案ꎬ以提高解决力学问题的准确性.参考文献:[１]李婷.浅谈高中物理力学中动态平衡问题的解决方法[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１８):４１－４１. [２]刘杭州ꎬ宋书婷.选对方法速解动态平衡问题[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(４):３.[责任编辑:李㊀璟]９０１。

浅析力学中的动态平衡问题物体受到几个共点力的作用，其中某部分力是变力，即为动态力，在所有力共同作用下物体的状态发生缓慢变化，变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，这就是所谓的动态平衡问题。

该类问题是高考中的高频考点，也是教与学中的重点、难点，本人结合教学实际，对动态平衡问题进行归类剖析，希望对该部分的教与学有所帮助。

一、图解法（一）平行四边形雏形法或三角形雏形法该种方法分析物体动态平衡问题时，一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变为恒力，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。

由三力平衡的规律可知，两变力的合力与恒力等大方向，这就说明在两变力合成合力的矢量图中，对角线的大小方向是确定的，其中一个分力的方向不变，则表示该分力方向所在的直线与大小方向确定的对角线可组一个成平行四边形雏形或三角形雏形，当第三个力的方向确定一次，就组成一个点完整的平行四边形或三角形，依据第三个力的方向变化范围，就可对应做出平行四边形或三角形动态变化过程，从而可以确定各力的变化情景。

【例1】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点，现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力F N以及绳对小球的拉力F T的变化情况是怎样的？[解析] 小球受的重力不变，支持力的方向不变，绳的拉力的大小、方向都改变。

以小球为研究对象，受力分析如图所示。

在小球上升到接近斜面顶端的过程中，mg的大小和方向都不变，即F N与F T的合力F＝mg不变。

F N的方向不变，用表示F N方向所在的直线与表示F的有向线段组成一个平行四边形雏形或三角形雏形，F T与水平方向的夹角由大于斜面倾角α的某一值逐渐减小至趋于零，由此做出平行四边形或三角形的动态变化过程图，由图可知，F T先减小，当F T与F N 垂直(即绳与斜面平行)时达到最小，然后开始增大，F T先减小后增大；由图还可判定F N不断增大。

动态平衡分析（一）共点力的平衡1.共点力：物体受到的各力的作用线或作用线的延长线能相交于一点的力.2.平衡状态：在共点力的作用下，物体处于静止或匀速直线运动的状态.3.共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即＝合F 0.4.力的平衡：作用在物体上几个力的合力为零，这种情形叫做力的平衡.(1)若处于平衡状态的物体仅受两个力作用，这两个力一定大小相等、方向相反、作用在一条直线上，即二力平衡.(2)若处于平衡状态的物体受三个力作用，则这三个力中的任意两个力的合力一定与另一个力大小相等、方向相反、作用在一条直线上.(3)若处于平衡状态的物体受到三个或三个以上的力的作用，则宜用正交分解法处理，此时的平衡方程可写成：⎩⎨⎧=∑=∑00yx F F （二）物体的动态平衡问题物体在几个力的共同作用下处于平衡状态，如果其中的某个力（或某几个力）的大小或方向，发生变化时，物体受到的其它力也会随之发生变化，如果在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，我们就可以依据平衡条件，分析出物体受到的各力的变化情况。

分析方法：（1）矢量三角形法①如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中只有一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力中，一个大小、方向均不变化；一个只有大小变化，方向不发生变化的情况。

②如果物体在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力的大小和方向发生变化时，物体受到的另外两个力中只有一个大小和方向保持不变，另一个力的大小和方向也会发生变化的情况下，考虑三角形的相似关系。

（三）例题与习题：1．如图所示，小球用细绳系住放在倾角为 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将：A．逐渐变大B．逐渐变小C．先增大后减小D．先减小后增大O ABCDθ2．光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示。

现缓慢的拉绳，在小球沿球面由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是：A.N 变大，T 变小B.N 变小，T 变大C.N 变小，T 先变大后变小D.N 不变，T 变小（四）警示易错试题警示1：:注意“死节”和“活节”问题。

