苏教版高中数学必修二同步课堂精练-2.1.5平面上两点间的距离

2.1.5平⾯上两点间的距离学案1⾼中数学必修⼆苏教版Word版2.1.5 平⾯上两点间的距离平⾯⼏何问题.1．平⾯上两点间的距离公式(1)x 轴上两点P 1(x 1,0)，P 2(x 2,0)之间的距离可以表⽰为P 1P 2＝|x 2－x 1|，当点P 1在点P 2的左侧时，P 1P 2＝x 2－x 1.P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2两点间的距离P 1P 2＝x 1＝x 2时，P 1P 2＝|y 2－y 1|；当y 1＝y 2时，P 1P 2＝|x 2－x 1|. (1)平⾯内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关？答案：平⾯内两点间距离公式与两点的先后顺序⽆关，仅与点的位置有关，即P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (2)算术平⽅根a 2＋b 2的⼏何意义是什么？答案：①a 2＋b 2可视为以a ，b 为直⾓边的直⾓三⾓形的斜边长(前提是a ＞0，b ＞0)．②若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2的⼏何意义是点(a ，b )(或点(－a ，b )，(a ，－b )，(－a ，－b )，(b ，a )，…)到原点的距离．2．线段的中点坐标公式⼀般地，对于平⾯上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.预习交流2已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若M (x 0，y 0)是线段P 1P 2的中点，你能⽤P 1点与M 点的坐标表⽰P 2点的坐标吗？答案：能．由x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22得x 2＝2x 0－x 1，y 2＝2y 0－y 1.∴P 2点坐标为(2x 0－x 1,2y 0－y 1)．预习交流3求下列两点间的距离：(1)A (0,1)，B(－3,1)；(2)A (2,5)，B (2，－5)；(3)A (0,0)，B (－2，－1)．答案：(1)AB ＝(－3－0)2＋(1－1)2＝3； (2)AB ＝(2－2)2＋(5＋5)2＝10； (3)AB ＝(－2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.⼀、两点间距离公式的应⽤(1)已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直⾓三⾓形．(2)已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求⼀点P ，使P A ＝PB ，并求P A 的长．思路分析：(1)由两点间的距离公式分别求出三边，再⽤勾股定理的逆定理判断，也可以⽤两直线的位置关系判断．(2)利⽤公式及已知列出⽅程，然后再求解．(1)证明：(⽅法⼀)∵A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，∴AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25， AC ＝(1－0)2＋(1－3)2＝5， BC ＝(5－0)2＋(3－3)2＝25＝5.∵AB 2＋AC 2＝BC 2，且A ，B ，C 三点不共线，∴△ABC 为以A 为直⾓顶点的直⾓三⾓形．(⽅法⼆)∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .⼜AB ＝(1－5)2＋(1－3)2＝20＝25，AC ＝(1－0)＋(1－3)2＝5，∴AB ≠AC ，∴△ABC 为直⾓三⾓形．(2)解：设所求点P 的坐标为(x,0)，则P A ＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5， PB ＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由P A ＝PB ，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1，所以P 点坐标为(1,0)，且P A ＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.1．设点A (1,2)，在y 轴上求⼀点B ，使AB ＝5，则点B 的坐标是__________．解析：设点B 的坐标为(0，y )，则(0－1)2＋(y －2)2＝5，y ＝2±2 6. ∴B 点坐标为(0,2±26)．答案：(0,2±26)2．到点A (4,0)，B (0,4)距离相等且到原点的距离为10的点P 的坐标是__________．解析：由于P 点到(0,4)与(4,0)点距离相等，∴P 点⼀定在y ＝x 上，于是可设P (x ，x )．∵x 2＋x 2＝10，∴x 2＝5.∴x ＝±5. ∴P (5，5)或(－5，－5)．答案：(5，5)或(－5，－5)对平⾯内两点间距离公式的理解：(1)当A ，B 中有⼀个为原点时，公式变为AB ＝x 2＋y 2.