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浅谈摩擦力做功及作用力、反作用力做功作者：徐正恒来源：《物理教学探讨》2008年第06期摩擦力做功及作用力、反作用力做功是教学的一个难点，也是高考的一个热点。
有的学生认为摩擦力总是做负功，作用力、反作用力一个做正功，另一个做负功，总功一定为零。
为了弄清这些问题，纠正学生中错误观点，下面就这些问题作一个简单的分析。
1 摩擦力做功1.1 静摩擦力做功：可以做正功、做负功、也可以不做功例手握一物体匀速向上、匀速向下及水平匀速运动时，静摩擦力分别对物体做正功、做负功和不做功。
在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其它形式的能。
一对静摩擦力所做的总功总是为零。
可以分别从做功和能量转化的角度来理解：（1）做功角度：因为这对静摩擦力的位移总是大小相等、方向相同，一个静摩擦力做正功，另一个静摩擦力做负功，总功为零。
（2）能量转化角度：没有机械能与其它形式的能的转化，只是物体间机械能的转移。
1.2 滑动摩擦力做功：可以做正功、做负功，也可以不做功如图1，滑动摩擦力f对A不做功，对B做负功一对滑动摩擦力所做总功总是为负。
因为这对滑动摩擦力的位移大小不相等，滑动摩擦力做功要生热，有机械能的减小，产生的热量为：ΔE=Q=f滑×S相如图2所示，质量为m的小木块A以水平初速度v0滑上静止于光滑水平面上质量为M的长木板B的左端，最后A、B一起以速度v匀速运动。
试分析A、B之间的滑动摩擦力f的做功情况及相应的能量变化。
对A物体f做负功：WA=-fSA=12mv2-对B物体f做正功：对A、B物体系：滑动摩擦力f对A、B系统做的总功：W=WA+WB=-f(SA-SB)=-fS相=12（M+m）v2-12mv20即：｜W｜=fS相=Q=ΔE=12mv20-典型问题：子弹射击木块问题中摩擦力做功与相应的能量变化。
例题一木块静止在光滑的水平面上，一颗子弹沿水平方向射入木块，若子弹进入木块的最大深度为S1，与此同时木块沿水平面移动的距离为S2，设子弹在木块中受的摩擦阻力大小不变，则在子弹进入木块的过程中：（）A.子弹损失的动能与木块获得的动能之比为（S1+S2）：B.子弹损失的动能与系统转化为内能的动能之比为（S1+S2）：C.木块获得的动能与系统转化为内能的动能之比为S2：D.木块获得的动能与系统转化为内能的动能之比为S1：解由动能定理得，子弹损失的动能（S1+S2），木块增加的动能，系统转化为内能的动能部分ΔEk=Q=f·S1。
一对相互作用的摩擦力做功的特点湖北枣阳二中 张锋在高中阶段，许多学生对于相互作用力的做功情况尤其是一对相互作用的摩擦力做功的情况感觉很模糊，甚至是束手无策。
现在我就一对相互作用的摩擦力做功的特点发表一下我的看法。
一．一对静摩擦力做功特点（1） 单个静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
例如在斜面上静止不动的物体，静摩擦力不做功；与倾斜的传送带一起匀速上升的物体，静摩擦力做正功；与倾斜的传送带一起匀速下降的物体，静摩擦力做负功。
（2） 相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零，即021=+W W 。
由于受静摩擦力的物体相对静止，所以他们的位移相等，而一对静摩擦力等大反向，故有0)(21=⋅-+⋅==s f s f W W 。
（3） 在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
二．一对滑动摩擦力做功特点（1） 滑动摩擦力总是阻碍物体的相对运动，但不一定阻碍物体的运动，故单个滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。
例如沿粗糙的斜面下滑的物体，滑动摩擦力对物体做负功而对斜面不做功。
（2） 相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做功的代数和总为负值，其绝对值恰等于于相对位移的乘积，即恰等于系统因摩擦而损失的机械能。
(Q W W -=+21，其中Q 就是在摩擦过程中产生的内能）。