动态平衡的受力分析一、力学动态平衡问题所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。

解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。

②对物体进行正确的受力分析。

③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。

④选取恰当的方法解决问题。

根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法” ，“相似三角形法”和“正交分解法”。

（1）解析法：根据物体平衡，对物体受力分析，在相互垂直的方向上写出两个方程。

求解所求力的数学表达式，根据三角函数知识分析某个变力的大小如何变化。

适用题型：. 物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。

例题1.如图所示，与水平方向成B角的推力F作用在物块上，随着B逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动.关于物块受到的外力，下列判断正确的是（）A ．推力 F 先增大后减小B .推力F 一直减小_____ a mg cos 6 — a sin ,可见，当6减小时，F 一直减小，B 正确; 摩擦解析 对物块受力分析，建立如图所示的坐标系.由平衡条件得：F cos6 — F f = 0, F N — (mg^ F sin 6 ) = 0,又 F f =^F N，联立可得 F =力F f = aF = a （mg^ F sin 6 ）,可知，当6、F 减小时，F f —直减小.方法：解析法，正交分解法（2）图解法在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出 力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边 形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变 化情况。

物体受三个力（或可等效为三个力） 作用，一个力是恒力（通 常是重力），其余两个力中一个方向不变， 另一个方向改变。

例题2:如图所示，用 OA 0B 两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间， 开始时C .物块受到的摩擦力先减小后增大D .物块受到的摩擦力一直不变答案 B0B绳水平.现保持0点位置不变，改变0B绳长使绳末端由B 点缓慢上移至B'点，此时0B与0A之间的夹角6 <90° .设此过程中0A 0B的拉力分别为F0A F。

动态平衡问题苗贺铭动态平衡问题是高中物理平衡问题中的一个难点，学生不掌握问题的根本和规律，就不能解决该类问题，一些教学资料中对动态平衡问题归纳还不够全面。

因此，本文对动态平衡问题的常见解法梳理如下.所谓的动态平衡,就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化的平衡问题，物体在任意时刻都处于平衡状态，动态平衡问题中往往是三力平衡。

即三个力能围成一个闭合的矢量三角形.一、图解法方法：对研究对象受力分析，将三个力的示意图首尾相连构成闭合三角形。

然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时,这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形的边长，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1如图所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为F N1,球对木板的压力大小为F N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不计摩擦，在此过切程中( ）A.F N1始终减小 B。

F N2始终减小C. F N1先增大后减小D. F N2先减小后增大解析:以小球为研究对象，分析受力情况:重力G、墙面的支持力和木板的支持力,如图所示：由矢量三角形可知：始终减小，始终减小。

归纳：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力,也可能是其它力）,另一个力的方向不变，大小变化,第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

二、解析法方法：物体处于动态平衡状态时,对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，得到自变量与应变量的函数关系，由自变量的关系确定应变量的关系.例题2.1 倾斜长木板一端固定在水平轴O 上，另一端缓慢放低，放在长木板上的物块m 一直保持相对木板静止状态，如图所示．在这一过程中，物块m 受到长木板支持力F N 和摩擦力F f 的大小变化情况是（ ）A. F N 变大,F f 变大B. F N 变小,F f 变小C. F N 变大，F f 变小D 。

速解静力学中的四类动态平衡问题摘要：高中物理静力学中的动态平衡问题选择题是学生在学习过程中遇到的重点和难点问题。

学生在遇到此类问题时往往不知道如何快速入手，要么花费时间过长，要么做不出来，究其原因是没有掌握好的方法与解题技巧，本文在此对这些方法和技巧一一作阐述。

关键词：速解动态平衡问题一、动态平衡之动边三角形法（图解法）1、适用条件：物体受三个力（或可以合并成三个力），其中有一个力是恒力（通常是重力），有一个力方向不变（恒向或称为定力），有一个力是变力（大小方向都变化）。

2、方法步骤：首先对物体进行受力分析，作出受力示意图，然后作出两个变力的合力（与恒力等大反向），再把方向不变的哪个力平移到合力的末端点，最后过共点力的作用点作一条线与方向不变的哪个力相交，构成一个动态的三角形，从三角形各边长度的变化即可得出另两个力的变化情况。

在横向力水平的情况下，可以用“陡小缓大”快速判断。

【例1】（2019年全国1卷多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。

一细绳跨过定滑轮，其一端悬挂物体N，另一端与斜面上的物体M相连，系统处于静止状态。

现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45度角，已知M始终保持静止，则在此过程中（）A、水平拉力的大小可能保持不变B、M所受细绳的拉力大小一定一直增加C、M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D、M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加解析：以N为研究对象，对其进行受力分析，作出受力示意图可知绳子对N 的拉力逐渐变缓，由动态三角形得出表示该的拉力的边长逐渐变大，故M所受细绳的拉力大小一定一直增加，因此B选项正确。

