双曲线上一点到两端点的斜率之积

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第67讲双曲线考向预测核心素养考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，双曲线的离心率和渐近线是高考命题热点；直线与双曲线是高考新的命题点.直观想象、数学运算一、知识梳理1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个定点F1，F2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.常用结论1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2 a2 .2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 解析：选D.由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C.又由题意可知焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝4，故点M 的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．2．(人A 选择性必修第一册P 127习题3.2 T 6改编)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.答案：x 215－y 215＝13．(人A 选择性必修第一册P 120例1改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(－1，0)，(1，0)，顶点为(－2，0)，(2，0)．所以双曲线的顶点为(－1，0)，(1，0)，焦点为(－2，0)，(2，0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1 e21＋1e22＝1.( )答案：(1)×(2)×(3)√二、易错纠偏1．(多选)(曲线方程中参数意义不明致误)若方程x23－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )A．若C为椭圆，则1<t<3B．若C为双曲线，则t>3或t<1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2解析：选AD.若t>3，则方程可变形为y2t－1－x2t－3＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为x23－t－y21－t＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程x23－t＋y2t－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程x23－t ＋y2t－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程x23－t＋y2t－1＝1即为x2＋y2＝1，它表示圆，综上，选AD.2．(忽视双曲线上的点的特征致误)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________．解析：设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4， 则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案：63．(忽视焦点的位置致误)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，有ba＝3，则c ＝2a ，此时e ＝2. 若双曲线的焦点在y 轴上， 有a b ＝3，则c ＝233a ，此时e ＝233. 综上，e ＝2或e ＝233. 答案：2或233考点一 双曲线的定义及标准方程(多维探究)复习指导：了解双曲线的定义及几何图形； 会求双曲线的标准方程，理解两种类型的标准方程的差异．角度1 双曲线的定义(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B.x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D.x 2－y 28＝1(x ≥1)(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．【解析】 (1)设动圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.【答案】 (1)C (2)2 3在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.答案：2双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．角度2 双曲线的标准方程(一题多解)已知双曲线过点(2，3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 【解析】 方法一：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，该方程组无解．综上，所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法二：设双曲线的方程为x 2m －y2n ＝1(mn >0)，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4m －9n ＝1，nm ＝3，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.方法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由双曲线过点(2，3)，可得λ＝3×22－32＝3，故双曲线的方程为3x 2－y 2＝3，其标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 C若本例中“双曲线过点(2，3)”变为“焦距为2”，其他条件不变，则双曲线的标准方程为________．解析：由例题方法三知所求双曲线方程可设为3x 2－y 2＝λ(λ≠0)即x 2λ3－y 2λ＝1.又双曲线焦距为2，所以c ＝1.若λ>0，方程化为x 2λ3－y 2λ＝1，所以λ3＋λ＝1，所以λ＝34.此时方程为x 214－y 234＝1；若λ<0，方程化为y 2－λ－x 2－λ3＝1，所以－λ－λ3＝1，所以λ＝－34.此时方程为y 234－x 214＝1.故所求双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1.答案：x 214－y 234＝1或y 234－x 214＝1求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x 2m2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)，再根据条件求解． (3)常用设法：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．|跟踪训练|1．(多选)(2022·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( ) A ．双曲线的离心率为54B ．双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4解析：选ABC.由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5，A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m >0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，所以此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.2．经过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，因为所求双曲线经过点P (3，27)，Q (－62，7)，所以⎩⎨⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线的几何性质(多维探究)复习指导：了解双曲线的几何性质．角度1 渐近线和离心率(1)(2021·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A.72B.132C.7D.13(2)(2021·高考全国卷乙)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m>0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________．【解析】(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos 60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)双曲线x2m－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，联立两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.