分枝定界法,割平面法_

第五章 整数规划主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。

重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。

要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。

§1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。

如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。

例1 求解下列整数规划问题211020m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为：96m ax ,0,8.421===z x x 。

用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ，最优值为z=90。

由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。

下面介绍几种常用解法。

§2 分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。

基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是A 的最优值*z的上界，记为z ；而A 的任意可行解的目标函数值是*z的一个下界z ，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。

现举例说明： 例2 求解A219040m ax x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,702075679x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解=1x 4.81, =2x 1.82,①② ③ ④ ⑤=0z 356（见下图）。

整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。

整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。

下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。

1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。

纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。

通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。

2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。

这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。

3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。

它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。

分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。

分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。

定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。

4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。

启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。

常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。

5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。

面对这种情况，可以采取接近最优的策略。

即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。

6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。

通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。

问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。

7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。

2019/1/14
求解练习题
首先求解线性规划L0 : max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 + x 4 = 12 x1 + 2x2 + x5 = 15 4x1 +5x3 + x6 = 26 x1~6 0
2019/1/14
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解 (1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。

2019/1/14
例5-1求解过程示意图
线性规划 L2 无可行解 所以原整数规划的最优解为 X* =（0，7，5） 最优值为 Z* = 55
2019/1/14

求解练习题
L0 （0，15/2，9/2） 111/2
L1 （0，7，5）
L2
无可行解
55
2019/1/14
割平面法
1.割平面法的基本思路 2.例 3.练习题
2019/1/14
割平面法的基本思路
2019/1/14
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2019/1/14

lingo整数规划整数规划是运筹学中的一种优化方法，用于解决决策问题中存在离散决策变量的数学规划问题。

在整数规划中，决策变量的取值只能是整数。

整数规划的应用非常广泛，包括生产计划、资源分配、货物运输等领域。

下面将介绍一些与整数规划相关的术语和技巧。

1. 最优解：整数规划的目标是找到使目标函数最大或最小的整数解。

最优解指的是在满足约束条件的前提下，使目标函数的取值达到最优的决策变量取值。

2. 整数线性规划：整数线性规划是整数规划的一种特殊情况，其中目标函数和约束条件都是线性的。

3. 整数非线性规划：整数非线性规划是整数规划的另一种形式，其中目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的。

4. 分枝定界法：分枝定界法是求解整数规划问题的一种常用方法。

它通过将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解。

5. 割平面法：割平面法是求解整数规划问题的另一种方法。

它通过加入额外的线性不等式约束，逐步削减可行解空间，直到找到最优解。

6. 整数规划松弛：整数规划松弛是指将整数规划问题中的整数约束条件松弛为连续变量的约束条件，从而将整数规划问题转化为线性规划问题。

7. 整数规划可行解：整数规划问题的可行解是指满足所有约束条件的整数取值。

8. 整数规划解的整数性：整数规划解的整数性是指整数规划问题的解是否满足整数约束条件。

9. 混合整数规划：混合整数规划是一类更一般的整数规划问题，其中决策变量可以是整数或连续变量。

10. 整数规划的应用：整数规划在各种领域中都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、货物运输等。

通过合理的建模和求解技巧，整数规划可以帮助企业优化决策，提高效益。

总之，整数规划是一种应用十分广泛的优化方法，通过对决策变量的整数约束进行建模，帮助解决实际问题中存在的离散决策变量的优化问题。

四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。

建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。

月销售分别为250，280和120件。

问如何安排生产计划，使总利润最大。

2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。

并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。

已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10X l X2X3X4—10b-1f gX32C O11／5X l a d e01(1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Y l﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。

