高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

1. 若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

【答案】D

【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．

【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．

2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3. 椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。故选B。

4. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

【答案】A

【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5. 圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0

【答案】D

【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。

点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。

6. 抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）

A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）

【答案】A

【解析】利用数形结合思想，抛物线上到直线的距离最短的点，就是与平行的直线与抛物线的切线的切点，应用导数求切线斜率或运用方程组整理得一元二次方程，由判别式为零，选A。

【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。

点评：利用数形结合思想，转化为求切点问题，从方法上选择余地较大，属基础题。

7. 过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于 （ ）

A．2a B． C．4a D．

【答案】C

【解析】y =ax2化为标准形式即，其焦点为（0，）。解答此题可利用极限（端）思想，假定PQ垂直于抛物线的轴，将代入方程得，即，故=。若直接解答，方法多种，均较为复杂。故选C。

【考点】本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查直线与抛物线的位置关系。

点评：解答此题利用极限（端）思想，从而达到了化难为易，化繁为简的目的。

8. P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是

． 【答案】（1，0） 【解析】抛物线y 2=4x的焦点为（1,0），准线方程为=－1。因为以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，所以P到直准线的距离为半径，由抛物线定义知到焦点距离也为半径，所以所作圆必过焦点，即圆一定经过一个定点Q（1,0）。

【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。

点评：充分运用抛物线定义，数形结合，使问题巧妙得解。

9. 若且，则的最大值为 __ _ ，最小值为 ___ .

【答案】3，2

【解析】利用数形结合思想。表示椭圆上的点到原点距离的平方，最大值为=3，最小值为=2.

【考点】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质。

点评：利用数形结合思想，结合椭圆的几何性质是解题的关键。

10. （12分）设椭圆,F是它的左焦点，Q是右准线与x轴的交点，点满足向量与PQ数量积为0，N是直线PQ与椭圆的一个公共点，当时，求椭圆的方程.

【答案】

【解析】由方程，F（-c,0），Q(,0) ， P(0,3) 向量=(-c,-3)，

=(,-3)，因为=0 所以-c·+（-3）×（-3）=0，=9；

设N（x,y）,因为|PN|:|NQ|=1:8

所以|NQ|=8|PN|，，

，又，三个方程消去可得=1，所以=8，所求椭圆方程为。

【考点】考查了椭圆的标准方程、几何性质、向量的数量积。

点评：本题综合性较强，较好地考查了考生的运算能力

11. （12分）设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率，已知到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P距离为的点Q坐标.

【答案】

【解析】设所求椭圆的方程为 (a>b>0)

由= = ，得= ，。

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

=

如果b<，,则当y=－b时,取得最大值。由=7解得

b=－>与b

故b≥。

当y=－时,取得最大值，由解得b="1,a=2"

所求椭圆方程为，由y=－可求得到点的距离等于的坐标为。

【考点】主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及二次函数的图象和性质。

点评：首先从已知条件出发，建立关于距离的二次函数式，利用二次函数的图象和性质，明确距离取到最值的条件。运用函数方程思想解题，是高考考查的重点之一。

12. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－=－1，=1，离心率。 【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，考查了两条直线的位置关系。 点评：利用两条直线垂直，斜率之积为－1，确定得到，从而进一步得出离心率。 13. 定长为l (l>)的线段AB的端点在双曲线b2x2－a2y2=a2b2的右支上, 则AB中点M的横坐标的最小值为

【答案】； 【解析】主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系。

当AB过右焦点时，M的横坐标最小.经计算最小值为。

思路拓展：考虑“极端（极限）位置”，化难为易。

14. （12分）已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．

（1）求点N的坐标（用x0表示）；

（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ的面积．

【答案】（1）N(x0+4, 0)；（2）64。

【解析】主要考查直线与抛物线的位置关系，等差数列知识以及转化与化归思想的运用。

（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x-2=2x0．

得线段AB垂直平分线方程：

令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)．

（2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2．

由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．

直线PQ: y=x－6, 由得△MPQ的面积是64．

思路拓展：解答此题，等差数列知识在于确定量与量之间的关系；注意充分利用抛物线的几何性质—对称性。

15. （14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

【答案】（1）；（2）见解析。

【解析】本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.

（1）解：设椭圆方程为

则直线AB的方程为

化简得.

令则

共线，得

（2）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.

在椭圆上，

即 ①

由（1）知

又又，代入①得

故为定值，定值为1.

思路拓展：（1）求椭圆离心率，主要利用定义及离心率与的关系；

（2）证明中，巧妙利用点在椭圆上，点的坐标适合椭圆方程，及平面向量的数量积计算公式。像这种“设（ ）而不求”、“整体代换”的思想在解析几何问题解答中经常用到。

16. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。

解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。将分别代入C,D方程中知选D。

17. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）

A． B．2 C． D．1

【答案】A

【解析】主要考查椭圆的定义。

解：由椭圆的定义=4a,所以的周长是，故选A。

18. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

【答案】A

【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

19. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）

A．y 2=-2x B．y 2=-4x

C．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x