当然也可以“陡小缓大”这一结论迅速得出B选项正确。

对C、D选项，由于绳子拉力一直增加，以M为研究对象，对其进行受力分析，然后在平行于斜面方向列方程，由于M有可能有向上运动的趋势，也可能有向下运动的趋势，根据这两种趋势可知摩擦力方向可能向上也可能向下而列方程，即可得出D选项正确。

静力学中的动态平衡问题静力学中的动态平衡问题是学生学习中的难点，也是高考的重点，本文利用基本的平行四边形定则，归纳出了四种典型题型的快速解决方法，以期对学生的学习有所帮助。

常见的有四种题型：1.受三个力的作用而平衡，除重力外，还有一个力的方向不变．2.三角形相似．3.绳、滑轮组合体．4.两个力保持夹角不变，同时转过相同的角度．一．除重力外，有一个力的方向不变1.题型特点：①受三个力作用．②一个力的大小方向都不变（F1），一个力的方向不变（F2），一个力的大小和方向都变化（F3）．2．规律：①设F2与F3之间的夹角为θ，F2与θ正相关．②当θ=90°时，F3最小，θ趋向于90°时，F3减小，θ远离90°时，F3增大．当θ在锐角与钝角之间变化时，F3先减小后增大．3．判断步骤：①受力分析，模型辨识②θ变化范围及变化趋势．③根据规律得出结论．4．规律研究：我们先来研究以下的两个例子例题1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中() A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小解析：以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，则绳OA与竖直方向的夹角变大，我们作几个平行四边形，根据代表力的线段长度变化可知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．第二问：如果本题中保持O点在图示的位置不动，而使F顺时针转过90°，问：F、T又是如何变化的？我们可以通过作平行四边形（甲）或力的三角形（乙），从表示力的线段长度的变化来判断力的大小变化．F 先减小后增大，T 一直减小． 我们可以研究一下这两个例子，只要是力的平衡问题，我们用平行四边形法则或三角形法则通过作图就可以得到结论，这两个例子的结论不尽相同，它们有没有共同的规律呢？当我们把眼光聚焦到两个变力之间的夹角上时，我们就会有惊喜的发现．设夹角为θ，我们会发现方向不变的那个力F 与角θ是正相关的，第一问θ角是增大的，F 也逐渐变大，第二问θ角是减小的，F 也逐渐减小的,这其实是由力的合成的性质决定的；对于大小和方向都变化的那个力T ，当θ=90°时，T 值最小，所以当θ越接近90°，T 值越小，反之越大，这样，我们可以从角θ的变化直接看到结果．这其实是对平行四边形法则的升华．具体判断方法参考前面总结的判断步骤，要说明的是平行四边形法则（或三角形法则）是基础，要掌握住这种快捷的判断方法，更要掌握住基础方法，下面以一个例子来说明如何使用这种判断方法．例题2：如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A 和小球B 上，圆环A 套在粗糙的水平直杆MN 上．现用水平力F 拉着绳子上的一点O ，使小球B 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A 始终保持在原位置不动．在这一过程中，环对杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是( )A ．F f 不变B ．F f 增大C ．F N 减小D ．F N 不变解析：① 受力分析，模型辨识选O 点为研究对象，受力分析可知，受三个力，且有一个力（F ）方向不变，属于题型1的动态平衡．②θ变化范围及变化趋势．接下来我们看F 与绳上的拉力T 之间夹角，初始值大于90°，以后变得更大了， ③根据规律得出结论．F 为方向不变的力，大小与夹角正相关，故是增大的；T 为大小和方向都变化的力，夹角的值远离90°，故T 也是增大的．（大家可以根据平行四边形定则来验证这一结论）要想判断F f 、F N 的变化，我们只需要把环与球整体作为研究对象，受力分析如图，可知F f 与F 等大反向，F N 与二者总重力mg 等大反向．根据上面的判断知F 变大，则F f 变大，mg 不变，则F N 不变．选BD.A甲 GTF乙练习1：如图所示，两块相互垂直的光滑挡板OP 、OQ ，OP 竖直放置，小球a 、b 固定在轻弹簧的两端．水平力F 作用于b 时，a 、b 紧靠挡板处于静止状态．现保证b 球不动，使挡板OP 向右缓慢平移一小段距离，则( )A ．弹簧变长B ．弹簧变短C ．力F 变大D ．b 对地面的压力变大二．三角形相似1.题型特点：①受三个力作用．②另两个力大小和方向都变化，但其作用线都通过各自的固定点．2．规律：力的三角形与几何三角形相似．即通过合成力得到的力的三角形与两个固定点及物体构成的几何三角形相似．对应边成比例，得出结论．3．判断步骤： ①受力分析，模型辨识②根据三角形相似列等式，得出结论．例题3：把一光滑圆环固定在竖直平面内，在光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，如图所示．质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢下移，在小球移动过程中手对细线的拉力F 和圆环对小球的弹力F N 的大小变化情况是( )A ．