（3） 一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。
转化为内能的数值等于滑动摩擦力于相对位移的乘积，即相对s F Q f ⋅=。
例如：质量为1m 的木板A 静止在光滑的水平面上，A 的上表面动摩擦因数为u,质量2m为物体B 左端以0v 水平冲上A 的上表面，当B 恰好到达A 的右端时二者相对静止。
求:(1)该过程中摩擦力分别对A,B 和系统做的功;(2)系统产生的内能。
作用力与反作用力做功特点静摩擦和动摩擦力做功特点作用力与反作用力是牛顿第三定律的核心内容，它指出：任何两个物体之间的作用力和反作用力是大小相等、方向相反、类型相同的一对力。
作用力与反作用力之间的关系可以用以下公式表示：F_{12}=-F_{21}，其中F_{12}表示物体1对物体2的作用力，F_{21}表示物体2对物体1的反作用力。
1.大小相等：根据牛顿第三定律，作用力与反作用力的大小相等。
因此，两个物体之间相互转移的能量是相等的。
2.方向相反：作用力与反作用力的方向是相反的。
例如，一个物体向左施加力，那么它对另一个物体的作用力的方向是向左，而另一个物体对它的反作用力的方向是向右。
这种相反的方向使得能量在两个物体之间传递。
3.类型相同：作用力与反作用力的类型相同，例如重力、电磁力、弹力等。
这意味着它们能够通过相同的机制进行能量转移和转换。
4.能量转移：作用力与反作用力之间的功相等，且能量可以在两个物体之间转移。
例如，一个物体对另一个物体施加作用力时，它所作的功会转移到另一个物体上，使另一个物体获得动能或势能。
静摩擦和动摩擦力做功特点：摩擦力是物体表面接触时产生的一种阻碍两个物体相对滑动的力。
它可以分为静摩擦力和动摩擦力。
静摩擦力是物体在相对静止情况下产生的摩擦力，而动摩擦力是物体在相对运动情况下产生的摩擦力。
以下是静摩擦力和动摩擦力做功的特点：1.静摩擦力做功特点：-静摩擦力只存在于物体尚未发生滑动时，当施加的外力小于或等于静摩擦力时，物体保持静止。
静摩擦力的大小等于施加在物体上的最大外力，即静摩擦力的极限。
-静摩擦力做功时，物体没有产生位移，因为静摩擦力的方向恰好与外力的方向相反，从而使得两个力抵消，物体保持静止。
因此，静摩擦力做功为零。
2.动摩擦力做功特点：-动摩擦力存在于物体相对滑动或相对滑动趋势的情况下。
它的大小往往小于或等于静摩擦力。
-动摩擦力做功时，物体产生位移，并且与位移方向相反。
高中物理功能关系知识归纳在高中物理教学中,对于功能关系而言是我们教学过程中的重点所在,同时也是学生在教学中存在问题较多的地方。
对于高中物理功能关系而言所涉及的范围很大,之间存在的环节也是紧密相扣,对于学生的知识串联过程要求很高。
为了帮助大家更好的学习物理学科，以下本人搜集整合了高中物理功能关系知识，欢迎参考阅读!高中物理功能关系知识归纳如下：功能关系：功和能的关系：功是能量转化的量度。
有两层含义：(1)做功的过程就是能量转化的过程,(2)做功的多少决定了能转化的数量,即:功是能量转化的量度强调：功是一种过程量，它和一段位移(一段时间)相对应;而能是一种状态量，它与一个时刻相对应。
两者的单位是相同的(都是J)，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。
做功的过程是物体能量的转化过程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，功是能量转化的量度．(1)动能定理合外力对物体做的总功等于物体动能的增量．即#FormatImgID_0#(2)与势能相关力做功#FormatImgID_1# 导致与之相关的势能变化重力重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加．重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值．即WG=EP1—EP2= —ΔEP弹簧弹力弹力做正功,弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加．弹力对物体所做的功等于物体弹性势能增量的负值．即W弹力=EP1—EP2= —ΔEP分子力分子力对分子所做的功=分子势能增量的负值电场力电场力做正功,电势能减少;电场力做负功,电势能增加。