【答案】(1)A (2)4角度2 双曲线性质的综合应用(1)(2022·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )A．1 B.12C.13D.23(2)(2022·合肥市名校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53C.2D.73(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5【解析】 (1)如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |， 所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12.故选B.(2)设P (x P ，y P )，则双曲线的焦半径|PF 1|＝ex P ＋a ， |PF 2|＝ex P －a ，由|PF 1|＝4|PF 2|可得ex P ＋a ＝4(ex P －a )， 即3ex P ＝5a ，所以x P ＝5a 3e. 由于点P 在双曲线的右支上，则x P ＝5a3e≥a ， 从而e ≤53，即此双曲线的离心率e 的最大值为53.(3)依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦， 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ， 因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 【答案】 (1)B (2)B (3)A双曲线的几何性质(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法：①求出a ，b ，c 直接求离心率e ，写渐近线方程．②列出a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．|跟踪训练|1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为42，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线为y ＝±ba x ，两条渐近线互相垂直，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝－1，得a ＝b .因为双曲线的焦距为42，所以c ＝22，由c 2＝a 2＋b 2可知2a 2＝8，所以a ＝2，所以实轴长2a ＝4.故选B.2．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由题意，可得F (1，0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2b a ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝5.3．(2022·济宁模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为________．解析：因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点 A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，又a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝1考点三 直线与双曲线(综合研析)(2021·新高考卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解】 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 易知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21， 所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12， |TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x B －12，则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14 ＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k21－12·2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14 ＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.(1)判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.|跟踪训练|已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.(1)求与双曲线C 1有相同的焦点且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程； (2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点．当OA →·OB →＝3时，求实数m 的值．解：(1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ， 设A (x 1，2x 1)，B (x 2，－2x 2)．由⎩⎨⎧x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0.由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2＞0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23，OA →·OB →＝x 1x 2＋(2x 1)·(－2x 2)＝－3x 1x 2，所以m 2＝3，即m ＝± 3.[A 基础达标]1．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．11 B.9 C.5D.3解析：选 B.根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1D.x 22－y 28＝1 解析：选D.由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程x 22－y 28＝1.故选D.3．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积为( )A ．10 3B.8 3C.8 5D.16 5解析：选C.依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以S △PF 1F 2＝12×8×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝8 5.4．(2022·长春市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±x B.y ＝±2x C ．y ＝±3xD.y ＝±2x解析：选C.设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.5．(2020·高考天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 24－y 2＝1 D.x 2－y 2＝1解析：选D.方法一：由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，则过焦点和点(0，b )的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.方法二：由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，l 过点(1，0)，(0，b )，所以b －00－1＝－1，b ＝1，故选D.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32 B.16 C.84D.4解析：选B.由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，ca ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B. 7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线解析：选ACD.对于A ，若m ＞n ＞0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 21m＋y 21n＝1，因为m >n >0，所以0<1m ＜1n，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若m ＝n >0，则mx 2＋ny 2＝1可化为x 2＋y 2＝1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，此时曲线C表示双曲线．