二、研究的主要内容和预期目标
研究的主要内容：
1.引言
2.Gomory割平面法
2.1割平面法的基本思想
2.2割平面法步骤
3.分枝定界法
.1分枝定界法的基本思想
.2分枝定界法步骤
4.割平面法和分枝定界法比较
5.一种新型割平面法
6.分枝定界法在最优化问题中的应用
结束语
预期目标：
熟练掌握两种算法，了解各自算法的优点与缺点；会建立整数规划模型，并合理应用算法和计算机解决问题。
and Complexity[M].NewJersey:Prentice-Hall,1982
[3]许志国，马仲蕃.整数规划初步[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990
[4]赵玮，王荫清.随机运筹学[M].北京：高等教育出版社，1993
[5]张香云.线性规划[M].浙江：浙江大学出版社，2009
[6]张雅琴，王希云.分枝定界法在最优化问题中的应用[J].经济技术协作信息，2007.17(17):83
三、拟采用的研究方法、步骤
1.研究方法：
主要采用文献资料法对大量文献进行分析，以使对研究课题的研究现状、背
景意义有深刻的理解。
运用描述性研究法研究两种算法的优劣、在模型中的应用等。
2.研究步骤
(1)选定课题：根据对所学专业知识熟练与理解程度评估，选择了自己较为容易
研究的课题。
(2)收集资料：根据所选课题收集大量相关的材料。首先将有关运筹学中整数规划
的内容进行收集、归纳；再则去校图书馆查阅相关的资料，借阅有
关的书籍以及习题讲解；最后利用电脑在网上查阅更多的资料来丰
富论文研究内容。
(3)整合资料：将所收集的资料进行整合，则优而不泛用。
(4)确定题目：在整理好所需资料，大致的方向有所掌握后再确定论文的题目，好

剪枝 x 3 再分枝： 2
不是问题A解 而z (12 ) z
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z (1) 349 z
z (12 ) 327
4
x2 2
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z (11) 340
定界： z 340 z 341
z 340 z 341
分支定界的全过程： B2 : x1 5.00 B1 : x1 4.0 0
x 2 2 .1 0
x2 1.57
x2 2
z
(1)
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z
(11)
xx 34 2 最优解： 1
3 49
z ( 2 ) 341
（3）求解
点
求解过程如表4－6所示。
过滤条件 约束 ④ × √ √ √ 4x1＋3x2＋2x3≥5 × √ × √ √ √ √ × √ √ 5 √ 2 ① ② ③ z值
4x1＋3x2＋2x3≥2
（0，0，0）T （0，0，1）T （0，1，0）T （0，1，1）T （1，0，0）T （1，0，1）T
§4 分枝定界法
第二步:定界
记A的目标函数最优值为z*,以z(0)作为z* 的上界,记为 z =z(0).再用观察法找的一个整数可 行解X′,并以其相应的目标函数值z′作为z*的下 界,记为z＝z′,也可以令z＝－∞,则有: *
zz z
§3 分枝定界法
第三步:分枝
在以上界 z 所对应的解 X (b1,, br ,, bm ,0,,0)T 中,任选一个不符合整数条件的变量,例如 br(不 为整数),以 [br ]表示不超过 br 的最大整数.构造 两个约束条件

1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。

2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。

4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。

5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。

运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。

6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。

7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。

8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。

9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。

10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。

11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。

12．运筹学中所使用的模型是数学模型。

用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。

13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。

14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。

15.数学模型中，“s·t”表示约束。

16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。

17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。

18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。

1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。

2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。

3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。

4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。

7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。

8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。

( 2 8)
割平面法的思想：
割平面法也是通过解伴随规划的方法来解整数规划的.如果 伴随规划的最优解不是整数解,则增加线性约束(割平面),切 掉可行域中不含整数解的部分域,在新的约束条件下再解伴随 规划.不断重复这个过程,直到伴随规划的最优解是整数解为止. 经过割平面对可行域的不断切割,最优整数解最终成为新可行 域的顶点.
第三章 整数规划

3.1 整数规划数学模型 3.2 分枝定界法 3.3 割平面法 3.4 分配问题 3.5 0-1整数规划
第一节 整数规划的数学模型 例： 某工厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每 箱的体积、重量、可获得的利润以及托运限 制如下表：
货物
甲 乙 托运限制
体积 重量 利润 5 20 200 4 50 100 240 1300
x2
S3
6
Z 4
Z
0
max Z x1 x2
9 51 x1 x2 14 14
x1 2或x1 3
max Z x1 x2
s .t .
1
2
3 S7
x1
14
x1
( 2 6)
9 51 x2 14 14
1 2 x1 x2 3 x1 2 0 x2 2
第二节 分枝定界法 例3-1 max Z x x 1 2
s .t .
max Z x1 x2
s .t .
x1
9 51 x2 14 14
伴随规划
x1
9 51 x2 14 14
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0, 整数
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0