注意：电荷的正负及移动方向电场力对电荷所做的功=电荷电势能增量的负值(3)机械能变化原因除重力(弹簧弹力)以外的的其它力对物体所做的功=物体机械能的增量即WF=E2—E1=ΔE当除重力(或弹簧弹力)以外的力对物体所做的功为零时，即机械能守恒(4)机械能守恒定律在只有重力和弹簧的弹力做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变．即 EK2+EP2 =EK1+EP1，#FormatImgID_2# 或ΔEK = —ΔEP(5)静摩擦力做功的特点(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；(2)在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的互相转移，而没有机械能与其他形式的能的转化，静摩擦力只起着传递机械能的作用；(3)相互摩擦的系统内，一对静摩擦力对系统所做功的和总是等于零．(6)滑动摩擦力做功特点“摩擦所产生的热”(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；=滑动摩擦力跟物体间相对路程的乘积，即一对滑动摩擦力所做的功(2)相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力对系统所做功的和总表现为负功，其大小为:W= —fS相对=Q 对系统做功的过程中,系统的机械能转化为其他形式的能，(S相对为相互摩擦的物体间的相对位移;若相对运动有往复性,则S相对为相对运动的路程)(7)一对作用力与反作用力做功的特点(1)作用力做正功时，反作用力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；作用力做负功、不做功时，反作用力亦同样如此．(2)一对作用力与反作用力对系统所做功的总和可以是正功,也可以是负功,还可以零．(8)热学外界对气体做功外界对气体所做的功W与气体从外界所吸收的热量Q的和=气体内能的变化W+Q=△U (热力学第一定律,能的转化守恒定律)(9)电场力做功W=qu=qEd=F电SE (与路径无关)(10)电流做功(1)在纯电阻电路中#FormatImgID_3# (电流所做的功率=电阻发热功率）(2) 在电解槽电路中,电流所做的功率=电阻发热功率+转化为化学能的的功率(3) 在电动机电路中,电流所做的功率=电阻发热功率与输出的机械功率之和P电源t =uIt= +E其它；W=IUt >#FormatImgID_4#(11)安培力做功安培力所做的功对应着电能与其它形式的能的相互转化，即W安=△E电，安培力做正功，对应着电能转化为其他形式的能（如电动机模型）；克服安培力做功，对应着其它形式的能转化为电能（如发电机模型）；且安培力作功的绝对值，等于电能转化的量值， W＝F安d＝BILd #FormatImgID_5# 内能(发热)(12)洛仑兹力永不做功洛仑兹力只改变速度的方向(13)光学光子的能量: E光子=hγ；一束光能量E光=N×hγ(N指光子数目)在光电效应中，光子的能量hγ=W+#FormatImgID_6#(14)原子物理原子辐射光子的能量hγ=E初—E末，原子吸收光子的能量hγ= E末—E初爱因斯坦质能方程：E＝mc2(15)能量转化和守恒定律对于所有参与相互作用的物体所组成的系统，其中每一个物体的能量的数值及形式都可能发生变化，但系统内所有物体的各种形式能量的总合保持不变功和能的关系贯穿整个物理学。
力的作用力和反作用力特点
力是物体或系统与其周围相互作用的结果，力的作用会产
生导致物体运动或形变的效果。
根据牛顿第三定律，任何作用力都会有一个相等大小、方向相反的反作用力。
作用力的特点
1.大小相等：作用力的大小与所作用物体受到力的大
小相等，即受力较大的物体会产生较大的作用力。
2.方向相反：作用力的方向总是与作用物体所受力的
方向相反，这是牛顿第三定律的基本原则。
3.联系直接：作用力是直接作用于物体的，直接引起
物体的加速度或形变。
4.相互独立：不同物体之间的作用力是相互独立的，
互不影响，即使两个物体互相作用力，也是分开独立计算。
反作用力的特点
1.大小相等：反作用力的大小与作用力相等，符合牛