由mx2＋ny2＝0可得y＝± －mnx，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝1 n ，y＝±nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(2021·高考全国卷乙)双曲线x24－y25＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．解析：由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝|3－8|12＋22＝ 5.答案： 59．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．解析：双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距为2c＝3 5.答案：3 510．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， 设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→<0， 所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线C 上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20<0，所以－33<y 0<33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33[B 综合应用]11．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其中一条渐近线上的一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1C ．点P 的横坐标为±1D ．△PF 1F 2的面积为 2解析：选ACD.等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确；由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误；点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得S△PF1F2＝12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.12.如图，F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝±a2b2b2－a2，所以2·a2b2b2－a2＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋2，所以e＝2＋ 2.答案：2＋ 213．(2022·陕西榆林二模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为12，则C的离心率为________．解析：把x＝c代入双曲线：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)得y＝b2a，所以B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，又A(－a，0)，直线AB的斜率为12，所以b2aa＋c＝12，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因为e >1，所以e ＝32.答案：3214．(2022·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得P i A 1→·P i A 2→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1→·P i A 2→＝0，i ＝1，2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎨⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎨⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎨⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 [C 素养提升]15．(2022·安徽皖南名校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→·MF 2→＝0，直线MF 2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5解析：选D.由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2.不妨设直线MF 2平行于双曲线的渐近线l ：bx ＋ay ＝0，如图所示， 从而得l 是线段MF 1的垂直平分线，且直线MF 1的方程为y ＝ab(x ＋c )． 设MF 1与l 相交于点N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a b（x ＋c ），y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a 2c ，y ＝abc ，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，ab c .又F 1(－c ，0)，由中点坐标公式，得M ⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c ，2ab c ， 将点M 的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫c －2a 2c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab c 2b2＝1， 化简得c 2＝5a 2，则离心率e ＝ca＝ 5.故选D.16．(2022·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．解析：如图，由双曲线C的方程可知c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，所以c＝3，所以左焦点E(－3，0)，右焦点F(3，0)，因为|AF|＝（－3）2＋（66）2＝15，所以当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，所以|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，所以点P的坐标为(－2，26)．答案：(－2，26)17．(2021·上海春季高考卷节选)(1)某团队在基地O点西侧、东侧20千米处分别设有A，B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以点A，B 为焦点的双曲线上．以O点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴方向，正北方向为y轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点P在基地O点北偏东60°处，求双曲线的标准方程和P点的坐标．(2)该团队又在基地O点南侧、北侧15千米处分别设有C，D两站点，测量距离发现一点Q满足|QA|－|QB|＝30千米，|QC|－|QD|＝10千米，求|OQ|(精确到1千米)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝10，c ＝20，所以b 2＝c 2－a 2＝300， 所以双曲线的标准方程为x 2100－y 2300＝1. 由题意可得直线OP ：y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2100－y 2300＝1，y ＝33x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1522，y ＝562，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1522，562. (2)①由|QA |－|QB |＝30可得点Q 在以A ，B 为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为30的双曲线右支上，设双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1＞0，b 1＞0)，则a 1＝15，c 1＝20，所以b 21＝175，双曲线的方程为x 2225－y 2175＝1；②由|QC |－|QD |＝10可得点Q 在以C ，D 为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10的双曲线上支上，设双曲线方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，则a 2＝5，c 2＝15，所以b 22＝200，双曲线的方程为y 225－x 2200＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2225－y 2175＝1，y 225－x 2200＝1，可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫14 40047， 2 97547，所以经计算器计算得，|OQ|≈19(千米)．。

圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的概念 1. 双曲线的第一概念：平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的核心，两个核心之间的距离叫做焦距。

注1：在双曲线的概念中，必需强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作），不但要小于这两个定点之间的距离（记作），而且还要大于零，不然点的轨迹就不是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当时，点的轨迹是线段的垂直平分线； （ⅱ）当时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当时，点的轨迹是双曲线。

专门地，假设去掉概念中的“绝对值”，那么点的轨迹仅表示双曲线的一支。

注2：假设用M 表示动点，那么双曲线轨迹的几何描述法为（，），即。

2. 双曲线的第二概念：平面内到某必然点的距离与它到定直线的距离之比等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。

二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）； （2）核心在轴、中心在座标原点的双曲线的标准方程是（，）.注：假设题目已给出双曲线的标准方程，那其核心究竟是在轴仍是在轴，要紧看实半轴跟谁走。

假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴；假设实半轴跟走，那么双曲线的核心在轴。

2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即），咱们把如此的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为（）注：假设题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，那么咱们可设该等轴双曲线的方程为（），再结合其它条件，求出的值，即可求出该等轴双曲线的方程。

进一步讲，假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点；假设求得的，那么该等轴双曲线的核心在轴、中心在座标原点。

三、双曲线的性质以标准方程（，）为例，其他形式的方程可用一样的方式取得相关结论。

（1）范围：，即或；1F 2F a 22120F F a <<a 221F F c 202=a 21F F c a 22=c a 22>c a 220<<a MF MF 221=-ca 220<<c F F 221=2121F F MF MF <-e 1>e x 12222=-b y a x 0>a 0>b y 12222=-b x a y 0>a 0>b x yx x y yb a 22=λ=-22y x 0≠λλ=-22y x 0≠λλ0>λx 0<λy 12222=-b y a x 0>a 0>b ax ≥a x ≥a x -≤（2）对称性：关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）极点：左、右极点别离为、； （4）核心：左、右核心别离为、； （5）实轴长为，虚轴长为，焦距为；（6）实半轴、虚半轴、半焦距之间的关系为；（7）准线：； （8）焦准距：；（9）离心率：且. 越小，双曲线的开口越小；越大，双曲线的开口越大；（10）渐近线：； （11）焦半径：假设为双曲线右支上一点，那么由双曲线的第二概念，有，；（12）通径长：.注1：双曲线（，）的准线方程为，渐近线方程为。