F 不变，F N 增大B ．F 不变，F N 减小C ．F 减小，F N 不变D ．F 增大，F N 不变解析：①受力分析，模型辨识对小球受力分析如图甲所示：受三个力，F N 作用线始终经过O 点，F 作用线始终经过B 点，属于题型2的动态平衡问题．② 根据三角形相似列等式，得出结论．如图乙所示，合成力，得到力的三角形与几何三角形，阴影所示，对应边成比例，G R ＝F AB ＝F NR ，小球沿圆环缓慢下移时，圆环半径不变，AB 长度增大，故F 增大，F N 不变，故D 正确．答案：DBNBF N练习2：如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A 到半球的顶点B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化情况是( )．(A)N 变大，T 变小， (B)N 变小，T 变大 (C)N 变小，T 先变小后变大 (D)N 不变，T 变小三．绳、滑轮组合体1.题型特点：物体通过滑轮悬挂在一根绳子上．2．规律：绳子两端之间的水平距离不变时，绳上的张力不变，距离变大，张力变大，反之变小．3.判断步骤：①模型辨识：模型特点是一根绳子通过光滑滑轮悬挂一个物体．（活结）②根据绳子两端点之间的水平距离判断绳子上的张力的变化．4．规律研究：以下面这个题目为例，研究其规律．例题4：如图所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于A 、B 两点，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间夹角为θ1，绳子张力为F 1；将绳子B 端移至C 点，等整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ2，绳子张力为F 2；将绳子B 端移至D 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ3，绳子张力为F 3，不计摩擦，则（ BD ）A ．θ1=θ2=θ3B ．θ1=θ2<θ3C ．F 1>F 2>F 3D ．F 1=F 2<F 3分析：过A 点作右侧墙壁的垂线，垂足为M,延长AO 与BC 的延长线交于E 点，以滑轮为研究对象，由于是一根绳子，故T 1=T 2,把T 1、T 2合成，得到平行四边形为菱形，∠AON=∠BON ，又∠AON=∠AEB ，∠BON=∠OBE ， 故∠AEB=∠OBE ，△OBE 为等腰三角形， 所以OB=OE ，所以AE 等于绳长L, 设AM=d, ∠BEA=α=12 θ，sin α=d L，当B 点沿竖直方向移动时，d 不变，L 不变，所以α角不变，θ角不变，如图乙所示，当从C点移向D点时，d值变大，L不变，所以α角变大，θ角变大（如图丙），根据力的合成的性质，合力不变，两分力夹角增大时，分力增大，反之，夹角减小，分力减小．练习3：如图所示，小方块代表一些相同质量的钩码，图甲中O为轻绳之间连接的结点，图乙中光滑的轻质小滑轮跨在轻绳上悬挂钩码，两装置处于静止状态．现将图甲中B滑轮的端点B稍稍右移一些，图乙中的端点B沿杆稍稍向上移动一些(图乙中的绳长不变)，则关于θ角和OB绳的张力F的变化，下列说法正确的是()A．图甲、乙中的θ角均增大，F均不变B．图甲、乙中的θ角均不变，F均不变C．图甲中θ角增大、图乙中θ角不变，张力F均不变D．图甲中θ角减小、F不变，图乙中θ角增大、F减小四．两个力保持夹角不变，同时转过相同的角度．1.题型特点：①受三个力作用．②两个力的大小方向都变化但之间的夹角不变．③两个力同时转过相同的角度．2．规律：设两个力F1、F2与竖直向上的方向之间的夹角为α、β如图所示，F1 sinβ=F2sinα=Gsin(α+β)左边的力与右边的夹角正弦成正比，右边的力与左边的夹角正弦成正比．3．判断步骤：①模型辨识：受三个力作用，除重力之外，另两个力的大小方向都变化，但夹角始终不变．②观察α、β的变化范围及变化趋势，如果α在小于90°范围内变化，则F2与α是正相关的，如果β在钝角与锐角之间变化，由于90°的正弦值最大，故F1先增大后减小．4．规律研究：以下面这个题目为例，研究其规律．例题5：如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>π2）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水αβF2 F1G平的过程中A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小解析：为了便于比较，我们把它等效成M 点不动，而OM 、MN 绕其转动如图甲．为了使问题具有普遍性，我们取转过任意角的位置（不到最终位置）进行分析，如图乙所示．设三角形的三个角分别为∠1、∠2、∠3， 根据正弦定理有G sin ∠1 =F OM sin ∠2 =F MNsin ∠3,由于OM 与MN 夹角为α始终不变，故∠2+∠3=α不变， 而∠1=180°－α，sin ∠1=sin(180°－α)=sin α,G sin ∠1 =F OM sin ∠2 =F MN sin ∠3变为G sin α =F OM sin ∠2 =F MNsin ∠3 =常数，F OM ∝sin ∠2,F MN ∝sin ∠3，在本题中∠3是从0°增加到90°，其正弦值是增大的，故F MN 是增大的；∠2是从钝角（α>π2）变为锐角，故F O M 是先增大后减小的．