顿第三定律的规定。
2.方向相反：反作用力与作用力的方向总是相反的，
这种相互作用形成平衡状态。
3.导致运动：反作用力是导致物体产生运动的原因，
通过反作用力和作用力之间的互相抵消，物体得以保持平
衡或者产生运动。
4.相互作用：反作用力和作用力是相互作用的结果，
体现了物体之间相互关联的特征。
总的来说，力的作用和反作用是整个物体运动和平衡的基础。
作用力推动物体运动，而反作用力则保证了运动的平衡和稳定性。
在实际生活中，人们可以利用这些特点来解释物体的
运动轨迹、力的大小和方向的变化，以及在工程领域中设计物体的结构和运动系统。
总第246期2013年6月(下)The Science Education Article Collects Total.246June2013(C)摘要作用力和反作用力做功情况的分析是学生学习的难点，作用力与反作用力由于等大而反向，故而不少同学就想当然地产生了它们做功一定也是一正一负且代数和为零的错误看法。
还经常出现根据作用力的做功情况判断反作用力的做功情况的错误做法，下面对作用力和反作用力的做功特点就这个问题举例分析如下。
关键词作用力和反作用力做功情况判断Six Conditions of Action and Reaction Acting//Yang ShengquanAbstract The analysis on conditions of action and reaction acting is a difficult point in students'learning,and some mistakes often occur in students'practical analysis.This paper mainly illustrate the issue from several aspects.Key words action and reaction;acting;situation judgment1作用力和反作用力都不做功如图1所示，一根不可伸长的细绳拴住一个小球在竖直平面内做圆周运动，求小球对细绳的拉力和细绳对球的拉力做功情况怎样？解析：细绳对小球的拉力和小球对细绳的拉力是一对作用力与反作用力。
细绳对球的拉力沿着细绳收缩的方向指向圆心，此力与小球的运动方向垂直，对小球不做功；小球对细绳的拉力方向与细绳伸长的方向相同，由于细绳不可伸长，故球对细绳的拉力不做功。
图12一对作用力和反作用力都做正功图2如图2所示，在光滑绝缘水平面上有两个带正电小球，所带电量均为Q。
几种力做功的特点及求解方法作者：徐君生来源：《新高考·高一物理》2012年第04期功是物理学中一个非常重要的物理量，它是解决物理问题三大途径之一——动能定理方程中的关键物理量，同时也是解答物理习题重要方法之一——功能原理中至关重要的物理量. 因此能正确把握物体受到的各个力做功的特点及大小的求解方法就显得至关重要. 本文试就结合具体事例给同学们总结一下已学过的几种力做功的特点，为机械能守恒定律这一章内容的学习打下坚实的基础.■ 1. 恒力做功如果F是恒力，则求解恒力做功的基本方法是应用功的公式计算. 对功的计算式W=Fxcosα的使用，除知道F必须是恒力外，还应知道x的含义，公式中的x为力的作用点对地的位移. 对x的理解着重在三点：一是x是位移，位移的大小只与始末位置有关，所以恒力做功的特点是与移动的路径无关，只与始末位置有关，其典型代表就是重力；二是x为对地位移，一定是以地面为参考系而非相对位移；三是x是力的作用点对地位移而不是物体对地位移，这两个位移在绝大多数情况下没有区别，但如果力通过动滑轮施加到物体上，则这两个位移就完全不一样了，请看例1.■ 例1 一恒力F通过一动滑轮拉物体，沿光滑水平面前进了距离s. 在运动过程中，F与水平方向保持θ角不变，求该过程中拉力所做的功.■ 解析此题最容易得出的答案是WF=Fxcosθ，错误的原因就是没有正确理解公式中x的含义，正确答案应该是：设在绳上打一个结，见图2中的A点，力的作用点位移应该是图中AB长，设为L，则WF=FLcosα，只不过图中的L及α均不知，而求解L及α比较麻烦，所以本题采用等效替代法求解，拉力F作用在物体上的等效力为F+Fcosθ，所以等效力做功为（F+Fcosθ）x.■ 2. 变力做功变力做功不能直接用W=Fxcosθ公式计算，求解变力做功常用如下几种方法.