(2)如果AB ∥x 轴，则AB ＝|x 2－x 1|；如果AB ∥y 轴，则AB ＝|y 2－y 1|.特别地，如果能确定A ，B 的先后顺序，则上式中的绝对值号均可以去掉．⼆、线段中点坐标及应⽤已知ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对⾓线的交点为E (－3,4)．求另外两个顶点的坐标．思路分析：由平⾏四边形的性质知点E 为AC ，BD 的中点，根据中点坐标公式，即可求得另外两个顶点的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，∵E 为AC 的中点，∴4＋x 12＝－3，2＋y12＝4，解得x 1＝－10，y 1＝6，∴C 点坐标为(－10,6)．⼜∵E 为BD 的中点，∴5＋x 22＝－3，7＋y22＝4，解得?x 2＝－11，y 2＝1.∴D 点坐标为(－11,1)．1．过点P (3,2)的直线与x 轴正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，且点P 为线段AB 的中点，则该直线的⽅程为__________．解析：设点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，b )，则3＝a ＋02，2＝0＋b2，解得?a ＝6，b ＝4.所以直线AB 的⽅程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.答案：2x ＋3y －12＝02．已知点A (1，－4)，B (3,2)，⼜P 点在线段AB 上，且2AP ＝PB ，求P 点坐标．解：设P 1(x 1，y 1)平分线段PB ，P (x 0，y 0)为线段AP 1的中点，于是x 0＝1＋x 12，y 0＝－4＋y12.①⼜由P 1为线段PB 的中点，得x 1＝3＋x2，y 1＝2＋y2.②联⽴①②组成⽅程组，解得x 0＝53，y 0＝－2，故点P 的坐标为53，－2.与线段中点有关的问题是常见的题型，解题时常借助数形结合的思想，利⽤线段中点特征加以研究．线段的中点坐标公式是⼀个重要的基本公式，要熟记并能灵活应⽤．依据题意⽤中点坐标公式列出⽅程或⽅程组求点的坐标的⽅法是解析⼏何中常⽤的⽅法．三、解析法的应⽤⽤坐标法证明：三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．思路分析：(1)⽤坐标法证明需要建⽴适当的平⾯直⾓坐标系；(2)要证明三⾓形的中位线长与其对应边长的关系，需应⽤坐标表⽰出三⾓形的中位线长及对应边长，再找其对应关系．解：已知△ABC ，D ，E 分别是边AC 和BC 的中点．求证：DE ＝12AB .证明：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，如图所⽰，则A (0,0)．设B (c,0)，C (a ，b )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)，由D ，E 分别是边AC 和BC 的中点可知D a 2，b 2，E a ＋c 2，b 2.由两点间的距离公式得DE ＝a 2－a ＋c 22＋b 2－b 22＝c2.⼜AB ＝c ，所以DE ＝12AB .所以三⾓形的中位线长为其对应边长的⼀半．1．已知A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最⼤值时的点P 的坐标是__________．解析：如图，点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B 交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的⽅程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13.所以P 点坐标为(13,0)．答案：(13,0)2．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，试建⽴适当的直⾓坐标系，证明：对⾓线AC ＝BD .证明：分别以AB 所在直线、AB 的垂直平分线为x 轴、y 轴，建⽴如图所⽰的坐标系．设A (－a,0)，D (－b ，c )，则B (a,0)，C (b ，c )．∴AC ＝(a ＋b )2＋c 2，BD ＝(a ＋b )2＋c 2，∴AC ＝BD .1．对解析法的认识解析法是建⽴平⾯⼏何与代数运算关系的桥梁，是它们之间相互转化的纽带．平⾯⼏何中求线段长度、判断点的位置、证明线段成⽐例等问题，都可以通过解析法转化为代数问题来解决．2．解析法证明⼏何问题的步骤(1)建系：根据题⽬条件建⽴适当的平⾯直⾓坐标系； (2)运算：进⾏有关的代数运算；(3)“翻译”：把代数运算结果“翻译”成⼏何关系．1．已知点A (－1,3)，B (3，－2)，则AB ＝__________. 解析：AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(－1－3)2＋[3－(－2)]2＝41.答案：412．已知A(－1,3)，B(3，b)两点间的距离为4，则实数b＝__________. 解析：由两点间的距离公式得AB＝(－1－3)2＋(3－b)2＝4，解得b＝3.答案：33．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线⽅程是__________．