高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
- 格式：docx
- 大小：343.40 KB
- 文档页数：10
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
1. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为 _________． 【答案】②③ 【解析】①中没有规定k的范围，所以动点P的轨迹不一定是椭圆；②正确；③也正确，因为该方程的两个根一个大于1，一个大于零小于1；根据双曲线的第二定义可知④不正确.
【考点】本小题主要考查圆锥曲线的定义的应用，考查学生的推理能力和运算求解能力.
点评：圆锥曲线的定义中都有一些限制条件，解题时要特别注意.
2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
【答案】C
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。
解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。
3. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。
解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。将分别代入C,D方程中知选D。
4. 过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
【答案】A
【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。
点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。
5. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 （ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】因为点M（2，4）在抛物线y 2=8x上，所以应考虑两种情况，一是过点M与抛物线相切的直线；二是过点M平行于轴的直线，共有两条，故选C。
【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。 点评：解答此题，关键是注意分类讨论。
6. 抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，所以抛物线的焦点为（），顶点为（0,0），开口向左，且，所以抛物线方程为。
【考点】本题主要考查椭圆及抛物线的标准方程、几何性质。
点评：小题综合化的典范，不难，但考查知识点全面。
7.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
【答案】
【解析】设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
【考点】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查抛物线标准方程求法---待定系数法。
点评：本题突出考查了抛物线的标准方程、几何性质，，通过布列方程组，运用待定系数法，使问题得解。
8. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为点P的横坐标，则 ，
， (-a≤≤a)
所以取值范围是[],
而最大值取值范围是，所以
于是得到，
故椭圆的离心率的取值范围是，选B。
【考点】主要考查椭圆的几何性质及不等式性质。
点评：解答中灵活运用了椭圆的焦半径公式，从已知出发，建立了关于的不等式，达到解题目的。
9. 椭圆上一点到两个焦点的距离分别为6.5，3.5则椭圆的方程为 .
【答案】
【解析】依题意，设焦点坐标为(－c,0)， (c,0) （c>0）
因为|P| = 6.5， |P| =3.5，由椭圆定义得 2a =|P| + |P| = 10， a=5；
，---- (1)
， ---- (2)
(1)－(2) 得：12c =" 30" ，c = ；
因此=
故椭圆方程为。
【考点】主要考查椭圆的标准方程及几何性质。
点评：利用椭圆定义求得a的值，再利用方程思想建立c的方程，要求学生熟悉定义，运算灵活。
10. 若且，则的最大值为 __ _ ，最小值为 ___ . 【答案】3，2
【解析】利用数形结合思想。表示椭圆上的点到原点距离的平方，最大值为=3，最小值为=2.
【考点】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质。
点评：利用数形结合思想，结合椭圆的几何性质是解题的关键。
11.
（12分）设椭圆,F是它的左焦点，Q是右准线与x轴的交点，点满足向量与PQ数量积为0，N是直线PQ与椭圆的一个公共点，当时，求椭圆的方程.
【答案】
【解析】由方程，F（-c,0），Q(,0) ， P(0,3) 向量=(-c,-3)，
=(,-3)，因为=0
所以-c·+（-3）×（-3）=0，=9；
设N（x,y）,因为|PN|:|NQ|=1:8
所以|NQ|=8|PN|，，
，又，三个方程消去可得=1，所以=8，所求椭圆方程为。
【考点】考查了椭圆的标准方程、几何性质、向量的数量积。
点评：本题综合性较强，较好地考查了考生的运算能力
12. （12分）设,是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, ,是一个直角三角形的三个顶点且,求的值.
【答案】
【解析】由已知，=6，=，
若为直角，则由可得，=，此时，=；
若为直角，则由可得，=2，此时，=2；综上知的值为。 【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。
点评：注意P, ,是一个直角三角形的三个顶点，并没明确那个顶点是直角顶点，因此，要注意分类讨论。
13. （12分）设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率，已知到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P距离为的点Q坐标.
【答案】
【解析】设所求椭圆的方程为 (a>b>0)
由= = ，得= ，。
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
=
如果b<，,则当y=－b时,取得最大值。由=7解得
b=－>与b
故b≥。
当y=－时,取得最大值，由解得b="1,a=2"
所求椭圆方程为，由y=－可求得到点的距离等于的坐标为。
【考点】主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及二次函数的图象和性质。
点评：首先从已知条件出发，建立关于距离的二次函数式，利用二次函数的图象和性质，明确距离取到最值的条件。运用函数方程思想解题，是高考考查的重点之一。
14. （12分）在面积为1的中，,,以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，求出以M,N为焦点且过P点的椭圆方程.
【答案】
【解析】以MN所在直线为x轴，MN中点为原点建系，M,N关于原点对称
，由解得，因为是锐角，所以。
根据焦点三角形面积公式 b²=1得b²=3。
设三角形高为h，则，
将数据代入得h²=，又，所以c²=，a²=b²+c²= 故过P点的椭圆方程为。
【考点】主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，考查求椭圆方程的基本方法。和其它知识综合考查，是此类解答题的特点之一。
点评：考生应注意充分利用图形特征，特别是图形的对称性，本题中明确了建系方法，降低了难度。应学会充分利用图形特征，建立适当坐标系。解答中一个面积，三种表述，充分体现多角度解答问题的灵活性。
15. 动点与点与点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为动点与点与点满足，且,所以轨迹为焦点在y轴的双曲线的一支（下支），故选D。
【考点】本题主要考查了双曲线的定义、标准方程。
点评：准确二全面的理解定义是解答本题的关键，属基础题。
16. 过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先确定双曲线y2-x2=1的两条渐近线方程，再根据过原点的直线l与双曲线y2-x2=1有两个交点，可确定直线l的斜率的取值范围．
双曲线的渐近线方程为，向量分别为1，－1。结合图形可知，要使过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率应该满足或，故选B。
【考点】本题主要考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系。
点评：求出双曲线的渐近线方程是解题的关键，注意数形结合有助于直观理解。
17. 定长为l (l>)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为 【答案】； 【解析】主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系。
当AB过右焦点时，M的横坐标最小.经计算最小值为。
思路拓展：考虑“极端（极限）位置”，化难为易。
18. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）
A．y 2=-2x B．y 2=-4x
C．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x
【答案】B
【解析】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，所以可设抛物线方程为，其焦点为（），准线为，那么由抛物线定义知（-5，m）到焦点距离是6，即（-5，m）到准线距离是6，所以+5=6，=2，y 2=-4x，故选B。
【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。
点评：明确抛物线的焦点、准线，将“抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6”转化为“（-5，m）到准线距离是6”是简化解题过程的关键。
19. 过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ）
A．8 B．10 C．6 D．4
【答案】A
【解析】由抛物线的焦半径公式得=，故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的焦半径表达式应用。
点评：基础题，关键是记熟抛物线的焦半径公式。
20. 抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是
． 【答案】（）
【解析】设弦方程为，代入抛物线方程整理得，判别式。
由韦达定理得弦中点为（），所以为常数，由知。
【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。
点评：解法中巧妙地利用根与系数的关系，确定得到中点坐标，明确了弦中点的轨迹方程，本题易错漏掉这一限制条件。
21. 抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，所以抛物线的焦点为（），顶点为（0,0），开口向左，且，所以抛物线方程为。
【考点】本题主要考查椭圆及抛物线的标准方程、几何性质。
点评：小题综合化的典范，不难，但考查知识点全面。