（1）求解变力做功的方法方法一：平均值法. 当F是变力时，如果能求出F的平均值，则W=■xcosθ，只是中学范围内会计算平均值的情况就是力F随位移x线性变化，则平均值■=（F1+F2）/2.方法二：图象法. 若F随位移变化，且能画出F—x图象，则W可用F—x图象与x轴所包围的面积表示，这种F—x图象称之为示功图. x轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，x 轴下方的面积表示力对物体做负功的多少.方法三：分段法（微元法）. 微元法是物理学中非常重要的方法，其基本思想就是化“变”为“恒”，把物体运动的位移分割为若干小段，每一个小段F为定值或近似当做定值，则每一小段可用公式?驻W=F?驻xcosθ，然后把每一小段做功累加求和得到总功.方法四：等效替代法. 若某一变力做的和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功.方法五：动能定理法. 动能定理是中学范围内求解变力做功的最基本方法，有关动能定理的应用限于篇幅这里不再赘述.（2）几种特殊变力做功的结论结论一：以弹簧或橡皮绳为代表的弹力，其F与x成正比，应用图象法可得到弹簧被拉升或压缩x时弹力做的功为W=-kx2/2；结论二： f 大小不变，方向始终与速度v方向相反，应用微元法可得W f =- f s总，式中s 总是物体走过的总路程.结论三：力的方向始终与速度v的方向垂直，应用微元法知这个力不做功（W=0）.■ 3. 作用力与反作用力做功（1）一般作用力与反作用力作用力与反作用力尽管大小相等，但由于作用在两个不同的物体上，这两个物体对地位移不一定相等，所以如果没有具体指明是什么力就笼而统之称作作用力与反作用力做功，则它们之间没有必然关系，没有作用力做正功反作用力一定做负功的说法. 例如放在光滑水平面上的两个磁体从静止开始在相互吸引力作用下的运动，作用力与反作用力均做正功；再如放在水平桌面上的物体在外加拉力作用下运动，则桌面对物体的摩擦力做负功，而物体对桌面的摩擦力不做功等.（2）几种特殊的作用力反作用力做功的特点总结结论一：一对静摩擦力做功之和一定为零；结论二：一对滑动摩擦力做功之和一定为负；结论三：一对弹力做功之和一定为零.■ 4. 合力做功（1）合力做功的求解方法由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也可以等效替代，由此计算合力功的方法有两种：一是先求物体所受到的合力，再根据公式W=Fxcosθ求合力做的功. 二是根据W=Fxcosθ，求每个分力做的功W1、W2、W3……再根据W合=W1+W2+W3+……求合力做的功. 两种求解合力做功的方法要依据题目特点灵活运用，如物体处于平衡状态或某一方向受力平衡时，先求合力再求功的方法简单有效；如已知物体受力中有的不做功，有的做功，且方便求得该力的功（如重力的功），选择第二种方式简单方便.（2）重要结论及应用同一根绳或同一轻杆对与之相连的两物体做功之和一定为零. 由于绳或轻杆的弹力一般不知，所以求解绳或轻杆的弹力做功比较困难. 如果把这两个物体当做一个整体，因为绳或杆的弹力做功之和为零，从而可以避开弹力做功的问题.■ 例2 如图3在光滑水平面上质量为M物体通过细绳和定滑轮与质量为m的物体相连，整体从静止开始运动，已知m与地面之间的距离为h，求当m着地时两者的速度.■ 解析绳对m做功，做功的多少与绳拉力大小有关，但绳拉力不知，尽管可以求出，毕竟转了一个弯，所以以M和m为整体作为研究对象，则整体只有重力做功，根据重力做功的特点可知：mgh=■（M+m）v2从而求出m着地时的速度v=■。
功班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、知识清单1．功（1)物理意义：功是能量转化的量度。
（2）做功的两个必要因素:力和物体在力的方向上发生的位移。
（3）公式：W＝Fl cos α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体发生的位移(相对地面）。
（4）特点①同时性：功的公式中的F和L必须具有同时性：计算力F做功时所发生的位移，必须是在同一个力F持续作用下发生的.②同体性:F和L是对应于同一个物体的。