解析：k AB＝3－11＋5＝13，AB中点为(－2,2)，∴AB的垂直平分线⽅程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.答案：3x＋y＋4＝04．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三⾓形是__________三⾓形．(填“直⾓”“等边”“等腰”“等腰直⾓”)解析：∵A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，∴AB＝(1－5)2＋(4－5)2＝17，AC＝(4－5)2＋(1－5)2＝17，BC＝(4－1)2＋(1－4)2＝18＝3 2.⼜A，B，C三点不共线，显然△ABC为等腰三⾓形．答案：等腰5．求下列两点间的距离：(1)A(6,0)，B(－2,0)；(2)C(2,1)，D(5，－1)．解：(1)AB＝[6－(－2)]2＋(0－0)2＝82＝8；(2)CD＝(2－5)2＋[1－(－1)]2＝9＋4＝13.。

．△的顶点()，(，－)，(－)，则边上中线的长为．
．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点()与点(－)重合，若点()与点(，)重合，则＋的值为．
．点(－)关于直线＋－＝的对称点的坐标是．
．已知定点()，点在直线＋＝上运动，当线段最短时，点的坐标为．
．已知，两点的坐标分别为()，()，点在轴上，则＋的最小值为，此时点的坐标为．．()已知两点()，(，－)，在轴上找一点，使线段的长等于线段的长，则点坐标为．()已知()，()，点在直线上，则＋取最小值时的点坐标为．
．已知三角形的顶点为(－)，(，－)，()，求边上的中线的长和所在的直线方程．
．()等边三角形的两个顶点坐标分别为(，－)，(－，－)，求另一顶点的坐标．
()已知正方形的相对顶点(，－)，()，求顶点和的坐标(设、、、按逆时针顺序)．
参考答案
.∵为中点，∴，即.
∴.
．点()与点(－)的垂直平分线为折叠线，直线必与直线平行，即＝，
∴，整理得＋＝.
.设(－)关于＋－＝的对称点为′(′，′)．
则
解得
.设点的坐标为(，－)，
则.
当时，最短，
即.
．如图所示，点关于轴的对称点′的坐标为(，－)，连′，则′与轴的交点即为所求点，
∵只有当′，，三点共线时，＋最小，
∴
由两点式可得′方程为，
即－－＝，令＝，得.
∴点坐标为.
．()()()设()，依题意，利用距离公式，则有
，解得，故.
()设，则
.。

两点间的距离公式．
教学难点：
运用解析法证明平面几何问题．
教学方法：
研究学习法．
教学过程：
一、问题情境
情境问题：已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，四边形ABCD是否为平行四边形？
二、学生活动
1．回顾初中判定四边形为平行四边形的方法，分别尝试用对边平行、对边相等、对角线互相平分进行判断；
2.1.5平面上两点间的距离
教学目标：
1．理解两点间的距离公式推导方法；
2．运用两点间的距离公式解决实际问题．
教材分析及教材内容的定位：
本节内容研究两点间的距离公式的推导和应用，让学生体验推导过程，体会数形结合的优越性，进一步感受数形结合的魅力．在解题中渗透函数和方程思想，是本节内容的关键．
教学重点：
2．小组交流讨论(构造直角三角形，利用勾股定理求解)：让学生感受从初中所学数轴上两点间的距离求法到两点间的距离求法之间的联系；
3．讨论归纳：总结出两点间的距离公式（ ）．
三、建构数学
1．由学生回忆初中知识并小组研讨提出的问题（考察学生的转化能力和对已有知识的使用和实践能力）；
2．指导总结两点间的距离公式 ，并从形式上分析记忆公式；
C(－3，－1)，求第四个顶点D的坐标．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．两点间的距离公式 ；
2．两点间的距离公式的应用（方程思想在解题中的应用）；
3．数形结合思想的使用．
3．运用两点间的距离公式解决实际问题，在解题中遇到的方程思想和函数思想及时进行总结，时刻渗透各种数学思想．
四、数学运用
1．例题．
例1（1）求(－1，3)，(2，5)两点间的距离；

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1．△ABC的顶点A(2,1)，B(4，－2)，C(－6,3)，则BC边上中线AM的长为__________．2．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为__________．3．点A(－1,2)关于直线2x＋y－1＝0的对称点的坐标是__________．4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为__________．5．已知A，B两点的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则P A＋PB的最小值为__________，此时点P的坐标为__________．6．(1)已知两点A(2,2)，B(5，－2)，在x轴上找一点P，使线段P A的长等于线段PB的长，则P 点坐标为__________．