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（ ）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225， 则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】 【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（ ） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则 面积的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时， ．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。

【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结与重点题型班级_______________知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数〔大于0且〕的动点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边〞来理解；2. 假如去掉定义中的“绝对值〞，常数满足约束条件：〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；假如〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线〔a＞0，b ＞0〕的简单几何性质〔1〕对称性：对于双曲线标准方程〔a＞0，b＞0〕，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线〔a＞0，b＞0〕是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

〔2〕围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。

〔3〕顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线〔a＞0，b＞0〕与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A2〔a，0〕，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕为y轴上的两个点，如此线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

高中数学总结——公式与推论（理科）张皓翔成都二十中一．关于函数1. 抽象函数的周期（1）f（a±x)=f(b±x) T=|b-a|（2）f（a±x)=-f(b±x) T=2|b-a|（3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a（4）f(x-a)=f(x+a) T=2a（5）f(x+a)=-f(x) T=2a2．奇偶函数概念的推广及其周期：（1）对于函数f（x），若存在常数a，使得f（a-x）=f（a+x），则称f（x）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|（2）若f（a-x）=-f（a+x），则f（x）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a，b同时满足时，f（x）为周期函数T=2|b-a|3.抽象函数的对称性（1）若f（x)满足f（a+x）+f（b-x）=c则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f（x）满足f（a+x）=f（b-x）则函数关于直线x=成轴对称（充要）4.洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)5.常见奇函数（1）. y=sinx y=tanx（2）. y=x n(n∈2k+1 k∈Z)（3）. y=lg(√1+x2−x)−x→y=lg√1+(ax2)±ax y=lg b−axb=ax（4）. f(x)=a x−1(a>0 且 a≠1)a x+1（5）. f(x)=|x+a|−|x−a|6.抽象函数模型（1）.f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=kx（2）.f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=a x)=f(x) -f(y) f(x)=log a x（3）.f(xy)=f(x)+f(y) f(xy二、三角函数1.三角形恒等式（1）在△中，（2）正切定理&余切定理：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（3）（4）(5)2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA3. 任意三角形内切圆半径r=（S为面积），外接圆半径欧拉不等式：R>2r4．梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是5．塞瓦定理如下图，AD、BE、CF三线共点的充要条件是6. 斯特瓦尔特定理：如下图，设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有A²DC+AC²BD-AD²BC＝BC DC BD7、和差化积公式（只记忆第一条）sinα+sinβ=2sin cossinα-sinβ=2cos sincosα+cosβ=2cos coscosα-cosβ=-2sin sin8、积化和差公式sinαsinβ=-cosαcosβ=sinαcosβ=cosαsinβ=9、万能公式10．三角混合不等式：若x∈（0，),sinx＜x＜tanx当x→0时sinx x tanx11.海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c，大三角形面积为12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=，双曲余弦函数coshx=易知（1）奇偶性：sinhx为奇函数，coshx为偶函数（2）导函数：（sinhx）’=coshx，（coshx）’=sinhx（3）两角和：sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhycosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy（4）复数域：sinh（ix）=isin（x）cosh（ix）=icos（x）（5）定义域：x∈R（6）值域：sinhx∈R，coshx∈[1，+∞）13.三角形三边a.b.c成等差数列，则14.三角形不等式（1）在锐角△中，（2）在△中，（3）在△中，sinA>sinB cos2A>cos2B15．ASA的面积公式：三、数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）1.A n+1=kA n+f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛｝，通过累加法得出通项公式2. A n+1=kA n+C设一常数x，A n+1+x=k（A n+x）A n+1 =kA n+（k-1）x则（k-1）x=C，求出x=，得到等比数列｛｝,公比为k3．不动点法：形如A n+1=（d≠0，当d=0时，则是第二种情况），设函数f(x)=，x=的根称为f(x)的不动点，（1）若函数f（x）有2个不动点α，β则数列{}是一个等比数列，A’n==，A n=（2）若函数f（x）只有一个不动点α则数列{}数一个等差数列，A’n=（3）若函数f（x）没有不动点，则数列{A n}是周期数列，周期自己找4．特征方程法：形如A n+2=pA n+1+qA n称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x²-px-q=0的根来求它的通项公式（1）若方程有两根x1，x2，则A n=x1n-1+x2n-1 (,可根据题目确定)（2）若只有一个根x0A n=(+n)x0n-1(,可根据题目确定)5．变系数一阶递推数列四、不等式1.权方和不等式（赫德尔不等式推出）当且仅当2.黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系设可积函数f(x)当f(x)为减时，当f(x)为增时，3．琴生不等式函数的平均数与平均数的函数之间的关系当f(x)为凹函数，即f’’（x）>0时当f(x)为凸函数，即f’’（x）<0时当且仅当x1=x2=∧=x n时，等号成立4.卡尔松不等式5．排序不等式当且时，其中以上可概括为顺序和≥乱序和≥倒序和5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出）当a n与b n逆序时当a n与b n顺序时不等式反向6．舒尔不等式（Schur不等式）x t（x-y）（x-z）+y t（y-x）（y-z）+z t（z-x）(z-y)≥0当x=y=z时，等号成立配Schur法（Schur分拆法）三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=a+b+cxyz 三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≥0的充要条件是因为f(x,y,z)=7．常用对数不等式当x〉-1时，当且仅当x=0时等号成立8.伯努利不等式当x≥-1，n≥0时或n为正偶数，x∈R时（1+x）n≥1+nx当n=0或1，或x=0时等号成立9．uvw法和pqr法（解决三元对称轮换式）uvw法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式pqr法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式当a.b.c为非负实数时，用uvw法；当a,b,c∈R时，用pqr法10.SOS法（配方法）不解释11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题）已知f(x,y,z)=0，求F（x,y,z）的极值构造拉格朗日函数L=F（x,y,z）+λf(x,y,z)对F（x,y,z）分别关于x,y,z，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F（x,y,z）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即F（x,y,z）的极值点，从而算出极值。