③无关性：做功与物体运动形式(直线或曲线、匀速或变速)无关，与物体受其他力无关。
功只与F、l及夹角α有关。
④过程量：功是表示力对空间的积累作用的物理量，说到功，必须明确是哪个力对哪个物体、在哪一个过程中做的功。
⑤标量：只有大小，没有方向。
因此物体所受合外力做的功等于其各个分力所做的功的代数和。
2．恒力做功3．斜面摩擦力做功的特点4．正功与负功动的方向5． 变力做功的计算方法 方法以例说法 应用动能定理用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有:W F －mgl (1－cos θ）＝0，得W F ＝mgl (1－cos θ） 等值法 轻绳、轻杆两端点受的力做功的数值相等。
若一端为变力而另一端为恒力，则可以通过计算该恒力的功,从而求出该变力的功。
微元法质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f ＝f ·Δx 1＋f ·Δx 2＋f ·Δx 3＋…＝f (Δx 1＋Δx 2＋Δx 3＋…)＝f ·2πR 平均力法弹簧由伸长x 1被继续拉至伸长x 2的过程中,克服弹力做功W ＝错误!·(x 2－x 1） 图象法一水平拉力F 0拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0,图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W ＝F 0x 0 6． 总功的计算方法①先求物体的合外力,再求合外力的功W 总=F 合l cosα，此法适合恒力做功；②先求出各个力所做的功,再求总功W 总=W 1+W 2+…+ W n 。
机械能知识点总结1． 功 概念：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
功是能量转化的量度。
条件：力和力方向上的位移。
（也可以这样理解如果物体在力的作用下能量发生了变化，则这个力一定对物体做了功）(1) 恒力做功 公式W =Fl cos α这里功W 是一个标量，F 指的是恒力的大小，l 是物体位移的大小（需要强调的是F 是恒力，恒力做功是与路径无关的，所以这个公式要求F 是恒力，物体可以做直线运动，也可以做曲线运动），α为F 和l 之间的夹角。
(2)正功与负功从恒力做功公式W =Fl cos α，我们可以得到：当cos α>0时，即[0,)2πα∈ 时，力与位移的夹角为锐角，力充当动力的角色，F 对这个物体做正功；当cos α=0时，即2πα=时，力与位移的夹角为直角，力既不是动力，也不是阻力，F 对这个物体不做功；当cos α<0时，即(,]2παπ∈ 时，力与位移的夹角为钝角，力充当阻力的角色，F 对这个物体做负功。
例如：力F 对物体做负功为-2J ，我们可以说这个物体克服力F 做的功为2J （2J 是负功的绝对值）。
力对物体做正功，我们可以理解为外界对这个物体输入能量，使这个物体的能量增加；力对物体做负功，我们可以理解为这个物体对外界输出能量，使这个物体的能量减少。
物体的能量增加必然是通过一个力做正功而实现的，物体的能量减少必然是通过一个力做负功而实现的。
（这里所讲述的不考虑热传递，下面不在赘述）(3) 当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，等于各个力分别对物体所做功的代数和，也等于这几个力的合力对物体所做的功。
两种方法运算的结果必然一样（至于为什么一样希望同学们从功的定义式来理解）。
ⅰ、合力的功可通过计算各个力的功得到12+++n W W W W =合ⅱ、合力的功也可通过计算合外力得到co = s F l W α合合(4)变力做功的几种求解方法ⅰ、微元法，质量为m 的汽车从A 点出发做匀速圆周运动，圆周半径为R ，汽车绕行一周后又回到A 点，若路面对汽车的阻力是车重的k 倍，则绕行一周汽车克服阻力做功等于多少？形如以上形式的我们可以取一个很短的弧长1S ∆，物体通过这个很短弧长过程中，可以认为位移l =1S ∆，做功11W kmg S =∆，再取一个极端的弧长2S ∆，做功为22W kmg S =∆，以此类推，n n W kmg S =∆，将所有的功累加起来，所以W kmgS =，S 为路程。