(2)已知A(1,1)，B(2,2)，点P在直线12y x＝上，则P A2＋PB2取最小值时的P点坐标为__________．7．已知三角形ABD的顶点为A(－1,3)，B(3，－2)，D(2,4)，求BD边上的中线AM的长和AM 所在的直线方程．8．(1)等边三角形的两个顶点坐标分别为A(4，－6)，B(－2，－6)，求另一顶点C的坐标．(2)已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)，C(2,5)，求顶点B和D的坐标(设A、B、C、D按逆时针顺序)．参考答案 1.372 ∵M 为BC 中点，∴M 4623,22--+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∴22137322AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 2．13 点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ， ∴8041522n m --==---(-)，整理得m ＋n ＝13. 3.112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭设A (－1,2)关于2x ＋y －1＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)． 则12210222112x y y x ''-++⎧⨯+-=⎪⎪⎨'-⎪=⎪'+⎩ 解得1512.5x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩4.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设B 点的坐标为(x ，－x )， 则2221221AB x x x x =+(+)=++. 当21222x =-=-⨯时，AB 最短， 即B 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．5 7,04⎛⎫⎪⎝⎭ 如图所示，A 点关于x 轴的对称点A ′的坐标为(1，－1)，连A ′B ，则A ′B 与x 轴的交点即为所求P 点，∵只有当A ′，P ，B 三点共线时，P A ＋PB 最小，∴22min ()41315PA PB PA PB A B ='='=(-)+(+)=＋＋由两点式可得A ′B 方程为113141y x +-=+-， 即4x －3y －7＝0，令y ＝0，得74x =. ∴P 点坐标为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6．(1)7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)设P (x,0)，依题意，利用距离公式，则有222454x x (-)+=(-)+，解得72x =，故P 7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设P 001,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 22222220000005(1)1(2)2910222x x PA PB x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝－＋＋－＋－＋. 当095x =时，P A 2＋PB 2取到最小值，此时0910y =. 7．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 是线段BD 的中点，所以32522x +==,2412y -+==，即M 点的坐标为5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.由两点间的距离公式得 2256513122AM ⎛⎫=--+(-)= ⎪⎝⎭. 因此，BC 边上的中线AM 的长为652；由两点式得中线AM 所在的直线方程为3151312y x -+=-+，即4x ＋7y －17＝0.8．解：(1)设C (x ，y )，则AB ＝AC ＝BC ，又2224[66]366AB =(--)+--(-)==， 22224[6]46AC x y x y =(-)+-(-)=(-)+(+)， 2222[2][6]26BC x y x y =-(-)+-(-)=(+)+(+). ∴2222466266x y x y ⎧(-)+(+)=⎪⎨(+)+(+)=⎪⎩ 解此方程组，得1336x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或133 6.x y =⎧⎪⎨=--⎪⎩故C 点坐标是(1,336)-或(1,336)--．(2)如图，设B (x ，y )，由正方形的性质，M 为AC 中点，∴M 的坐标为(1,2)．又BM ⊥AC ， ∴2511120y x --(-)⋅=---，即x ＝7－3y .① ∵2220[51]210AC =(-)+-(-)=， ∴1102BM AC =＝，即221210x y (-)+(-)=. ∴(x －1)2＋(y －2)2＝10.②①代入②得(7－3y －1)2＋(y －2)2＝10.∴14y x =⎧⎨=⎩或32y x =⎧⎨=-⎩ (舍去第二组)． ∴B (4,1)．∴D (－2,3)．。