高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
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高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
1. 过双曲线的右焦点有一条弦，,是左焦点，那么△的周长为（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12
【答案】A
【解析】
如图：由双曲线的定义得：∴△的周长为：。
【考点】双曲线的定义。
点评：此类问题用数形结合的思想来作，先直观观察，的解题思路，再利用双曲线的定义来做。
2. 点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由得曲线方程为:，点是抛物线的焦点，根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得点到的顶点的距离最短，∴点到曲线上的点的最短距离为1。
【考点】抛物线的定义及其标准方程。
点评：本题综合性较强，考查了学生对知识的灵活应用能力。本题把到焦点的距离转化成到准线的距离来做是一种常用的方法。
3. 若AB为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ）
A．a B．p C．a＋p D．a－p
【答案】D
【解析】如图，当直线AB过焦点F时，过点M作MH⊥Y轴于C交准线L于H ，则AB的中点M到y轴的最近距离即为|MC| .
由|MH|=(|AE|+|BF|)=，∴|MC|=。
【考点】直线与抛物线的相交弦问题。
点评：利用数形结合，先直观观察，确定位置，利用抛物线定义把到焦点的距离转化为到准线的距离解决。
4. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】由椭圆的方程可得：a2=6，b2=2，∴c2=4，即c=2，
∴椭圆的右焦点坐标为（2，0）
∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，
∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），即=2，∴p=4．故选D。
【考点】本题主要考查圆锥曲线的几何性质。
点评：基础题，重在理解题意。
5. （12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
【答案】(1) ； (2) .
【解析】(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由 得：
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质及中点坐标公式．
点评： “相关点法”是求轨迹方程的基本方法，此类题目条件特征明显，关键是确定相关点的坐标关系。
6. 与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程 ． 【答案】 【解析】∵椭圆方程为，∴椭圆的半焦距c=5， ∴椭圆的焦点坐标为（±5，0），也是双曲线的焦点
设所求双曲线方程为，
则可得：，=25，所以，
∴所求双曲线方程为。
【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质．
点评：本题给出双曲线的渐近线方程，在已知双曲线焦点的情况下求双曲线的方程．着重考查了椭圆的标准方程和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题。
7. 一条变动的直线L与椭圆+=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状．
【答案】x2+2y2=1．
【解析】设动点M(x，y)，动直线L：y=x+m，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是方程组的解，消去y，得3x2+4mx+2m2－4=0，其中Δ=16m2－12(2m2－4)>0，∴－
|x2－(x1+x2)x+x1x2|=1，于是有∵m=y－x，∴|x2+2y2－4|=3．由x2+2y2－4=3，得椭圆夹在直线间两段弧，且不包含端点．由x2+2y2－4=－3，得椭圆x2+2y2=1．
【考点】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求法。
点评：解答中从联立方程组出发，运用韦达定理，体现了整体观，是解析几何问题中的常见类型。
8. 设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的焦点在轴上渐近线方程为 ，所以；∴离心率为。
【考点】双曲线的渐近线、离心率。
点评：本题考查了双曲线的基础知识，当焦点在轴上时，渐近线方程为；焦点在轴上时，渐近线方程为：；且；离心率。要求同学们牢记并会灵活应用。
9. 若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是 （ ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
【答案】C
【解析】点A（3，2）在抛物线的内部，如图：过点A向准线作垂线AH,
交抛物线于P，此时取最小值,把代入得，所以的坐标是（2，2）。
【考点】抛物线的定义。
点评：本题用数形结合的思想来解。如图，由抛物线的定义，,当A,P,H三点共线时，最小。
10. 已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．
（1）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在a值，使的成等差数列
【解析】（1）,以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径的圆为：设，由
，，
（2）假设存在值，使的成等差数列，即
①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴
由①得，这是不可能的．
∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．
【考点】抛物线的定义、圆的方程、线线垂直问题。
点评：本题是抛物线、圆以及直线之间关系的综合题。在求｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜的值时，利用抛物线的定义转化为到准线的距离来求并且把作为一个整体代入，体现了数学上的转化思想和整体代入思想。（2）则利用，从线线垂直斜率之积等于-1来的条件化简。
11. 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得=，所以e==，故选A。
【考点】本题主要考查双曲线的几何性质。
点评：涉及a，b，c间的关系，比较简单。对于离心率的不同表现形式要熟记。 12. （8分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1） 焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 ；
（2） 顶点间的距离为6，渐近线方程为．
【答案】（1）．
（2）焦点在x轴上的双曲线的方程为．
焦点在y轴上双曲线的方程为．
【解析】（1）焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．
由题意，得 解得，． ∴．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
（2）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1
由题意，得 解得， ．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为．
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质．
点评：关键是注意分类讨论焦点的可能情况，灵活运用双曲线的几何性质解决问题，对学生的运算能力有一定要求。
13. 过双曲线左焦点的弦长为6，则（为右焦点）的周长是（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12
【答案】Ａ
【解析】由题意知：a=4，b=3，故c=5．
由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8①，|BF2|-|BF1|=8②，
①+②得：|AF2|+|BF2|-|AB|=16，所以|AF2|+|BF2|=22，
所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28
故选A。
【考点】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程。
点评：涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理。
14. 已知为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）
【答案】Ｃ 【解析】方程mx-y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为（0，n），（-，0），
若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m，n同为正，∴-＜0，故A，B不满足题意；
若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则m，n异号，∴-＞0，故C符合题意，D不满足题意
故选C。
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程、直线的方程。
点评：利用数形结合的数学思想，判断曲线的类型是关键，属于基础题．
15. 与椭圆有相同的焦点且以为渐近线的双曲线方程 ． 【答案】 【解析】∵椭圆方程为，∴椭圆的半焦距c=5， ∴椭圆的焦点坐标为（±5，0），也是双曲线的焦点
设所求双曲线方程为，
则可得：，=25，所以，
∴所求双曲线方程为。
【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质．
点评：本题给出双曲线的渐近线方程，在已知双曲线焦点的情况下求双曲线的方程．着重考查了椭圆的标准方程和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题。
16.
已知定点且，动点满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，动点满足可得点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近B点的一支，且，∴的最小值是。
【考点】本题考查双曲线的定义及其轨迹方程的判断
点评：此题要先根据且判断出点的轨迹是双曲线的一支，然后再利用双曲线的性质求解。
17. 已知椭圆，双曲线和抛物线的离心率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆的离心率；双曲线的离心率；抛物线的离心率；∴。
【考点】圆锥曲线的离心率。
点评：椭圆和双曲线的离心率都是，抛物线的离心率是定值1.椭圆中；双曲线中。