答案为AD从以上分析可知，如果角α初始值小于等于90°，则∠2的正弦值是一直减小的，则F O M 也是一直减小的．如果两个力一起旋转的角度不是90°，观察∠2、∠3的正弦值是如何变化的，就可以知道F O M 、F MN 的变化情况．练习4：如图所示，在一只木箱内，用两根细绳拉住一个小球，开始时AC 水平，现保持两细线间的夹角不变，而将木箱顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，AC 绳的拉力F T1和BC 绳的拉力F T2大小变化情况是 （ ） A ．F T2先变大后变小，F T1一直变小 B ．F T1先变大后变小，F T2一直变小 C ．F T1先变小后变大，F T2一直变小N乙N' ACBαD ．F T2先变小后变大，F T1一直变大达标练习1．一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图2-1所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆A O 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )A ．F N 先减小，后增大B .F N 始终不变C ．F 先减小，后增大 D.F 始终不变2．如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G =40N ，绳长L =2.5m ，OA =1.5m ，求绳中张力的大小，并讨论：（1）当B 点位置固定，A 端缓慢左移时，绳中张力如何变化？ （2）当A 点位置固定，B 端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？3．如图所示，质量分别为3m 和m 的两个可视为质点的小球a 、b ，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a 与天花板上的O 点相连，为使小球a 和小球b 均处于静止状态，且细线Oa 向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b 朝某一方向施加一拉力F .若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g ，则当F 的大小达到最小时，细线Oa 对小球a 的拉力大小为( )A ．4mgB ．3.2mgC ．2.4mgD ．3mg4．(多选)如图所示，一个固定的14圆弧阻挡墙PQ ，其半径OP 水平，OQ 竖直．在PQ和一个斜面体A 之间卡着一个表面光滑的重球B .斜面体A 放在光滑的地面上并用一水平向左的力F 推着，整个装置处于静止状态．现改变推力F 的大小，推动斜面体A沿着水平地面向左缓慢运动，使球B沿斜面上升一很小高度，则在球B缓慢上升过程中，下列说法中正确的是( )A ．斜面体A 与球B 之间的弹力逐渐减小 B ．阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力逐渐减小C ．水平推力F 逐渐增大D ．水平地面对斜面体A 的弹力逐渐减小A5．如图所示，两个小球a 、b 质量均为m ，用细线相连并悬挂于O 点，现用一轻质弹簧给小球a 施加一个拉力F ，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°.已知弹簧的劲度系数为k ，则弹簧形变量不可能是( )A.2mgkB ．2mg2kC.42mg 3kD ．2mg k6．将三个质量均为m 的小球a 、b 、c 用细线相连后(b 、c 间无细线相连)，再用细线悬挂于O 点，如图所示．用力F 拉小球c ，使三个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F 的最小值为( )A ．mgB ．2mg C.32mg D ．32mg 7.（多选）如图所示，质量均为m 的小球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬于O 点，A 球固定在O 点正下方L 处，当小球B 平衡时，绳子所受的拉力为F T1，弹簧的弹力为F 1；现把A 、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k 2(k 2＞k 1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F T2，弹簧的弹力为F 2.下列关于F T1与F T2、F 1与F 2大小之间的关系，正确的是( )A ．F T1＞F T2B ．F T1＝F T2C ．F 1＜F 2D ．F 1＝F 28．（多选）如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A 、B 两点，衣服处于静止状态．如果保持绳子A 端位置不变，将B 端分别移动到不同的位置，则下列说法正确的是( )A ．B 端移到B 1位置时，绳子张力变大 B ．B 端移到B 2位置时，绳子张力不变C ．