《管理运筹学》复习题2014.12一、填空题(每题3分，共18分)1．运筹学中所使用的模型是数学模型。

用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。

2.数学模型中，“s ·t ”表示约束。

3．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。

4．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。

5．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。

6．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。

7．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

8．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。

9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。

10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。

11．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。

12．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。

13．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。

14.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。

15.物资调运问题中，有m 个供应地，A l ，A 2…，A m ，A j 的供应量为a i (i=1，2…，m)，n 个需求地B 1，B 2，…B n ，B 的需求量为b j (j=1，2，…，n)，则供需平衡条件为 ∑=mi i a 1=∑=nj ib116．物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数非负时，当前的方案一定是最优方案。

17．可以作为表上作业法的初始调运方案的填有数字的方格数应为m+n －1个(设问题中含有m 个供应地和n 个需求地) 18、供大于求的、供不应求的不平衡运输问题，分别是指∑=mi i a 1_＞∑=n j i b 1的运输问题、∑=m i i a 1_＜∑=n j i b 1的运输问题。

19．在表上作业法所得到的调运方案中，从某空格出发的闭回路的转角点所对应的变量必为基变量。

整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。

在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。

由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。

本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。

一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。

其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。

在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。

分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。

然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。

因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。

二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。

该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。

割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。

割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。

然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。

因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。

三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。

启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。

常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。

这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。

27094管理科学内部最新考点管理科学的内容比较丰富，有的方法对工商管理管理专业的应考者来说可能还存在一定的难度，为此，在具体复习的时候，可以把讲解方法原理、应用条件与案例分析和计算机软件使用结合起来。