第9讲 双曲线(核心考点讲与练)1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支．2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．3、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长；b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长；c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距． （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称．（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈．（4）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线．①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y 关 于x 的直线即可．例如在()222210,0x y a b a b-=>>中，求渐近线即解：22220x y a b -=，变形为 b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线． ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线．③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c的关系．（5）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（6）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）考点一：双曲线及其标准方程例1．（2021·上海浦东新·一模）若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）A ．B ．CD 例2．（2022·上海·高三专题练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）A B ．CD 3例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若方程)()(221251k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为___________.例4．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线22:16y M x -=的左，右焦点为12F F 、，过1F 的直线l 与双曲线M 的左、右支分别交于点AB 、.若2ABF 为等边三角形，则2ABF 的边长为____________例5．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.例6．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线Г：222x y -=的左､右焦点，点D 为线段1F O 的中点，直线MN 过点2F 且与双曲线右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长MD ､ND ，分别与双曲线Г交于P ､Q 两点.（1）已知点M ，求点D 到直线MN 的距离； （2）求证：()1221212x y x y y y -=-；（3）若直线MN ､PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1､k 2.试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由.例7．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M 到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求道路M-N-P的曲线方程；（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？例8．（2021·上海·位育中学高二期中）已知点1F 、2F ，为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P 、2P ，求证：12PP PP ⋅为定值．考点二：双曲线的简单几何性质例1．（2021·上海静安·一模）已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A ，两条渐近线与以A 为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________．例2．（2022·上海市延安中学高二期末）若双曲线的离心率为2，则此双曲线两条渐近线的夹角的大小为___________.例3．（2021·上海奉贤·一模）已知曲线22116x y a +=的焦距是10，曲线上的点P 到一个焦点的距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为__________.例4．（2022·上海·复旦附中高二期末）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.例5．（2022·上海市延安中学高二期末）已知两点13,2A ⎛⎫-⎪ ⎭⎝､15,2B ⎛⎫⎪ ⎭⎝，给出下列4个曲线方程：①4210x y +-=；②229x y +=；③22114436y x +=；④22114436y x -=.则曲线上存在点P 满足AP BP =的曲线方程是___________（写出所有满足条件的曲线的序号） 例6．（2021·上海松江·一模）2222Γ:1(0,0).2x y a b y x a b -=>>=±已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R ∈，直线y kx m =+与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围； （3）若过点()1,0的直线l 与双曲线Γ交于M N ､两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.例7．（2022·上海交大附中高二期末）已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C ，点1F 、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）； （2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF -为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.例8．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点(P，它的两条渐近线分别为0x-=.x=和0（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左､右焦点分别为1F､2F，过左焦点1F作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.D例9．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，(1,0)是它的一个顶点.(1,2)d =是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C 的方程；（2）设(0,1)P ，M 为双曲线右支上动点，当|PM |取得最小时，求四边形ODMP 的面积； （3）若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值.一、单选题1．（2021·上海市长征中学高二期中）双曲线221x y -=右支上一点P (a ，b )到直线y x =，则a +b 的值是（ ） A ．12-B ．12C ．12-或12D ．2或122．（2021·上海市长征中学高二期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上，则该双曲线的焦距与实轴比值的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．3．（2021·上海徐汇·一模）已知曲线||||:143x x y y C +=-，对于命题：①垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有一个交点；②若 ()()111222,,,P x y P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x -<-，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题4．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知F 1、F 2分别是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点00(,)A x y 是双曲线所在平面内的一个定点，点P 是该双曲线上的动点，关于1||||PF PA +的最小值， 有下列命题∶ ①使得1||||PF PA +取最小值的点P 有且仅有一个∶②当x 0> 0时，1||||PF PA + 的最小值为1||AF ∶ . ③当x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -∶④当22002201x y a b<-<且00x >时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a +；⑤当2200221x y a b->且x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -.其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2021·上海·高三专题练习）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫⎪⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．（2021·上海普陀·一模）设点12F F ､是双曲线22:14x C y -=的左､右两焦点，点M 是C 的右支上的任意一点，若2210F M F F ⋅>，则12MF MF +的值可能是（ ）A ．4B ．C ．5D ．二、填空题7．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知方程2212x y a a+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则a 的取值范围是__________.8．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则=a ___________.9．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)F ，则实数m =__________．10．（2021·上海市建平中学高三期中）双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为___________11．（2021·上海杨浦·一模）若双曲线221y x m-=的渐近线方程为2y x =±，则实数m =___________.12．（2021·上海市长征中学高二期中）已知双曲线 22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =______________13．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为320x y ±=，且c =则双曲线的方程为___________.14．（2021·上海·曹杨二中高三期中）若双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则b =___________.15．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）双曲线22154x y -=的焦点到渐近线的距离等于___________.16．（2021·上海金山·一模）设P 为直线2y x =上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线2214x y -=的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为___________17．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）若将方程6=化简为22221x y a b-=的形式，则22a b -=___________.18．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知点()0,0O ，()2,0A -，()2,0B .设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =OP =_____.19．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为____________.20．（2021·上海浦东新·一模）已知实数,x y 满足14x xy y +=，则24x y +-的取值范围是___________. 三、解答题21．（2021·上海市建平中学高二期中）已知双曲线2222:1x y a bΓ-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点P （如图）．（1）若(1,2)d =是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程； （2）若||1PA =，||5PB =，||2PC =，||6PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：是否存在定点T ，使得TM TN ⊥恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．22．（2021·上海市长征中学高二期中）点()()000,P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．（1）求ba的值；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上的一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．23．（2021·上海奉贤·一模）第一象限内的点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，双曲线的左､右焦点分别记为12F F ､，已知1212,2,PF PF PF PF O ⊥=为坐标原点. （1）求证：2b a =；（2）若2OF P △的面积为2，求点P 的坐标.24．（2021·上海市向明中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=.（1）写出过双曲线C 的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点.若||MF =M 点的坐标；（3）设斜率为(||k k <的直线2l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.。

双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。