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大D ．B 端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小9． (多选)如图所示，一辆小车静止在水平地面上，车内固定着一个倾角为60°的光滑斜面OA ，光滑挡板OB 可绕转轴O 在竖直平面内转动，现将一质量为m 的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水平面的夹角θ＝60°，下列说法正确的是( )A ．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对斜面的压力逐渐增大B ．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动60°，则球对挡板的压力逐渐减小C ．若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为mgD ．若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则球对挡板的压力可能为零 10．如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L ，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )A ．mgB ．33mg C.12mg D.14mg 11．半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN .在半圆柱体P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q ，整个装置处于静止．如图所示是这个装置的纵截面图．若用外力先使MN 保持竖直，然后缓慢地水平向右移动，在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止．在此过程中，下列说法中正确的是( )A ．MN 对Q 的弹力逐渐增大B ．Q 所受的合力逐渐增大C ．P 、Q 间的弹力先减小后增大D ．地面对P 的摩擦力逐渐减小12：有一个直角支架AOB ，AO 是水平放置，表面粗糙．OB 竖直向下，表面光滑．OA 上套有小环P ，OB 套有小环Q ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可以忽略．不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO 杆对P 的支持力F N 和细绳上的拉力F 的变化情况是( ) A ．F N 不变，F 变大 B ．F N 不变，F 变小 C ．F N 变大，F 变大 D ．F N 变大，F 变小13.（多选）用一轻绳将小球P 系于光滑墙壁上的O 点，在墙壁和球P 之间夹有一矩形物块Q ，如图所示．P 、Q 均处于静止状态，则下列相关说法正确的是（ ）A ．Q 受到3个力B ．P 物体受4个力C．若绳子变短，Q 受到的静摩擦力将增大OQPD ．若绳子变长，绳子的拉力将变小14. （多选）如图所示，在斜面上放两个光滑球A 和B ，两球的质量均为m ，它们的半径分别是R 和r ，球A 左侧有一垂直于斜面的挡板P ，两球沿斜面排列并处于静止，以下说法中正确的是（ ）A ．斜面倾角θ一定，R ＞r 时，R 越大，r 越小，B 对斜面的压力越小 B ．斜面倾角θ一定，R =r 时，两球之间的弹力最小C ．斜面倾角θ一定时，无论半径如何，A 对挡板的压力一定D ．半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A 受挡板的作用力先增大后减小15. 轻质弹簧A 的两端分别连在质量为m 1和m 2的小球上，两球均可视为质点．另有两根与A 完全相同的轻质弹簧B 、C 的一端分别与两个小球相连，B 的另一端固定在天花板上，C 的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力的方向，保持B 弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变，当弹簧C 的拉力最小时，B 、C 两弹簧的形变量之比为（已知sin 37=0.6，cos 37=0.8）( ) A ．1：1 B ．3：5 C ．4:3 D ．5：416. 轻绳一端系在质量为m 的物体A 上,另一端系在一个套在倾斜粗糙杆MN 的圆环上．现用平行于杆的力F 拉住绳子上一点O ,使物体A 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置,并且圆环仍保持在原来位置不动．则在这一过程中．环对杆的摩擦力F f 和环对杆的压力F N 的变化情况是( ) A. F f 保持不变,F N 逐渐增大 B. F f 逐渐增大,F N 保持不变 C. F f 逐渐减小,F N 保持不变 D. F f 保持不变,F N 逐渐减小答案：练习：1.A 2.D 3.B 4.B 达标练习 1.B 2. 25N 、变大、不变 3.B 4.ABD 5.B 6.C 7.BC8.BD 9.CD 10.C 11.A 12. B 13.BD 14.BC 15.C 16.B。