在通常情况下，本次考试内容还是考如下重点：红色字体均为重点。

1、线性规划。

包括：线性规划建模，线性规划的基本概念，线性规划的数学原理，线性规划的求解方法，线性规划的应用等。

注：这些比较简单，有可能考建模问题，不会很难的，大家注意复习时要多几道此类的题目。

2、对偶问题与敏感性分析。

内容包括：对偶模型，对偶理论，对偶单纯形方法，敏感性分析和对偶价格等。

注，单纯形法考试不经常考，如果出题也不会出难的，之多小或中等难度题目，但你必须会做此类题目，怎么样找出入基变量，出基变量，求最优解。

过程很重要，做次来题目得花精力，一不小心就全做错了。

对偶问题必看，4、运输问题。

内容包括：运输模型，相关的基本概念，平衡运输问题求解，不平衡运输问题求解。

5、整数规划。

内容包括：整数规划模型，整数规划的经典建模，整数规划的求解方法。

6、多目标规划。

内容包括：多目标规划模型，多目标的处理与综合，多目标问题的图解法，多目标问题的单纯形方法。

7、动态规划。

内容包括：基本概念，动态规划原理，、动态规划建模，动态规划的求解方法。

8、非线性规划。

内容包括：非线性规划模型，基本概念，无约束极值问题，有约束极值问题。

9、图与网络分析。

这一部分的内容比较多，且应用性比较强，可以考虑重点学习。

主要内容包括：图的概念，图的分类，中国邮路问题，最小树问题及其解法，最短路问题及其解法、最大流问题及其解法。

10、网络计划图。

内容包括：网络计划图的制作，时间参数的计算，关键路径确定，网络图的优化与调整。

11、决策分析。

内容包括：决策的科学概念，决策问题分类，决策的基本要素，完全不确定型决策，以及风险型决策标准，贝叶斯决策，效应函数与效应决策方法等。

12、多目标决策。

运筹学解题方法技巧归纳运筹学是一门研究如何进行有效决策和优化问题求解的学科。

在运筹学中，有许多解题方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种实际问题。

本文将对运筹学解题方法技巧进行归纳总结。

1. 线性规划：线性规划是解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题的方法。

线性规划常用的求解方法有单纯形法和内点法。

在使用单纯形法求解时，我们需要将问题转化为标准形式，并通过迭代的方式逐步逼近最优解。

内点法是一种更加高效的求解方法，它通过迭代算法在可行域的内部寻找最优解。

2. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，将决策变量的取值限制为整数的一种扩展。

整数规划的求解方法有分支定界法和割平面法。

分支定界法通过不断分割问题的可行域，并对每个子问题进行求解，从而逐步逼近最优解。

割平面法则通过添加一系列割平面约束来缩小可行域，并最终找到最优解。

3. 动态规划：动态规划是一种用于求解具有特定结构的最优化问题的方法。

它适用于那些可以通过子问题的最优解来构造整个问题最优解的情况。

动态规划的求解过程包括问题建模、状态定义、状态转移方程的确定和最优解的推导。

通过动态规划，我们可以高效地解决一些需要考虑历史决策和未来影响的问题。

4. 排队论：排队论是研究顾客到达和排队等待的现象以及如何有效组织排队系统的数学方法。

排队论可以用于优化客户服务水平和资源利用率等问题。

常用的排队论模型有M/M/1队列模型、M/M/c队列模型和M/G/1队列模型等。

在解决排队论问题时，我们需要确定顾客到达的规律、服务的规律以及排队系统的性能指标，从而确定最优的排队策略。

5. 调度问题：调度问题是指在给定约束条件下，合理安排任务的顺序和时间，从而使得整个系统达到某个性能指标的最优化问题。

常用的调度问题模型有单机调度、流水线调度和车间调度等。

解决调度问题时，我们需要考虑任务之间的先后关系、任务执行时间和资源约束等因素，通过建立相应的数学模型，找到最优的调度方案。

几类非凸优化问题的松弛定界方法几类非凸优化问题的松弛定界方法一、引言在实际应用中，很多问题涉及到求解非凸优化问题，例如机器学习、图像处理、模式识别等。

这类问题通常存在多个局部最优解，难以通过传统的优化方法得到全局最优解。

由于非凸优化问题的复杂性，传统的算法会因陷入局部最优解而无法找到全局最优解。

因此，为了解决非凸优化问题，研究人员提出了一系列的松弛定界方法。

本文将介绍几种常见的非凸优化问题的松弛定界方法。

二、分枝定界法分枝定界法是解决非凸优化问题的经典方法之一。

它通过将原优化问题分解为若干个子问题，并对子问题进行求解，进而得到全局最优解。

具体而言，分枝定界法的步骤如下：1. 将原问题分解为若干个子问题；2. 对每个子问题进行求解，得到一个下界；3. 根据得到的下界，对子问题进行限界，排除无用的子问题；4. 重复第2、3步，直到找到全局最优解或无法继续分解为止。

分枝定界法的核心思想是通过限制搜索空间，逐步逼近全局最优解。

但是，分枝定界法的计算复杂度较高，当问题规模较大时，所需时间也会相应增加。

三、拉格朗日松弛法拉格朗日松弛法是一种常用于求解非凸优化问题的方法。

它通过将约束条件转化为拉格朗日松弛函数，从而将原问题转化为一个无约束问题。

具体而言，拉格朗日松弛法的步骤如下： 1. 将原优化问题的约束条件转化为拉格朗日松弛函数；2. 对于每个拉格朗日乘子，求解一个近似问题；3. 将得到的近似问题进行求解，得到一个可行解；4. 根据可行解更新拉格朗日乘子；5. 重复第2、3、4步，直到收敛于全局最优解。

拉格朗日松弛法的优点是能够转化为无约束问题，方便求解。

但是，由于近似问题的求解可能只是得到一个局部最优解，所以需要进行多次迭代以逼近全局最优解。

四、割平面法割平面法是一种常见的非凸优化问题的松弛定界方法，它利用了原问题的凹凸性质，通过添加新的约束条件逐步逼近全局最优解。

具体步骤如下：1. 求解原问题的凸松弛问题，得到初步解；2. 判断初步解是否满足原问题的约束条件，如果满足则为全局最优解，否则进行下一步；3. 添加新的约束条件，将问题进一步约束，得到一个更加凸的松弛问题；4. 重复第2、3步，直到满足原问题的约束条件，或者无法继续添加新的约束条件为止。

x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);

分支定界法和割平面法的基本原理分支定界法和割平面法是一种在数学和计算机科学领域中常用的问题求解方法。

本文将分别介绍这两种方法的基本原理。

一、分支定界法的基本原理分支定界法是一种通过将问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解来解决复杂问题的方法。

其基本思想是通过对问题的解空间进行划分，每次选择一个子问题进行求解，并根据已知的信息对该子问题的解空间进行进一步的缩小。

这样，不断缩小解空间，最终找到问题的最优解或最优解的近似解。

具体来说，分支定界法包括以下几个步骤：1. 初始划分：将问题的解空间划分为多个子问题，并选择一个子问题进行求解。

2. 求解子问题：对选定的子问题进行求解，得到一个解或一个解的集合。

3. 解空间缩减：根据已知的信息，对选定的子问题的解空间进行缩减，即排除一些不可能的解或不优的解。

4. 判断终止条件：判断是否满足终止条件，如果满足，则停止求解；否则，返回第2步，选择一个新的子问题进行求解。

分支定界法的优点是可以找到问题的最优解或最优解的近似解，并且可以通过对解空间的划分和缩减，减少问题的求解空间，提高求解效率。

但是，分支定界法的缺点是在问题的解空间较大时，可能需要遍历大量的子问题，导致求解时间较长。

二、割平面法的基本原理割平面法是一种通过不断添加约束条件来逼近问题的最优解的方法。

其基本思想是通过向问题的线性规划模型中添加额外的约束条件，使得新的线性规划模型的解逐步逼近问题的最优解。

具体来说，割平面法包括以下几个步骤：1. 初始线性规划模型：根据问题的要求，建立一个初始的线性规划模型。

2. 求解线性规划模型：对初始的线性规划模型进行求解，得到一个解或一个解的集合。

3. 添加割平面：根据已知的信息，找到一个新的约束条件，并将其添加到线性规划模型中。

4. 更新线性规划模型：根据添加的割平面，更新线性规划模型，并返回第2步，求解更新后的线性规划模型。

割平面法的优点是可以逐步逼近问题的最优解，且可以通过添加割平面来减小解空间，提高求解效率。

在求解实际问题中，割平面法经常会遇到收敛很慢的情
况，但若和其它方法，如分枝定界法，联合使用，一般能收 到比较好的效果。
§3 分枝定界法
分枝定界法是求解整数规划的常用算法，既可用来解全部变量 取值都要求为整数的纯整数规划，又可用以求解混合整数规划。
该算法的基本思路是：先不考虑整数限制，求出相应的线性规 划的最优解，若此解不符合整数要求，则去掉不包含整数解的部分 可行域，将可行域D分成D1、D2两部分（分枝） ，然后分别求解这 两部分可行域对应的线性规划，如果它们的解仍不是整数解，则继 续去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域D1或D2分成D3与D4两 部分，再求解D3与D4对应的线性规划，……，在计算中若已得到一 个整数可行解X0，则以该解的目标函数值Z0作为分枝的界限，如果 某一线性规划的目标值Z≤ Z0 ，就没有必要继续分枝，因为分枝（ 增加约束）的结果所得的最优解只能比Z0 更差。反之若Z＞ Z0 ，则 该线性规划分枝后，有可能产生比Z0 更好的整数解，一旦真的产生 了一个更好的整数解，则以这个更好的整数解目标值作为新的界限 ，继续进行分枝，直至产生不出更好的整数解为止。
所以有
x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4
因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4
即
3x3+x4 ≥3
引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3
将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
由于x1，x2的值已是整数，所以该题经一次切割已得最优解： x1=1，x2=1，最优值：Z※=2
46
10
x1
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个